2.16 二元一次方程組（全章復(fù)習(xí)與鞏固）浙教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)學(xué)案

專題2.16二元一次方程組（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解二元一次方程組及其解的有關(guān)概念；2.掌握消元法（代入或加減消元法）解二元一次方程組的方法；3.理解和掌握方程組與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系以及方程組的解；4.掌握二元一次方程組在解決實(shí)際問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用；5.通過(guò)對(duì)二元一次方程組的應(yīng)用，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的理念.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二元一次方程組的相關(guān)概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個(gè)未知數(shù)（一般用和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.特別說(shuō)明：：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.特別說(shuō)明：：二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，一般要用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，即二元一次方程的解通常表示為的形式.3.二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.此外，組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù).例如，二元一次方程組.特別說(shuō)明：：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時(shí)為零）．（2）更一般地，如果兩個(gè)一次方程合起來(lái)共有兩個(gè)未知數(shù)，那么它們組成一個(gè)二元一次方程組．（3）符號(hào)“”表示同時(shí)滿足，相當(dāng)于“且”的意思．4.二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.特別說(shuō)明：：（1）方程組中每個(gè)未知數(shù)的值應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)方程，所以檢驗(yàn)是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個(gè)方程，若兩個(gè)方程同時(shí)成立，才是方程組的解，而方程組中某一個(gè)方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無(wú)解，而方程組的解有無(wú)數(shù)個(gè).要點(diǎn)二、二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程：①?gòu)姆匠探M中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個(gè)方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個(gè)關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解.特別說(shuō)明：：(1)用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程；(3)要善于分析方程的特點(diǎn)，尋找簡(jiǎn)便的解法.如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個(gè)整體用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示，代入另一個(gè)方程，或直接將某一方程代入另一個(gè)方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個(gè)方程相加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤將兩個(gè)未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.特別說(shuō)明：：當(dāng)方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí)，用加減消元法較簡(jiǎn)單.要點(diǎn)三、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組特別說(shuō)明：：（1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱；（3）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.要點(diǎn)四、三元一次方程組1．定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.等都是三元一次方程組.特別說(shuō)明：：理解三元一次方程組的定義時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）方程組中的每一個(gè)方程都是一次方程；（2）如果三個(gè)一元一次方程合起來(lái)共有三個(gè)未知數(shù)，它們就能組成一個(gè)三元一次方程組.2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)，最后再求出另一個(gè)未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程；（4）解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值；（5）將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫(xiě)在一起．特別說(shuō)明：：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時(shí)要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求比較簡(jiǎn)單的解法．（2）要檢驗(yàn)求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個(gè)方程中，看每個(gè)方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個(gè)方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．3.三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(gè)(或三個(gè))未知數(shù)；（2）找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；（3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；（5）寫(xiě)出答案(包括單位名稱)．特別說(shuō)明：：(1)解實(shí)際應(yīng)用題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．(3)一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個(gè)方程并組成方程組．【典型例題】類型一、二元一次方程（組）??方程（組）的解??參數(shù)1．已知關(guān)于，的二元一次方程，是不為零的常數(shù)．若是該方程的一個(gè)解，求的值；當(dāng)每取一個(gè)不為零的值時(shí)，都可得到一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，試求出這個(gè)公共解．【分析】（1）將方程的解代入方程中求解限可；（2）方法一：取k的兩個(gè)特殊值，得到二元一次方程組，解之即可；方法二：將原方程轉(zhuǎn)化為，根據(jù)當(dāng)每取一個(gè)不為零的值時(shí)所得方程都有一個(gè)公共解可得x+1=0，y-2=0，解之即可．（1）解：將代入方程得，解得；（2）解法一：任取兩個(gè)的值，不妨取，得到兩個(gè)方程并組成方程組，解得，即這個(gè)方程的公共解是；解法二：原方程可化為，當(dāng)時(shí)，無(wú)論取任何一個(gè)不為0的值時(shí)，都有，解得，，即這個(gè)方程的公共解是．【點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程的解，解題關(guān)鍵是理解什么是方程的解．舉一反三：【變式1】已知關(guān)于、的二元一次方程的解為和求、的值；求當(dāng)時(shí)的值.【分析】（1）將方程的解代入得到新的方程組解方程組即可得到答案；（2）根據(jù)（1）將代入即可得到答案．（1）解：由題意可得，，解得；（2）解：由（1）得，，將代入可得，．【點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程的解得問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是方程的解滿足方程代入左右兩邊相等．【變式2】已知方程組，由于甲看錯(cuò)了方程①中的a得到方程的解為，乙看錯(cuò)了方程②中的b得到方程組的解為，求a+b的值是多少？【分析】根據(jù)方程組解的定義，應(yīng)滿足方程②，應(yīng)滿足方程①，將它們分別代入方程②①，就可得到關(guān)于a，b的方程，解得a，b的值．解：根據(jù)題意是②方程的解，是①方程的解，∴，解得：，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二元一次方程組解的定義，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組解的定義．類型二、二元一次方程組??用適合的方法解二元一次方程組2．解方程組：； (2)．【分析】（1）方程組利用代入消元法求出解即可；（2）方程組利用加減消元法求出解即可．（1）解：，把②代入①得：，解得：，把代入②得：，則方程組的解為；（2）解：，①②得：，解得：，把代入①得：，則方程組的解為．【點(diǎn)撥】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．舉一反三：【變式1】解二元一次方程組． (2)【分析】（1）先整理方程組，用加減消元法解二元一次方程組即可；（2）用代入消元法解二元一次方程組即可．（1）解：整理得：，得，解得：，把代入解得：，所以方程組的解為；（2）解：由①得③把③代入②得：，解得：把代入①解得：，所以方程組的解為．【點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組的解法，利用消元思想，消元的方法為：代入消元法和加減消元法．【變式2】解方程組：．【分析】利用加減消元法求解．解：，，得，即，，得，即，聯(lián)立，解得．【點(diǎn)撥】本題考查加減消元法解二元一次方程組，根據(jù)所給方程特點(diǎn)，選擇合適的消元方法是解題的關(guān)鍵．類型三、二元一次方程組??整體消元法解二元一次方程組3．閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代入”的解法：解：由①得x﹣y＝1③將③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1把y＝﹣1代入③得x＝0，∴方程組的解為請(qǐng)你模仿小軍的“整體代入”法解方程組，解方程．【分析】按照閱讀材料提供的“整體代入”法把方程將①代入方程②，得到1+2y＝9，解得y＝4，再將y＝4代入①得：x＝7，得到原方程組的解為：．解：，將①代入②得：1+2y＝9，即y＝4，將y＝4代入①得：x＝7，∴原方程組的解為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了特殊法解二元一次方程組，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“整體代入”法，將一個(gè)代數(shù)式作為一個(gè)整體代入另一個(gè)方程．舉一反三：【變式1】甲、乙、丙在探討問(wèn)題“已知，滿足，且求的值．”的解題思路時(shí)，甲同學(xué)說(shuō)：“可以先解關(guān)于，的方程組再求的值．”乙、丙同學(xué)聽(tīng)了甲同學(xué)的說(shuō)法后，都認(rèn)為自己的解題思路比甲同學(xué)的簡(jiǎn)單，乙、丙同學(xué)的解題思路如下．乙同學(xué)：先將方程組中的兩個(gè)方程相加，再求的值；丙同學(xué)：先解方程組，再求的值．你最欣賞乙、丙哪位同學(xué)的解題思路？先根據(jù)你最欣賞的思路解答此題，再簡(jiǎn)要說(shuō)明你選擇這種思路的理由．【答案】我最欣賞乙同學(xué)的解法，，理由見(jiàn)分析【分析】我最欣賞乙同學(xué)的解法，根據(jù)乙的思路求出的值，分析簡(jiǎn)便的原因．解：我最欣賞乙同學(xué)的解法，，得：，整理得：，代入得：，解得：，這樣解題采用了整體代入的思想，利用簡(jiǎn)化運(yùn)算．【點(diǎn)撥】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，能觀察方程特點(diǎn)并運(yùn)用整體代入的方法是解題的關(guān)鍵．消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式2】（1）仔細(xì)閱讀下面解方程組的方法，并將解題過(guò)程補(bǔ)充完整：解方程組時(shí)，如果直接用代入消元或加減消元，計(jì)算會(huì)很繁瑣，若采用下面的解法，則會(huì)簡(jiǎn)單很多．解：①－②，得：，即③③×16，得：④②－④，得：________將x的值代入③得：________∴方程組的解是________；（2）請(qǐng)你采用上述方法解方程組：【分析】（1）根據(jù)題中解二元一次方程組的步驟解答即可；（2）仿照（1）的解答過(guò)程解答即可．（1）解：①－②，得：，即③③×16，得：④②－④，得：x=-1將x的值代入③得：y=2∴方程組的解是．故答案為：－1，2，．（2）①–②得：，即③③×2019得：④②－④得把代入③得∴原方程組的解是．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二元一次方程組的解法，靈活運(yùn)用加減消元法、代入消元法解方程組是解答本題的關(guān)鍵．類型四、二元一次方程組??解二元一次方程組??同解原理4．已知方程組和有相同的解,求m和n的值.【分析】根據(jù)兩個(gè)方程組解相同，可先由求出x、y的值，再將x和y的值代入得到m、n的二元一次方程組，解方程組求出m和n．解：∵方程組和有相同的解，∴與原兩方程組同解．由5y-x=3可得：x=5y-3，將x=5y-3代入3x-2y=4，則y=1．再將y=1代入x=5y-3，則x=2．將代入得：，將（1）×2-（2）得：n=-1，將n=-1代入（1）得：m=4．∴【點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組的解和解二元一次方程組，運(yùn)用代入法，得關(guān)于a和b的二元一次方程組，再解方程組求解．舉一反三：【變式1】已知關(guān)于x，y的方程組的解也是二元一次方程2x＋y＝－6的解，求m的值．【分析】由題意可知，解出x和y后再代入即可求解.解：依題意得方程組，用①加上②可得，5x=-35，解得x=-7，則y=-6-2×(-7)=8，即，將該解代入方程7x+9y=m,解得：m＝23.【點(diǎn)撥】本題考查了解二元一次方程組，理解同解的含義并重新組合方程組是解題關(guān)鍵.【變式2】已知關(guān)于x，y的方程組與有相同的解，求的值．【分析】先根據(jù)題意得到方程組，解方程組求出，進(jìn)而得到關(guān)于a、b的方程組，求出a、b的值即可得到答案．解：∵關(guān)于x，y的方程組與有相同的解，∴得，解得，把代入①得：，解得，∴方程組的解為，∴得，解得，把代入④得，解得，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了同解方程組，代數(shù)式求值，正確求出a、b的值是解題的關(guān)鍵．類型五、三元一次方程組??解三元一次方程組5．解方程組【分析】先用加減消元法消去z，變?yōu)殛P(guān)于x、y的二元一次方程組，解三元一次方程組即可．解：，②①，得：，③②，得：，解方程組，得：，將代入①，得：，解得：，∴原方程組的解為：．【點(diǎn)撥】本題考查了三元一次方程組的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用消元法把三元化為二元，再解二元一次方程組．舉一反三：【變式1】在等式中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)與時(shí)，y的值相等，求的值．【答案】37【分析】由當(dāng)與時(shí)，y的值相等，得出a和b的關(guān)系，再將x與y的2對(duì)值代入等式，得出關(guān)于a，b，c的方程組求解即可．解：∵當(dāng)與時(shí)，y的值相等，∴，即，把當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，代入等式得，①-②得：，即，將代入③得：，將代入①得：，∴，∴．【點(diǎn)撥】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式2】解方程組：【分析】利用消元法先把三元一次方程組變形為二元一次方程組，再解二元一次方程組即可得解．解：，得，把和④組成方程組得，解此二元一次方程組得，把，代入②得2×2+5×1-2z=11，解得z=?1，∴原方程組得解為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解三元一次方程組，把三元一次方程組通過(guò)消元法化為二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．類型六、二元一次方程組的應(yīng)用??列二（三）元一次方程組解應(yīng)用題6．某服裝店用5700元購(gòu)進(jìn)A，B兩種新式服裝，按標(biāo)價(jià)售出后可獲得毛利潤(rùn)3600元（毛利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)），這兩種服裝的進(jìn)價(jià)，標(biāo)價(jià)如表所示．類型價(jià)格A型B型進(jìn)價(jià)（元/件）60100標(biāo)價(jià)（元/件）100160請(qǐng)利用二元一次方程組求這兩種服裝各購(gòu)進(jìn)的件數(shù)；(2)如果A種服裝按標(biāo)價(jià)的9折出售，B種服裝按標(biāo)價(jià)的8折出售，那么這批服裝全部售完后，服裝店比按標(biāo)價(jià)出售少收入多少元？【答案】(1)購(gòu)進(jìn)A型服裝45件，購(gòu)進(jìn)B型服裝30件 (2)服裝店比按標(biāo)價(jià)出售少收入1410元【分析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型服裝x件，B型服裝y件，根據(jù)“某服裝店用5700元購(gòu)進(jìn)A，B兩種新式服裝，按標(biāo)價(jià)售出后可獲得毛利潤(rùn)3600元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）利用少收入的錢(qián)數(shù)=每件A型服裝少掙的錢(qián)數(shù)×銷售數(shù)量+每件B型服裝少掙的錢(qián)數(shù)×銷售數(shù)量，即可求出結(jié)論．解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種服裝x件，購(gòu)進(jìn)B種服裝y件，根據(jù)題意得：，解得：答：購(gòu)進(jìn)A型服裝45件，購(gòu)進(jìn)B型服裝30件；（2）=450+960（元）．答：服裝店比按標(biāo)價(jià)出售少收入1410元．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變