遼寧省錦州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省錦州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.3.答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答題標(biāo)號(hào)；答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域或?qū)懺诒驹嚲砩蠠o(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，1.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的值為（）A. B.1 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率為，又直線的傾斜角為，所以，解得.故選:B.2.有4名男同學(xué)和2名女同學(xué)，按性別比例分層抽樣抽取3人，則不同抽法共有（）A.6種 B.8種 C.10種 D.12種〖答案〗D〖解析〗由分層抽樣的定義可知，抽取男同學(xué)的人數(shù)為人，抽取女同學(xué)的人數(shù)為人，所以從4名男同學(xué)中抽取人，2名女同學(xué)中抽取1人，共有種.故選：D.3.如圖所示三棱錐中，為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，于是.故選：C.4.截止2023年2月，“中國(guó)天眼”發(fā)現(xiàn)的脈沖星總數(shù)已經(jīng)達(dá)到740顆以上.被稱(chēng)為“中國(guó)天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST）是目前世界上口徑最大?靈敏度最高的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡（圖1），觀測(cè)時(shí)它可以通過(guò)4450塊三角形面板及2225個(gè)觸控器完成向拋物面轉(zhuǎn)化，此時(shí)軸截面可以看作拋物線的一部分.某學(xué)?？萍夹〗M制作了一個(gè)FAST模型，觀測(cè)時(shí)呈口徑為2米，高為0.5米的拋物面，則其軸截面所在拋物線（圖2）的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（）A.0.5米 B.1米 C.2米 D.4米〖答案〗A〖解析〗建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將點(diǎn)代入可得，故，因此頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為米.故選：A5.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，則為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，則，又，則，故.又直線方程為：，直線方程為：，則直線方程為：.則A點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足：；則B點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足：；因?yàn)橹悬c(diǎn)，，則代入，可得，則故選：A6.《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，該書(shū)記述了我國(guó)古代14種算法，分別是：積算（即算籌）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運(yùn)籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算?和計(jì)數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙3人，該小組要收集九宮算?運(yùn)籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?珠算6種算法相關(guān)資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數(shù)為（）A.240 B.300 C.420 D.540〖答案〗D〖解析〗將6種算法分成3組，有1，1，4一組，有1，2，3一組，以及2，2，2一組，然后將這3組分配給甲乙丙三個(gè)人，所以不同的分配方案有，故選：D7.已知直線與橢圓在第一象限交于兩點(diǎn)，直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，且，則直線的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令的中點(diǎn)為,由題意可知，作出圖形如圖所示因?yàn)樗?設(shè)，則由，得，即，所以，即.設(shè).令，得，令，得，即.所以.所以，解得或（舍）.又因?yàn)?所以，解得或（舍）.所以直線，即.故選：C.8.設(shè)是半徑為3的球體表面上兩定點(diǎn)，且，球體表面上動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以所在平面建立直角坐標(biāo)系，所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸，如圖所示，因?yàn)?，則，設(shè)，所以，化簡(jiǎn)得，故的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，轉(zhuǎn)化到空間中，當(dāng)繞為軸轉(zhuǎn)一周時(shí)，保持不變，依然滿足，故空間中的軌跡為以為球心，以為半徑的球，同時(shí)又在球上，故點(diǎn)在兩球的交線上，軌跡為圓.因?yàn)?，所以球心距又因?yàn)?所以，所以故對(duì)應(yīng)交線圓的半徑為，周長(zhǎng)為.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線，則（）A.焦距為 B.虛軸長(zhǎng)為5C.實(shí)軸長(zhǎng)為6 D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為3〖答案〗AC〖解析〗由可得，，則.A選項(xiàng)，焦距為，故A正確；B選項(xiàng)，虛軸長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，實(shí)軸長(zhǎng)為，故C正確；D選項(xiàng)，右焦點(diǎn)為，一漸近線方程為，則焦點(diǎn)到漸近線距離為：，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.關(guān)于的展開(kāi)式，下列結(jié)論正確的是（）A.展開(kāi)式所有項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為8B.展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為0C.展開(kāi)式含項(xiàng)的系數(shù)為D.展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第4項(xiàng)〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A：展開(kāi)式中所有項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，則展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故B正確；對(duì)于C：的通項(xiàng)為，令，即，則項(xiàng)的系數(shù)為，故C正確；對(duì)于D：由二項(xiàng)式系數(shù)的增減性可知，展開(kāi)式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即，故D正確.故選：BCD.11.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方體圖案（圖1），把三塊這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示幾何體.如圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則（）A.B.C.點(diǎn)到直線的距離是D.異面直線與所成角的正切值為〖答案〗ABC〖解析〗如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，，選項(xiàng)B正確；，選項(xiàng)A正確；設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，選項(xiàng)C正確；，設(shè)異面直線與所成角為，則，有，所以，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．12.已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)，分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，以線段為直徑作圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列正確的判斷有（）A. B.為鈍角三角形C.點(diǎn)在圓外部 D.直線平分〖答案〗ABD〖解析〗如圖所示：對(duì)選項(xiàng)A，由拋物線的焦半徑公式可知，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，令直線的方程為，代入得，所以，所以，所以是鈍角三角形，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，D，由可知，又，所以，所以直線平分角，同理可得平分角，所以，即，所以圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)則__________.〖答案〗1〖解析〗因，則，則.故〖答案〗為：114.寫(xiě)出一條滿足下列性質(zhì)的曲線的方程：①過(guò)原點(diǎn)；②關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；③關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，__________.〖答案〗或或等（〖答案〗不唯一）〖解析〗方程的曲線過(guò)原點(diǎn)，由于，即該方程的曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，又，即該方程的曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以曲線的方程可以為.故〖答案〗為：15.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_________.（用數(shù)字回答）〖答案〗〖解析〗因?yàn)榈恼归_(kāi)通項(xiàng)公式為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為，因?yàn)?，所?故〖答案〗為：.16.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上不同兩點(diǎn)，滿足且在第一象限，若橢圓的離心率，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意知，由，則，則，即有，解得或（舍），則點(diǎn)的坐標(biāo)為，由知，且，即有，，即的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓C方程得，整理得，即，所以，又因?yàn)椋?，即?shí)數(shù)取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知直線過(guò)點(diǎn)且與直線平行，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求直線的方程；（2）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離最大值和最小值.解：（1）法一：由，得，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線平行，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.法二：依題意可設(shè)直線的方程為，由于直線過(guò)點(diǎn)，所以，所以所以直線的方程為（2）法一：由題意知，作出圖形如圖所示，圓過(guò)，所以中點(diǎn)為，直線垂直平分線記為，由得，所以直線的方程為即，又圓心在軸上，即上，聯(lián)立，解得，所以圓心坐標(biāo)為,半徑所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.法二：設(shè)圓的一般方程為，圓過(guò)，所以,解得,所以圓的一般方程為，即.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）由（2）知，圓心，半徑為，作出圖形如圖所示，所以圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離最大值為；點(diǎn)到直線的距離最小值為.18.如圖，四棱錐的底面是正方形，平面為中點(diǎn).（1）判斷直線與平面的位置關(guān)系，并證明；（2）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）直線平面，證明如下：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因面，面，所以平面.（2）法一：以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，又，故點(diǎn)到平面的距離.法二：因?yàn)槊鏋橹悬c(diǎn)，所以到面距離，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，，，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，因?yàn)?，所以，所?19.如圖1，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，將沿折起到位置，如圖2.（1）證明：；（2）若二面角為，求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）在圖（1）中，四邊形是直角梯形，，所以，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是中點(diǎn)，又，，所以三角形為等腰直角三角形，所以，圖（2）中，且，所以；（2）已知二面角為，所以平面平面，且交線為，由（1）知，，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，得，設(shè)平面的法向量，設(shè)平面的法向量，設(shè)平面與平面所成角，則，令，則，故，又，解得，令，則，故，從而，平面與平面所成角，所以平面與平面所成角余弦值為.20.已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交曲線于不同兩點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為.（1）求曲線的方程；（2）求面積的最大值.解：（1）由垂直平分線的性質(zhì)可得，則所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，可知故所以曲線方程為（2）由已知直線交橢圓與不同兩點(diǎn)，原點(diǎn)到直線距離為可得：，可得將代入橢圓方程，整理得所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，綜上可知，當(dāng)最大時(shí)，的面積取最大值21.在三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，，分別為中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）已知，設(shè)平面與平面的交線為，上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）在平行四邊形中，分別為中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面平面；（2）上存在點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為，且線段的長(zhǎng)度為1，理由如下：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，平面與平面的交線為面，所以，取中點(diǎn)，在菱形內(nèi)，，所以為等邊三角形，故，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以，故、、兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有，故，設(shè)，則，設(shè)面的法向量為，，，則，取，則，則