新教材人教A版高中數(shù)學(xué) 選擇性必修第三冊 ?？碱}型練習(xí) 26 排列組合基礎(chǔ)模型

專題26排列組合基礎(chǔ)模型

目錄

【題型一】分類加法原理..........................................................................1

【題型二】分步乘法原理.........................................................................2

【題型三】人坐座位..............................................................................3

【題型四】組數(shù)字型.............................................................................4

【題型五】分類討論型............................................................................5

【題型六】“地圖”涂色型........................................................................7

【題型七】電路圖型..............................................................................9

【題型八】走樓梯型.............................................................................10

【題型九】摸球型...............................................................................12

培優(yōu)第一階一一基礎(chǔ)過關(guān)練.......................................................................13

培優(yōu)第二階一一能力提升練.......................................................................14

培優(yōu)第三階一一培優(yōu)拔尖練.......................................................................17

熱點題型如納

【題型一】分類加法原理

【典例分析】

某學(xué)校開設(shè)4門球類運動課程、5門田徑類運動課程和2門水上運動課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課

程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有()

A.40種B.20種C.15利ID.11種

［答案］D

【4?析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的選法共有4+5+2=11種.

故選：D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

古典概型中基本事件數(shù)的探求方法

(1)列舉法.

(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題

目，常采用樹狀圖法.

(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.

(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.

【變式訓(xùn)練】

1.某校開設(shè)4類選修課4門,8類選修課3門,一同學(xué)從中選1門,則該同學(xué)的不同選法共有()

A.7種B.12種C.4種D.3種

［答案］A

【嬴h根據(jù)題意求出所有的可能性即可選出結(jié)果.

【詳解】解:由題知某校開設(shè)A類選修課4門.B類選修課3門，

共7門，

故該同學(xué)的不同選法共有7種.

故選:A

2.現(xiàn)有5幅不同的油畫，2幅不同的國畫，7幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選

法共有（）

A.7種B.9種C.14利1D.70種

［答案］C

【2析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理求解即可

【詳解】分為三類：

從國畫中選，有2種不同的選法;從油畫中選，有5種不同的選法;從水彩畫中選，有7種不同的選法，

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5+2+7=14（種）不同的選法；

故選：C

3.為了方便廣大市民接種新冠疫苗，提高新冠疫苗接種率，某區(qū)衛(wèi)健委在城區(qū)設(shè)立了11個接種點，在鄉(xiāng)

鎮(zhèn)設(shè)立了19個接種點.某市民為了在同一接種點順利完成新冠疫苗接種，則不同接種點的選法共有（）

A.11種B.19種C.30種D.209種

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，該市民可選擇的接種點為兩類，一類為鄉(xiāng)鎮(zhèn)接種點，另一類為城區(qū)接種點,由加法原理

計算可得答案.

【詳解】該市民可選擇的接種點為兩類，一類為鄉(xiāng)鎮(zhèn)接種點，另一類為城區(qū)接種點，所以共有19+11=30種

不同接種點的選法.

故選：C.

【題型二】分步乘法原理

【典例分析】

2022年10月22日，中國共產(chǎn)黨全國代表大會勝利閉幕.某班舉行了以“奮進新征程”

為主題的聯(lián)歡晚會，原定的5個學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了兩個教師節(jié)目，如果將這兩

個教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，則這兩個教師節(jié)目相鄰的概率為（）

【答案】D

【分析】先插入第一個節(jié)目，再插入第二個節(jié)目，再按照分步乘法計數(shù)原理分別計算插入的情況數(shù)量及這

兩個教師節(jié)目恰好相鄰的情況數(shù)量,再應(yīng)用古典概率公式求概率即可.

【詳解】由題意可知，先將第一個教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，有6種插入法，

再將第二個教師節(jié)目插入到這6個節(jié)目中，有7種插入法，

故將這兩個教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，共有6*7=42（種）情況，

122

其中這兩個教師節(jié)目恰好相鄰的情況有2x6=12（種），所以所求概率為益=三.

427

故選:D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類"、“分步'’的角度入

手；（1）“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；（2）“分辨”就是辨別是排列

還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；（3）“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥

的幾類，然后逐類解決；（4）“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、

組合問題，然后逐步解決.

【變式訓(xùn)練】

1.“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，節(jié)約糧食是我國的傳統(tǒng)美德.已知學(xué)校食堂中午有2種主食、6種素菜、5

種葷菜，小華準(zhǔn)備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的選取方法有（）

A.13種B.22種C.30種D.60種

【答案】D

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有2x6x5=60（種）不同的選取方法，

故選：D.

2.有5件不同款式的上衣和8條不同顏色的長褲,若一件上衣與一條長褲配成一套,則不同的配法種數(shù)為（）

A.13B.40C.72D.60

【答案】B

?析】利用分步乘法計數(shù)原理計算即可.

【詳解】由分步乘法計數(shù)原理得不同的配法種數(shù)為5x8=40.

故選：B.

3.現(xiàn)有5名同學(xué)去聽同時進行的4個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)

是（）

A.45B.54C.20D.9

［答案］A

【I■析】將此事分為5步，每一步均為I名同學(xué)選擇講座，后由分步計數(shù)原理可得答案.

【詳解】將完成此事分為5步.第1步為第一名同學(xué)完成選擇，有4種方法；第2步為第二名同學(xué)完成選擇，

有4種方法；L.第5步為第五名同學(xué)完成選擇，有4種方法.

則由分步計數(shù)原理可知，不同選法的種數(shù)位為：4×4×4×4×4=45.

故選：A

【題型三】人坐座位

【典例分析】

某公司為慶祝新中國成立73周年，計劃舉行慶?；顒樱灿?個節(jié)目，要求A節(jié)目不排在第一個且C、D

節(jié)目相鄰，則節(jié)目安排的方法總數(shù)為（）

A.18B.24C.36D.60

［答案］C

【g■析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合特殊元素問題及相鄰問題，列式計算作答.

【詳解】因為C、。節(jié)目相鄰，則視C、。節(jié)目為一個整體與其它3個節(jié)目排列，

又A節(jié)目不排在第一個，則從后面三個位置中取一個排A,再排余卜3個，有A；A；種，

其中的每一種排法，C、。節(jié)目的排列有A；,

所以節(jié)目安排的方法總數(shù)為A；A；A；=3x6x2=36（種）.

故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

解排列組合問題要遵循兩個原則：

一是按元素（或位置）的性質(zhì)進行分類；

二是按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說，解排列組合問題常以元素（或位置）為主體，即先滿足特

殊元素（或位置），再考慮其他元素（或位置）.

【變式訓(xùn)練】

1.11月29日，江西新余仙女湖的漁民們迎來入冬第一個開捕日，仙女湖的有機魚迎來又一個豐收年.七位漁

民分在一個小組，各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不

同的排法有（）

A.96種B.120種C.192種D.240種

［答案］C

【分析】先將甲乙捆綁成一個單元，再討論其所排位置，運算求解.

【詳解】由題意可知：丙必須在最中間（第4位），則甲乙排在第1、2位或2、3位或5、6位或6、7位，

故不同的排法有A；C；A：=192種.

故選：C.

2.某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的寒假生活，寒假期間給同學(xué)們安排了6場線上講座，其中講座A只能安排在第一

或最后一場，講座5和C必須相鄰，問不同的安排方法共有（）

A.34種B.56種C.96種D.144種

【答案】C

析】先求出講座A只能安排在第一或最后一場的方法總數(shù)，再求出講座8和C必須相鄰方法總數(shù)，最

后由分步乘法計算原理即可得出答案.

【詳解】；由題意知講座A只能安排在第一或最后一場，??.有A；=2種結(jié)果，

講座B和C必須相鄰，,共有A：A；=48種結(jié)果，

根據(jù)分步計數(shù)原理知共有2x48=96種結(jié)果.

故選:C.

3.現(xiàn)有7位學(xué)員與3位攝影師站成一排拍照，要求3位攝影師互不相鄰，則不同排法數(shù)為（）

A.A；A；B.A；C：C.A；A；D.A；A；

【答案】A

【分析】將3位攝影師插入站好的7位同學(xué)的8個空里.

【詳解】先排7位學(xué)員，共有A；種排法，再從8個空位中選3個安排給3位攝影師，故不同排法數(shù)為A；A：.

故選：A

【題型四】組數(shù)字型

【典例分析】

從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.24B.18C.12D.6

【答案】C

【分加】由分步乘法計數(shù)原理結(jié)合排列直接求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，要使組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0,2中選一個數(shù)字為個位數(shù)，有2種可能，

從1,3,5中選兩個數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有A；=3x2=6種可能，故這個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的

個數(shù)為2x6=12.故選：C.

【變式訓(xùn)練】

1.在數(shù)學(xué)中，有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù)，被稱為“回文數(shù)''.如44,585,2662等，那么用

數(shù)字1,2,3,4,5,6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為（）

A.30B.36C.360D,1296

【答案】B

【分析】依據(jù)回文數(shù)對稱的特征，可知有兩種情況：1、在6個數(shù)字中任取1個組成C；個回文數(shù)；2、在6

個數(shù)字中任取2個C：種取法，又由兩個數(shù)可互換位置A；種，即C：A；個回文數(shù)；結(jié)合兩種情況即可求出組

成4位“回文數(shù)”的個數(shù).

【詳解】由題意知：要組成4位“回文數(shù)”，

,當(dāng)由一個數(shù)組成回文數(shù)，在6個數(shù)字中任取1個：C；種；

當(dāng)由兩組相同的數(shù)，在6個數(shù)字中任取2個：或種，

又???在6個數(shù)字中任取2個時，前兩位互換位置又可以組成另一個數(shù)，

，2個數(shù)組成回文數(shù)的個數(shù)：A；種，

故在6個數(shù)字中任取2個組成回文數(shù)的個數(shù)：C：A；,

綜上，由數(shù)字1,2,3,4,5,6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為：C：+C：A；=36.

故選：B.

2.從1至8的8個整數(shù)中隨機抽取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)和為偶數(shù)的概率為（）

【答案】D

【分析】先由組合求出8個整數(shù)中隨機抽取2個不同的數(shù)的總情況，再求出2個數(shù)和為偶數(shù)的情況，最后

由古典概型求解即可.

【詳解】從1至8的8個整數(shù)中隨機抽取2個不同的數(shù)共有C；=28種情況，其中要使2個數(shù)和為偶數(shù)，IjIiJ2

個數(shù)都為奇數(shù)或都為偶數(shù)，

1?4

共有C；+C；=12,由古典概型可得這2個數(shù)和為偶數(shù)的概率為9=：.

287

故選：D.

3.數(shù)字1,2,3,4任意組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則它為偶數(shù)的概率是（）

［答案］A

加】先算出是偶數(shù)的結(jié)果，再算出沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的結(jié)果，最后用古典概型的公式即可算出答

案

f詳解】當(dāng)末位可以是2,4,有兩種選法，前面三位可以從余下的3個數(shù)字中選3個，共有

C；.A；=12種結(jié)果，

數(shù)字1,2,3,4任意組合成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有A：=24種結(jié)果，

它為偶數(shù)的概率是P=2=《.故選；A

242

【題型五】分類討論型

【典例分析】

在給某小區(qū)的花園綠化時，綠化工人需要將6棵高矮不同的小樹在花園中栽成前后兩排，每排3棵，則后

排的每棵小樹都對應(yīng)比它前排每棵小樹高的概率是（）

［答案］C

【J析】方法一：先求出事件A包含的基本事件個數(shù)，再根據(jù)古典概型的公式計算即可.

【詳解】方法一：設(shè)六棵樹從矮到高的順序為1,2,3,4,5,6,后排的每棵小樹都對應(yīng)比它前排每棵小

樹高為事件A.

則6必在后排，I在前排，

因此，分為1-6相對和1-6不對兩種情況（相對的意思是前后相鄰），

（1）1-6相對：5必在后排，2必在前排，

因此，又可分為2-5相對和2-5不對兩種情況，

①2-5相對時，3-4相對且4在后排，所以有A；種情況；

②2-5不對?，有2A；種情況.

（2）1-6不對：可分為5在前排和5在后排兩種情況，

(i)5在前排，則5-6相對且4在后排，又可分為14相對和14不對兩種情況,

1-4相時：有A；種；

1-4不對：有2A；種.

(ii)5在后排，又可分為1-5相對和1-5不對兩種情況，

①1-5相對：2必在前排，又分為2-6相對和2-6不對兩種,

2-6相對:有A；種；

2-6不對:有2A；種.

②1-5不對，有種.

所以P(A)=3X3?+'?A;15_1

6×5×4^8

故選：C.

方法二：將設(shè)六棵樹從矮到高的順序為1,2,3,4,5,6,后排的每棵小樹都對應(yīng)比它前排每棵小樹高為

事件A,所以，

C：C；15x6_1

P(A)=

A：一720一W

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

分類討論易犯錯

①搞不清楚到底是分類還是分步，不知道是用加法計數(shù)原理還是乘法計數(shù)原理;

②在求解時考慮不全，存在重復(fù)或遺漏現(xiàn)象.

【變式訓(xùn)練】

1.開學(xué)典禮上甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)從左至右排成一排上臺領(lǐng)獎，要求甲與乙相鄰且甲與丙之間恰

好有1名同學(xué)的排法有()種.

A.12B.16C.20D.24

［答案］C

【彳析】甲乙丙是三個特殊元素，分類討論甲與丙之間為乙與甲與丙之間不是乙的兩種情況，利用捆綁法

即可求得所求排法總數(shù).

【詳解】若甲與丙之間為乙，即乙在甲、丙中間且三人相鄰，共有A；=2種情況，將三人看成一個整體，

與丁戊兩人全排列，共有A；=6種情況，則此時有2x6=12種排法；

若甲與丙之間不是乙，先從丁、戊中選取1人，安排在甲、丙之間，有C；=2種選法，此時乙在甲的另一側(cè)，

將四人看成一個整體，考慮之前的順序，有A；=2種情況，將這個整體與剩卜的1人全排列，有A；=2種

情況，此時有2x2x2=8種排法，

所以總共有12+8=20種情況符合題意.

故選：C.

2.綠水青山就是金山銀山，浙江省對“五水共治”工作落實很到位，效果非常好.現(xiàn)從含有甲的5位志愿者中

選出4位到江西，湖北和安徽三個省市宣傳，每個省市至少一個志愿者.若甲不去安徽，其余志愿者沒有

條件限制，共有多少種不同的安排方法()

A.228B.132C.180D.96

［答案］B

【3?析】本題分抽取的4人中含甲和不含甲兩大類討論，采取捆綁法分析情況，再利用加法和乘法原理得

到所有情況即可.

【詳解】4人去3個省份，且每個省至少一個人則必會有兩人去同一省份，

若抽取的4人中不含甲，在這四人中任意取兩人進行捆綁，則共有C%A；=36種，

②若4人中含有甲，則在剩余的4人中抽取3人，共有C：=4種，接下來若甲和另1人去同一省份，則共有

C?α?Aj=12種，若甲單獨一人去一個省份，則共有C；（C；+A；）=12種，根據(jù)加法和乘法原理可得共有，

此類情況共有4x（12+12）=96種

綜上共有36+96=132種.故選：B.

【題型六】“地圖”涂色型

【典例分析】

如圖，矩形的對角線把矩形分成A、8、C、。四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏

色，要求共邊的兩部分顏色互異，共有（）種不同的涂色方法？

.

A.260B.180C.240D.120

【答案】A

【分析】由題意知給四部分涂色，至少要用兩種顏色，最多四種顏色，分類討論，最后相加.

【詳解】由題意知給四部分涂色，至少要用兩種顏色，故可分成三類涂色：

第一類，用4種顏色涂色，有A；=120種方法.

第二類，用3種顏色涂色，選3種顏色的方法有C；種.

在涂的過程中，選對頂?shù)膬刹糠郑ˋ、C或8、。）涂同色，另兩部分涂異色有C；種選法；3種顏色涂上去

有A；種涂法，

根據(jù)分步計數(shù)原理求得共C；C；?A；=120種涂法.

第三類，用兩種顏色涂色.選顏色有C；種選法，A、C用一種顏色，B、。涂一種顏色，有A；種涂法，故共

GA"20種涂法.

，共有涂色方法120+120+20=260種，

故選：A.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

染色問題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒有公用區(qū)域”方向考慮：

1.用了幾種顏色。如果顏色沒有全部用完，就要有選色的步驟

2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。所以要觀察“地圖”是否可以“拓撲”轉(zhuǎn)化

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，提供4種不同的顏色給圖中A,B,C,。四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不

同的涂法共有（）種.

D

ABC

A.12B.36C.48D.72

【答案】C

【分笳】根據(jù)使用顏色的數(shù)量進行分類計算即可.

【詳解】如果只用了3種顏色，則ABo三塊區(qū)域顏色必兩兩不同，C區(qū)域必與A相同，

則涂法有A：=24種；

如果用了全部4種顏色，則涂法有A：=24種；

所以總共有24+24=48種涂法.

故選：C.

2.對如下編號為1,2,3,4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇，要求相鄰格子不同色，則

［答案］A

【4析】根據(jù)分步計數(shù)原理可計算出1號格子涂灰色的方案總數(shù)，再計算1號格子和4號格子同時涂灰色

的方案數(shù)，即可算出其概率.

【詳解】由題意可知，整個事件需要分四步，按照格子標(biāo)號依次涂色即可；

若在1號格子涂灰色，則2號格子還有3種選色方案，同時3號格子也有3種選色方案，4號格子還剩2種

選色方案，

即1號格子涂灰色的方案總數(shù)為3x3x2=18種;

若1號格子和4號格子同時涂灰色，則2號格子還有3種選色方案，3號格子還有2種選色方案，

即1號和4號格子同時涂灰色的方案總數(shù)為3x2=6種；

所以，在1號格子涂灰色的條件下，4號格子也涂灰色的概率是P=2=：.

1o3

故選：A.

3.網(wǎng)課期間，小王同學(xué)趁課余時間研究起了七巧板，有一次他將七巧板拼成如下圖形狀，現(xiàn)需要給下圖七巧

板右下方的五個塊涂色（圖中的1,2,3,4,5）,有"4種不同顏色可供選擇，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不

【分析】先給2涂色，再涂5,再涂3、4,這一步要分3與5同色和3和5不同色兩種情況，最后涂1,按

分步計數(shù)乘法原理計算.

【詳解】第一步：涂2,有4種顏色；

第二步：涂5,有3種顏色

第三步：涂3、4,當(dāng)3與5同色時，4有3種顏色；當(dāng)3和5不同色時，3有2種顏色，4有2種顏色，第

三步共7種.

第四步：涂1,有3種顏色.

共計4x3x7x3=252種.

故答案為:252

【題型七】電路圖型

【典例分析】

如圖，在由開關(guān)組A與8組成的電路中，閉合開關(guān)使燈發(fā)光的方法有（）種

A.6B.5C.18D.21

【答案】D

【分析】按A組開關(guān)閉合的個數(shù)分類即可求解

［詳解】分兩類,每類中分兩步.第一類：第1步:A組開關(guān)閉合一個,有2種閉法,笫2步：5組開關(guān)閉合1個,有3

種閉法;B組開關(guān)閉合2個,有3種閉法;B組開關(guān)閉合3個,有1種閉法.此時共2x（3+3+l）=14種閉法.

第二類:第1步:A組開關(guān)閉合2個,共1種閉法,第2步:B組開關(guān)閉合1個,有3種閉法;8組開關(guān)閉合2個,有3種

閉法:B組開關(guān)閉合3個,有1種閉法.

此時共lx（3+3+l）=7種閉法.

綜上洪14+7=21種閉法.

故選：D

【變式訓(xùn)練】

不同的路徑條數(shù)為（）

C.8D.12

【分析】根據(jù)分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理計算可得答案.

【詳解】要讓電路從A處到B處接通，不同的路徑條數(shù)為2xl+2x3=8.

故選：C.

2.如圖所示為一電路圖，從4到8共有條不同的線路可通電（）

C.3D.4

【答案】D

【詳解】試題分析：分兩類：卜.方一種閉合方法，上方三種閉合方法，所以有1+3=4種通電線路，故選D.

考點：本題主要考查分類計數(shù)原理的應(yīng)用.

點評：簡單題，審清題意，理解好"可通電''的條件.

3.如圖，一條電路從A處到B處接通時，可構(gòu)成線路的條數(shù)為（）

</<

A.8B.6

C.5D.3

［答案］B

【4?析】用分步計數(shù)原理即可.

【詳解】解析：從4處到B處的電路接通可分兩步，第1步：前一個并聯(lián)電路接通有2條線路，第2步：

后一個并聯(lián)電路接通有3條線路：由分步乘法計數(shù)原理知電路從A處到8處接通時,可構(gòu)成線路的條數(shù)為3x2

=6.

故選：B.

【題型八】走樓梯型

【典例分析】

欲登上第10級樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有

A.34種B.55種

C.89種D.144種

［答案］Q

析】解法一：分類考慮，第一類是只有一步一級走法，第二類是恰有一步兩級，第三類恰有兩步是一

步兩級，依次到恰好五步都是一步兩級，由此求得答案；

解法二;采用遞推法，設(shè)走”級有。"種走法，第一類：第一步是一步一級，則余下的n-l級有a,-種走法；

第二類：第一步是一步兩級，則余下的2級有a一種走法，得到4=4T+4-2,由此可求得答案.

【詳解】解法1：分類法：

第一類：沒有一步兩級，只有一步一級，則只有一種走法；

第二類：恰有一步是一步兩級，則走完10級要走9步，9步中選一步是一步兩級的，有C；=9種可能走法；

第三類：恰有兩步是一步兩級，則走完10級要走8步，8步中選兩步是一步兩級的，

有C；=28種可能走法；

依此類推，共有1+C；+C"C；+C+C=89,

故選:C

解法2：遞推法：

設(shè)走〃級有種走法，這些走法可按第一步來分類，

第一類：第一步是一步?級，則余下的n-l級有”,,τ種走法；

第二類：第一步是一步兩級，則余下的〃-2級有α,τ種走法，

于是可得遞推關(guān)系式4=%τ+4.2，又4=l,%=2,

山遞推可得＜?=3,4=5,%=8,4=13,%=21,4=34,α9=55,al0=89,

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

一般情況下，可以借助“數(shù)字化法”，把路口轉(zhuǎn)化為相同數(shù)字來進行排列。

比如，向右，定為數(shù)字1,向上，定為數(shù)字2,

如下圖，從A到B,只向右和向上，那么向右2步，向上3步，可以理解為數(shù)字1,1,2,2,2五個數(shù)字

全排列，那么只選不排，相當(dāng)于五個位置，先放三個2,共有或種放法，

【變式訓(xùn)練】

1.欲登上7階樓梯，某人可以每步跨上兩階樓梯，也可以每步跨上一階樓梯，則共有種上樓梯的方法.

【答案】21

【善解】本題采用分步計數(shù)原理.

第一類：O次一步跨上2階樓梯，即每步跨上一階樓梯，跨7次樓梯，只有I種上樓梯的方法；

第二類，1次一步跨上2階樓梯，5次每步跨上一階樓梯，跨6次樓梯，有C：=6種方法；

第三類：2次一步跨上2階樓梯，3次每步跨上一階樓梯，跨5次樓梯，有C=IO種方法：

第四類：3次一步跨上2階樓梯，1次每步跨上一階樓梯，跨4次樓梯，有C=4種方法；共計21種上樓梯

的方法.

2.有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)

7步登完樓梯的概率為.

【答案】§35

【分析】由題意可分為5步、6步、7步、8步、9步、10步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再

利用古典概型的概率公式計算可得；

【詳解】解：由題意可分為5步、6步、7步、8步、9步、10步共6種情況，

①5步：即5步兩階，有C；=l種；

②6步:即4步兩階與2步一階，有C；=15種;

③7步：即3步兩階與4步一階，有C；=35種；

④8步：即2步兩階與6步一階，有C；=28利

⑤9步：即1步兩階與8步一階，有C=9種；

⑥10步：即10步一階，有C>=l種;

綜上可得一共有89種情況，滿足7步登完樓梯的有35種；

故7步登完樓梯的概率為g35故答案為：35

3.某幢樓從二樓到三樓的樓梯共11級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用

7步走完，則上樓梯的方法有種.

【答案】35

【分析】從二樓到三樓用7步走完Il級，七次中選四步走兩級的組合，七步中肯定是三步一級，四步兩級，

共有C74種結(jié)果.

【詳解】?.?從二樓到三樓的樓梯共11級，規(guī)定從二樓到三樓用7步走完

二七次中選四步走兩級的組合，七步中肯定是三步一級，四步兩級，共有C,4=35種結(jié)果，

故答案為35

【金扁本題考查排列組合的實際應(yīng)用，注意實際問題的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題.

【題型九】摸球型

【典例分析】

一個口袋中裝有除顏色外完全相同的4個紅球和2個白球，每次從袋中至少取出一個球，恰好4次取完，

那么不同的取法一共有（）種.

A.76B.48C.40D.28

【答案】A

【分析】分兩種情況討論，有三次拿了1個球，兩次拿了3個球或有兩次拿1個球，兩次拿2個球.

【詳解】由題可得若有三次拿了1個球，兩次拿了3個球，則無論哪一次拿3個球情況一樣，則可拿3紅

或2紅1白或2白1紅，則有（3+3+l）x4=28種取法，

若有兩次拿1個球，兩次拿2個球，先考慮拿2球的兩次在四次中的排列，即C：=6種，

每種情況的種數(shù)一樣，故可從拿2個球的次數(shù)著手，即先拿2球的拿的2紅，后拿的是拿的2白或1紅1

白或2紅；先拿的是1紅1白，后拿的是2紅或1紅1白；先拿的是2白，后拿的是2紅，則有

（l+2+l+2+l+l）χ6=48種，

綜上，不同的取法一共有28+48=76利I.

故選：A.

【變式訓(xùn)練】

1.從2個不同的紅球、2個不同的黃球、2個不同的藍球共六個球中任取2個，放入紅、黃、藍色的三個袋

子中，每個袋子至多放入一個球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有

A.42種B.36種C.72種D.46種

［答案］A

解】分以下幾種情況：

①取出的兩球同色，有3種可能，取出球后則只能將兩球放在不同色的袋子中，則共有&種不同的方法，

故不同的放法有3A；=6種.

②取出的兩球不同色時，有一紅一黃、一紅一藍、一黃一藍3種取法，由于球不同，所以取球的方法數(shù)為

3C；C；=12種；取球后將兩球放在袋子中的方法數(shù)有8+1=3種，所以不同的放法有12x3=36種.

綜上可得不同的放法有42利L選A.

2.將6個不同的乒乓球全部放入兩個不同的球袋中，每個球袋中至少放1個，則不同的放法有（）

A.82種B.62種C.112種D.84種

［答案］B

析】將6個不同的乒乓球分為兩組，可分1和5,2和4,3和3三種情況，分情況結(jié)合排列組合分析

計算.

【詳解】先將6個不同的乒乓球分為兩組，可分1和5,2和4,3和3三種情況，共有C；+C；+gc：=31種，

再將分好的兩組放入不同的球袋，則共有31xA；=62種放法

故選：B.

3.袋中有大小相同的5個球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個

球，設(shè)兩個球的號碼之和為隨機變量X,則X所有可能取值的個數(shù)是（）

A.5B.9C.10D.25

【答案】B

【分析】根據(jù)每次抽取的球號均可能是1，2,3,4,5中某個可得答案.

【詳解】由于抽球是在有放回條件下進行的，所以每次抽取的球號均可能是1,2,3,4,5中某個，故兩

次抽取球號碼之和X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9個.

故選：B.

M分階培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練

1.某中學(xué)舉行歌唱比賽，要求甲、乙、丙三位參賽選手從《難卻》《蘭亭序》《許愿》等6首歌曲中任意選2

首作為參賽歌曲，其中甲和乙都沒有選《難卻》，丙選了《蘭亭序》，但他不會選《許愿》，則甲、乙、丙三

位參賽選手的參賽歌曲的選法共有（）

A.300種B.360種C.400種D.500種

【答案】C

【分析】甲和乙都是從剩余5首歌曲中選兩個，丙是從剩余4首歌曲中選1個，求組合數(shù)的乘積即可.

【詳解】依題意可知，甲、乙需要從剩余5首歌曲中選兩個，丙是從剩余4首歌曲中選1個，

甲、乙、丙三位參賽選手的參賽歌曲的選法共有C；CC；=400種∣?

故選：C.

2.將4名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑，冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分

配到1個項目，志愿者小明不去花樣滑冰項目，則不同的分配方案共有（）

A.12種B.18種C.24種D.48種

【答案】B

析】先分析小明的分配方法，再將另外3名志愿者全排列，由分步乘法計數(shù)原理計算可得答案.

【詳解】志愿者小明不去花樣滑冰項目，則小明有3種分配方法，

將另外3名志愿者分配剩卜.的3個項目，有A；種分配方法，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的分配方案共有38=18種.

故選：B.

3.把5個相同的小球分給3個小朋友，使每個小朋友都能分到小球的分法有（）

A.4種B.6種C.21種D.35種

［答案］B

【4'析】元素相同問題用隔板法.

【詳解】利用隔板法：由題可知使每個小朋友都能分到小球的分法有C；=6種.

故選：B.

4.某鞋店銷售α,b,c,d四種不同款式的運動鞋，甲、乙、丙三人每人任意選擇一款運動鞋購買，則不同

的購買選擇有（）

A.24種B.48種C.64種D.81種

［答案］C

【4析】用分步乘法原理計算.

【詳解】每人有4種不同的購買選擇，總的購買選擇有4x4x4=64種.

故選：C.

5.中國空間站（ChinaSPaCeStatiCm）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月

31日15：37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和

“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“廠字形架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站

將正式進入運營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，

則不同的安排方法有（）

A.450種B.72種C.90種D.360種

［答案］A

■析】利用分組和分配的求法求得6名航天員的安排方案，再利用分類加法計數(shù)原理即可求得.

【詳解】由題知，6名航天員安排三艙，

三艙中每個艙至少一人至多三人，

可分兩種情況考慮：

第一種:分人數(shù)為1-2-3的三組,共有C：C；C，A；=360種;

C2C2C2

第二種：分人數(shù)為2-2-2的三組，共有yl?Aj=90種；

A3

所以不同的安排方法共有360+90=450種.

故選：A.

6.1至10中的質(zhì)數(shù)能夠組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)的個數(shù)為（）

A.4B.12C.24D.64

［答案］D

【4析】先找出1至10中的所有質(zhì)數(shù)，然后將這些質(zhì)數(shù)可以組成的整數(shù)分類，最后利用分類加法計數(shù)原理

即可得解.

【詳解】1至10中的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,

由2,3,5,7組成的沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)可以為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)，

這4個數(shù)字可組成的一位數(shù)有A：=4（個），

可組成的沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)有A：=12（個），

可組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有A：=24（個），

可組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有A：=24（個），

則1至10中的質(zhì)數(shù)能夠組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)的個數(shù)為4+12+24+24=64.

故選：D.

7.導(dǎo)師制是高中新的教學(xué)探索制度，班級科任教師作為導(dǎo)師既面向全體授課對象，又對指定的若干學(xué)生的

個性、人格發(fā)展和全面素質(zhì)提高負責(zé).已知有3位科任教師負責(zé)某學(xué)習(xí)小組的6名同學(xué)，每2名同學(xué)由1

位科任教師負責(zé)，則不同的分配方法的種數(shù)為（）

A.90B.15C.60D.180

【答案】A

［?f］本題考查的為分組分配問題.先分為3組，在分配給3位科任教師即可得出答案.

C；C：C；

【詳解】先將6名同學(xué)平均分為3組，不同的分組方式為=15,

然后再將分好的3組，分配給3位科任教師，不同的分配方式為A；=6.

所以，不同的分配方法的種數(shù)為15x6=90.

故選：A.

8.11月29日，江西新余仙女湖的漁民們迎來入冬第一個開捕日，仙女湖的有機魚迎來又一個豐收年.七位

漁民分在一個小組，各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則

不同的排法有（）

A.96種B.120種C.192種D.240種

【答案】C

【5?加】先將甲乙捆綁成一個單元，再討論其所排位置，運算求解.

【詳解】由題意可知：丙必須在最中間（第4位），則甲乙排在第1、2位或2、3位或5、6位或6、7位,

故不同的排法有A；C：A：=192種.

故選：C.

培優(yōu)第二階——能力提升練

1.某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法

錯誤的是（）

A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為A；

B.若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為C；C：

C.若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為C；一C；

D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數(shù)為c；c；G

【答案】ABD

【3析】利用組合的概念進行計算即可判斷A；分類討論物理和化學(xué)只選一門，物理化學(xué)都選然后進行計

算判斷B：利用間接法進行分析判斷即可判斷C,將問題分三類討論：只選物理，只選化學(xué)，同時選物理和

化學(xué)，由此進行計算和判斷D.

【詳解】解：由題意得：

對于選項A：若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為C；,A錯誤；

對于選項B：若物理和化學(xué)選一門，有C；種方法，其余兩門從剩余的五門中選，有C；種選法；

若物理和化學(xué)選兩門，有C；種選法，剩下一門從剩余的五門中選，有C；種選法，所以總數(shù)為c；c；+GC，

故B錯誤；

對于選項C：若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為c；-c；G=c；-c；,故C正確；

對于選項D：有3種情況：①選物理，不選化學(xué)，有C：種選法；

②選化學(xué)，不選物理，有C；種選法；

③物理與化學(xué)都選，有C；種選法.

故總數(shù)c：+C；+C：=6+10+4=20,故D錯誤.

故選：ABD

2.高二年級安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A,B,C,D,E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每位同學(xué)只能

選擇一個社區(qū)進行活動，且多個同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進行活動，下列說法正確的有（）

A.如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種

B.如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A,則不同的安排方法有25種

C.如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種

D.如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種

【答案］ABC

【I?析】求得社區(qū)A必須有同學(xué)選擇的方法數(shù)判斷選項A；求得同學(xué)甲必須選擇社區(qū)4的方法數(shù)判斷選項B；

求得三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同的安排方法數(shù)判斷選項C；求得甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)的安排

方法數(shù)判斷選項D.

【詳解】安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A,B,C,D,E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，

選項A：如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，

則不同的安排方法有5^-43=61（種）.判斷正確;

選項B：如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A,則不同的安排方法有52=25（種）.判斷正確；

選項C：如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，

則不同的安排方法共有5x4x3=60（種）.判斷正確；

選項D：如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，

再分為丙與甲、乙兩名同學(xué)在一起和不在一起兩種情況，

則不同的安排方法共有5+5?425（種）.判斷錯誤.

故選：ABC

3.某校的高一和高二年級各10個班級，從中選出五個班級參加活動，下列結(jié)論正確的是（）

A.高二六班一定參加的選法有種

B.高一年級恰有2個班級的選法有種

c.高一年級最多有2個班級的選法為:GO種

D.高一年級最多有2個班級的選法為C；Co+C；°C；。+/種

【答案】BCD

【分析】對于AB根據(jù)組合知識即可驗證，對于CD先用組合知識求出從兩個年級中選出五個班級參加活動

共有C；。種，再根據(jù)分類加法原則得出從兩個年級中選出五個班級參加活動共有

c：。+CoCo+CoC：。++c：oC。+C：。種，兩者相等得出c；Co+C0Gl°+c：°=gc*,再得出高一年級最

多有2個班級的選法即可驗證.

【詳解】對于A：高二六班一定參加的選法有C；9種，故A錯誤；

對于B：高一年級恰有2個班級的選法有Cj°C*種，故