2021新高考物理選擇性考試B方案一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第4章第4講萬有引力與宇宙航行

第4講萬有引力與宇宙航行主干梳理對點激活知識點開普勒行星運動定律Ⅰ1．定律內(nèi)容開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是eq\x(\s\up1(01))橢圓，太陽處在橢圓的一個eq\x(\s\up1(02))焦點上。開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間掃過相等的eq\x(\s\up1(03))面積。開普勒第三定律：所有行星的軌道的eq\x(\s\up1(04))半長軸的三次方跟它的eq\x(\s\up1(05))公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，即eq\x(\s\up1(06))eq\f(a3,T2)＝k。2．適用條件：適用于宇宙中一切環(huán)繞同一中心天體的運動。知識點萬有引力定律及應(yīng)用Ⅱ1．內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小與eq\x(\s\up1(01))兩物體的質(zhì)量的乘積成正比，與eq\x(\s\up1(02))兩物體間距離的二次方成反比。2．公式：F＝eq\x(\s\up1(03))Geq\f(m1m2,r2)，其中G為萬有引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，其值由卡文迪許通過扭秤實驗測得。公式中的r是兩個物體之間的eq\x(\s\up1(04))距離。3．適用條件：適用于兩個eq\x(\s\up1(05))質(zhì)點或均勻球體；r為兩質(zhì)點或均勻球體球心間的距離。知識點環(huán)繞速度Ⅱ1．第一宇宙速度又叫eq\x(\s\up1(01))環(huán)繞速度，其數(shù)值為eq\x(\s\up1(02))7.9km/s。2．第一宇宙速度是人造衛(wèi)星在eq\x(\s\up1(03))地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動時具有的速度。3．第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小eq\x(\s\up1(04))發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星的最大eq\x(\s\up1(05))環(huán)繞速度。4．第一宇宙速度的計算方法(1)由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\x(\s\up1(06))eq\r(\f(GM,R))；(2)由mg＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\x(\s\up1(07))eq\r(gR)。知識點第二宇宙速度和第三宇宙速度Ⅰ1．第二宇宙速度(脫離速度)使物體掙脫eq\x(\s\up1(01))地球引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為eq\x(\s\up1(02))11.2km/s。2．第三宇宙速度(逃逸速度)使物體掙脫eq\x(\s\up1(03))太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為eq\x(\s\up1(04))16.7km/s。知識點牛頓力學(xué)的局限性與相對論時空觀Ⅰ1．牛頓力學(xué)的局限性(1)牛頓力學(xué)的成就牛頓運動定律和萬有引力定律在eq\x(\s\up1(01))宏觀、eq\x(\s\up1(02))低速、eq\x(\s\up1(03))弱引力的廣闊領(lǐng)域，包括天體力學(xué)的研究中，經(jīng)受了實踐的檢驗，取得了巨大的成就。(2)牛頓力學(xué)的局限性①牛頓力學(xué)即經(jīng)典力學(xué)，它只適用于eq\x(\s\up1(04))宏觀、eq\x(\s\up1(05))低速運動的物體，不適用于eq\x(\s\up1(06))微觀和eq\x(\s\up1(07))高速運動的物體。②eq\x(\s\up1(08))相對論能夠很好地描述物體在以接近光速運動時所遵從的規(guī)律，eq\x(\s\up1(09))量子力學(xué)能夠很好地描述微觀粒子運動的規(guī)律。2．相對論時空觀(1)狹義相對論的兩個基本假設(shè)①狹義相對性原理：在不同的慣性參考系中，一切物理規(guī)律都是eq\x(\s\up1(10))相同的。②光速不變原理：真空中的光速在不同的慣性參考系中都是eq\x(\s\up1(11))相同的。(2)狹義相對論的幾個結(jié)論①同時的相對性在某一慣性參考系中同時發(fā)生的兩個事件，在另一個相對該慣性系做勻速運動的慣性系中觀測時eq\x(\s\up1(12))不一定同時，其結(jié)果是沿運動方向靠前的事件先發(fā)生。②長度的相對性(尺縮效應(yīng))沿桿方向與桿有相對運動的觀測者所測得的桿的長度l比相對桿靜止的觀測者所測得的桿的長度l0要小，具體關(guān)系為eq\x(\s\up1(13))l＝l0eq\r(1－\f(v2,c2))。③時間間隔的相對性(時間延緩效應(yīng))設(shè)Δτ表示相對事件發(fā)生地靜止的慣性系中觀測的兩事件的時間間隔，則相對事件發(fā)生地以v高速運動的參考系中觀察同樣兩事件的時間間隔Δt比Δτ長，它們的關(guān)系是eq\x(\s\up1(14))Δt＝eq\f(Δτ,\r(1－\f(v2,c2)))。(3)廣義相對論的基本原理①廣義相對性原理：在任何參考系中，物理規(guī)律都是相同的。②等效原理：一個不受引力作用的加速系統(tǒng)跟一個受引力作用的慣性系統(tǒng)是等效的。(4)支持廣義相對論的幾個觀測結(jié)果①光線在引力場中偏轉(zhuǎn)，而不是沿直線傳播。②在引力作用下光波發(fā)生頻移(或引力“紅移”和“藍移”)：從引力勢能低處發(fā)出的光在引力勢能高處接收到時光的頻率變低，發(fā)生“紅移”；相反，從引力勢能高處發(fā)出的光，在引力勢能低處接收到時光的頻率變高，發(fā)生“藍移”。③引力場中的時間延緩：在引力場中時間會延緩，時鐘走得慢。④水星近日點的進動：天文觀測顯示，行星的軌道并不是嚴(yán)格閉合的，它們的近日點(或遠(yuǎn)日點)有進動(行星繞太陽一周后，橢圓軌道長軸也隨之有一點轉(zhuǎn)動，叫做“進動”)，這個效應(yīng)以離太陽最近的水星最為顯著。廣義相對論解釋了牛頓萬有引力理論無法解釋的水星軌道每百年43″的進動附加值。一堵點疏通1．只有天體之間才存在萬有引力。()2．行星在橢圓軌道上的運行速率是變化的，離太陽越遠(yuǎn)，運行速率越小。()3．人造地球衛(wèi)星繞地球運動，其軌道平面一定過地心。()4．地球同步衛(wèi)星一定在赤道的正上方。()5．同步衛(wèi)星的運行速度一定小于地球第一宇宙速度。()6．發(fā)射火星探測器的速度必須大于11.2km/s。()7．牛頓力學(xué)只適用于宏觀、低速運動的物體，相對論只適用于微觀、高速運動的粒子。()答案1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.×二對點激活1．關(guān)于萬有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)，以下說法中正確的是()A．公式只適用于星球之間的引力計算，不適用于質(zhì)量較小的物體B．當(dāng)兩物體間的距離趨近于0時，萬有引力趨近于無窮大C．兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律D．公式中引力常量G的值是牛頓規(guī)定的答案C解析萬有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)適用于質(zhì)點或均勻球體間引力的計算，當(dāng)兩物體間距離趨近于0時，兩個物體就不能看做質(zhì)點，故F＝Geq\f(m1m2,r2)已不再適用，所以不能說萬有引力趨近于無窮大，故A、B錯誤；兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律，C正確；G的值是卡文迪許測得的，D錯誤。2．(人教版必修2·P48·T3改編)火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的eq\f(1,10)和eq\f(1,2)，地球的第一宇宙速度為v，則火星的第一宇宙速度約為()A.eq\f(\r(5),5)v B.eq\r(5)vC.eq\r(2)v D.eq\f(\r(2),2)v答案A解析第一宇宙速度由eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)求得，v＝eq\r(\f(GM,R))，故eq\f(v火,v)＝eq\r(\f(M火,M)·\f(R,R火))＝eq\r(\f(1,5))，所以v火＝eq\f(\r(5),5)v，故A正確。3．(人教版必修2·P36·T4)地球的公轉(zhuǎn)軌道接近圓，但彗星的運動軌道則是一個非常扁的橢圓。天文學(xué)家哈雷曾經(jīng)在1682年跟蹤過一顆彗星，他算出這顆彗星軌道的半長軸約等于地球公轉(zhuǎn)半徑的18倍(如圖所示)，并預(yù)言這顆彗星將每隔一定時間就會出現(xiàn)。哈雷的預(yù)言得到證實，該彗星被命名為哈雷彗星。哈雷彗星最近出現(xiàn)的時間是1986年，請你根據(jù)開普勒行星運動第三定律估算，它下次飛近地球大約將在哪一年？答案2062年解析設(shè)地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑為R0，周期為T0，哈雷彗星繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半長軸為a，周期為T，根據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，有eq\f(a3,T2)＝eq\f(R\o\al(3,0),T\o\al(2,0))，則哈雷彗星的公轉(zhuǎn)周期T＝eq\r(\f(a3,R\o\al(3,0)))T0≈76.4年，所以它下次飛近地球大約將在1986＋76.4≈2062年。4．(人教版必修2·P41·T3)一個質(zhì)子由兩個u夸克和一個d夸克組成。一個夸克的質(zhì)量是7.1×10－30kg，求兩個夸克相距1.0×10－16答案3.36×10－37N解析兩個夸克相距1.0×10－16m時的萬有引力F＝Geq\f(m1m2,r2)＝3.36×10－37N?？键c細(xì)研悟法培優(yōu)考點1開普勒三定律的理解與應(yīng)用 1.微元法解讀開普勒第二定律：行星在近日點、遠(yuǎn)日點時的速度方向與兩點連線垂直，若行星在近日點、遠(yuǎn)日點到太陽的距離分別為a、b，取足夠短的時間Δt，則行星在Δt時間內(nèi)可看做勻速直線運動，由Sa＝Sb知eq\f(1,2)va·Δt·a＝eq\f(1,2)vb·Δt·b，可得va＝eq\f(vbb,a)。行星到太陽的距離越大，行星的速率越小，反之越大。2．行星繞太陽的運動通常按勻速圓周運動處理。3．開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。4．開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，故該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間。例1(2017·全國卷Ⅱ)(多選)如圖，海王星繞太陽沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠(yuǎn)日點，M、N為軌道短軸的兩個端點，運行的周期為T0。若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)M、Q到N的運動過程中()A．從P到M所用的時間等于eq\f(T0,4)B．從Q到N階段，機械能逐漸變大C．從P到Q階段，速率逐漸變小D．從M到N階段，萬有引力對它先做負(fù)功后做正功(1)從P到M與從M到Q的平均速率相等嗎？提示：不相等。(2)從Q到N除萬有引力做功之外，還有其他力對海王星做功嗎？提示：沒有。嘗試解答選CD。由開普勒第二定律可知，相等時間內(nèi)，太陽與海王星連線掃過的面積都相等，A錯誤；由機械能守恒定律知，從Q到N階段，除萬有引力做功之外，沒有其他的力對海王星做功，故機械能守恒，B錯誤；從P到Q階段，萬有引力做負(fù)功，動能轉(zhuǎn)化成海王星的勢能，所以動能減小，速率逐漸變小，C正確；從M到N階段，萬有引力與速度的夾角先是鈍角后是銳角，即萬有引力對它先做負(fù)功后做正功，D正確。繞太陽沿橢圓軌道運行的行星在近日點線速度最大，越靠近近日點線速度越大，線速度大小與行星到太陽的距離成反比。[變式1－1](2016·全國卷Ⅲ)關(guān)于行星運動的規(guī)律，下列說法符合史實的是()A．開普勒在牛頓定律的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了行星運動的規(guī)律B．開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運動的規(guī)律C．開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運動的原因D．開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律答案B解析開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，但并沒有找出其中的原因，A、C錯誤，B正確；萬有引力定律是牛頓發(fā)現(xiàn)的，D錯誤。[變式1－2](2019·陜西八校高三4月聯(lián)考)我國在2018年12月成功發(fā)射“嫦娥四號”月球探測器。探測器要經(jīng)過多次變軌，最終降落到月球表面上。如圖所示，軌道Ⅰ為圓形軌道，其半徑為R；軌道Ⅱ為橢圓軌道，半長軸為a，半短軸為b。如果把探測器與月球的連線掃過的面積與其所用時間的比值定義為掃過的面積速率，則探測器繞月球運動過程中在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ上掃過的面積速率之比是(已知橢圓的面積S＝πab)()A.eq\f(\r(ab),R) B.eq\r(\f(R,a))C.eq\f(\r(aR),b) D.eq\f(\r(bR),a)答案C解析設(shè)探測器在軌道Ⅰ上運動的周期為T1，在軌道Ⅱ上運動的周期為T2，則在軌道Ⅰ上掃過的面積速率為：eq\f(πR2,T1)，在軌道Ⅱ上掃過的面積速率為：eq\f(πab,T2)，由開普勒第三定律可知：eq\f(R3,T\o\al(2,1))＝eq\f(a3,T\o\al(2,2))，由以上三式聯(lián)立解得，eq\f(\f(πR2,T1),\f(πab,T2))＝eq\f(R2,ab)·eq\f(T2,T1)＝eq\f(R2,ab)·eq\r(\f(a3,R3))＝eq\f(\r(aR),b)，故C正確?？键c2天體質(zhì)量和密度的估算 1.重力加速度法：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．天體環(huán)繞法：測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運行時，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，計算中心天體質(zhì)量和密度的思路相同。若已知r、v，利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得M＝eq\f(v2r,G)。若已知v、T，可先求出r＝eq\f(vT,2π)，再利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)或Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(2π,T)2r求M。若已知ω、T則不能求出M。例2貨運飛船“天舟一號”與已經(jīng)在軌運行的“天宮二號”成功對接形成組合體，如圖所示。假設(shè)組合體在距地面高度為h的圓形軌道上繞地球做勻速圓周運動，周期為T1。如果月球繞地球的運動也看成是勻速圓周運動，軌道半徑為R1，周期為T2。已知地球表面處重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地球看成質(zhì)量分布均勻的球體。則()A．月球的質(zhì)量可表示為eq\f(4π2R\o\al(3,1),GT\o\al(2,2))B．組合體與月球運轉(zhuǎn)的線速度比值為eq\r(\f(R1,h))C．地球的密度可表示為eq\f(3πR＋h3,GT\o\al(2,1)R3)D．組合體的向心加速度可表示為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R＋h,R)))2g(1)已知月球繞地球的周期和軌道半徑，能求月球的質(zhì)量嗎？提示：不能。只能求中心天體地球的質(zhì)量。(2)距地面高度為h的圓形軌道半徑為多少？提示：R＋h。嘗試解答選C。由于月球是環(huán)繞天體，根據(jù)題意可以求出地球的質(zhì)量，不能求月球的質(zhì)量，A錯誤；對于組合體和月球繞地球運動的過程，萬有引力提供向心力，設(shè)地球質(zhì)量為M，則由牛頓第二定律可知Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，則組合體和月球的線速度比值為eq\r(\f(R1,R＋h))，B錯誤；對于組合體，由Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))·(R＋h)，解得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,1))，又因為地球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3，整理解得ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3πR＋h3,GT\o\al(2,1)R3)，C正確；由Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma，Geq\f(Mm,R2)＝mg，知組合體的向心加速度大小為a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R＋h)))2g，D錯誤。估算天體質(zhì)量和密度時應(yīng)注意的問題(1)利用萬有引力提供天體做圓周運動的向心力估算天體質(zhì)量時，估算的只是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量。(2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近運動的衛(wèi)星才有r≈R；計算天體密度時，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天體的半徑。(3)在考慮中心天體自轉(zhuǎn)問題時，只有在兩極處才有eq\f(GMm,R2)＝mg。[變式2－1](2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計算出地球質(zhì)量的是()A．地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))B．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期C．月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離D．地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離答案D解析根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg可知，已知地球的半徑及重力加速度可計算出地球的質(zhì)量，A能；根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)及v＝eq\f(2πR,T)可知，已知人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期可計算出地球的質(zhì)量，B能；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知，已知月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離，可計算出地球的質(zhì)量，C能；已知地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離只能求出太陽的質(zhì)量，不能求出地球的質(zhì)量，D不能。[變式2－2](2019·寧夏育才中學(xué)月考)如圖所示，兩顆人造衛(wèi)星繞地球運動，其中一顆衛(wèi)星繞地球做圓周運動，軌道半徑為r，另一顆衛(wèi)星繞地球沿橢圓形軌道運動，半長軸為a。已知橢圓形軌道衛(wèi)星繞地球n圈所用時間為t，地球的半徑為R，引力常量為G，則地球的平均密度為()A.eq\f(3πn2a3,Gt2R3) B.eq\f(4πn2r3,3Gt2R3)C.eq\f(3πn2a3,2Gt2R3) D.eq\f(4πn2r3,Gt2R3)答案A解析橢圓形軌道衛(wèi)星的運行周期為T0＝eq\f(t,n)，根據(jù)開普勒第三定律得eq\f(a3,T\o\al(2,0))＝eq\f(r3,T2)，則圓形軌道衛(wèi)星的周期為T＝T0eq\r(\f(r3,a3))，對于圓形軌道衛(wèi)星，萬有引力等于向心力，Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，地球的平均密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，聯(lián)立可得ρ＝eq\f(3πn2a3,Gt2R3)，A正確。考點3人造衛(wèi)星的運動規(guī)律 1.人造衛(wèi)星的運動規(guī)律(1)一種模型：無論自然天體(如地球、月亮)還是人造天體(如宇宙飛船、人造衛(wèi)星)都可以看做質(zhì)點，圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運動。(2)兩條思路①萬有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝ma。②天體對其表面的物體的萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg或gR2＝GM(R、g分別是天體的半徑、表面重力加速度)，公式gR2＝GM應(yīng)用廣泛，被稱為“黃金代換”。(3)地球衛(wèi)星的運行參數(shù)(將衛(wèi)星軌道視為圓)物理量推導(dǎo)依據(jù)表達式最大值或最小值線速度Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)v＝eq\r(\f(GM,r))當(dāng)r＝R時有最大值，v＝7.9km/s角速度Geq\f(Mm,r2)＝mω2rω＝eq\r(\f(GM,r3))當(dāng)r＝R時有最大值周期Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2rT＝2πeq\r(\f(r3,GM))當(dāng)r＝R時有最小值，約85min向心加速度Geq\f(Mm,r2)＝ma向a向＝eq\f(GM,r2)當(dāng)r＝R時有最大值，最大值為a＝g軌道平面圓周運動的圓心與中心天體中心重合共性：半徑越小，運動越快，周期越小2．地球同步衛(wèi)星的特點(1)軌道平面一定：軌道平面和赤道平面重合。(2)周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24h＝86400s。(3)角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同。(4)高度一定：據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝4.23×104km，衛(wèi)星離地面高度h＝r－R≈6R(為恒量)。(5)繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)的方向一致。3．極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星(1)極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋。(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s。(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心。例3(2019·山東濟南高三模擬)我國計劃2020年發(fā)射火星探測器，實現(xiàn)火星的環(huán)繞、著陸和巡視探測。已知火星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道都可近似為圓軌道，火星公轉(zhuǎn)軌道半徑約為地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的eq\f(3,2)，火星的半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，以下說法正確的是()A．火星的公轉(zhuǎn)周期比地球小B．火星的公轉(zhuǎn)速度比地球大C．探測器在火星表面時所受的火星引力比在地球表面時所受的地球引力小D．探測器環(huán)繞火星表面運行的速度比環(huán)繞地球表面運行的速度大(1)比較周期大小常采用哪兩個有用的結(jié)論？提示：一是開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k；二是T＝2πeq\r(\f(r3,GM))。(2)比較線速度大小常用的公式是什么？提示：v＝eq\r(\f(GM,r))。嘗試解答選C?；鹦堑墓D(zhuǎn)軌道半徑大于地球公轉(zhuǎn)軌道半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知，火星的公轉(zhuǎn)周期比地球大，A錯誤；根據(jù)v＝eq\r(\f(GM日,r))可知，火星的公轉(zhuǎn)速度比地球小，B錯誤；根據(jù)g＝eq\f(GM,R2)，則eq\f(g火,g地)＝eq\f(M火,M地)·eq\f(R地,R火)2＝eq\f(1,9)×22＝eq\f(4,9)，則探測器在火星表面時所受的火星引力比在地球表面時所受的地球引力小，C正確；根據(jù)v火＝eq\r(\f(GM火,R火))＝eq\r(\f(G·\f(1,9)M地,\f(1,2)R地))＝eq\f(\r(2),3)eq\r(\f(GM地,R地))＝eq\f(\r(2),3)v地，則探測器環(huán)繞火星表面運行的速度比環(huán)繞地球表面運行的速度小，D錯誤。人造衛(wèi)星問題的解題技巧(1)利用萬有引力提供向心加速度的不同表述形式。Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝m(2πf)2r。(2)第一宇宙速度是人造衛(wèi)星環(huán)繞地球表面運行的最大速度，軌道半徑r近似等于地球半徑v＝eq\r(\f(GM,R))＝7.9km/s萬有引力近似等于衛(wèi)星的重力，即mg＝meq\f(v2,R)，v＝eq\r(Rg)＝7.9km/s。(3)同步衛(wèi)星：①具有特定的線速度、角速度和周期；②具有特定的位置高度和軌道半徑；③運行軌道平面必須處于地球赤道平面上，只能靜止在赤道上方特定的點上。比較衛(wèi)星與地球有關(guān)的物理量時可以通過比較衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的參量來確定。(4)天體相遇與追及問題的處理方法首先根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝mrω2判斷出誰的角速度大，然后根據(jù)兩星追上或相距最近時滿足兩星運動的角度差等于2π的整數(shù)倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1,2,3…)，相距最遠(yuǎn)時兩星運行的角度差等于π的奇數(shù)倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2…)[變式3－1](2019·甘肅武威六中二模)有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星，a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球一起轉(zhuǎn)動，b在近地軌道上轉(zhuǎn)動，c是地球同步衛(wèi)星，d是高空探測衛(wèi)星，各衛(wèi)星排列位置如圖，則有()A．a(chǎn)的向心加速度等于重力加速度gB．c在4h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是eq\f(π,6)C．b在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長最長D．d的運動周期有可能是20h答案C解析地球同步衛(wèi)星c的周期與地球的自轉(zhuǎn)周期相同，角速度相同，則知a與c的角速度相同，根據(jù)an＝ω2r知，c的向心加速度比a的大；由Geq\f(Mm,r2)＝man，得an＝Geq\f(M,r2)，可知繞地球做圓周運動的衛(wèi)星的軌道半徑越大，向心加速度越小，則同步衛(wèi)星c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度約為重力加速度g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A錯誤。c是地球同步衛(wèi)星，周期是24h，則c在4h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是eq\f(4h,24h)×2π＝eq\f(π,3)，B錯誤。由v＝ωr知a的線速度比c的小，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知繞地球做圓周運動的衛(wèi)星的軌道半徑越大，線速度越小，所以b的線速度最大，在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長最長，故C正確。由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k知，繞地球做圓周運動的衛(wèi)星的軌道半徑越大，周期越大，所以d的運動周期大于c的周期24h，故D錯誤。[變式3－2](2019·山東煙臺一模)赤道平面內(nèi)的某顆衛(wèi)星自西向東繞地球做圓周運動，該衛(wèi)星離地面的高度小于地球同步衛(wèi)星的高度。赤道上一觀察者發(fā)現(xiàn)，該衛(wèi)星連續(xù)兩次出現(xiàn)在觀察者正上方的最小時間間隔為t，已知地球自轉(zhuǎn)周期為T0，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，由此可知該衛(wèi)星離地面的高度為()A.eq\r(3,\f(gR2t2T\o\al(2,0),4π2t＋T02))－R B.eq\r(3,\f(gR2t2T\o\al(2,0),4π2t＋T\o\al(2,0)))C.eq\r(3,\f(gR2t＋T02,4π2t2T\o\al(2,0)))－R D.eq\r(3,\f(gR2t－T02,4π2t2T\o\al(2,0)))－R答案A解析該衛(wèi)星由萬有引力提供向心力，eq\f(GMm,R＋h2)＝m(R＋h)2eq\f(2π,T)2，解得該衛(wèi)星離地面的高度h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R。設(shè)該衛(wèi)星的運行周期為T，則有eq\f(t,T)－eq\f(t,T0)＝1，解得T＝eq\f(tT0,t＋T0)，由此可得h＝eq\r(3,\f(GMt2T\o\al(2,0),4π2t＋T02))－R，代入黃金代換式GM＝gR2，可得h＝eq\r(3,\f(gR2t2T\o\al(2,0),4π2t＋T02))－R，A正確?？键c4航天器的變軌問題 當(dāng)衛(wèi)星開啟發(fā)動機，或者受空氣阻力作用時，萬有引力不再等于向心力，衛(wèi)星將做變軌運行，前者是軌道的突變，后者是軌道的漸變。1．衛(wèi)星軌道的漸變(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度增加時，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運動，脫離原來的圓軌道，如果速度增加很緩慢，衛(wèi)星每轉(zhuǎn)一周均可看成做勻速圓周運動，經(jīng)過一段時間，軌道半徑變大，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道運行時，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運行速度比在原軌道時小。例如，由于地球的自轉(zhuǎn)和潮汐力，月球繞地球運動的軌道半徑緩慢增大，每年月球遠(yuǎn)離地球3.8厘米。(2)當(dāng)衛(wèi)星的速度減小時，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，如果速度減小很緩慢，衛(wèi)星每轉(zhuǎn)一周均可看成做勻速圓周運動，經(jīng)過一段時間，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道運行時，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運行速度比在原軌道時大。例如，人造衛(wèi)星受到高空稀薄大氣的摩擦力，軌道高度不斷降低。2．衛(wèi)星軌道的突變：由于技術(shù)上的需要，有時要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r間內(nèi)啟動飛行器上的發(fā)動機，使飛行器軌道發(fā)生突變，使其進入預(yù)定的軌道。如圖所示，發(fā)射同步衛(wèi)星時，可以分多過程完成：(1)先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道Ⅰ，使其繞地球做勻速圓周運動，速率為v。(2)變軌時在P點點火加速，短時間內(nèi)將速率由v1增加到v2，這時eq\f(GMm,r2)<meq\f(v2,r)，衛(wèi)星脫離原軌道做離心運動，進入橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ。(3)衛(wèi)星運行到遠(yuǎn)地點Q時的速率為v3，此時進行第二次點火加速，在短時間內(nèi)將速率由v3增加到v4，使衛(wèi)星進入同步軌道Ⅲ，繞地球做勻速圓周運動。飛船和空間站的對接過程與此類似。衛(wèi)星的回收過程和飛船的返回則是相反的過程，通過突然減速，eq\f(GMm,r2)>meq\f(v2,r)，變軌到低軌道，最后在橢圓軌道的近地點處返回地面。3．衛(wèi)星變軌時一些物理量的定性分析(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ、Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v4，在軌道Ⅱ上過P、Q點時的速率分別為v2、v3，在P點加速，則v2>v1；在Q點加速，則v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。(2)加速度：因為在P點不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過，P點到地心的距離都相同，衛(wèi)星的加速度都相同，設(shè)為aP。同理，在Q點加速度也相同，設(shè)為aQ。又因Q點到地心的距離大于P點到地心的距離，所以aQ<aP。(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。例4(2019·四川自貢高三一診)(多選)如圖是發(fā)射的一顆人造衛(wèi)星在繞地球軌道上的幾次變軌圖，軌道Ⅰ是圓軌道，軌道Ⅱ和軌道Ⅲ依次是在P點變軌后的橢圓軌道。下列說法正確的是()A．衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的運行速度大于7.9km/sB．衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運動時，在P點和Q點的速度大小相等C．衛(wèi)星在軌道Ⅰ上運動到P點時的加速度等于衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運動到P點時的加速度D．衛(wèi)星從軌道Ⅰ的P點加速進入軌道Ⅱ后機械能增加(1)衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運動時，如何比較在P點和在Q點的速度大??？提示：由開普勒第二定律比較。(2)衛(wèi)星的機械能包括什么？如何判斷機械能的變化？提示：動能和引力勢能。除萬有引力外的其他力做正功，機械能增加，做負(fù)功，機械能減小。嘗試解答選CD。7．9km/s是第一宇宙速度，是繞地球做圓周運動的衛(wèi)星最大的環(huán)繞速度，根據(jù)軌道半徑越大，線速度越小，可知衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的運行速度一定小于7.9km/s，故A錯誤；衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運動時，P點為近地點，Q點為遠(yuǎn)地點，根據(jù)開普勒第二定律可知，衛(wèi)星在P點的速度大于在Q點的速度，B錯誤；根據(jù)a＝eq\f(GM,r2)可知，衛(wèi)星在軌道Ⅰ上運動到P點時的加速度等于衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運動到P點時的加速度，C正確；衛(wèi)星從軌道Ⅰ的P點加速進入軌道Ⅱ的過程中，牽引力做正功，故機械能增加，D正確。航天器變軌問題的三點注意事項(1)航天器變軌時半徑(半長軸)的變化，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷；穩(wěn)定在新圓軌道上的運行速度變化由v＝eq\r(\f(GM,r))判斷。兩個不同軌道的“切點”處線速度不相等，同一橢圓上近地點的線速度大于遠(yuǎn)地點的線速度，如例4中的A選項。(2)航天器在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑(半長軸)越大，機械能越大。從遠(yuǎn)地點到近地點，萬有引力對衛(wèi)星做正功，動能Ek增大，引力勢能減小。(3)兩個不同軌道的“切點”處加速度a相同。[變式4](2019·山東淄博一模)2018年12月8日，“嫦娥四號”月球探測器在我國西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射成功，并實現(xiàn)人類首次月球背面軟著陸?！版隙鹚奶枴睆沫h(huán)月圓軌道Ⅰ上的P點實施變軌，進入橢圓軌道Ⅱ，由近月點Q落月，如圖所示。關(guān)于“嫦娥四號”，下列說法正確的是()A．沿軌道Ⅰ運行至P點時，需加速才能進入軌道ⅡB．沿軌道Ⅱ運行的周期大于沿軌道Ⅰ運行的周期C．沿軌道Ⅱ運行經(jīng)P點時的加速度等于沿軌道Ⅰ運行經(jīng)P點時的加速度D．沿軌道Ⅱ從P點運行到Q點的過程中，月球?qū)μ綔y器的萬有引力做的功為零答案C解析沿軌道Ⅰ運動至P時，需要制動減速，使萬有引力大于所需向心力，才能進入軌道Ⅱ，A錯誤；根據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k可知，探測器繞月球運行軌道的半長軸a越大，運動周期越大，顯然軌道Ⅰ的半長軸(半徑)大于軌道Ⅱ的半長軸，故沿軌道Ⅱ運動的周期小于沿軌道Ⅰ運動的周期，B錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，可知沿軌道Ⅱ運行時經(jīng)P點時的加速度等于沿軌道Ⅰ運動經(jīng)P點時的加速度，C正確；在軌道Ⅱ上從P點運行到Q點的過程中，速度變大，月球的引力對探測器做正功，D錯誤。建模提能2雙星、多星模型前面我們討論的是類似太陽系的單星系統(tǒng)，其特點是有一個主星，質(zhì)量遠(yuǎn)大于周圍的其他星體，可以看做近似不動，所以其他星體繞它運動。除此之外，在宇宙空間，還存在兩顆或多顆質(zhì)量差別不大的星體，它們離其他星體很遠(yuǎn)，在彼此間的萬有引力作用下運動，組成雙星或多星系統(tǒng)。雙星系統(tǒng)軌道比較穩(wěn)定，很常見，三星及其他更多星體的系統(tǒng)軌道不穩(wěn)定，非常罕見。下面介紹具有代表性的雙星模型和三星模型。1．雙星模型(1)兩顆星體繞公共圓心轉(zhuǎn)動，如圖1所示。(2)特點①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L。④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)。⑤雙星的運動周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))。⑥雙星的總質(zhì)量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)。2．三星模型(1)三星系統(tǒng)繞共同圓心在同一平面內(nèi)做圓周運動時比較穩(wěn)定，三顆星的質(zhì)量一般不同，其軌道如圖2所示。每顆星體做勻速圓周運動所需的向心力由其他星體對該星體的萬有引力的合力提供。(2)特點：對于這種穩(wěn)定的軌道，除中央星體外(如果有)，每顆星體轉(zhuǎn)動的方向相同，運行的角速度、周期相同。(3)理想情況下，它們的位置具有對稱性，下面介紹兩種特殊的對稱軌道。①三顆星位于同一直線上，兩顆質(zhì)量均為m的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖3甲所示)。②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖3乙所示)?！镜漕}例證】(多選)在天體運動中，把兩顆相距很近的恒星稱為雙星。已知組成某雙星系統(tǒng)的兩顆恒星質(zhì)量分別為m1和m2，相距為L。在萬有引力作用下各自繞它們連線上的某一點，在同一平面內(nèi)做勻速圓周運動，運動過程中二者之間的距離始終不變。已知萬有引力常量為G。m1的動能為Ek，則m2的動能為()A．Geq\f(m1m2,L)－Ek B.Geq\f(m1m2,2L)－EkC.eq\f(m1,m2)Ek D.eq\f(m2,m1)Ek[解析]對雙星，都是萬有引力提供向心力，故：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2R1＝m2ω2R2；其中：L＝R1＋R2，聯(lián)立解得：R1＝eq\f(m2L,m1＋m2)，R2＝eq\f(m1L,m1＋m2)，根據(jù)v＝rω，則eq\f(v1,v2)＝eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，則eq\f(Ek1,Ek2)＝eq\f(Ek,Ek2)＝eq\f(\f(1,2)m1v\o\al(2,1),\f(1,2)m2v\o\al(2,2))＝eq\f(m2,m1)，即Ek2＝eq\f(m1,m2)Ek，C正確，D錯誤；Geq\f(m1m2,L2)＝m2eq\f(v\o\al(2,2),R2)＝eq\f(2Ek2,R2)，即Ek2＝eq\f(R2,2)·eq\f(Gm1m2,L2)，同理Ek1＝eq\f(R1,2)·eq\f(Gm1m2,L2)，則Ek1＋Ek2＝eq\f(R1＋R2,2)·eq\f(Gm1m2,L2)＝eq\f(Gm1m2,2L)，則Ek2＝Geq\f(m1m2,2L)－Ek，B正確，A錯誤。[答案]BC名師點睛解決雙星、多星問題，要抓住四點(1)雙星或多星的特點、規(guī)律，確定系統(tǒng)的中心以及運動的軌道半徑。(2)星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。(3)星體的角速度相等。(4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關(guān)系，正確計算萬有引力和向心力?！踞槍τ?xùn)練】(多選)太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于邊長為L的等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設(shè)這三個星體的質(zhì)量均為M，并設(shè)兩種系統(tǒng)的運動周期相同，則()A．直線三星系統(tǒng)運動的線速度大小為v＝eq\r(\f(GM,R))B．直線三星系統(tǒng)的運動周期為T＝4πReq\r(\f(R,5GM))C．三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離為L＝eq\r(3,\f(12,5))RD．三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為v′＝eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))答案BC解析對直線三星系統(tǒng)中的其中一顆環(huán)繞星，有Geq\f(M2,R2)＋Geq\f(M2,2R2)＝Meq\f(v2,R)，解得v＝eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))，A錯誤；根據(jù)T＝eq\f(2πR,v)，可知B正確；對三角形三星系統(tǒng)中的任意一顆星體，有2Geq\f(M2,L2)cos30°＝Meq\f(\f(L,2),cos30°)eq\f(2π,T)2，三角形三星系統(tǒng)的周期等于直線三星系統(tǒng)的周期T＝4πR·eq\r(\f(R,5GM))，聯(lián)立解得L＝eq\r(3,\f(12,5))R，C正確；根據(jù)T＝eq\f(2πr,v′)，若按照r＝R計算，就會得到v′＝eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))，但r＝eq\f(\f(L,2),cos30°)≠R，故D錯誤。高考模擬隨堂集訓(xùn)1．(2019·全國卷Ⅱ)2019年1月，我國嫦娥四號探測器成功在月球背面軟著陸。在探測器“奔向”月球的過程中，用h表示探測器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖象是()答案D解析由萬有引力公式F＝Geq\f(Mm,R＋h2)可知，探測器與地球表面距離h越大，F(xiàn)越小，排除B、C；而F與h不是一次函數(shù)關(guān)系，排除A。故選D。2．(2019·全國卷Ⅲ)金星、地球和火星繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運動，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金<R地<R火，由此可以判定()A．a(chǎn)金>a地>a火 B.a火>a地>a金C．v地>v火>v金 D.v火>v地>v金答案A解析行星繞太陽做圓周運動時，由牛頓第二定律和圓周運動知識有：Geq\f(Mm,R2)＝ma，得向心加速度a＝eq\f(GM,R2)，Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得線速度v＝eq\r(\f(GM,R))，由于R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，A正確。3．(2019·天津高考)2018年12月8日，肩負(fù)著億萬中華兒女探月飛天夢想的嫦娥四號探測器成功發(fā)射，“實現(xiàn)人類航天器首次在月球背面巡視探測，率先在月背刻上了中國足跡”。已知月球的質(zhì)量為M、半徑為R，探測器的質(zhì)量為m，引力常量為G，嫦娥四號探測器圍繞月球做半徑為r的勻速圓周運動時，探測器的()A．周期為eq\r(\f(4π2r3,GM)) B.動能為eq\f(GMm,2R)C．角速度為eq\r(\f(Gm,r3)) D.向心加速度為eq\f(GM,R2)答案A解析探測器繞月球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，對探測器，由牛頓第二定律得，Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，解得周期T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，A正確；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)知，動能Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(GMm,2r)，B錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝mrω2得，角速度ω＝eq\r(\f(GM,r3))，C錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝ma得，向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，D錯誤。4．(2019·江蘇高考)1970年成功發(fā)射的“東方紅一號”是我國第一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星至今仍沿橢圓軌道繞地球運動。如圖所示，設(shè)衛(wèi)星在近地點、遠(yuǎn)地點的速度分別為v1、v2，近地點到地心的距離為r，地球質(zhì)量為M，引力常量為G。則()A．v1>v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) B.v1>v2，v1>eq\r(\f(GM,r))C．v1<v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) D.v1<v2，v1>eq\r(\f(GM,r))答案B解析衛(wèi)星繞地球運動，由開普勒第二定律知，近地點的速度大于遠(yuǎn)地點的速度，即v1>v2。若衛(wèi)星以近地點到地心的距離r為半徑做圓周運動，則有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v\o\al(2,近),r)，得運行速度v近＝eq\r(\f(GM,r))，由于衛(wèi)星沿橢圓軌道運動，則v1>v近，即v1>eq\r(\f(GM,r))，B正確。5．(2019·北京高考)2019年5月17日，我國成功發(fā)射第45顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)。該衛(wèi)星()A．入軌后可以位于北京正上方B．入軌后的速度大于第一宇宙速度C．發(fā)射速度大于第二宇宙速度D．若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少答案D解析同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方，A錯誤；由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，環(huán)繞速度越小，因此入軌后的速度小于第一宇宙速度(近地衛(wèi)星的速度)，B錯誤；同步衛(wèi)星的發(fā)射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C錯誤；若該衛(wèi)星發(fā)射到近地圓軌道，所需發(fā)射速度較小，所需能量較少，D正確。6．(2019·全國卷Ⅰ)(多選)在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖中實線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a-x關(guān)系如圖中虛線所示。假設(shè)兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則()A．M與N的密度相等B．Q的質(zhì)量是P的3倍C．Q下落過程中的最大動能是P的4倍D．Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍答案AC解析如圖，當(dāng)x＝0時，對P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；對Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a當(dāng)P、Q的加速度a＝0時，對P有：mPgM＝kx0，則mP＝eq\f(kx0,3a0)，對Q有：mQgN＝k·2x0，則mQ＝eq\f(2kx0,a0)，即mQ＝6mP，B錯誤；根據(jù)mg＝Geq\f(Mm,R2)得，星球質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)，則星球的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)，所以M、N的密度之比eq\f(ρM,ρN)＝eq\f(gM,gN)·eq\f(RN,RM)＝eq\f(3,1)×eq\f(1,3)＝1，A正確；當(dāng)P、Q的加速度為零時，P、Q的動能最大，系統(tǒng)的機械能守恒，對P有：mPgMx0＝Ep彈＋EkP，即EkP＝3mPa0x0－Ep彈，對Q有：mQgN·2x0＝4Ep彈＋EkQ，即EkQ＝2mQa0x0－4Ep彈＝12mPa0x0－4Ep彈＝4×(3mPa0x0－Ep彈)＝4EkP，C正確；P、Q在彈簧壓縮到最短時，其位置與初位置關(guān)于加速度a＝0時的位置對稱，故P下落過程中彈簧的最大壓縮量為2x0，Q為4x0，D錯誤。7．(2018·全國卷Ⅰ)(多選)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km，繞二者連線上的某點每秒轉(zhuǎn)動12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識，可以估算出這