遼寧省錦州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省錦州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷考試時間為120分鐘，滿分150分.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.3.答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答題標(biāo)號；答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域或?qū)懺诒驹嚲砩蠠o效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，1.經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為，則的值為（）A. B.1 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗經(jīng)過兩點的直線的斜率為，又直線的傾斜角為，所以，解得.故選:B.2.有4名男同學(xué)和2名女同學(xué)，按性別比例分層抽樣抽取3人，則不同抽法共有（）A.6種 B.8種 C.10種 D.12種〖答案〗D〖解析〗由分層抽樣的定義可知，抽取男同學(xué)的人數(shù)為人，抽取女同學(xué)的人數(shù)為人，所以從4名男同學(xué)中抽取人，2名女同學(xué)中抽取1人，共有種.故選：D.3.如圖所示三棱錐中，為的中點，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為為的中點，所以，于是.故選：C.4.截止2023年2月，“中國天眼”發(fā)現(xiàn)的脈沖星總數(shù)已經(jīng)達(dá)到740顆以上.被稱為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST）是目前世界上口徑最大?靈敏度最高的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡（圖1），觀測時它可以通過4450塊三角形面板及2225個觸控器完成向拋物面轉(zhuǎn)化，此時軸截面可以看作拋物線的一部分.某學(xué)校科技小組制作了一個FAST模型，觀測時呈口徑為2米，高為0.5米的拋物面，則其軸截面所在拋物線（圖2）的頂點到焦點的距離為（）A.0.5米 B.1米 C.2米 D.4米〖答案〗A〖解析〗建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將點代入可得，故，因此頂點到焦點的距離為米.故選：A5.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點.若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因為，則為中點，又為中點，則，又，則，故.又直線方程為：，直線方程為：，則直線方程為：.則A點橫坐標(biāo)滿足：；則B點橫坐標(biāo)滿足：；因為中點，，則代入，可得，則故選：A6.《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時期徐岳編撰的一部數(shù)學(xué)專著，該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即算籌）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算?和計數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙3人，該小組要收集九宮算?運籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?珠算6種算法相關(guān)資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數(shù)為（）A.240 B.300 C.420 D.540〖答案〗D〖解析〗將6種算法分成3組，有1，1，4一組，有1，2，3一組，以及2，2，2一組，然后將這3組分配給甲乙丙三個人，所以不同的分配方案有，故選：D7.已知直線與橢圓在第一象限交于兩點，直線與軸，軸分別交于，兩點，且，則直線的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令的中點為,由題意可知，作出圖形如圖所示因為所以.設(shè)，則由，得，即，所以，即.設(shè).令，得，令，得，即.所以.所以，解得或（舍）.又因為,所以，解得或（舍）.所以直線，即.故選：C.8.設(shè)是半徑為3的球體表面上兩定點，且，球體表面上動點滿足，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以所在平面建立直角坐標(biāo)系，所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸，如圖所示，因為，則，設(shè)，所以，化簡得，故的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，轉(zhuǎn)化到空間中，當(dāng)繞為軸轉(zhuǎn)一周時，保持不變，依然滿足，故空間中的軌跡為以為球心，以為半徑的球，同時又在球上，故點在兩球的交線上，軌跡為圓.因為，所以球心距又因為,所以，所以故對應(yīng)交線圓的半徑為，周長為.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線，則（）A.焦距為 B.虛軸長為5C.實軸長為6 D.焦點到漸近線的距離為3〖答案〗AC〖解析〗由可得，，則.A選項，焦距為，故A正確；B選項，虛軸長為，故B錯誤；C選項，實軸長為，故C正確；D選項，右焦點為，一漸近線方程為，則焦點到漸近線距離為：，故D錯誤.故選：AC10.關(guān)于的展開式，下列結(jié)論正確的是（）A.展開式所有項二項式系數(shù)和為8B.展開式各項系數(shù)和為0C.展開式含項的系數(shù)為D.展開式二項式系數(shù)最大項為第4項〖答案〗BCD〖解析〗對于A：展開式中所有項二項式系數(shù)和為，故A錯誤；對于B：令，則展開式中所有項的系數(shù)和為，故B正確；對于C：的通項為，令，即，則項的系數(shù)為，故C正確；對于D：由二項式系數(shù)的增減性可知，展開式中第4項的二項式系數(shù)最大，即，故D正確.故選：BCD.11.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（圖1），把三塊這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示幾何體.如圖3中每個正方體的棱長為1，則（）A.B.C.點到直線的距離是D.異面直線與所成角的正切值為〖答案〗ABC〖解析〗如圖以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，，選項B正確；，選項A正確；設(shè)，則點到直線的距離，選項C正確；，設(shè)異面直線與所成角為，則，有，所以，選項D錯誤．故選：ABC．12.已知直線過拋物線的焦點，與拋物線相交于兩點，分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，以線段為直徑作圓為坐標(biāo)原點，下列正確的判斷有（）A. B.為鈍角三角形C.點在圓外部 D.直線平分〖答案〗ABD〖解析〗如圖所示：對選項A，由拋物線的焦半徑公式可知，所以，故A正確；對于選項B，，令直線的方程為，代入得，所以，所以，所以是鈍角三角形，故B正確；對選項C，D，由可知，又，所以，所以直線平分角，同理可得平分角，所以，即，所以圓經(jīng)過點，故C錯誤，D正確．故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)則__________.〖答案〗1〖解析〗因，則，則.故〖答案〗為：114.寫出一條滿足下列性質(zhì)的曲線的方程：①過原點；②關(guān)于軸對稱；③關(guān)于軸對稱，__________.〖答案〗或或等（〖答案〗不唯一）〖解析〗方程的曲線過原點，由于，即該方程的曲線關(guān)于軸對稱，又，即該方程的曲線關(guān)于軸對稱，所以曲線的方程可以為.故〖答案〗為：15.在的展開式中，的系數(shù)為__________.（用數(shù)字回答）〖答案〗〖解析〗因為的展開通項公式為，所以的展開式中的系數(shù)為，因為，所以.故〖答案〗為：.16.已知橢圓的左?右焦點分別為，點是橢圓上不同兩點，滿足且在第一象限，若橢圓的離心率，則實數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意知，由，則，則，即有，解得或（舍），則點的坐標(biāo)為，由知，且，即有，，即的坐標(biāo)為，將點的坐標(biāo)代入橢圓C方程得，整理得，即，所以，又因為，所以，即實數(shù)取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知直線過點且與直線平行，圓經(jīng)過點.（1）求直線的方程；（2）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）點是圓上的動點，求點到直線的距離最大值和最小值.解：（1）法一：由，得，所以直線的斜率為，因為直線與直線平行，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.法二：依題意可設(shè)直線的方程為，由于直線過點，所以，所以所以直線的方程為（2）法一：由題意知，作出圖形如圖所示，圓過，所以中點為，直線垂直平分線記為，由得，所以直線的方程為即，又圓心在軸上，即上，聯(lián)立，解得，所以圓心坐標(biāo)為,半徑所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.法二：設(shè)圓的一般方程為，圓過，所以,解得,所以圓的一般方程為，即.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）由（2）知，圓心，半徑為，作出圖形如圖所示，所以圓心到直線的距離為，所以點到直線的距離最大值為；點到直線的距離最小值為.18.如圖，四棱錐的底面是正方形，平面為中點.（1）判斷直線與平面的位置關(guān)系，并證明；（2）求點到平面的距離.解：（1）直線平面，證明如下：因為四邊形為正方形，所以為的中點，又因為為中點，所以，因面，面，所以平面.（2）法一：以為原點，的方向分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，又，故點到平面的距離.法二：因為面為中點，所以到面距離，因為為的中點，所以，所以，，，設(shè)點到面的距離為，因為，所以，所以.19.如圖1，在直角梯形中，，，，，是的中點，是與的交點，將沿折起到位置，如圖2.（1）證明：；（2）若二面角為，求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）在圖（1）中，四邊形是直角梯形，，所以，因為，為中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為是的中點，所以是中點，又，，所以三角形為等腰直角三角形，所以，圖（2）中，且，所以；（2）已知二面角為，所以平面平面，且交線為，由（1）知，，平面，所以平面，以為原點，的方向分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，得，設(shè)平面的法向量，設(shè)平面的法向量，設(shè)平面與平面所成角，則，令，則，故，又，解得，令，則，故，從而，平面與平面所成角，所以平面與平面所成角余弦值為.20.已知圓，點，點為圓上的動點，線段的垂直平分線交半徑于點，設(shè)動點的軌跡為曲線，直線交曲線于不同兩點，原點到直線的距離為.（1）求曲線的方程；（2）求面積的最大值.解：（1）由垂直平分線的性質(zhì)可得，則所以動點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，可知故所以曲線方程為（2）由已知直線交橢圓與不同兩點，原點到直線距離為可得：，可得將代入橢圓方程，整理得所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，當(dāng)時，，綜上可知，當(dāng)最大時，的面積取最大值21.在三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，，分別為中點.（1）求證：平面平面；（2）已知，設(shè)平面與平面的交線為，上是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求線段的長度；若不存在，請說明理由.解：（1）在平行四邊形中，分別為中點，所以，又平面，平面，所以平面，因為分別為中點，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面平面；（2）上存在點使直線與平面所成角的正弦值為，且線段的長度為1，理由如下：因為，平面，平面，所以平面，平面與平面的交線為面，所以，取中點，在菱形內(nèi)，，所以為等邊三角形，故，因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以，故、、兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有，故，設(shè)，則，設(shè)面的法向量為，，，則，取，則，則