一元一次不等式（組）及其應(yīng)用（講義）（解析版）-中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國(guó)通用）

第第頁(yè)考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)不等式及不等式的基本性質(zhì)結(jié)合具體問(wèn)題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)中考數(shù)學(xué)中，一元一次不等式(組)的解法及應(yīng)用題時(shí)有考察.其中不等式性質(zhì)、解一元一次不等式(組)，通常是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.而不等式（組）相關(guān)的應(yīng)用題常會(huì)和其它考點(diǎn)(如二元一次方程組、二次函數(shù)等)結(jié)合考察，常以解答題形式出現(xiàn)，此時(shí)難度上升，需要小心應(yīng)對(duì).對(duì)于一元一次不等式（組）中含參數(shù)問(wèn)題，難度偏大，但是考察幾率并不大，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)在復(fù)習(xí)過(guò)程中扎實(shí)掌握．一元一次不等式能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集一元一次不等式組會(huì)用數(shù)軸確定兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集.不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.考點(diǎn)一不等式及不等式的基本性質(zhì)一、不等式的相關(guān)概念不等式的定義：用不等號(hào)“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集.不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示.解不等式的概念：求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式.二、不等式的性質(zhì)基本性質(zhì)1若a>b，則a±c>b±c若a<b，則a±c<b±c基本性質(zhì)2若a>b,c>0，則ac>bc（或ac基本性質(zhì)3若a>b,c<0，則ac<bc（或ac11.方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不等式表示的是不等關(guān)系.2.常見(jiàn)的不等號(hào)有：≠，>，≥，<，≤五種.3.用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號(hào)畫(huà)實(shí)心圓點(diǎn)，無(wú)等號(hào)畫(huà)空心圓點(diǎn).4.不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系：1）不等式的解是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的某個(gè)值.2）不等式的解集是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的所有的值.3）不等式的所有解組成了這個(gè)不等式的解集，不等式的解集中包括這個(gè)不等式的每一個(gè)解.5.在列不等式時(shí)，要注意抓住問(wèn)題中的一些關(guān)鍵詞語(yǔ)，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.同時(shí)要根據(jù)關(guān)鍵詞準(zhǔn)確地選用不等號(hào)．另外，對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題的提示還要注意結(jié)合實(shí)際．6.運(yùn)用不等式的性質(zhì)的注意事項(xiàng)：1）不等式兩邊都要參與運(yùn)算，并且是作同一種運(yùn)算．2）不等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子．3）不等式兩邊不能同時(shí)除以0，即0不能作除數(shù)或分母．4）運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行不等式變形時(shí),要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別,在乘(或除以)同一個(gè)數(shù)時(shí),必須先弄清楚這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),如果是負(fù)數(shù),不等號(hào)要改變方向.題型01不等式的概念及意義【例1】以下表達(dá)式：①4x+3y≤0；②a>3；③x2+xy；④a2+bA．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【提示】根據(jù)不等式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：a+b、a>3、x≠5是不等式，x2+xy和即不等式有3個(gè)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的定義，熟知用不等號(hào)連接的式子是不等式是解本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023湖里區(qū)模擬）某養(yǎng)生鈣奶飲料中的包裝瓶上標(biāo)注“每100克內(nèi)含鈣＞150毫克”，它的含義是指（）A．每100克內(nèi)含鈣150毫克B．每100克內(nèi)含鈣不低于150毫克C．每100克內(nèi)含鈣高于150毫克D．每100克內(nèi)含鈣不超過(guò)150毫克【答案】C【提示】“>”就是大于，在本題中也就是“高于”的意思．【詳解】解：根據(jù)>的含義，“每100克內(nèi)含鈣＞150毫克”，就是“每100克內(nèi)含鈣高于150毫克”，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等號(hào)的含義，是需要熟練記憶的內(nèi)容．題型02列不等式【例2】（2020·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下面列出的不等式中，正確的是（

）A．“m不是負(fù)數(shù)”表示為m>0 B．“m不大于5”表示為m<5C．“n與4的差是正數(shù)”表示為n?4>0 D．“n不等于4”表示為n>4【答案】C【提示】根據(jù)題意列出不等式即可判斷．【詳解】A、∵m不是負(fù)數(shù)，∴m≥0，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵m不大于5，∴m≤5，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵n與4的差是正數(shù)，∴n?4＞0，C選項(xiàng)正確；D、∵n不等于4，∴n＜4或n＞4，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由題目信息抽象出一元一次不等式，逐一提示四個(gè)選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考二模）烏鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超過(guò)3500米．若用x（米）表示烏鞘嶺主峰的海拔高度，則x滿足的關(guān)系為（

）A．x<3500 B．x≤3500 C．x≥3500 D．x>3500【答案】D【提示】根據(jù)題意列出不等式即可求解．【詳解】解：∵烏鞘嶺主主峰海拔超過(guò)3500米．∴x>3500，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的定義，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023南寧市模擬）a是非負(fù)數(shù)的表達(dá)式是（

）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)【答案】D【提示】非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和零，即大于等于零的數(shù)是非負(fù)數(shù)判斷即可．【詳解】∵a是非負(fù)數(shù)，∴a≥0，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略零而導(dǎo)致錯(cuò)誤．題型03取值是否滿足不等式【例3】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在?2,?2,1,?3四個(gè)數(shù)中，滿足不等式x<A．－2 B．－3 C．?2 【答案】B【提示】根據(jù)各數(shù)的大小即可做出判斷．【詳解】在?2,?2,1,?3四個(gè)數(shù)中，故滿足不等式x<?2故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式解集的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2021·四川南充·統(tǒng)考中考真題）滿足x?3的最大整數(shù)x是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【提示】逐項(xiàng)提示，求出滿足題意的最大整數(shù)即可．【詳解】A選項(xiàng)，1<3，但不是滿足x?3的最大整數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意，B選項(xiàng)，2<3，但不是滿足x?3的最大整數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意，C選項(xiàng)，3=3，滿足D選項(xiàng)，4>3，不滿足x?3，故該選項(xiàng)不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題較為簡(jiǎn)單，主要是對(duì)不等式的理解和最大整數(shù)的理解．【變式3-2】（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)x=4時(shí)，不等式成立的是（

）A．x+1<4 B．12x>2 C．2x+1<5 【答案】D【提示】將x=4分別代入四個(gè)選項(xiàng)中，看不等式是否成立即可．【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)x=4時(shí)，x+1=5>4，不符合題意；B選項(xiàng)：當(dāng)x=4時(shí)，12C選項(xiàng)：當(dāng)x=4時(shí)，2x+1=9>5，不符合題意；D選項(xiàng)：當(dāng)x=4時(shí)，3x?2=10>9，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．要判斷某個(gè)未知數(shù)的值是不是不等式的解可直接將該值代入不等式的左、右兩邊,看不等式是否成立,若成立,則是,否則不是.題型04利用不等式的性質(zhì)判斷式子正負(fù)【例4】（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如果x<?3，那么下列不等式成立的是（）A．x2>?3x B．x2≥?3x C．x2【答案】A【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：因?yàn)閤<?3，所以x2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式4-1】（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知a>b，則下列不等式變形不正確的是（

）A．a(chǎn)?2>b?2 B．?2a>?2b C．a(chǎn)+2>b+2 D．a(chǎn)【答案】B【提示】①不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變；②不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；③不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行提示即可．【詳解】解：A、a>b，不等式的性質(zhì)1，a?2>b?2，故A正確，不符合題意；B、a>b，不等式的性質(zhì)3，?2a<?2b，故B錯(cuò)誤，符合題意；C、a>b，不等式的性質(zhì)1，a+2>b+2，故C正確，不符合題意；D、a>b，不等式的性質(zhì)2，a2故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是要注意不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式4-2】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，且a?b>c?d，下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．若b=d，則a>c B．若a=c，則b>dC．若b>d，則a>c D．若a>c，則b>d【答案】A【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)提示判斷即可求解．【詳解】解：A.若b=d，a?b>c?d，則a>c，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

B.若a=c，a?b>c?d，則b<d，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.若b>d，則a>c不一定成立，例如a=2,c=1,2>1;b=2,d=1,b>d，則a?b=c?d，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.同C選項(xiàng)，可得，若a>c，則b>d不一定成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學(xué)?？既＃┰O(shè)x，y，c為實(shí)數(shù)，則（

）A．若x＞y，則x+3c>y?2c B．若xC．若x＞y，則xc2>y【答案】D【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算辨別即可．【詳解】解：若x＞y，x+5c>y不一定成立，即故選項(xiàng)A不符合題意；若x＞y，c=0時(shí)，故選項(xiàng)B不符合題意；若x＞y，c=0時(shí)，則故選項(xiàng)C不符合題意；若xc2>yc故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的變化正確選擇對(duì)應(yīng)的性質(zhì)．題型05根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸位置判斷式子正負(fù)【例5】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）實(shí)數(shù)a，A．?a?c>?b?c B．a(chǎn)c>bc C．a(chǎn)?b=a?b D．【答案】C【提示】借助數(shù)軸上實(shí)數(shù)的位置關(guān)系結(jié)合相反數(shù)和絕對(duì)值的知識(shí)點(diǎn)，判斷大小，逐一驗(yàn)證．【詳解】解：A．由圖知：a>b，那么?a<?b，B．由圖知：a>b，c<0，那么C．由圖知：a>b，那么a?b>0，D．由圖知：a>b，故選:C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，實(shí)數(shù)，絕對(duì)值，相反數(shù)的大小比較，注意符號(hào)的變化對(duì)數(shù)值的影響．【變式5-1】（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．a(chǎn)+b<0 B．b?a<0 C．?2a>?2b D．a(chǎn)【答案】C【提示】由數(shù)軸可得a<0<b，a<【詳解】解：∵a<0<b，a<∴a+b>0，∵a<b，∴?2a>故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小，有理數(shù)的加法與減法法則的應(yīng)用，絕對(duì)值的含義，不等式的性質(zhì)，掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．a(chǎn)+b<0 B．b?a<0 C．2a>2b D．a(chǎn)+2<b+2【答案】D【提示】依據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義，有理數(shù)大小的比較法則對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意得：a＜0＜b，且a＜b，∴a+b>0，∴A選項(xiàng)的結(jié)論不成立；b?a>0，∴B選項(xiàng)的結(jié)論不成立；2a<2b，∴C選項(xiàng)的結(jié)論不成立；a+2<b+2，∴D選項(xiàng)的結(jié)論成立．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，有理數(shù)大小的比較法則，利用點(diǎn)在數(shù)軸上的位置確定出a，b的取值范圍是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·福建福州·福建省福州延安中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，數(shù)軸上有O、A、B、C四點(diǎn)位置與各點(diǎn)所表示的數(shù)，若數(shù)軸上有一點(diǎn)D，D點(diǎn)所表示的數(shù)為d，d?5=d?c，則D點(diǎn)的位置（

A．在A的左邊 B．在A、C之間 C．在C、O之間 D．在O、B之間【答案】D【提示】結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，點(diǎn)B表示的數(shù)為5，點(diǎn)C表示的數(shù)為c，∵D點(diǎn)所表示的數(shù)為d，且d?5=∴根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義得：D點(diǎn)到B點(diǎn)的距離等于D點(diǎn)到C點(diǎn)的距離，∴D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，則D點(diǎn)表示的數(shù)d=c+5由題意，?5<c<0，則0<c+5∴0<d<52，即D點(diǎn)的位置在O、故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的幾何意義，以及不等式的性質(zhì)等，理解并熟練運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義是解題關(guān)鍵．【變式5-4】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）m，n在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，下列各式正確的是（

）

A．x<x?n<x?m B．x?n<x<x?mC．x?m<x?n<x D．x<x?m<x?n【答案】A【提示】數(shù)軸上右邊點(diǎn)表示的數(shù)比左邊點(diǎn)表示的數(shù)大，運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)求解．【詳解】如圖，m<n<0∴0<?n<?m∴x<x?n<x?m故選A．【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小、不等式的基本性質(zhì)；注意不等式兩邊同乘一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)反向．題型06利用不等式的性質(zhì)比較大小【例6】（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）數(shù)m，m+1，?m?2m>0的大小順序是（

A．?m?2<m<m+1 B．?m?2<m+1<mC．m<m+1<?m?2 D．m<?m?2<m+1【答案】A【提示】根據(jù)m＞【詳解】∵m∴?m∴?m?2∵m+1∴m+1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的比較大小，解題的關(guān)鍵在于通過(guò)m＞【變式6-1】（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知M=x2?2x+4，N=x2以下是小明的解答：∵M(jìn)=x?12+3≥3∴M≥N．小明的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答．【答案】有錯(cuò)；x>0時(shí)，M>N；x=0時(shí)，M=N；x<0時(shí)，M<N；【提示】先求出M與N的差，根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)M與N的差進(jìn)行分類討論即可求解．【詳解】解：有錯(cuò)，正確解答如下．∵M(jìn)=x2?2x+4∴M?N=x∴當(dāng)x>0時(shí)，2x>0，即M?N>0，此時(shí)M>N；當(dāng)x=0時(shí)，2x=0，即M?N=0，此時(shí)M=N；當(dāng)x<0時(shí)，2x<0，即M?N<0，此時(shí)M<N．∴x>0時(shí)，M>N；x=0時(shí)，M=N；x<0時(shí)，M<N．【點(diǎn)睛】本題考查作差法比較大小，不等式的性質(zhì)，正確應(yīng)用分類討論思想是解題關(guān)鍵．40．（2021·江蘇南京·南師附中樹(shù)人學(xué)校?？家荒＃╅喿x：（1）若a＜b，則2a﹣3＜2b﹣3，簡(jiǎn)述理由：小明的解法：∵a＜b，∴2a＜2b，（不等式性質(zhì)2：），∴2a﹣3＜2b﹣3，（不等式性質(zhì)1）．小亮的解法：令y＝2x﹣3，∵k＝2＞0，∴y隨x的增大而增大．∵a＜b，∴2a﹣3＜2b﹣3．小敏的解法：∵a＜b，觀察函數(shù)y＝2x﹣3的圖象可知，圖象上點(diǎn)（a，2a﹣3）在點(diǎn)（b，2b﹣3）的左邊，而圖象由左往右呈上升趨勢(shì)，∴2a﹣3＜2b﹣3．（2）若a＜b＜0，請(qǐng)用兩種不同的方法比較﹣2a與﹣2（3）若a＜b＜0，比較（a+2）2+1與（b+2）2+1的大小，簡(jiǎn)述理由．（4）若a＜b＜0，且a≠﹣2，b≠﹣2，直接寫(xiě)出﹣2a+12a+4與﹣2b+1【答案】（1）不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；（2）見(jiàn)解析，?2a<2b；（3）見(jiàn)解析；（4）當(dāng)-2<a＜b＜0和a＜b＜-2時(shí)，﹣2a+12a+4>﹣2b+12b+4；當(dāng)【提示】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)回答即可；（2）方法一：利用作差法比較；方法二：利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較；（4）利用作差法比較即可．【詳解】解：（1）不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；（2）方法1：?＝2(a?b)ab∵a＜b＜0，∴ab＞0，a﹣b＜0，∴2(a﹣b)＜0，∴2(a?b)ab∴?2方法2：令y＝?2∵k＝﹣2＜0，∴在第二象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．∵a＜b＜0，∴?2（3）令y＝(x+2)2+1，則該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x＝﹣2且開(kāi)口向上．∴當(dāng)x＜﹣2時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x＞﹣2時(shí)，y隨著x增大而增大．∵a＜b＜0，∴當(dāng)a＜b＜﹣2時(shí)，(a+2)2+1＞(b+2)2+1；當(dāng)﹣2＜a＜b＜0時(shí)，(a+2)2+1＜(b+2)2+1；當(dāng)a<-2<b<0且|a+2|＜|b+2|時(shí)，(a+2)2+1＜(b+2)2+1．（4）﹣2a+12a+4-(﹣2b+12b+4)=∵a＜b＜0，∴b-a>0，當(dāng)-2<a＜b＜0時(shí)，∵a+2>0，b+2>0，∴﹣2a+12a+4>﹣2b+1當(dāng)a＜-2<b＜0時(shí)，∵a+2<0，b+2>0，∴﹣2a+12a+4<﹣2b+1當(dāng)a＜b＜-2時(shí)，∵a+2<0，b+2<0，∴﹣2a+12a+4>﹣2b+1綜上可知，當(dāng)-2<a＜b＜0和a＜b＜-2時(shí)，﹣2a+12a+4>﹣2b+12b+4；當(dāng)a＜-2<b＜0時(shí)，﹣2a+12a+4【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，分式的加減，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，作差法比較代數(shù)式的大小，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可知比較兩個(gè)數(shù)或式子的大小可以通過(guò)求它們的差來(lái)判斷．如果兩個(gè)數(shù)或式子分別為m和n，若m-n>0，則m>n；若m-n=0，則m=n；若m-n<0，則m<n.題型07利用不等式的性質(zhì)證明（不）等式【例7】（2022·江蘇南京·南師附中樹(shù)人學(xué)校?？级＃└鶕?jù)不等式的性質(zhì)：若x?y＞0，則x＞y；若x?y＜0，則【答案】見(jiàn)解析【提示】先求出n?1n?n?2n?1=1n(n?1)，根據(jù)n【詳解】證明：n?1==∵n＜∴n?1＜∴nn?1∴n?1n【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式加減運(yùn)算的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式加減運(yùn)算法則．【變式7-1】（2019上·江西贛州·九年級(jí)?？计谥校W(xué)以致用：?jiǎn)栴}1：怎樣用長(zhǎng)為12cm的鐵絲圍成一個(gè)面積最大的矩形？小學(xué)時(shí)我們就知道結(jié)論：圍成正方形時(shí)面積最大，即圍成邊長(zhǎng)為3cm的正方形時(shí)面積最大為9cm思考驗(yàn)證：?jiǎn)栴}2：怎樣用鐵絲圍一個(gè)面積為9m小明猜測(cè)：圍成正方形時(shí)周長(zhǎng)最?。疄榱苏f(shuō)明其中的道理，小明翻閱書(shū)籍，找到下面的材料：結(jié)論：在a+b?2ab(a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b?2p，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，a+ba+b?2ab(a,b對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵(a?b)2∴a+b?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b解決問(wèn)題：（1）若x>0，則x+4x?（當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取“=（2）運(yùn)用上述結(jié)論證明小明對(duì)問(wèn)題2的猜測(cè)；（3）當(dāng)x>?1時(shí)，求y=x【答案】（1）4，2；（2）見(jiàn)解析；（3）2【提示】（1）根據(jù)題意，由a+b?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b（2）設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為x、y，由題意得xy=9，再根據(jù)公式證明當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值，進(jìn)而得結(jié)論；（3）把y=x2+3【詳解】解：（1）∵x>0，∴4x∴當(dāng)x=4x時(shí)，即∴x+4x?2故答案為4；2．（2）設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為xm、ym，由題意得xy=9，則x+y?2xy，即x+y?6當(dāng)x=y=3時(shí)，x+y取最小值為6，此時(shí)矩形的周長(zhǎng)最小為：2(x+y)=12；∵x=y時(shí)，矩形變?yōu)檎叫?，∴鐵絲圍一個(gè)面積為9m（3）y=x∵x>?1，∴x+1>0，4x+1∴y?2(x+1)·4x+1∴當(dāng)x+1=4x+1時(shí)，即y取最小值為：2．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)閱讀材料題，主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題意，弄清解答的理論依據(jù)，學(xué)會(huì)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行拓展應(yīng)用，難度較大，第（3）題關(guān)鍵是把求出函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)恰當(dāng)?shù)恼龑?shí)數(shù)的和形式，才能應(yīng)用公式．【變式7-2】（2022·山東日照·日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)?？级＃?002年國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)是公園3世紀(jì)中四數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理繪制的弦圖（如圖1），該圖蘊(yùn)含著豐富的不等關(guān)系，例如，正方形的面積大于4個(gè)直角三角形的面積之和…設(shè)直角三角形的邊長(zhǎng)為a，b，則S正方形>4SRT△，當(dāng)a=b時(shí)，中間小正方形收縮為一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)正方形的面積每于4個(gè)直角三角形的面積之和，即a2綜上所述，a2+b使用上述結(jié)論，“a2+b(1)證明：“若a，b為正實(shí)數(shù)，則a+b≥2ab．當(dāng)且僅當(dāng)a=b(2)a，b均為實(shí)數(shù)，若ab為定值4，則a+b有最小值________；若a+b為定值6，則ab有最大值_________．(3)請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象（圖2）研究y=x+1x中函數(shù)值(4)如圖3，已知P是反比例函數(shù)y=1x(x>0)圖象上任意一動(dòng)點(diǎn)，O(0,0)，A(?1,a)，其中a是常數(shù)，a>0，試求S【答案】(1)見(jiàn)解析(2)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，a+b的最小值為4，當(dāng)a<0，(3)y≥2或y≤?2(4)a【提示】（1）利用a2+b（2）利用（1）中的結(jié)論求解即可；（3）分當(dāng)x>0時(shí)，x+1x≥2x?1（4）如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于B，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，1x，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0），點(diǎn)B【詳解】（1）解：∵a2+b∴a2∴a+b≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b（2）解：若ab為定值4時(shí)，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，∵a+b≥2ab∴a+b≥4，∴此時(shí)a+b的最小值為4，當(dāng)a<0，b<0時(shí)，∵∴?a+b∴a+b≤?4，∴此時(shí)a+b沒(méi)有最小值；若a+b為定值6，則a，b不可能都小于0，因此要使ab值最大，只需要討論當(dāng)當(dāng)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，∵a+b≥2ab∴2ab∴ab≤9，∴ab的最大值為9；（3）解：當(dāng)x>0時(shí)，x+1x≥2當(dāng)x<0時(shí)，?x+1?x∴y≥2或y≤?2；（4）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于B，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，1x，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x∴AB=a，BC=x+1，PC=1x,OC=x，∴S==1∵ax+1∴S△POA∴S△POA的最小面積為【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，不等式的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠正確讀懂題意．【變式7-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）將a克糖放入水中，得到b克糖水，此時(shí)糖水的濃度為ab(1)再往杯中加入mm>0(2)請(qǐng)證明（1）中的數(shù)學(xué)關(guān)系式；(3)在△ABC中，三條邊的長(zhǎng)度分別為a,b,c，證明：ab+c【答案】(1)a+m(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【提示】（1）根據(jù)濃度公式代入以及變甜了判斷所得分式大小即可；（2）利用作差法，并化簡(jiǎn)通過(guò)判斷結(jié)果的正負(fù)即可；（3）利用三角形的三邊關(guān)系得到a+b>c，b+c>a，c+a>b，即ab+c<1，bc+a【詳解】（1）解：由題意得：加入m克糖后糖水濃度為：a+mb+m由糖水變甜可知：a+mb+m故答案為：a+m（2）解：利用作差法比較大?。篴+mb+m∵m>0，b>a>0，∴b?a>0，b+m>0，即mb?a∴a+mb+m?a（3）解：在△ABC中，a+b>c，b+c>a，c+a>b，且a＞∴ab+c<1，bc+a由糖水不等式得，ab+c<a+ab+c+a，∴ab+c∴ab+c【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的運(yùn)算及大小比較，理解不等式并能夠利用糖水不等式以及三角形三邊關(guān)系證明ab+c題型08利用不等式的性質(zhì)確定參數(shù)的取值范圍【例8】（2023·重慶·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？级＃┤鬭=35?2，則a的取值范圍是（A．2<a<3 B．3<a<4 C．4<a<5 D．5<a<6【答案】C【提示】根據(jù)35=45，得出6<3【詳解】解：∵35∴6<35∴6?2<35?2<7?2，即故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的運(yùn)算法則，得出35【變式8-1】（2023路南區(qū)二模）若x<y，且a?3x?a?3y，則a的取值范圍是（

A．a(chǎn)>3 B．a(chǎn)<3 C．a(chǎn)?3 D．a(chǎn)?3【答案】D【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)3，可得a?3≤0，即可求解【詳解】解：x<y，且a?3x?∴a?3≤0即a≤3故選D【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)3，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式8-2】（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)?？既＃┮阎P(guān)于x的不等式a+2x<1的解集為x>1a+2，則a【答案】a<?2【提示】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，由不等式a+2x<1的解集為x>1a+2，可得：a+2<0【詳解】解：∵不等式a+2x<1的解集為∴a+2<0∴a的取值范圍為：a<?2故答案為：a<?2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了不等式的解集，不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵【變式8-3】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)x，y，a滿足x+3y+a=4，x?y?3a=0．若?1≤a≤1，t=x+y，那么t的取值范圍是．【答案】1【提示】把a(bǔ)當(dāng)作參數(shù)，聯(lián)立方程組求出x，y的值，然后用x表示出t=x+y，利用不等式的性質(zhì)求解．【詳解】聯(lián)立方程組x+3y+a=4①x?y?3a=0②，將a∵?1≤a≤1，∴t=x+y=a+2，可得：1≤t≤故答案為：1≤t≤【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)和解二元一次方程組，解題時(shí)要把a(bǔ)當(dāng)作參數(shù)，聯(lián)立方程組求出x，y的值，然后利用不等式的性質(zhì)求解．題型09不等式性質(zhì)的應(yīng)用【例9】（2023·河北保定·?？家荒＃┮阎獙?shí)數(shù)a，b，c滿足a+2b=3c，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．a(chǎn)?b=3c?b B．C．若a>b，則a>c>b D．若a>c，則b?a>【答案】D【提示】通過(guò)等式的性質(zhì)得a?b=3c?b和a?c2=c?b可判斷A和B正確；由題目條件判斷b<c，a>c，可判斷C正確；結(jié)合B和A推出a?c【詳解】解：∵a+2b=3c，∴a+2b?3b=3c?3b，即a?b=3c?b∵a+2b=3c，∴a+2b?2b+c=3c?2b+c∴a?c2若a>b，∵a+2b=3c，∴a?a+2b>b?3c，即∴?3b>?3c，∴b<c，∵a>b，∴2a>2b，∵3c=a+2b，∴2a?3c>2b?a+2b整理得a>c，∴a>c>b，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；由B知a?c2∵a>c，∴a?c2>0，∴c?b>0，∴b<c，由A知a?b=3c?b∴a?b>0，即b?a<0，∵a+2b=3c，即2b=3c?a，∴b?a?c?a∴b?a<c?a故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，正確記憶等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)并正確變形做出判斷是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2023武威縣模擬）若x+y=3，x≥0，y≥0，則2x+3y的最小值為（

）A．0 B．3 C．6 D．9【答案】C【提示】把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2x+3y=6?2y+3y=6+y，利用不等式的性質(zhì)解決最值問(wèn)題．【詳解】解：∵x+y=3，∴x=3?y，∴2x+3y=6?2y+3y=6+y，∵x≥0，∴3?y≥0，即y≤3，∵y≥0∴0≤y≤3，∴6≤y+6≤9，即6≤2x+3y≤9，∴y=0時(shí)，2x+3y的值最小，最小值為6．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查代入消元法、不等式的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023德陽(yáng)市一模）實(shí)數(shù)a、b、c滿足a＞b且ac＜bc，它們?cè)跀?shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)，先判斷c的正負(fù)．再確定符合條件的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的大致位置．【詳解】解：因?yàn)閍＞b且ac＜bc，所以c＜0．選項(xiàng)A符合a＞b，c＜0條件，故滿足條件的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置可以是A．選項(xiàng)B不滿足a＞b，選項(xiàng)C、D不滿足c＜0，故滿足條件的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置不可以是B、C、D．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的位置和不等式的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷c的正負(fù)．考點(diǎn)二一元一次不等式一元一次不等式的概念:不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式：ax+b<0或ax+b>0a≠0步驟具體做法依據(jù)注意事項(xiàng)去分母在不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)不等式性質(zhì)2、31）不要漏乘不含分母的項(xiàng)；2）當(dāng)分母中含有小數(shù)時(shí)，先將小數(shù)化成整數(shù)，再去分母.3）如果分子是多項(xiàng)式，去分母后要加括號(hào).去括號(hào)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)分配律去括號(hào)法則1)去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前的數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng);2)括號(hào)前面是負(fù)數(shù)時(shí),去掉括號(hào)后,括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào)；3）括號(hào)前面是正數(shù)時(shí),去掉括號(hào)后,括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都不變號(hào).移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式左邊，其它項(xiàng)都移到不等式右邊不等式性質(zhì)11）移項(xiàng)時(shí)不要漏項(xiàng);2）將不等式中的項(xiàng)從一邊移到另一邊要變號(hào).而在不等式同一邊改變項(xiàng)的位置時(shí)不變號(hào).合并同類項(xiàng)把不等式變?yōu)閍x<b或合并同類項(xiàng)法則1）不要漏項(xiàng)；2）系數(shù)的符號(hào)處理要得當(dāng).系數(shù)化為1將不等式兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a，得到不等式的解不等式性質(zhì)2、31)不等式兩邊都除以未知數(shù)系數(shù);2)當(dāng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向發(fā)生改變.11.一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是1.2.進(jìn)行“去分母”和“系數(shù)化為1”時(shí)，要根據(jù)不等號(hào)兩邊同乘以（或除以）的數(shù)的正負(fù)，決定是否改變不等號(hào)的方向，若不能確定該數(shù)的正負(fù)，則要分正、負(fù)兩種情況討論．3.在解一元一次不等式時(shí),上述的五個(gè)步驟不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的順序,要根據(jù)不等式的形式靈活安排求解步驟.題型01判斷一元一次不等式【例1】（2021·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：?3<0，a+b，x=3，x2+2xy+y2，x≠5，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【提示】一元一次不等式的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不為0，左右兩邊為整式的不等式；根據(jù)一元一次不等式的定義，對(duì)各個(gè)表達(dá)式逐一提示，即可得出答案．【詳解】-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；a+b是整式，不是一元一次不等式；x=3是方程，不是一元一次不等式；x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；x≠5是一元一次不等式；x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；∴是一元一次不等式的有1個(gè)故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次不等式的定義，從而完成求解．【變式1-1】（2021·陜西·九年級(jí)專題練習(xí)）下列各式中，是一元一次不等式的有（

）個(gè)．①a?3＜2；②?x?1x＞3；③x?y＜0；④A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【提示】根據(jù)一元一次不等式的定義，只要含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式就是一元一次不等式．【詳解】是一元一次不等式的是①和⑤，∴一元一次不等式個(gè)數(shù)為2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)且最高次數(shù)為1，還要注意未知數(shù)的系數(shù)不能是0．題型02根據(jù)一元一次不等式求參數(shù)值【例2】已知23（m+4）x|m|–3+6＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為（

A．4 B．±4 C．3 D．±3【答案】A【提示】根據(jù)一元一次不等式的定義，|m|﹣3=1，m+4≠0，分別進(jìn)行求解即可．【詳解】根據(jù)題意得：|m|﹣3=1，m+4≠0，解得：|m|=4，m≠﹣4，∴m=4．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義中的未知數(shù)的最高次數(shù)為1次，本題還要注意未知數(shù)的系數(shù)不能是0．【變式2-1】若m?1xm?3>0是關(guān)于x的一元一次不等式，則mA．0 B．1 C．?1 D．±1【答案】C【提示】根據(jù)一元一次不等式的定義得到m?1≠0,m=1，即可求出【詳解】解：∵m?1xm?3>0∴m?1≠0,m解得m=-1，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式的定義，熟記一元一次不等式的定義并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】若(k?1)xk+3≥0是關(guān)于x的一元一次不等式，則k【答案】?1【提示】根據(jù)一元一次不等式的定義可得k=1且k?1≠0【詳解】解：∵(k?1)xk+3≥0∴k=1且k?1≠0，解得：k=?1故答案為：?1．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式定義的“未知數(shù)的最高次數(shù)為1次”這一條件；還要注意，未知數(shù)的系數(shù)不能是0，掌握一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵．題型03求一元一次不等式解集【例3】（2023·湖南長(zhǎng)沙·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列變形中正確的是（

）A．由?2x<1，得x<?12 B．由2x+1>3x?1C．由2x+1>x?1，得x>2 D．由x+2<2x?2，得x【答案】D【提示】求出一元一次不等式的解集，逐項(xiàng)提示判斷即可求解．【詳解】解：A.由?2x<1，得x>?1B.由2x+1>3x?1，得x<2，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.由2x+1>x?1，得x>?2，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.由x+2<2x?2，得x>4故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法，注意不等式兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向發(fā)生改變，是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）不等式x?32≥1的解集為【答案】x≥5【提示】根據(jù)解一元一次不等式的步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得答案．【詳解】解：x?32去分母，得x-3≥2，移項(xiàng)，得x≥2+3，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1，得，x≥5，故答案為：x≥5．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵掌握解一元一次不等式的方法步驟．【變式3-2】（2022·安徽宣城·統(tǒng)考一模）解不等式：2x?3<x+1【答案】x<2【提示】根據(jù)一元一次不等式的解法即可得．【詳解】解：2x?3<x+1去分母，得32x?3去括號(hào)，得6x?9<x+1，移項(xiàng)，得6x?x<1+9，合并同類項(xiàng)，得5x<10，系數(shù)化為1，得x<2，故不等式的解集為x<2．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解題關(guān)鍵．題型04利用數(shù)軸表示一元一次不等式解集【例4】（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）不等式3x＋1＜2x的解在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【提示】先解不等式，得到不等式的解集，再在數(shù)軸上表示即可．【詳解】解：3x＋1＜2x解得：x<?1,在數(shù)軸上表示其解集如下：故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式的解法，在數(shù)軸上表示不等式的解集，掌握“小于向左拐”是解本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023下·重慶渝中·九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）不等式x?1≥2x的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A．B．C． D．【答案】B【提示】先移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，求出不等式的解集，即可求解．【詳解】解：x?1≥2x，移項(xiàng)得：x?2x≥1，合并同類項(xiàng)得：?x≥1，解得：x≤?1，把不等式的解集在數(shù)軸上表示為：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式和在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題關(guān)鍵是抓住不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)大于或大于等于向右畫(huà)；小于或小于等于向左畫(huà)；注意在表示解集時(shí)大于等于，小于等于要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；大于、小于要用空心圓點(diǎn)表示．【變式4-2】（2021·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)不等式的解在數(shù)軸上表示如圖，則這個(gè)不等式可以是（

）A．x+2>0 B．x?2<0 C．2x≥4 D．2?x<0【答案】B【提示】逐項(xiàng)解不等式，選擇符合題意的一項(xiàng)．【詳解】圖中數(shù)軸表示的解集是x<2．A選項(xiàng)，解不等式得x>-2，故該選項(xiàng)不符合題意，B選項(xiàng)，解不等式得x<2，故該選項(xiàng)符合題意，C選項(xiàng)，解不等式得x≥2，故該選項(xiàng)不符合題意，D選項(xiàng)，解不等式得x>2，故該選項(xiàng)不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式解集的表示方法和解簡(jiǎn)單的一元一次不等式．根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式，主要是要細(xì)心．【變式4-3】（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）解不等式x?13【答案】x≤1，在數(shù)軸上表示解集見(jiàn)解析【提示】通過(guò)去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，系數(shù)化為1求得x≤1，在數(shù)軸上表示解集即可．【詳解】解：x?1去分母，得2x?1去括號(hào)，得2x?2≥3x?9+6，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得?x≥?1，系數(shù)化為1，得x≤1，在數(shù)軸上表示解集如圖：【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式及在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題的關(guān)鍵是正確的解一元一次不等式，解集為“≤”時(shí)要用實(shí)心點(diǎn)表示．題型05一元一次不等式整數(shù)解問(wèn)題【例5】（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）整式313?m(1)當(dāng)m＝2時(shí)，求P的值；(2)若P的取值范圍如圖所示，求m的負(fù)整數(shù)值．【答案】(1)?5(2)?2,?1【提示】（1）將m＝2代入代數(shù)式求解即可，（2）根據(jù)題意P≤7，根據(jù)不等式，然后求不等式的負(fù)整數(shù)解．【詳解】（1）解：∵P=3當(dāng)m=2時(shí)，P=3×=3×=?5；（2）∵P=313?m即31∴1解得m≥?2，∴m的負(fù)整數(shù)值為?2,?1．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，解不等式，求不等式的整數(shù)解，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022下·廣東江門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）求一元一次不等式1?8+x【答案】?2【提示】求出不等式的解集，可得結(jié)論．【詳解】去分母，得6?2（去括號(hào)，得6?16?2x≤3x，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得?5x≤10，系數(shù)化為1，得x≥?2，∴負(fù)整數(shù)解為?2，【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的解法．【變式5-2】（2023·陜西咸陽(yáng)·校考二模）解不等式：9x+86【答案】x≥?2，最小整數(shù)解是?2【提示】根據(jù)解一元一次不等式的方法，可以求得該不等式的解集，然后寫(xiě)出最小整數(shù)解即可．【詳解】解：9x+86去分母，得：9x+8?2x≥?6，移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得：7x≥?14，系數(shù)化為1，得：x≥?2，∴該不等式的最小整數(shù)解是?2．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．【變式5-3】（2022·廣東深圳·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？寄M預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：(12?x?1)÷x2【答案】原式=?x+2x?1，當(dāng)x=3【提示】先算括號(hào)內(nèi)的減法，把除法變成乘法，計(jì)算乘法，然后求出不等式的正整數(shù)解，結(jié)合分式有意義的條件確定x的值，再代入求出答案即可．【詳解】解：原式===?∵2x?1<6，∴x<7∵x為正整數(shù)，∴x=1或2或3，根據(jù)分式有意義的條件，x≠1且x≠2，∴x=3，當(dāng)x=3時(shí)，原式=?3+2【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解、分式化簡(jiǎn)求值等知識(shí)點(diǎn)，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．與一元一次不等式的特殊解有關(guān)的解題方法：類型一求一元一次不等式特殊解的方法解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵：正確求出不等式的解集，再根據(jù)題目要求求出其特殊解．可以借助數(shù)軸進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，得到需要的值，進(jìn)而非常容易的解決問(wèn)題．類型二已知一元一次不等式解集（整數(shù)解）求字母的取值．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)作常數(shù)看待解不等式，再根據(jù)題目中的限制條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．題型06根據(jù)含參數(shù)不等式解集的情況求參數(shù)的取值范圍【例6】（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的不等式x?b≥0恰有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解，則b的取值范圍是（

）A．?3<b<?2 B．?3<b≤?2 C．?3≤b≤?2 D．?3≤b<?2【答案】B【提示】首先解不等式，然后根據(jù)條件即可確定b的值．【詳解】解：∵x?b≥0，∴x≥b，∵不等式x?b≥0恰有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解，∴?3<b≤?2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的整數(shù)解問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸提示，其次解題時(shí)必須理解題意，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．【變式6-1】（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式x+m<1只有3個(gè)正整數(shù)解，則m的取值范圍是．【答案】?3≤m<?2【提示】首先解關(guān)于x的不等式，然后根據(jù)x只有3個(gè)正整數(shù)解，來(lái)確定關(guān)于m的不等式組的取值范圍，再進(jìn)行求解即可．【詳解】解：解不等式x+m<1，得：x<1?m，由題意x只有3個(gè)正整數(shù)解，則分別為：1，2，3，故：{1?m>3解得：?3≤m<?2，故答案是：?3≤m<?2．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于x不等式的正整數(shù)解及解一元一次不等式組的解集問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)關(guān)于x不等式的正整數(shù)解的情況來(lái)確定關(guān)于m的不等式組的取值范圍，其過(guò)程需要熟練掌解不等式的步驟．【變式6-2】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的一元一次不等式x?2<n+3有且只有5個(gè)正整數(shù)解，則n的取值范圍是．【答案】0<n≤1【提示】先解不等式x?2<n+3，從而可得x<5+n，然后根據(jù)題意可得5<n+5≤6，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵x?2<n+3，∴x<2+n+3，∴x<5+n，∵關(guān)于x的一元一次不等式x?2<n+3有且只有5個(gè)正整數(shù)解，∴5<n+5≤6，∴0<n≤1，故答案為：0<n≤1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的不等式x+t≥2x?3恰有3個(gè)正整數(shù)解，則t的取值范圍是．【答案】0≤t<1【提示】根據(jù)已知不等式恰有3個(gè)正整數(shù)解，確定出t的范圍即可．【詳解】解：∵x+t≥2x?3，∴x≤t+3，∵關(guān)于x的不等式x+t≥2x?3恰有3個(gè)正整數(shù)解，∴3≤t+3<4，解得：0≤t<1．故答案為：0≤t<1．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．【變式6-4】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）已知x=3是關(guān)于x的不等式3x?ax+12【答案】a>3且a≠【提示】先根據(jù)不等式3x?ax+12<4x【詳解】3x?ax+化簡(jiǎn)得10?3ax<3當(dāng)10?3a>0，即a<103時(shí)，又x=3是關(guān)于x的不等式3x?ax+則3<310?3a，解得即此時(shí)3<a<10當(dāng)10?3a<0，即a>103時(shí)，又x=3是關(guān)于x的不等式3x?ax+則3>310?3a，解得即此時(shí)a>10當(dāng)10?3a=0，即a=10由10?3ax<3就變成了一個(gè)不含x故a≠10綜上得：a>3且a≠10故a的取值范圍是a>3且a≠10【點(diǎn)睛】本題考查了求解不等式的知識(shí)，注意分類討論是解答本題的關(guān)鍵．題型07與一元一次不等式有關(guān)的新定義問(wèn)題【例7】（2022下·廣西·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b都有a⊕b=aa?b+1，如：2⊕5=22?5A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【提示】根據(jù)新定義列出關(guān)于x的一元一次不等式，解不等式可得．【詳解】解：根據(jù)題意，原不等式轉(zhuǎn)化為：4(4?x)+1≥2，去括號(hào)，得：16?4x+1≥2，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：?4x≥?15，系數(shù)化為1，得：x≤15正整數(shù)解有3個(gè)，為1，2，3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變．【變式7-1】（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于a、b定義a★b=1a?b2，已知分式方程x★?1=xA．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)>1 C．a(chǎn)<3 D．a(chǎn)>3【答案】D【提示】根據(jù)新定義的含義，轉(zhuǎn)化為分式方程，按照解分式方程的步驟求出x的值，把x的值代入不等式中，解不等式即可．【詳解】解：根據(jù)新定義可得，1x??12去分母得：3=?x，解得x=?3，經(jīng)檢驗(yàn)x=?3是分式方程的解，把x=?3代入不等式可得，?32?a解得a>3．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式，關(guān)鍵是理解新定義，并正確運(yùn)算．【變式7-2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）定義運(yùn)算“a☆b”為：當(dāng)a≥b時(shí)，a☆b=a+b；當(dāng)a<b時(shí)，a☆b=a?b．例如：1☆(?2)=1+(?2)=?1，A．m>2 B．m>5 C．2<m<5 D．m<2或m>5【答案】A【提示】根據(jù)定義新運(yùn)算的運(yùn)算法則，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：當(dāng)3m?1≥m+1,即m≥1時(shí)，3m?1☆m+1=3m?1+m+1=4m>8當(dāng)3m?1<m+1，即m<1時(shí)，3m?1☆m+1=3m?1?m?1=2m?2>8綜上所示，m>2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，不等式的綜合，掌握定義新運(yùn)算的運(yùn)算法則，不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023海港區(qū)一模）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b（a≠0）都有a*b=ba﹣a+b，等式右邊是通常的加、減、除運(yùn)算，比如2*1=12﹣2+1=﹣（1）求4*5的值：（2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范圍，并在如圖所示的數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】（1）94；（2）x≤【詳解】試題提示：（1）根據(jù)題中定義求出所求式子的值即可；（2）根據(jù)題中的新定義所求的不等式，解不等式即可．試題解析：（1）根據(jù)題意得：4*5=54﹣4+5=9（2）根據(jù)題意得：x+22﹣x+（x+2）≤4，解得：x≤2，在數(shù)軸上表示為：．【變式7-4】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）定義一種新的運(yùn)算※，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a和b，規(guī)定a※b=ab2+ab+a(1)求5※?2(2)若m?2※2>14，求【答案】(1)15(2)m>【提示】（1）根據(jù)題中的新定義，代入數(shù)據(jù)，根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題中的新定義，得原式=5×?2（2）已知不等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，得m?2整理，得7m>14+72解得m>2【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次不等式，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．題型08含絕對(duì)值的一元一次不等式【例8】（2020·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”；數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法.例如，代數(shù)式x?2的幾何意義是數(shù)軸上x(chóng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因?yàn)閤+1=x??1，所以x+1的幾何意義就是數(shù)軸上x(chóng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與⑴.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：代數(shù)式x+1+⑵.探究問(wèn)題：如圖，點(diǎn)A,B,P分別表示的是?1,?????2,?????∵x+1+x?2的幾何意義是線段PA與∴當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，PA+PB=3;當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)PA+PB>3∴x+1+⑶.解決問(wèn)題：①.x?4+x+2的最小值是②.利用上述思想方法解不等式：x+3③.當(dāng)a為何值時(shí)，代數(shù)式x+a+【答案】①6；②x<?3或x>1；③a=?1或a=?5【提示】(3)①根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，變成數(shù)軸上的點(diǎn)到-2的距離和到4的距離之和的最小值；②根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，確定出所求不等式的解集即可；③根據(jù)原式的最小值為2，得到3左邊和右邊，且到3距離為2的點(diǎn)即可．【詳解】解：(3)①設(shè)A表示的數(shù)為4，B表示的數(shù)為-2，P表示的數(shù)為x，∴|x?4|表示數(shù)軸上的點(diǎn)P到4的距離，用線段PA表示，|x+2|=|x?(?2)|表示數(shù)軸上的點(diǎn)P到-2的距離，用線段PB表示，∴|x?4|+|x+2|的幾何意義表示為PA+PB，當(dāng)P在線段AB上時(shí)取得最小值為AB，且線段AB的長(zhǎng)度為6，∴|x?4|+|x+2|的最小值為6.故答案為：6.②設(shè)A表示-3，B表示1，P表示x，∴線段AB的長(zhǎng)度為4，則，|x+3|+|x?1|的幾何意義表示為PA+PB，∴不等式的幾何意義是PA+PB＞AB，∴P不能在線段AB上，應(yīng)該在A的左側(cè)或者B的右側(cè)，即不等式的解集為x<?3或x>1．故答案為：x<?3或x>1．③設(shè)A表示-a，B表示3，P表示x，則線段AB的長(zhǎng)度為|?a?3|，|x+a|+|x?3|的幾何意義表示為PA+PB，當(dāng)P在線段AB上時(shí)PA+PB取得最小值，∴|?a?3|=2∴a+3=2或a+3=?2，即a=?1或a=?5；故答案為：a=?1或a=?5.【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式，數(shù)軸，絕對(duì)值，以及數(shù)學(xué)常識(shí)，掌握絕對(duì)值的幾何意義，學(xué)會(huì)分類討論是解決本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（1）【閱讀理解】“a”的幾何意義是：數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以“a≥2”可理解為：數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于2①“a<2”可理解為②請(qǐng)列舉兩個(gè)符號(hào)不同的整數(shù)，使不等式“|a|>2”成立，列舉的a的值為和．我們定義：形如“|x|≤m，|x|≥m，|x|<m，|x|>m”（m為非負(fù)數(shù)）的不等式叫做絕對(duì)值不等式，能使一個(gè)絕對(duì)值不等式成立的所有未知數(shù)的值稱為絕對(duì)值不等式的解集．（2）【理解應(yīng)用】根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可以解一些絕對(duì)值不等式．由上圖可以得出：絕對(duì)值不等式x>1的解集是x<?1或x>1絕對(duì)值不等式x≤3的解集是?3≤x≤3①不等式x≥4的解集是②不等式|12x|<2（3）【拓展應(yīng)用】解不等式x+1+【答案】（1）①數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于2；②?3；3；（2）①x≤?4或x≥4；②?4<x<4；（3）x<?1或x>3，見(jiàn)解析．【提示】（1）①類比題目所給的信息即可解答；②寫(xiě)出符合題意的兩個(gè)整數(shù)即可（答案不唯一）；（2）①類比題目中的解題方法即可解答；②類比題目中的解題方法即可解答；（3）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，不等式x+1+x?3>4的解集，就是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示?1與3的點(diǎn)的距離之大于4的所有x【詳解】（1）①由題意可得，“a<2”可理解為數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于2故答案為：數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于2；②∵|a|>2令|a|=3，∴a=±3使不等式“|a|>2”成立的整數(shù)為?3，3，故答案為：?3，3．（2）①由題意可知，不等式x≥4的解集是x≤?4或x≥4故答案為：x≤?4或x≥4；②由題意可知，不等式|1?2<即?4<x<4，故答案為：?4<x<4；（3）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，不等式x+1+x?3>4的解集就是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)，到表示?1與3的點(diǎn)的距離之和大于4如下圖所示，可知不等式x+1+x?3>4的解集是x<?1【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．【變式8-2】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a?b|．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是；(2)數(shù)軸上表示x和?2的兩點(diǎn)之間的距離表示為；(3)若x表示一個(gè)有理數(shù)，且?3<x<1，則x?1+x+3＝(4)若x表示一個(gè)有理數(shù)，且x?1+x+3＞4，則有理數(shù)x的取值范圍是【答案】(1)3(2)|x+2|(3)4(4)x<?3或x>1【提示】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離公式直接計(jì)算解答即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離公式直接計(jì)算解答即可；（3）由?3<x<1結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)可得|x?1|+|x+3|=1?x+x+3，進(jìn)而合并同類項(xiàng)即可；（4）分別根據(jù)x>1、x<?3、?3<x<1結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)解|x?1|+|x+3|>4，解答即可．【詳解】（1）解：∵2和5的兩點(diǎn)之間的距離=|5?2|=3，∴數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是3．故答案為：3；（2）解：∵x和?2的兩點(diǎn)之間的距離為：|x?(?2)|=|x+2|，∴數(shù)軸上表示x和?2的兩點(diǎn)之間的距離表示為：|x+2|．故答案為：|x+2|；（3）解：∵?3<x<1，∴|x?1|+|x+3|=1?x+x+3=4．故答案為：4；（4）解：當(dāng)x>1時(shí)，原式=x?1+x+3=2x+2>4，解得，x>1，當(dāng)x<?3時(shí)，原式=?x+1?x?3=?2x?2>4，解得，x<?3，當(dāng)?3<x<1時(shí)，原式=?x+1+x+3=4，不符合題意，故舍去，∴有理數(shù)x的取值范圍是：x>1或x<?3．故答案為：x>1或x<?3．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值，兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是明確|x?1|+|x+3|的幾何意義．題型09不等式與方程組綜合求參數(shù)的取值范圍【例9】（2023·湖南衡陽(yáng)·?？级＃┮阎P(guān)于x的方程2x+4=m?x的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（

）A．m≤43 B．m≥43 C．【答案】D【提示】解方程得x=m?43，由解為非負(fù)數(shù)知【詳解】解：解方程2x+4=m?x得x=m?4由題意知m?43解得m≥4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變．【變式9-1】（2023泗水縣一模）如果關(guān)于x的方程2x+mx?1=1的解是非負(fù)數(shù)，那么m的取值范圍是（A．m≤?1 B．m≥?1 C．m≤?1且m≠?2 D．m≥?1且m≠0【答案】C【提示】先求出該方程的解為x=?1?m，再根據(jù)解為非負(fù)數(shù)和x?1≠0可得?1?m≥0和?1?m≠1，即可求解．【詳解】解：2x+mx?12x+m=x?1，x=?1?m，∵關(guān)于x的方程2x+mx?1∴?1?m≥0，解得m≤?1，∵x?1≠0，∴x≠1，即?1?m≠1，解得m≠?2，綜上：m的取值范圍是m≤?1且m≠?2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程和不等式，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法和步驟，以及分式的分母不為0．.【變式9-2】（2022·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？家荒＃┤舨坏仁?x+2≤4x?1的最小整數(shù)解是方程23x?13mx=1【答案】m=1【提示】解出一元一次不等式的解，求出x的最小整數(shù)值，然后將x的最小整數(shù)值代入方程求解即可．【詳解】解：由3x+2≤4x?1，解得x≥3，∴x的最小整數(shù)值為x=∵x=3是方程∴23解得m=1，∴m的值為1．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解．解題的關(guān)鍵在于找出x的最小整數(shù)值．考點(diǎn)三一元一次不等式組一元一次不等式組的概念：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組．一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．不等式組解集的確定有兩種方法：1）數(shù)軸法：在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分，這個(gè)公共部分就是不等式組的解集.2）口訣法：大大取大，小小取小，大小、小大中間找，大大、小小取不了．解一元一次不等式組的一般步驟：求出不等式組中各不等式的解集.將各不等式的解決在數(shù)軸上表示出來(lái).1.在求不等式組的解集的過(guò)程中，通常是利用數(shù)軸來(lái)表示不等式組的解集的.1.在求不等式組的解集的過(guò)程中，通常是利用數(shù)軸來(lái)表示不等式組的解集的.2.利用數(shù)軸表示不等式組解集時(shí)，要把幾個(gè)不等式的解集都表示出來(lái)，不能僅畫(huà)公共部分.題型01一元一次不等式組定義【例1】（2020·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列各式不是一元一次不等式組的是（

）A．{x?1>3x?3<2 B．{a?1<0b+2>0 C．【答案】B【提示】根據(jù)一元一次不等式的定義判斷即可得到結(jié)果；【詳解】符合一元一次不等式組的定義，故A是；因?yàn)橛衋、b兩個(gè)未知數(shù)，故B不是；符合一元一次不等式組的定義，故C是；符合一元一次不等式組的定義，故D是；故答案選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的定義，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】下列不等式組：①x>?2x<3，②x>0x+2>4，③x2+1<xx2+2>4A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【提示】根據(jù)一元一次不等式組的定義，含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的不等式，不等式中的未知數(shù)相同，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，對(duì)各選項(xiàng)判斷再計(jì)算個(gè)數(shù)即可【詳解】根據(jù)一元一次不等式組的定義，①②④都只含有一個(gè)未知數(shù)，所含未知數(shù)相同，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，所以都是一元一次不等式組．③含有一個(gè)未知數(shù)，但是未知數(shù)的最高次數(shù)是2；⑤含有兩個(gè)未知數(shù)，所以③⑤不是一元一次不等式組故選B【點(diǎn)睛】此題主要考查一元一次不等式組的定義題型02解不等式組【例2】（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）一元一次不等式組x?1≥0x<2的解集為（

A． B．C． D．【答案】D【提示】解出不等式組的解集，再把不等式的解集在數(shù)軸表示出來(lái)即可求解．【詳解】解：不等式x?1≥0，移項(xiàng)得：x≥1，∴不等式組的解集為：1≤x<2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了求不等式組的解集并在數(shù)軸上表示解集，根據(jù)不等式的解集，利用找不等式組的解集的規(guī)律的出解集是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：2+x>7?4x,【答案】1<x<4【提示】分別解兩個(gè)一元一次不等式，再求交集即可．【詳解】解：2+x>7?4x解不等式①得x>1，解不等式②得x<4，故所給不等式組的解集為：1<x<4．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組，屬于基礎(chǔ)題，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）解不等式組3x?1【答案】x≤1，圖見(jiàn)解析【提示】先分別求出不等式組中每一個(gè)不等式解集，再求出其公共解集即可求解，然后把解集用數(shù)軸表示出來(lái)即可．【詳解】解：解①得：x≤1，解②得：x<6，∴x≤1，解集在數(shù)軸上表示為：【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組：求解出兩個(gè)不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中間，小于小的大于大的無(wú)解”確定不等式組的解集．也考查了用數(shù)軸表示不等式的解集．題型03求不等式組整數(shù)解【例3】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：2x?1【答案】?1≤x<4，不等式組的正整數(shù)解為：1，2，3【提示】分別求出每個(gè)不等式的解集，進(jìn)而求出不等式組的解集，再求出不等式組的正整數(shù)解即可．【詳解】解：解不等式2x?1≥?4得解不等式3x?62<x?1得∴不等式組的解集為：?1≤x<4．∴不等式組的正整數(shù)解為：1，2，3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，求不等式組的整數(shù)解，正確求出每個(gè)不等式的解集，進(jìn)而求出不等式組的解集是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：x?12【答案】1≤x<3，整數(shù)解為1，2【提示】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，進(jìn)而確定出整數(shù)解即可．【詳解】解不等式①，得x<3，解不等式②，得x≥1，在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集原不等式組的解集是1≤x<3，∴整數(shù)解為1，2．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·上海楊浦·校考一模）先化簡(jiǎn)，再求值：2x2+x÷（1﹣x?1x2【答案】2x2，當(dāng)x【提示】由題意先把分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出不等式組的整數(shù)解，根據(jù)分式有意義的條件選出合適的x值，進(jìn)而代入求解即可．【詳解】解：原式=2x由2x?1<x+15x+3≥2x∴該不等式組的整數(shù)解為：-1、0、1、2，當(dāng)x=-1，0，1時(shí)，分式無(wú)意義，∴x=2，∴把x=2代入得：原式=22【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的運(yùn)算及一元一次不等式組的解法，要注意分式的分母不能為0．【變式3-3】（2023太原五中二模）解不等式組：3x+6?5(x?2)x?5【答案】?3<x?8，6【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集，即可求出答案．【詳解】解：3x+6?5x?2由①得：x?8，由②得：x>?3，∴不等式組的解集為?3<x?8，∴x的最小整數(shù)為?2，最大整數(shù)為8，∴x的最小整數(shù)解與最大整數(shù)解的和為6．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的解集求出不等式組的解集．題型04由不等式組整數(shù)解求字母取值范圍【例4】（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）不等式組x<mx≥3有4個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是（

A．6≤m≤7 B．6<m<7 C．6≤m<7 D．6<m≤7【答案】D【提示】首先解不等式組，利用m表示出不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組只有4個(gè)整數(shù)解即可求得m的范圍．【詳解】解∶∵x<mx≥3∴3≤x<m，∵不等式組有4個(gè)整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解是3，4，5，6，∴6<m≤7．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查不等式組的整數(shù)解，求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小無(wú)解了．【變式4-1】（2022·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的不等式組?13x>23A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【提示】分別對(duì)兩個(gè)不等式進(jìn)行求解，得到不等式組的解集為1<x<a，根據(jù)不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解的條件計(jì)算出a的最大值．【詳解】解不等式?1?1∴23∴x>1，解不等式12得12∴x<a，∴?13x>∵不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解應(yīng)為：2，3，4，∴4<a≤5,∴a的最大值應(yīng)為5故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式組的相關(guān)知識(shí)．【變式4-2】（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組x?a>0,7?2x>5僅有3個(gè)整數(shù)解，則A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2【答案】D【提示】先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集，即可解答．【詳解】解：x?a由①得，x>a由②得，x<1因不等式組有3個(gè)整數(shù)解∴a<x<1∴?3≤a<?2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的不等式組2x+5>03x?k<4只有3個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)kA．?4 B．?3 C．?2 D．?1【答案】A【提示】表示出不等式組的解集，由不等式組的解集中只有3個(gè)整數(shù)解，確定出k的范圍即可求解．【詳解】解：解2x+5>0得x>?2.5，解3x?k<4得x<k+4∵不等式組只有3個(gè)整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解為?2，?1，0，∴0<k+4解得：?4<k≤?1，∴整數(shù)k=?3,?2,?1，不能為?4，故選；A．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2023·黑龍江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的一元一次不等式組2x?a<03x?9>0只有2個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是【答案】10<a≤12/12≥a>10【提示】先解不等式組，再根據(jù)該不等式組有且僅有2個(gè)整數(shù)解判斷a的取值范圍．【詳解】解：解不等式組2x?a<03x?9>0，得3<x<又∵該不等式組有且僅有2個(gè)整數(shù)解，∴該不等式組的兩個(gè)整數(shù)解為4或5，∴5<a解得10<a≤12．故答案為：10<a≤12．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，根據(jù)不等式組的整數(shù)解求參數(shù)的取值范圍，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型05由不等式組的解集求參數(shù)【例5】（2023菏澤市三模）若不等式組x+13<x2?1A．m≤2 B．m<2 C．m≥2 D．m>2【答案】A【提示】求出第一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小找不到可得關(guān)于m的不等式，解之可得．【詳解】解不等式x+13<x∵不等式組無(wú)解，∴4m≤8，解得m≤2，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組2x?1＜3x?a<0的解集為x<2，則a的取值范圍是【答案】a≥2【提示】先求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)已知不等式組的解集即可得出答案．【詳解】解：2x?1＜解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x＜∵關(guān)于x的不等式組2x?1＜3x?a<0∴a≥2．故答案為：a≥2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡(jiǎn)便求法就是用口訣求解，求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）．【變式5-2】（2023扎蘭屯市三模）若不等式組x+8<4x?1x>m的解集為x＞3，則m的取值范圍【答案】m≤3【提示】先將每一個(gè)不等式解出，然后根據(jù)不等式的解集是x＞3求出m的范圍．【詳解】解：解不等式x＋8＜4x?1，得：x＞3，∵不等式組的解集為x＞3，∴m≤3，故答案為：m≤3．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則．【變式5-3】（2023·江蘇連云港·校考二模）關(guān)于x、y的方程組2x?y=2a+7x+y=4a?4的解滿足x>0，y<0，求實(shí)數(shù)a【答案】?【提示】先解二元一次方程程組，根據(jù)題意列出不等式組，解不等式組即可求解．【詳解】解：2x?y=2a+7①+②，得3x=6a+3