新版高中數學人教A版選修2-3習題第一章計數原理1.1

011.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理課時過關·能力提升基礎鞏固1.某一數學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明,有5名同學只會用綜合法證明,有3名同學只會用分析法證明,現從這些同學中任選1名同學證明這個問題,不同的選法種數為()A.8 B.15 C.18 D.30解析:共有5+3=8種不同的選法.答案:A2.(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2+c3)完全展開后的項數為()A.9 B.12 C.18 D.24解析:由分步乘法計數原理得,完全展開后的項數為2×2×3=12.答案:B3.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,不同的種植方法有()A.24種 B.18種 C.12種 D.6種解析:種植黃瓜有3種不同的種法,其余兩塊地從余下的3種蔬菜中選2種種植有3×2=6種不同種法.由分步乘法原理知共有3×6=18種不同的種植方法.故選B.答案:B4.如圖,一條電路從A處到B處接通時,可構成線路的條數為()A.8 B.6 C.5 D.3解析:從A處到B處的電路接通可分兩步,第一步:前一個并聯電路接通有2條線路,第二步:后一個并聯電路接通有3條線路;由分步乘法計數原理知電路從A處到B處接通時,可構成線路的條數為3×2=6,故選B.答案:B5.已知直線方程Ax+By=0,若從0,1,2,3,5,7這6個數字中每次取兩個不同的數作為A,B的值,則可表示出的不同直線的條數為()A.19 B.20 C.21 D.22解析:當A或B中有一個為零時,則可表示出2條不同的直線;當AB≠0時,A有5種選法,B有4種選法,則可表示出5×4=20條不同的直線.由分類加法計數原理知,共可表示出20+2=22條不同的直線.答案:D6.將4位老師分配到3個學校去任教,共有分配方案()A.81種 B.12種 C.7種 D.256種解析:每位老師都有3種分配方案,分四步完成,故共有3×3×3×3=81種.答案:A7.五名護士上班前將外衣放在護士站,下班后回護士站取外衣,由于燈光暗淡,只有兩人拿到了自己的外衣,另外三人拿到別人外衣的情況有()A.60種 B.40種 C.20種 D.10種解析:設五名護士分別為A,B,C,D,E.其中兩人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10種情況,假設A,B兩人拿到自己的外衣,則C,D,E三人不能拿到自己的外衣,則只有C取D,D取E,E取C,或C取E,D取C,E取D兩種情況.故根據分步乘法計數原理,應有10×2=20種情況.答案:C8.若在登錄某網站時彈出一個4位的驗證碼:XXXX(如2a8t),第一位和第三位分別為0到9這10個數字中的一個,第二位和第四位分別為a到z這26個英文字母中的一個,則這樣的驗證碼共有.

解析:要完成這件事可分四步:第一步,確定驗證碼的第一位,共有10種方法;第二步,確定驗證碼的第二位,共有26種方法;第三步,確定驗證碼的第三位,共有10種方法;第四步,確定驗證碼的第四位,共有26種方法.由分步乘法計數原理可得,這樣的驗證碼共有10×26×10×26=67600個.答案:67600個9.如圖,小圓圈表示網絡的結點,結點之間的連線表示它們有網絡聯系,連線上標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量,現從結點A向結點B傳遞信息,信息可以分開沿不同路線同時傳遞,則單位時間內傳遞的最大信息量為.

解析:由題圖可知,從A到B有4種不同的傳遞路線,各路線上單位時間內通過的最大信息量自上而下分別為3,4,6,6,由分類加法計數原理得,單位時間內傳遞的最大信息量為3+4+6+6=19.答案:1910.三人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經過4次傳遞后,毽子又被傳給甲,則共有種不同的傳遞方法.

解析:分兩類:第一類,若甲先傳給乙,則有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳法;同理,第二類,甲先傳給丙,也有3種不同的傳法.共有6種不同的傳遞方法.答案:611.小張正在玩“開心農場”游戲,他計劃從倉庫里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡蘿卜這5種種子中選出4種分別種植在四塊不同的空地上(一塊空地只能種植一種作物),若小張已決定在第一塊空地上種茄子或辣椒,則不同的種植方案共有種.

解析:當第一塊地種茄子時,有4×3×2=24種不同的種法;當第一塊地種辣椒時,有4×3×2=24種不同的種法,故共有48種不同的種植方案.答案:4812.有一項活動,需從3位老師、8名男同學和5名女同學中選人參加.(1)若只需1人參加,有多少種不同的選法?(2)若需老師、男同學、女同學各1人參加,有多少種不同的選法?(3)若需1位老師、1名同學參加,有多少種不同的選法?解:(1)選1人,可分三類:第一類,從老師中選1人,有3種不同的選法;第二類,從男同學中選1人,有8種不同的選法;第三類,從女同學中選1人,有5種不同的選法.共有3+8+5=16種不同的選法.(2)選老師、男同學、女同學各1人,則分3步進行:第一步,選老師,有3種不同的選法;第二步,選男同學,有8種不同的選法;第三步,選女同學,有5種不同的選法.共有3×8×5=120種不同的選法.(3)選1位老師、1名同學,可分兩步進行:第一步,選老師,有3種不同的選法;第二步,選同學,有8+5=13種不同的選法.共有3×13=39種不同的選法.13.用n種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙),要求在①,②,③,④四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色.(1)若n=6,為甲著色時共有多少種不同方法?(2)若為乙著色時共有120種不同方法,求n.解:完成著色這件事,共分四個步驟,可依次考慮為①,②,③,④著色時各自的方法數,再由分步乘法計數原理確定總的著色方法數.(1)為①著色有6種方法,為②著色有5種方法,為③著色有4種方法,為④著色也有4種方法.所以共有著色方法6×5×4×4=480種.(2)與(1)的區(qū)別在于與④相鄰的區(qū)域由兩塊變成了三塊,同理,不同的著色方法數是n(n1)(n2)(n3),由n(n1)(n2)(n3)=120,所以(n23n)(n23n+2)120=0.即(n23n)2+2(n23n)12×10=0.所以n23n10=0,所以n=5.能力提升1.某校舉辦了一次教師演講比賽,參賽的語文老師有20人,數學老師有8人,英語老師有4人,從中評選出一個冠軍,則可能的結果種數為()A.12 B.28 C.32 D.640解析:由分類加法計數原理得,冠軍可能的結果種數為4+8+20=32.答案:C2.某人有3個不同的電子郵箱,他要發(fā)5封電子郵件,不同發(fā)送方法的種數為()A.8 B.15 C.35 D.53解析:每封電子郵件都有3種不同的發(fā)送方法,共有35種不同的發(fā)送方法.答案:C3.從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作,若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作,則選派方案共有()A.280種 B.240種 C.180種 D.96種解析:由于甲、乙不能從事翻譯工作,因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人,有4種選法.后面三項工作的選法有5×4×3種,因此共有4×5×4×3=240種,故選B.答案:B4.用0,1,2,3,4,5六個數字組成無重復數字的四位數,比3542大的四位數的個數是()A.360 B.240 C.120 D.60解析:因為3542是能排出的四位數中千位為3的最大的數,所以比3542大的四位數的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120個比3542大的四位數.答案:C5.如果一條直線與一個平面平行,那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”.在一個長方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數是()A.60 B.48 C.36 D.24解析:長方體的6個表面構成的“平行線面組”有6×6=36個,另含4個頂點的6個面(非表面)構成的“平行線面組”有6×2=12個,共36+12=48個,故選B.答案:B6.如圖,一環(huán)形花壇被分成A,B,C,D四個區(qū)域,現有4種不同的花可供選種,要求在每個區(qū)域里種1種花,且相鄰的2個區(qū)域種不同的花,則不同種法的種數為()A.96 B.84 C.60 D.48解析:當A,C區(qū)域種同樣的花時,A,C區(qū)域有4種種法,B區(qū)域有3種種法,D區(qū)域有3種種法;當A,C區(qū)域種不同的花時,A區(qū)域有4種種法,C區(qū)域有3種種法,B區(qū)域有2種種法,D區(qū)域有2種種法.故一共有4×3×3+4×3×2×2=84種不同的種法.答案:B7.圓周上有2n(n大于2)個等分點,任取3點可得一個三角形,恰為直角三角形的個數為.

解析:先在圓周上找一點,因為有2n個等分點,所以應有n條直徑,不經過該點的直徑應有(n1)條,這(n1)條直徑都可以與該點形成直角三角形,一個點可以形成(n1)個直角三角形,而這樣的點有2n個,所以一共有2n(n1)個符合題意的直角三角形.答案:2n(n1)★8.如圖,某學校要用鮮花布置花圃中A,B,C,D,E五個不同區(qū)域,要求同一區(qū)域上用一種顏色的鮮花,相鄰區(qū)域使用不同顏色的鮮花,現有紅、黃、藍、白、紫五種不同顏色的鮮花可供任意選擇.(1)當A,D區(qū)域同時用紅色鮮花時,求布置花圃的不同方法的種數;(2)求恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花的概率.解:(1)當A,D區(qū)域同時用紅色鮮花時,其他區(qū)域不能用紅色,布置花圃的不同方法有4×3×3=36種.(2)設M表示事件“恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花”,當區(qū)域A,D同色時,共有5×4×3×1×3=180種;當區(qū)域A,D不同色時,共有5×4×3×2×2=240種;因此,所有基本事件總數為180+240=420種.又當A,D為紅色時,共有4×3×3=36種;當B,E為紅色時,共有4×3×3=36種;因此,事件M包含的基本事件有36+36=72種.綜上,恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花的概率P(M)=72★9.用0,1,…,9這十個數字,可以組成多少個滿足下列條件的數?(1)三位整數;(2)無重復數字的三位整數;(3)小于500的無重復數字的三位整數;(4)小于100的無重復數字的自然數.解:由于0不能放到首位,可以單獨考慮.(1)百位上有9種選擇,十位和個位各有10種選法.由分步乘法計數原理知,適合題意的三位數的個數是9×10×10=900.(2)由于數字不可重復,可知百位數字有9種選擇,十位數字也有9種選擇,但個位數字僅