南京市鼓樓區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

九年級（上）期末試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁．全卷滿分120分．考試時(shí)間為120分鐘?？忌痤}全部答在答題卡上，答在本試卷上無效。2．請將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上及本試卷上。3．答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一律無效。一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．拋擲一枚均勻的硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率是（）A．

B．

C．

D．12．方程的根可以是（）A． B． C． D．3．如圖，，直線，相交于點(diǎn)且分別與，相交于點(diǎn)，，，．若，，，則的長為（）A． B． C． D．4．若二次函數(shù)與的圖像重合，則，的值為（）A．， B．，C．， D．，5．如圖，為的直徑，，分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，過點(diǎn)C作的垂線，垂足為E，交于點(diǎn)D．若，則長為（）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，在中，，，，過上一點(diǎn)畫直線截，使截得的一個(gè)三角形與相似．若恰有3種不同的畫法，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）7．若，則______．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，陰影所示的兩個(gè)正方形是位似形，若位似中心在兩個(gè)正方形之間，則位似中心的坐標(biāo)為______．9．?dāng)?shù)據(jù)，0，1，2，3，7的方差為______．10．將拋物線先向下平移4個(gè)單位長度，再向左平移4個(gè)單位長度，所得拋物線的表達(dá)式是______．11．已知，是的兩個(gè)根，則______．12．已知線段，若，是的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，則長為______．13．已知，若三邊分別長為6，8，10，的面積為96，則的周長為______．14．如圖是一頂由扇形紙板圍成的圓錐形生日帽，陰影部分是扇形紙板重疊的部分（用于黏貼）．已知生日帽的母線長為25cm，高為24cm，長為，則原扇形紙板的圓心角度數(shù)為______°．15．如圖，內(nèi)接于，外角平分線交于點(diǎn)，射線交延長線于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為______°．16．將二次函數(shù)（，為常數(shù)）的圖像沿與軸平行的直線翻折，若翻折后的圖像將軸截出長為的線段，則該二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為______．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．解下列一元二次方程．（1）；（2）．18．如圖，AB為⊙O的直徑，D是弦AC延長線上一點(diǎn)，AC=CD，DB的延長線交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．（1）求證；（2）若的度數(shù)為，求的度數(shù)．19．如圖，在和中，，．（1）求證；（2）已知，，求的長．20．二次函數(shù)的部分圖像如圖所示．（1）根據(jù)圖像，回答以下問題：①與的數(shù)量關(guān)系為：______；②關(guān)于方程的解是______．（2）若該函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)。21．甲、乙兩人用“分歧終端機(jī)”玩“石頭、剪刀、布”：兩人先把手伸進(jìn)不透明的圓筒中出手勢，然后同時(shí)打開圓筒判斷勝、負(fù)、平，從而使游戲公平進(jìn)行．（1）兩人玩一次“石頭、剪刀、布”，求甲獲勝的概率．（2）兩人玩兩次“石頭、剪刀、布”，則甲勝、負(fù)各一次的概率為______．22．某機(jī)構(gòu)調(diào)查了“消費(fèi)者換眼鏡時(shí)長與更換因素”并統(tǒng)計(jì)如下．（1）以下說法正確的是______．（填寫正確說法的序號）①鏡片因素是導(dǎo)致消費(fèi)者更換眼鏡的最主要原因；②消費(fèi)者的眼鏡使用壽命集中在1．5年~2年；③鏡架因素中，鏡腿變形所占比重最大．（2）請?jiān)賹懗鲆粋€(gè)正確結(jié)論或合理猜想，并使用上圖提供的信息加以佐證．23．甲同學(xué)在操場上向正前方伸直手臂，保持大拇指豎直，視線從大拇指邊緣穿過觀察植樹的乙同學(xué)，發(fā)現(xiàn)視野中乙同學(xué)的身高大概是大拇指高度的五分之一（如左圖所示），測得甲同學(xué)臂長為，大拇指長為，乙同學(xué)的身高為．（1）在右圖中，表示視點(diǎn)，表示臂長，表示乙同學(xué)的身高，則表示______，的實(shí)際長度為______．（2）估算甲，乙同學(xué)之間的距離．24．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；②當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍．（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，且該函數(shù)的圖象開口向上，直接寫出的取值范圍．25．如圖，在中，，，，是邊上的一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作．（1）尺規(guī)作圖：求作，使得與直線相切；（保留作圖痕跡）（2）求（1）中的半徑．26．一企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品（假設(shè)銷量與產(chǎn)量相等），已知該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本為元，售價(jià)（元）與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系為．（1）當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（2）若企業(yè)每銷售該產(chǎn)品需支出其他費(fèi)用元，當(dāng)時(shí)該企業(yè)獲得的最大利潤為元，求的值．27．解題探索．在中，，，，，點(diǎn)在延長線上，將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到射線，過點(diǎn)A作垂線，與射線交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，連接．當(dāng)時(shí)，用表示的長．解：過作，設(shè)，……幾位同學(xué)討論后，梳理出以下幾條解題的線索．（1）根據(jù)題意，可知______，______（用表示）．（2）從線索①入手可以如下解決問題，請?zhí)畛渌悸房驁D．（3）參考其他線索，用不同的方法解決問題．寫出主要步驟（如①②③…）或畫出思路框圖，無需寫出詳細(xì)過程．參考答案一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．A【解析】列舉出所有情況，看硬幣正面朝上的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．【詳解】共拋擲一枚均勻的硬幣一次，有正反兩種情況，有一次硬幣正面朝上，所以概率為

，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法；用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；解決本題的關(guān)鍵是得到至少有一次硬幣正面朝上的情況數(shù)．2．A【解析】利用因式分解法求出方程的解即可．【詳解】解∶方程可化為，故或，所以．故選∶A．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解本題的關(guān)鍵．3．C【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解答．【詳解】∵，直線，相交于點(diǎn)且分別與，相交于點(diǎn)，，，，∴，即，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例．掌握兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截，截得的對應(yīng)線段的長度成比例是解題關(guān)鍵．4．D【解析】將二次函數(shù)化為一般式，根據(jù)圖像重合，得到，，即可得到答案．【詳解】解：，且與的圖像重合，，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像和性質(zhì)，將二次函數(shù)化為一般式是解題關(guān)鍵．5．C【解析】【分析】作于H，由垂徑定理得到的長，從而求出的長，由勾股定理求出的長，即可求出的長．【詳解】解：作于H，∵直徑于H，∴，∵，分別切于C，B，∴，直徑，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，切線長定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是通過輔助線構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求出的長．6．D【解析】【分析】如圖，過點(diǎn)P有4種不同的畫法與相似，當(dāng)時(shí)有，由題意可知，當(dāng)D、C重合后，恰有3種不同的畫法，求出范圍即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P有4種不同的畫法與相似，當(dāng)時(shí)，，由題意可知，當(dāng)D、C重合后，恰有3種不同的畫法，有，即：，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到與已知三角形相似三角形個(gè)數(shù)的臨界點(diǎn)．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）7．【解析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到，代入求值即可得到答案．【詳解】解：，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，分式的化簡求值，熟練比例的性質(zhì)進(jìn)行代換是解題關(guān)鍵．8．【解析】【分析】連接各組對應(yīng)點(diǎn)，它們在兩個(gè)正方形之間相交于點(diǎn)，則點(diǎn)為位似中心，然后寫出點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖，點(diǎn)為位似中心，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查位似變換：位似的兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行（或共線），掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．##【解析】【分析】先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這組數(shù)據(jù)的方差，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了方差的計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握方差公式．10．【解析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則即可求出平移后的二次函數(shù)的解析式．【詳解】解：由題意可知，平移后拋物線表達(dá)式為：，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖形的平移，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)圖形平移的規(guī)律．11．2【解析】【分析】根據(jù)題意，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，把代入得到關(guān)系式，原式變形后代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：是的兩個(gè)根，，即，則原式．故答案為∶2．【點(diǎn)睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．12．【解析】【分析】根據(jù)黃金分割的概念先計(jì)算出，然后再計(jì)算，最后根據(jù)即可求出答案．【詳解】如圖，，是的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)題意得，．故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比，熟練掌握黃金比是解題的關(guān)鍵．13．48【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理，可證得是直角三角形，即可求得的面積，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：的三邊分別長為6，8，10，，是直角三角形，的面積為：，設(shè)的周長為x，，，解得，故答案為：48．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．14．108【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的弧長等于圓錐底面周長計(jì)算．【詳解】解∶圓錐的底面半徑為，底面周長為，設(shè)原扇形紙板的圓心角度數(shù)為度，解得．故答案為∶108【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解．15．40【解析】【分析】根據(jù)已知可得，由圓周角定理可得，進(jìn)而求出，再利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)以及平角的定義可得，繼而利用角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】∵，∴，∴∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．16．【解析】【分析】設(shè)設(shè)翻折后圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則再進(jìn)行變形得出再代入可得進(jìn)而可得出該二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)【詳解】二次函數(shù)（，為常數(shù)）的圖像沿與軸平行的直線翻折，若翻折后的圖像將軸截出長為的線段，翻折前兩交點(diǎn)間的距離不變，設(shè)翻折后圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則又的縱坐標(biāo)為，即該二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與幾何變換，根據(jù)翻折的特征求得翻折后的圖像與x軸交點(diǎn)之間的距離是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（1），（2），【解析】（1）移項(xiàng)后，利用配方法求解即可；（2）移項(xiàng)后，利用因式分解法求解即可．【小問1詳解】解：移項(xiàng)，得：.配方，得：，或，，；【小問2詳解】解：移項(xiàng)，得：，，或，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點(diǎn)靈活選用不同的解法是解題關(guān)鍵．18．（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，首先證明，即可求解；（2）根據(jù)的度數(shù)為，可得到，根據(jù)，且，即可求解．【小問1詳解】如圖：連接是的直徑，即又．【小問2詳解】的度數(shù)為又，且．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和圓心角，弧、弦的關(guān)系，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．19．（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定定理證得與相似；（2）利用（1）中的相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到：，由此可以求得的長度．小問1詳解】證明：∵，∴∴．又，∴.【小問2詳解】解：∵，∴．又，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（1）①；②；（2）【解析】【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)圖像可知，拋物線的對稱軸為，由此可得與的數(shù)量關(guān)系；②根據(jù)拋物線的對稱軸為，圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，可知另一個(gè)交點(diǎn)為，由此可解答．（2）根據(jù)與的數(shù)量關(guān)系，再將兩點(diǎn)代入求得函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【小問1詳解】①解：對稱軸為，，．故答案為：．②解：對稱軸為，圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，軸與圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為，可得方程的解為，．故答案為：，．【小問2詳解】解：設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式為，根據(jù)題意，將，代入函數(shù)解析式，得：，解得，∴所求表達(dá)式為.，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．21．（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出表格可得共有9種結(jié)果，它們出現(xiàn)的可能性相同，其中甲獲勝只包含其中3種結(jié)果，再由概率公式計(jì)算，即可求解；（2）分別求出甲第一局獲勝，第二局負(fù)的概率；甲第一局負(fù)，第二局獲勝的概率，即可求解．【小問1詳解】解：根據(jù)題意，列出表格如下：

石頭剪刀布石頭（石頭，石頭）（石頭，剪刀）（石頭，布）剪刀（剪刀，石頭）（剪刀，剪刀）（剪刀，布）布（布，石頭）（布，剪刀）（布，布）共有9種結(jié)果，它們出現(xiàn)的可能性相同，其中甲獲勝只包含其中3種結(jié)果，所以甲獲勝的概率．【小問2詳解】解：由（1）得：甲第一局獲勝的概率為，第二局負(fù)的概率，∴甲第一局獲勝，第二局負(fù)的概率，甲第一局負(fù)的概率為，第二局獲勝的概率，∴甲第一局負(fù)，第二局獲勝的概率，∴甲勝、負(fù)各一次的概率為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用樹狀圖或列表法求概率，明確題意，準(zhǔn)確列出表格或畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．22．（1）①③（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)圖示統(tǒng)計(jì)可知①③正確，消費(fèi)者的眼鏡使用壽命集中在6個(gè)月~1年和1年~年；（2）根據(jù)圖示信息進(jìn)行判斷即可．【小問1詳解】①③．【小問2詳解】本題答案不唯一，如：①消費(fèi)者的眼鏡使用壽命集中在6個(gè)月~年，因?yàn)檫@個(gè)階段的條形圖明顯更長；②表中數(shù)據(jù)總和比樣本量N大得多，可見很多消費(fèi)者更換眼鏡是多種因素造成的．③因?yàn)樽詈笠恍兄校?6是最大數(shù)據(jù)，可見更換頻次在3年以上的消費(fèi)者更換眼鏡的主要原因是眼鏡損壞．【點(diǎn)睛】此題考查了統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是讀懂圖片提供的信息并根據(jù)信息進(jìn)行判斷．23．（1）甲、乙兩人之間的距離，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形進(jìn)行解答即可；（2）由，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【小問1詳解】解：由題意可知：表示甲、乙同學(xué)之間的距離；的實(shí)際長度，故答案為：甲、乙兩人之間的距離，；【小問2詳解】解：根據(jù)題意，得，，，分別是，對應(yīng)邊上的高，.，，，答：甲、乙同學(xué)之間的距離約為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題．24．（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①利用待定系數(shù)法解答，即可求解；②把二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式可得當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值為，再由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，y取得最小值，即可求解；（2）把點(diǎn)和代入，可得，再由，即可求解．【小問1詳解】解：①根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴，解得，∴所求表達(dá)式為；②∵，∵，∴當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值，∵，∴若，當(dāng)時(shí)，y取得最小值，最小值為，∴當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；【小問2詳解】解：把點(diǎn)和代入得：，解得：，∵該函數(shù)的圖象開口向上，∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇怡當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．25．（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）作的平分線交于點(diǎn)D，再過D點(diǎn)作垂線交于P點(diǎn)，然后以P點(diǎn)為圓心，為半徑作圓即可；（2）設(shè)切點(diǎn)為，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)推出，接著證明，再結(jié)合題目條件和兩個(gè)相似三角形的性質(zhì)即可求解．小問1詳解】如圖，即為所求作的圓【小問2詳解】設(shè)切點(diǎn)為，連接與直線相切于又又即的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，解決此類問題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解為基本作圖，逐步操作，也考查了切線的判定與性質(zhì)和相似三角形．26．（1）當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量為時(shí)，獲得的利潤最大，最大利潤為元（2）【解析】【分析】（1）設(shè)當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為時(shí)，獲得的利潤為元，根據(jù)利潤等于售價(jià)減去進(jìn)價(jià)乘以銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）設(shè)當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量為千克時(shí)，獲得的利潤為元，得出，該函數(shù)圖像的對稱軸為直線，由，分類討論即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為時(shí)，獲得的利潤