專題01平面向量的概念與運算

專題01平面向量的概念與運算知識點1向量的有關(guān)概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模模的特點：（1）向量的模；（2）向量不能比較大小，但是實數(shù)，可以比較大?。?、零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．3、單位向量：長度等于1個單位的向量.將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．4、相等向量：長度相等且方向相同的向量.5、向量的共線或平行：方向相同或相反的非零向量。規(guī)定：與任一向量共線.【注意】1、零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區(qū)別.2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.3、共線向量與相等向量關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量．知識點2向量的線性運算1、向量的加法運算（1）定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。（2）三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，向量AC叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC（3）平行四邊形法則：已知不共線的兩個向量a，b，在平面內(nèi)任取一點O，以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作?OACB，對角線OC就是a與b的和【規(guī)定】零向量與任一向量a的和都有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0＋a＝eq\a\vs4\al(a).【注意】=1\*GB3①在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和；=2\*GB3②平行四邊形法則的應(yīng)用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發(fā)的不共線向量．（4）向量加法的運算律結(jié)合律：a＋b＝b＋a交換律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2、向量的減法運算（1）相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.=1\*GB3①規(guī)定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；=2\*GB3②(－a)＝a；=3\*GB3③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；=4\*GB3④若a與b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.【注意】相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面定義，相反向量必為平行向量．（2）向量的減法=1\*GB3①定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.=2\*GB3②幾何意義：以O(shè)為起點，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，如圖所示，即a－b可表示從向量b的終點指向向量a的終點的向量．【注意】在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接向量終點，箭頭指向被減向量”即可．3、向量的數(shù)乘運算（1）定義：規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．（2）運算律：設(shè)λ，μ為任意實數(shù)，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特別地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.（3）線性運算:向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量線性運算的結(jié)果仍是向量．對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知識點3向量共線1、向量共線的條件（1）當向量時，與任一向量共線．（2）當向量時，對于向量．如果有一個實數(shù)，使，那么由實數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同向時，；當與反向時，．2、向量共線的判定定理：是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理：若向量與非零向量共線，則存在一個實數(shù)，使．【注意】（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個實數(shù)，使．（4）是判定兩個向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一.知識點4向量的數(shù)量積1、向量的夾角（1）定義：已知兩個非零向量，，是平面上的任意一點，作，，則（）叫做向量與的夾角．（2）性質(zhì)：當時，與同向；當時，與反向．（3）向量垂直：如果與的夾角是，我們說與垂直，記作．2、向量的數(shù)量積的定義（1）定義：非零向量與，它們的夾角為，數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)；（2）記法：向量與的數(shù)量積記作，即；零向量與任一向量的數(shù)量積為0；3、向量在上的投影向量（1）設(shè)，是兩個非零向量，，，考慮如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．（2）在平面內(nèi)任取一點O，作，，過點M作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量，且．（3）注意：數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影向量的“長度”的乘積，也等于的長度||與在的方向上的投影向量的“長度”的乘積4、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，都是非零向量，是單位向量，θ為與(或)的夾角．則（1）；（2）；（3）當與同向時，；當與反向時，；特別地，或；（4）cosθ＝；（5）5、平面向量數(shù)量積的運算律（1）；（2）(λ為實數(shù))；（3）；（4）兩個向量，的夾角為銳角?且，不共線；兩個向量，的夾角為鈍角?且，不共線．（5）平面向量數(shù)量積運算的常用公式考點1向量的相關(guān)概念辨析【例1】（2023春·湖南長沙·高一長沙一中校考階段練習）下列命題：①若，則；②若，，則；③的充要條件是且；④若，，則；⑤若、、、是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對于①，因為，但、的方向不確定，則、不一定相等，①錯；對于②，若，，則，②對；對于③，且或，所以，所以，“且”是“”的必要不充分條件，③錯；對于④，取，則、不一定共線，④錯；對于⑤，若、、、是不共線的四點，當時，則且，此時，四邊形為平行四邊形，當四邊形為平行四邊形時，由相等向量的定義可知，所以，若、、、是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，⑤對.故選：A.【變式11】（2023·江蘇·高一專題練習）設(shè)點是正三角形的中心，則向量，，是（）．A．相同的向量B．模相等的向量C．共線向量D．共起點的向量【答案】B【解析】是正的中心，向量，，分別是以三角形的中心和頂點為起點和終點的向量，是正三角形的中心，到三個頂點的距離相等，即，但是向量，，它們不是相同的向量，也不是共線向量，也不是起點相同的向量.故選：B.【變式12】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習）下列五個結(jié)論：①溫度有零上和零下之分，所以溫度是向量；②向量，則與的方向必不相同；③，則；④向量是單位向量，向量也是單位向量，則向量與向量共線；⑤方向為北偏西的向量與方向為東偏南的向量一定是平行向量．其中正確的有（）A．①⑤B．④C．⑤D．②④【答案】C【解析】溫度雖有大小卻無方向，故不是向量，故①錯；，但與的方向可以相同，故②錯；向量的長度可以比較大小，但向量不能比較大小，故③錯；單位向量只要求長度等于1個單位長度，但方向未確定，故④錯；如圖，作出這兩個向量，則方向為北偏西的向量與方向為東偏南的向量方向相反，所以這兩個向量一定是平行向量，故⑤正確．故選：C.【變式13】（2023春·安徽·高一潁上第一中學(xué)?？茧A段練習）（多選）下列說法錯誤的為（）A．共線的兩個單位向量相等B．若，，則.C．若，則一定有直線D．若向量，共線，則點A，B，C，D必在同一直線上【答案】ABCD【解析】A：共線的兩個單位向量的方向可能相反，故錯誤；B：，不一定有，故錯誤；C：直線與可能重合，故錯誤；D：若與平行，則A，B，C，D四點不共線，故錯誤.故選：ABCD【變式14】（2023·高一課時練習）四邊形，，都是全等的菱形，與相交于點，則下列關(guān)系中正確的序號是________．①；②；③；④．【答案】①②④【解析】對于①，四邊形，，都是全等的菱形，，即，①正確；對于②，，，則與反向，，②正確；對于③，若，則，，若四邊形，，都是全等的正方形，如下圖所示，此時，，即，③錯誤；對于④，三點共線，方向相反，，④正確.故答案為：①②④.考點2向量的加減數(shù)乘混合運算【例2】（2023秋·遼寧·高一校聯(lián)考期末）如圖，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E為AD的中點．則下列式子不正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，并且四邊形ABCE和四邊形BCDE都是平行四邊形，即，對于A，，正確；對于B，，正確；對于C，，錯誤；對于D，，正確；故選：C.【變式21】（2023春·河北滄州·高一校考階段練習）如圖所示，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，可得，可得且，所以.故選：B.【變式22】（2023春·安徽·高一銅陵一中?？茧A段練習）（多選）下列四式可以化簡為的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】對選項A：，正確；對選項B：，正確；對選項C：，正確；對選項D：，錯誤．故選：ABC【變式23】（2023·全國·高一專題練習）若，則________.【答案】【解析】將題設(shè)等式展開并化簡得：，則.故答案為：【變式24】（2023·全國·高一專題練習）化簡：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.考點3用已知向量表示其他向量【例3】（2023春·全國·高一專題練習）在中，，，，M為BC的中點，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，又因為，，故選:A.【變式31】（2023春·全國·高一專題練習）已知的邊的中點為D，點E在所在平面內(nèi)，且，若，則（）A．7B．6C．3D．2【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以，所以，所以，因為，所以，，故.故選：A．【變式32】（2023春·全國·高一專題練習）如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且，，，試用向量表示向量，，.【答案】，，【解析】因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以，，所以.【變式33】（2022秋·天津濱海新·高一?？茧A段練習）如圖所示的中，點D、E分別在邊BC、AD上，且.，則向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，又，，，又，，.故選：B.考點4向量共線證明三點共線【例4】（2023春·安徽淮北·高一淮北師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)?？茧A段練習）已知，，，則（）A．M，N，P三點共線B．M，N，Q三點共線C．M，P，Q三點共線D．N，P，Q三點共線【答案】B【解析】，，，，，由平面向量共線定理可知，與為共線向量，又與有公共點，，，三點共線，故選：B．【變式41】（湖北省部分學(xué)校20222023學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）若A，B，C是三個互不相同的點，則“”是“A，B，C三點共線”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為A，B，C是三個互不相同的點，所以均不為零向量，若，則A，B，C三點共線，反之亦成立，故“”是“A，B，C三點共線”的充要條件．故選：C【變式42】（2023秋·山東濟南·高三統(tǒng)考期中）已知點是平面內(nèi)任意一點，則“存在，使得”是“三點共線”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】C【解析】充分性：由得，故，則，故三點共線，所以充分性成立，必要性：若三點共線，由共線向量定理可知，從而，所以，所以，所以必要性成立.綜上所述：”是“三點共線”的充要條件.故選：C【變式43】（2022秋·廣西梧州·高二?？计谥校┰O(shè)是空間中兩個不共線的向量,已知,且三點共線,則的值為（）A．2B．3C．D．8【答案】C【解析】由題知由于是空間中兩個不共線的向量,且有,所以,因為三點共線,所以,所以存在實數(shù),使得,所以,所以.故選:C【變式44】（2023秋·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）在中，點，分別在邊和邊上，且，，交于點，設(shè)，.（1）若，試用，和實數(shù)表示；（2）試用，表示；（3）在邊上有點，使得，求證：，，三點共線.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析【解析】（1）由題意，所以，①（2）設(shè)，由，，②由①、②得，，所以，解得，所以；（3）由，得，所以，所以，因為與有公共點，所以，，三點共線.考點5利用向量共線求參數(shù)【例5】（2023春·江蘇·高一校聯(lián)考階段練習）已知向量、不共線，且，若與共線，則實數(shù)的值為（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】因為與共線，則存在，使得，即，因為向量、不共線，則，整理可得，即，解得或.故選：C.【變式51】（2023·全國·高一專題練習）已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為（）A．B．0或C．0或1D．0或3【答案】A【解析】因為與共線，可設(shè)，即，因為，不共線，所以所以.故選:A.【變式52】（2023·全國·高一專題練習）已知為不共線的兩個單位向量，若與平行，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為與平行，所以存在實數(shù)，使得，即，又為不共線，所以，解得.故選：B.【變式53】（2023·高一課時練習）已知兩個非零向量，不共線，若，則實數(shù)等于（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以存在實數(shù)，使得，即，解得.故選：C【變式54】（2022春·安徽阜陽·高一統(tǒng)考期末）已知向量不共線，且向量與的方向相反，則實數(shù)t的值為（）A．1B．—C．1或－D．－1或－【答案】B【解析】因為與共線，所以，解得或－．當時與同向，不符合題意，當時與反向，符合題意．故選：B．考點6向量數(shù)量積的運算【例6】（2023春·全國·高一專題練習）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（）A．6B．8C．10D．14【答案】B【解析】`由，且與的夾角為，所以.故選：B.【變式61】（2023·高一單元測試）已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點D在線段BC上，且，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)等腰△ABC在邊上的高為，因為，所以，所以,所以，所以.故選:B.【變式62】（2023·全國·高一專題練習）如圖，在邊長為2的等邊中，點E為中線BD的三等分點（靠近點D），點F為BC的中點，則（）A．1B．2C．D．【答案】A【解析】在邊長為2的等邊中,BD為中線，則故選：A【變式63】（2023·全國·高一專題練習）如圖，在中，，，，M是邊上的中點，P是上一點，且滿足，則（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】因為P是上一點，故可設(shè)，因為M是邊上的中點，所以，所以，，又，所以，故，所以，所以，因為，，，所以，所以，故選：D.【變式64】（2023春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習）如圖，在邊長為4的等邊中，點E為中線BD的三等分點（靠近點B），點F為BC的中點，則=（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】因為點E為中線BD的三等分點，點F為BC的中點，所以,,所以因為是邊長為4的等邊三角形，為中線，所以，，所以，所以.故選：A.考點7向量垂直的應(yīng)用【例7】（2022春·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知非零平面向量、，“”是“”的（）條件.A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【解析】對于非零平面向量、，.因此，“”是“”的充要條件.故選：C.【變式71】（2023·全國·高一專題練習）已知兩個單位向量與的夾角為，若，，且，則實數(shù)（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，又向量與的夾角為且為單位向量，∴，解得.故選：D【變式72】（2022春·湖南長沙·高一長沙一中?？茧A段練習）已知是空間中兩兩不共線的非零向量，則“，”是“，”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則，從而，故；若，則，從而，故.故選：C.【變式73】（2022春·四川遂寧·高一遂寧中學(xué)校考期末）在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD一定是（）A．正方形B．平行四邊形C．矩形D．菱形【答案】D【解析】由,得可知，四邊形為平行四邊形；又由可知，四邊形對角線互相垂直，故四邊形為菱形．故選：D．考點8向量夾角相關(guān)計算【例8】（2023·全國·高一專題練習）已知，則向量與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】、所以所以向量與的夾角為，故選：C【變式81】（2023春·河南開封·高一?？茧A段練習）已知向量，滿足，，，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以所以又，，，,所以，故選：C．【變式81】（2023·全國·高一專題練習）若且，則向量與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以又因為，所以，及，所以所以與的夾角表示為，則所以與的夾角為.故選：A.【變式82】（2023·高一單元測試）已知空間向量滿足，，，，則=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，則，即，從而，解得：.故選：D【變式83】（2023·全國·高一專題練習）已知，是單位向量，若，則，的夾角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，是單位向量，所以，因為，所以，所以，即，所以，即，的夾角是.故選：B【變式84】（2022春·江蘇揚州·高一?？茧A段練習）已知，是夾角為的兩個單位向量，若，，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，是夾角為的兩個單位向量，則則，則，所以，又因為，即，的夾角為.故選：C.考點9向量模長相關(guān)計算【例9】（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考階段練習）已知平面向量，滿足，，，則（）A．2B．4C．D．【答案】A【解析】因為，滿足，，，所以，，所以，故選：A【變式91】（2022春·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）已知兩個單位向量，的夾角為60°，若，則（）A．3B．C．D．1【答案】C【解析】因為，所以.因為，為夾角為60°的兩個單位向量，所以，故選：C【變式92】（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習）已知空間非零向量，，滿足，，，與方向相同，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題可設(shè)，由可知，所以，所以，∵，∴，即.故選：C.【變式93】（2022春·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期末）在中，，，點滿足，，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，則當時，，.故選：A.考點10向量的投影向量【例10】（2023春·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學(xué)校考階段練習）已知，與的夾角為，是與同向的單位向量，則在方向上的投影向量為（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】在方向上的投影向量為，故選：D【變式101】（2023·全國·高一專題練習）已知，則向量在向量方向上的投影向量的長度為（）A．－4B．4C．－2D．2【答案】B【解析】依題意，向量在向量方向上的投影向量的長度為.故選：B【變式102】（2023·全國·高一專題練習）設(shè)非零向量，滿足，，則向量在方向上的投影向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)的夾角為，由得.所以向量在方向上的投影向量為.故選：A【變式103】（2023·全國·高一專題練習）已知，求在上的投影向量．【答案】【解析】因為，，所以，所以在上的投影向量為.【變式104】（2023·全國·高一專題練習）設(shè)為的外接圓圓心，若，則在上投影向量的模為_________【答案】【解析】由得,所以為的中點，又因為為的外接圓圓心，所以,,所以,在中，,,所以在上的投影為,所以在上投影向量為,所以在上投影向量的模為.1．（2023春·河南開封·高一?？茧A段練習）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點O為圓心，C為半圓上一點，且，，則等于（）A．1B．C．D．2【答案】A【解析】如圖，連接AC，由，得.因為為半圓上的點，所以，所以．故選：A.2．（2023春·河北滄州·高一?？茧A段練習）十七世紀法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費馬提出了一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”，在費馬問題中所求的點被稱為費馬點，對于每個給定的三角形都存在唯一的費馬點，當△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，使得的點為的費馬點.已知點為等邊的費馬點，且，則（）A．12B．36C．D．18【答案】D【解析】設(shè)，則，因為為等邊三角形，所以，，同理：，，又，所以，則，所以點為的中心，，，且，則，故選：D3．（2023春·江蘇南通·高一南通一中?？茧A段練習）已知向量的夾角為，且對任意實數(shù)恒成立，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】；，由，則，整理可得，設(shè)，則，即，解得.故選：B.4．（2023春·河南開封·高一?？茧A段練習）設(shè)，夾角為，則等于（）A．37B．13C．D．【答案】D【解析】∵．夾角為，所以，故選：D．5．（2023春·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)?？茧A段練習）某人在靜水中游泳的速度為，河水自西向東的流速為，此人朝正南方向游去，那么他的實際前進方向與水流方向的夾角為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，表示河水自西向東的流速，表示某人在靜水中游泳的速度，則即表示他的實際前進方向，由題意可知，，則在中，，故，即他的實際前進方向與水流方向的夾角為，故選：B6．（2023·全國·高一專題練習）在中，若，則的形狀為（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因為，，所以，所以為等邊三角形．故選：A7．（2023春·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學(xué)?？茧A段練習）設(shè)向量的夾角的余弦值為，且，則（

）A．15B．11C．12D．9【答案】B【解析】由題意，，.故選：B.8．（2023春·湖南邵陽·高一湖南省邵東市第一中學(xué)?？茧A段練習）下列不能化簡為的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，，故A不符合題意；對于B，，故B不符合題意；對于C，，故C不符合題意；對于D，，故D符合題意.故選：D.9．（2023春·湖南常德·高一臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習）下列結(jié)論是否正確有（）A．若與都是單位向量，則B．方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量C．直角坐標平面上的x軸?y軸都是向量D．若用有向線段表示的向量與不相等，則點M與N不重合【答案】BD【解析】對于A，因為與的方向可能不同，故錯誤；對于B，因為這兩個向量的方向是相反的，所以是共線向量，故正確；對于C，因為軸與軸只有方向沒有大小，所以都不是向量，故錯誤；對于D，假設(shè)點與點重合，則向量，與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，即點M與N不重合，故正確；故選:BD10．（2023·全國·高一專題練習）給出下列命題正確的是（）A．空間中所有的單位向量都相等B．長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量C．若滿足，且同向，則D．對于任意向量，必有【答案】BD【解析】對于A：向量