2023年山東各地數(shù)學(xué)中考一模試題匯編含詳解9 銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

專題09銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

一.選擇題（共4小題）

1.（2023?泰山區(qū)校級一模）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60。方向，距離燈塔60〃/淞的小島A出發(fā)，沿

正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45。方向上的5處，這時輪船5與小島A的距離是（）

北

■

A.30?∕3nmileB.60wra7e

C.↑20nmileD.(30+30?∕3)nmile

2.（2023?泰山區(qū)校級一模）如圖所示，某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD,AE,。尸為梯形的高，其中迎水坡4?

的坡角a=45。，坡長AB=Iog米，背水坡8的坡度i=l：G,則背水坡的坡長C。為（）米.

A.20B.20√3C.10D.20√2

3.（2023?泰山區(qū)校級一模）輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東30。方向勻速航行，在5處觀測燈塔A位

于南偏東75。方向上，輪船航行半小時到達(dá)C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60。方向上，則C處與燈塔A的距

離是（）海里.

A.25√3B.25√2C.50D.25

4.（2023?東平縣校級一模）如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖.其中43、CD分別表示一樓、二樓

地面的水平線，ZABC=150o,BC的長是40〃?，則乘電梯從點B到點C上升的高度〃是（）

A.20，"B.C.—√3mD.20√3∕zz

33

二.填空題（共4小題）

5.（2023?岱岳區(qū)校級一模）在綜合實踐課上，小聰所在小組要測量一條河的寬度，如圖，河岸EF//MN,小聰在

河岸MN上點A處用測角儀測得河對岸小樹C位于東北方向，然后沿河岸走了30米，到達(dá)8處，測得河對岸電

線桿。位于北偏東30。方向，此時，其他同學(xué)測得8=10米.請根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出河的寬度為米.（結(jié)果

保留根號）

6.（2023?東平縣一模）一艘輪船位于燈塔P的南偏東60。方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30。方向航

行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67。方向上的3處，此時與燈塔尸的距離約為―海里.（參考數(shù)據(jù)：

sin37o≈—,cos37o≈≈一,tan37o≈

55

7.（2023?梁山縣一模）一漁船在海島A南偏東20。方向的3處遇險，測得海島A與3的距離為20（6+1）海里，漁

船將險情報告給位于A處的救援船后，沿北偏西65。方向向海島C靠近.同時，從A處出發(fā)的救援船沿南偏西10。

方向勻速航行.20分鐘后，救援船在海島C處恰好追上漁船，那么救援船航行的速度為

8.（2023?墾利區(qū)一模）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60。方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航

行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東45。方向上的B處，此時8處與燈塔P的距離為—海里（結(jié)果保留根

三.解答題（共15小題）

9.（2023?歷下區(qū)一模）交通安全心系千萬家，高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測速儀，如圖所示的是該段隧道

的截面示意圖.測速儀C和測速儀E到路面之間的距離CD=EF,測速儀C和E之間的距離CE=750m,一輛小汽

車在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測速儀C處測得小汽車在隧道入口A點的俯角為25。，小汽車到測速儀C

的水平距離AD=l4m,在測速儀E處測得小汽車在B點的俯角為60。，小汽車在隧道中從點A行駛到點3所用的

時間為38s（圖中所有點都在同一平面內(nèi)）.

（1）求A,3兩點之間的距離（結(jié)果精確到1m）；

（2）若該隧道限速22機∕s,判斷小汽車從點A行駛到點8是否超速？通過計算說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：√3≈1.7,sin25o≈0.4,cos25o≈0.9,tan25o≈0.5,sin65o≈0.9,cos65o≈0.4,lan65o≈2.1）

10.（2023?金鄉(xiāng)縣一模）為提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，某學(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)利用周日舉行了測量旗桿高度的活動.已知旗桿

的底座高1米，長8米，寬6米，旗桿位于底座中心.

測量方法如下：在地面上找一點。，用測角儀測出看旗桿AB頂8的仰角為67.4。，沿Z）E方向走4.8米到達(dá)C地,

再次測得看旗桿頂B的仰角為73.5。.

（1）求旗桿的高度.

（2）已知夏至日時該地的最大太陽高度約為78。，試問夏至日旗桿的影子能不能落在臺階上？

（太陽高度角是指某地太陽光線與地平線的夾角.結(jié)果精確到0.1〃?，參考數(shù)據(jù)：tan67.4θ"2?4,tan73.5o=24∕7,

tan22,6o≈5∕12,tan!6.5o≈7∕24.tan12o≈0.21）

11.（2023?河口區(qū)校級一模）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺階）.該小組

在C處安置測角儀CD，測得旗桿頂端A的仰角為30。，前進(jìn)8〃?到達(dá)E處，安置測角儀爐，測得旗桿頂端A的仰

角為45。（點3,E,C在同一直線上）,測角儀支架高CD=EF=?.2m,求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度.（結(jié)

果精確到1，聯(lián)參考數(shù)據(jù)：√3≈1.7）

12.（2021?南沙區(qū)一模）如圖，身高為1.6米的小明在距離一棵大樹10米的點B處看大樹頂端C的仰角為45。，在

大樹的另一邊點A處看這棵大樹頂端C的仰角度數(shù)為α.（A、￡、B在同一條直線上，忽略眼睛到頭頂間距離）

（1）求大樹的高度.

（2）若點A與點B之間的距離為（10+10石）米，求C的值.

C

生油一4

AEB

13.（2023?滕州市一模）請根據(jù)對話和聰聰?shù)淖龇ǎ鉀Q問題

聰聰?shù)淖龇ㄊ牵?/p>

第一步：在教學(xué)樓前5米的M點處測得大樓頂端的仰角為75。；

第二步：在圖書館。處測得教學(xué)樓頂端的仰角為30。，（8、M、。三點共線，A、B、。、C在同一豎直

的平面內(nèi)，測傾儀的高度忽略不計）；

第三步：計算出教學(xué)樓與圖書館之間BQ的距離.

請你根據(jù)聰聰?shù)淖龇?，計算出教學(xué)樓與圖書館之間砒＞的距離？（結(jié)果精確到1米）.

（參考數(shù)據(jù)：sin75o≈0.97,cos75o≈0.26,tan75o≈3.73,√2≈1.41,√3≈1.73）

聰聰，教學(xué)樓與圖書館

之間有池塘你能測出它

們之間的距離嗎？

14.（2023?荷澤一模）如圖，一座山的一段斜坡BD的長度為400米，且這段斜坡的坡度i=l:3（沿斜坡從3到。

時，其升高的高度與水平前進(jìn)的距離之比）.己知在地面3處測得山頂A的仰角（即ZABC）為30。，在斜坡。處測

得山頂A的仰角（即N4DE）為45。.求山頂A到地面BC的高度AC是多少來?

15?（2023?成武縣校級一模）春節(jié)期間，小明發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)處大樓的大屏幕時出現(xiàn)了“新年快樂”幾個大字，小明想利用

剛學(xué)過的知識測量“新”字的高度：如圖，小明先在A處，測得“新”字底端。的仰角為60。，再沿著坡面A3向

上走到5處，測得“新”字頂端C的仰角為45。，坡面AB的坡度i=l：G，AB=50m,AE=15m（假設(shè)A、B、

C、D、E在同一平面內(nèi)）.

（1）求點8的高度防；

（2）求“新”字的高度CD?（C。長保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)√5NL732）

16.（2023?長清區(qū)一模）如圖，某無人機興趣小組在操場上開展活動，此時無人機在離地面30米的。處，無人機

測得操控者A的俯角為30。，測得教學(xué)樓BC頂端點C處的俯角為45。.又經(jīng)過人工測量測得操控者A和教學(xué)樓BC

之間的距離為57米.求教學(xué)樓BC的高度.（點A,B,C,。都在同一平面上，結(jié)果保留根號）

17.（2023?鄲城縣一模）某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量烈士塔的高度.無人機在點A處測得烈士塔頂部點3的

仰角為45。，烈士塔底部點C的俯角為61。，無人機與烈士塔的水平距離仞為10〃?，求烈士塔的高度.（結(jié)果保留

整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin61o≈0.87,cos61o≈0.48,tan61o≈1.80）

☆

D革

命

烈

士

紀(jì)

念

碑

18.（2023?新泰市一模）如圖是把一個裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車貨廂的示意圖.已知汽車貨

廂高度BG=2米,貨廂底面距地面的高度BH=0.6米,坡面與地面的夾角NBAH=a,木箱的長（FC）為2米,高（EF）

和寬都是1.6米.通過計算判斷：當(dāng)Sina=3,木箱底部頂點C與坡面底部點A重合時，木箱上部頂點E會不會觸

5

碰到汽車貨廂頂部.

N

19.（2023?天橋區(qū)一模）某數(shù)學(xué)小組測量古塔DC的高度，如圖，在A處用測角儀測得古塔頂端。的仰角為34。,

沿AC方向前進(jìn)15〃?到達(dá)B處，又測得古塔頂端。的仰角為45。，已知測角儀高度AF=I5〃，測量點A,B與

古塔。C的底部C在同一水平線上，延長EF交C/）于點G,求古塔DC的高度（精確到1優(yōu)，參考數(shù)據(jù)：sin34o≈0.56,

cos34o≈0.83,tan34o≈0.67).

20.（2023?博山區(qū)一模）如圖，某超市計劃將門前的部分樓梯改造成無障礙通道.已知樓梯共有五級均勻分布的臺

階，高AB=0.75w,斜坡AC的坡比為1:2,將要鋪設(shè)的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離

ED=2.55m.為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設(shè)通道的坡角不得小于多少度？（結(jié)果精確到1。）

（參考數(shù)據(jù)表）

計算器按鍵順序計算結(jié)果（已精確到0.001）

F][?irnEE(DCD臼11.310

0.003

WΓ∏EIIΞJC∑I□ΞI□3(Ξ]14.744

kΓΠEliΞJELECT)CZ)0.005

21.（2023?東阿縣一模）如圖，某巡邏艇在海上例行巡邏，上午10時在C處接到海上搜救中心從3處發(fā)來的救援

任務(wù)，此時事故船位于6處的南偏東25。方向上的A處，巡邏艇位于B處的南偏西28。方向上1260米處，事故船位

于巡邏艇的北偏東58。方向上，巡邏艇立刻前往A處救援，已知巡邏艇每分鐘行駛120米，請估計幾分鐘可以到達(dá)

事故船A處.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：G=I.73,sin53o≈-,cos53o≈-,tan53o≈-)

553

22.（2023?利津縣一模）如圖，某樓房A3頂部有一根天線BE,為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上

的三點C,D,A,在點C處測得天線頂端E的仰角為60。，從點C走到點。，測得CD=5米，從點。測得天線

底端8的仰角為45。，已知A,B,E在同一條垂直于地面的直線上，45=25米.

（1）求A與C之間的距離；

（2）求天線BE的高度.（參考數(shù)據(jù)：√3≈1.73,結(jié)果保留整數(shù)）

23.（2023?臨清市一模）數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測量塔樓高度.如圖所示，塔樓剖面和臺階的剖面在同一平面，在

臺階底部點A處測得塔樓頂端點E的仰角NG4E=50.2。，臺階AB長26米，臺階坡面AB的坡度i=5:12,然后在

點B處測得塔樓頂端點E的仰角ZEBF=63Ao,則塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米.

(參考數(shù)據(jù)：tan50.2°≈1.20,tan63.4o≈2.∞,sin50.2o≈0.77,sin63.4o≈0.89)

E

B

F

GA

專題09銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

一.選擇題（共4小題）

1.（2023?泰山區(qū)校級一模）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60。方向，距離燈塔60〃/淞的小島A出發(fā)，沿

正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45。方向上的5處，這時輪船5與小島A的距離是（）

北

■

A.30?∕3nmileB.60〃HWMe

C.TTOnmileD.（30+30G）Wm7e

【答案】D

【分析】過點C作C￡>_LAfi，則在RtΔACD中易得A3的長，再在直角ΔBCD中求出8。，相加可得Λβ的長.

【詳解】解：過C作S_LA5于。點，

.-.ZACD=30o,NBCD=45°,AC=60.

在RlΔA8中，COSZACD=——,

AC

.?.CD=ACcosZACD=60×-=30√^.

2

在RtΔDCB中，NBCD=ZB=45°,

；.CD=BD=3UA

:.AB=AD+BD=(30+30√3)ww?.

答：這時輪船B與小島A的距離是（30+30√3）wm7e.

故選：D.

北

2.（2023?泰山區(qū)校級一模）如圖所示，某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD,AE,OF為梯形的高，其中迎水坡A3

的坡角a=45。，坡長AB=IO夜米，背水坡8的坡度i=l：G，則背水坡的坡長Cz）為（）米.

A.20B.20√3C.10D.20√2

【答案】A

【分析】由AB的坡角a=45。，求出AE的長，再由背水坡CO的坡度i=1：G得出NC=30。，然后由含30。角的直

角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：由題意得：四邊形gD是矩形，

.-.DF=AE,

迎水坡AB的坡角α=45。，坡長AB=IO血米，

.?.DF=AE=≠10√2×sin45°=10（米）,

?背水坡CD的坡度z=1:√3,

..「_._DF_1√3

..tan（J=i=---=-=-—,

CF√33

.?.ZC=30°,

:.CD=2DF=2AE=24（米），

故選：A.

3.（2023?泰山區(qū)校級一模）輪船從8處以每小時50海里的速度沿南偏東30。方向勻速航行，在3處觀測燈塔A位

于南偏東75。方向上，輪船航行半小時到達(dá)C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60。方向上，則C處與燈塔A的距

離是（）海里.

A.25√3B.25√2C.50D.25

【答案】D

【分析】根據(jù)題中所給信息，求出NBC4=90。，再求出NCR4=45。，從而得到AABC為等腰直角三角形，然后根

據(jù)解直角三角形的知識解答.

【詳解】解：根據(jù)題意，

Nl=N2=30°,

ZACD=60°,

.?.ZACB=30o+60o=90o,

.?.ZCβ4=75o-30o=45o,

.?.A4BC為等腰直角三角形，

BC=50x0.5=25（海里），

.?.AC=BC=25（海里）.

4.（2023?東平縣校級一模）如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖.其中AB、8分別表示一樓、二樓

地面的水平線，ZABC=150o,BC的長是40/",則乘電梯從點3到點C上升的高度力是（）

A.20mB.—sHmC.—√3wD.2G乖）m

33

【答案】A

【分析】過C作CEJ_直線ΛB于E,求出NC8E=30。，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)得出CE=IBC,代入

2

求出即可.

【詳解】解：過C作CEJ_直線ΛB于E,貝IJNCEB=90。，CE=h,

NABC=I50。，

.?.NCBE=30°,

BC=AOm,

.?.h^CE=-BC=20m,

2

故選：A.

—.填空題（共4小題）

5.（2023?岱岳區(qū)校級一模）在綜合實踐課上，小聰所在小組要測量一條河的寬度，如圖，河岸所//MM,小聰在

河岸MN上點A處用測角儀測得河對岸小樹C位于東北方向，然后沿河岸走了30米，到達(dá)B處，測得河對岸電

線桿。位于北偏東30。方向，此時，其他同學(xué)測得8=10米.請根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出河的寬度為米.（結(jié)

果保留根號）

北

【分析】如圖作3〃D，CKLMN,垂足分別為H、K,則四邊形B//CK是矩形，設(shè)CK=HB=x,根據(jù)

tan30。=弛列出方程即可解決問題.

BH

【詳解】解：如圖作8"，"，CKLMN,垂足分別為“、K9則四邊形3//CK是矩形，

NCX4=90。，NC^=45。，

.?.NC4K=NACK=45。，

:.AK=CK=χfBK=HC=AK-AB=X-34,

.?HD=x-30+?0=x-20,

在RTABHD中，ABHD=90°，ZHBD=30°，

.?.tan30°=-,

HB

.√3x-20

.?——,

3X

解得x=30+lOG.

???河的寬度為（30+10G）米.

6.（2023?東平縣一模）一艘輪船位于燈塔P的南偏東60。方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30。方向航

行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67。方向上的B處，此時與燈塔P的距離約為海里.（參考數(shù)據(jù)：

343

sin37o≈-,cos37o≈-,tan37o≈-）

554

【答案】50.

【分析】由題意可得NC4P=/E7%=60。，ZC4B=30o,Λ4=3O海里，則NE4B=90。，NS=37。，在RtΔPAB中,

利用正弦函數(shù)求解即可.

【詳解】解：如圖所示標(biāo)注字母，

根據(jù)題意得，ZC4P=ZEZ?=60o,ZC4B=30o,PA=30海里,

.?.Z∕?B=90o,ZAPB=180O-67O-60O=53O,

.?.ZB=180°-90°-53°=37°，

Ap303

在RtAPAB中，sin37°=——=—≈-,

PBPB5

解得P3χ50,

.?.此時與燈塔P的距離約為50海里.

故答案為：50.

7.(2023?梁山縣一模)一漁船在海島力南偏東20。方向的3處遇險，測得海島A與3的距離為20(6+1)海里，漁

船將險情報告給位于A處的救援船后，沿北偏西65。方向向海島C靠近.同時，從A處出發(fā)的救援船沿南偏西10。

方向勻速航行.20分鐘后，救援船在海島C處恰好追上漁船，那么救援船航行的速度為.

【分析】作8LAB，得到兩直角三角形A4CD、ABCD,利用三角函數(shù)的知識即可求得答案.

【詳解】解：作CO_LA8,

NCAB=10。+20。=30。，ZCβ4=65o-20o=45o,

.?.BD=CD=X海里,則AD=[20(√3+1)-幻海里，

CD

在RtAACD中，—=tan30o,

AD

貝IJ—/-----=—,

20(√3+l)-x3

解得X=20,

在RtAACD中，AC=2x20=40海里，

40÷20=2海里/分.

故答案為：2海里/分.

8.(2023?墾利區(qū)一模)如圖，一艘輪船位于燈塔尸的南偏東60。方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航

行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東45。方向上的8處，此時8處與燈塔P的距離為海里（結(jié)果保留

根號）.

【答案】25√6.

【分析】過點P作尸AB,在RtΔAPC中由銳角三角函數(shù)定義求出Pe的長，再在RtABPC中由銳角三角函數(shù)定

義求出心的長即可.

【詳解】解：過戶作PCLAB于C,如圖所示：

由題意得：ZAPC=30。，NBPC=45。,Λ4=50海里，

PC

在RtAAPC中，CoSNA尸C=―

PA

..PC=PA-cosZAPC=50×—=25√3（海里），

2

PC

在RtΔPCB中，cosZBPC=-.

PB

:.PB=———=^^=25√6（海里），

COSNBPC/

V

故答案為：25√6.

≡.解答題（共15小題）

9.（2023?歷下區(qū)一模）交通安全心系千萬家，高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測速儀，如圖所示的是該段隧道

的截面示意圖.測速儀C和測速儀E到路面之間的距離8=防，測速儀C和E之間的距離Cε=750m,一輛小汽

車在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測速儀C處測得小汽車在隧道入口A點的俯角為25。，小汽車到測速儀C

的水平距離AD=Mm,在測速儀E處測得小汽車在B點的俯角為60。，小汽車在隧道中從點A行駛到點B所用的

時間為38s（圖中所有點都在同一平面內(nèi)）.

（1）求A,8兩點之間的距離（結(jié)果精確到IM;

（2）若該隧道限速22”z∕s,判斷小汽車從點A行駛到點B是否超速？通過計算說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：√3≈1.7.sin25o≈0.4.cos25o≈0.9,tan25o≈0.5,sin65o≈0.9,cos65o≈0.4,tan65o≈2.1）

【分析】（1）根據(jù)題意可得：ZCAD=25°,ZEBF=60o,CE=Z）F=750米，然后在RtΔACD中，利用銳角三角

函數(shù)的定義求出CZ）的長，再在RtABEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出班`的長，最后根據(jù)Afi=AD+￡）尸-8尸

進(jìn)行計算即可解答；

（2）先求出汽車的行駛速度，進(jìn)行比較即可解答.

【詳解】解：（1）由題意得：

ZC4T>≈25o,ZEBF=60°,CE=OF=750米，

在RlAACD中，Ar）=I4米，

,,CD

/.14=---------

tan25°

.?.8=7米

在RtABEF中，EF=7米，

pp7

.?.BF=-----=-=≈4.1（米），

tan60o√3

:.AB=AD+DF-BF=i4+150-4Λ≈160（米），

.?.A,8兩點之間的距離約為760米；

（2）小汽車從點A行駛到點5沒有超速，

理由：由題意得：

760÷38=20米/秒，

20米/秒<22米/秒，

小汽車從點A行駛到點B沒有超速.

10?（2023?金鄉(xiāng)縣一模）為提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，某學(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)利用周日舉行了測量旗桿高度的活動.已知旗桿

的底座高1米，長8米，寬6米，旗桿位于底座中心.

測量方法如下：在地面上找一點。，用測角儀測出看旗桿AB頂B的仰角為67.4。，沿。E方向走4.8米到達(dá)C地,

再次測得看旗桿頂B的仰角為73.5。.

（I）求旗桿的高度?

（2）已知夏至日時該地的最大太陽高度約為78。，試問夏至日旗桿的影子能不能落在臺階上？

（太陽高度角是指某地太陽光線與地平線的夾角.結(jié)果精確到0.1相，參考數(shù)據(jù)：tan67.4。《2.4,tan73.5。=24/7,

tan22.6o≈5∕12,tanl6.5o≈7∕24,tan12o≈0.21）

【分析】（1）設(shè)旗桿的高度為X米，則EB=（X+1）米，利用銳角三角函數(shù)列式計算即可；

（2）設(shè)夏至日旗桿的影長為y米，根據(jù)銳角三角函數(shù)解得y的值，然后根據(jù)旗桿的底座長8米，旗桿位于底座中

心.根據(jù)8÷2=4,比較y與4的大小，進(jìn)而可以解決問題.

【詳解】解：（1）設(shè)旗桿的高度為X米，則EB=（X+1）米，

根據(jù)題意可知：NBDE=67.4。，NBCE=735°.Z)C=4.8米,

x+1x+l24

tanNBDE=---≈2.4tanABCE=——------≈—

DEEC+4.8CECE7

%+1

≈2.4

7

24α+D+4.8

解得X=37.4,

.?.旗桿的高度為37.4米；

（2）,旗桿的高度為37.4米，則BE=38.4米,

設(shè)夏至日旗桿的影長為y米，

tanl2o=γ÷Bf≈0.21,

解得y=0.21X38.4≈8.1,

旗桿的底座長8米，寬6米，

工底座的對角線是10米,

.?.8.1>5,

.?.夏至日旗桿的影子不能落在臺階上.

11.（2023?河口區(qū)校級一模）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺階）.該小組

在C處安置測角儀CD，測得旗桿頂端A的仰角為30。，前進(jìn)8〃?到達(dá)E處，安置測角儀所，測得旗桿頂端A的仰

角為45。（點3,E,C在同一直線上）,測角儀支架高CD=EF=?.2m,求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度.（結(jié)

【分析】延長上交Λ5于點G,根據(jù)題意可得：DF=CE=8∕n,ZX?=EF=BG=L2w,NAGF=90。，然后設(shè)AG=X

m,在RtΔAFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出尸G的長，從而求出OG的長，再在RlΔADG中，利用銳角三角

函數(shù)的定義列出關(guān)于X的方程，進(jìn)行計算即可解答.

DF=CE=Sm,DC=EF=BG=I.2m,ZAGF=90°,

設(shè)AG=xm,

在RtAAFG中，ZAFG=45°,

AG

.,.FG=------=x(m),

tan45°

.?.DG=DF+FG=(x+8)∕n,

在RtAADG中，ZADG=30°,

.??no-AG-X_G

..tan30=-----=-------=—,

DGx+83

.?.X=+4,

經(jīng)檢驗：x=4√5+4是原方程的根，

.?.AB=AG+BG≈12(m),

：.旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12機.

12.(2021?南沙區(qū)一模)如圖，身高為1.6米的小明在距離一棵大樹10米的點B處看大樹頂端C的仰角為45。，在

大樹的另一邊點A處看這棵大樹頂端C的仰角度數(shù)為α.(A、￡、B在同一條直線上，忽略眼睛到頭頂間距離)

(1)求大樹的高度.

（2）若點A與點3之間的距離為（10+10G）米，求α的值.

C

生^一與

AEB

【分析】（1）由題意得四邊形3EZX7是矩形，則OE=3G=1.6米，DG=BE=IO米，再證ACDG是等腰直角三角

形，得CD=OG=Io米，求解即可；

（2）設(shè)小明在A處時，頭頂為尸，連接AF,則四邊形姐W是矩形，得DF=AE=AB-BE=I。出（米），再由

銳角三角函數(shù)定義求出tanNCH）=且，求解即可.

3

【詳解】解：（1）如圖，CEJGB±AB,DGLCE,

.?.四邊形3E3G是矩形，

..DE=JBG=1.6米，DG=3E=K）米，

NCG￡>=45°,

」.△8G是等腰直角三角形，

8=QG=Io米，

/.CE=CD+DE=10+1.6=11.6（米），

二大樹的高度為11.6米；

（2）設(shè)小明在A處時，頭頂為F,連接?？冢?/p>

則四邊形4瓦乃是矩形，

48=（10+10揚米，

.?.DF=A￡=AB-B￡=10+10√3-10=10√3（米），

在RtACDF中，tanZCFD=-=-?=-,

DF10√33

.-.ZCFD=30°，

a-30°.

13.（2023?滕州市一模）請根據(jù)對話和聰聰?shù)淖龇?，解決問題

聰聰?shù)淖龇ㄊ牵?/p>

第一步：在教學(xué)樓前5米的M點處測得大樓頂端的仰角為75。；

第二步：在圖書館。處測得教學(xué)樓頂端的仰角為30。，（B、V、。三點共線，A、B、M、D、C在同一豎直

的平面內(nèi)，測傾儀的高度忽略不計）；

第三步：計算出教學(xué)樓與圖書館之間應(yīng)）的距離.

請你根據(jù)聰聰?shù)淖龇?，計算出教學(xué)樓與圖書館之間8。的距離？（結(jié)果精確到1米）.

（參考數(shù)據(jù)：sin75o≈0.97,cos75o≈0.26,tan75o≈3.73,√2≈1.41,^≈1.73）

聰聰，教學(xué)樓與圖書館

之間有池塘你能測出它

們之間的距離嗎？

【分析】解直角三角形AftW求得他，解RtΔABD可得出處的長，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)題意可得NABM=90。,

在RtAABM中，BM=5,ZAMB=75°,

Afl

tanZAMB=——≈3.73,

BM

.?.ΛB≈3.73×5=18.65（米），

在RtΔABD中，ZADB=30o,

tanZADB=,

BD3

.?.BD=√3AB≈1.73×18.65≈32（米）,

教學(xué)樓與圖書館之間的的距離約為32米.

14.（2023?菊澤一模）如圖，一座山的一段斜坡切的長度為400米，且這段斜坡的坡度,=1:3（沿斜坡從B到。

時，其升高的高度與水平前進(jìn)的距離之比）.已知在地面3處測得山頂A的仰角（即ZABC）為30。，在斜坡。處測

得山頂A的仰角（即NAOE）為45。.求山頂A到地面3C的高度AC是多少來？

【分析】作OHJ-BC1于”設(shè)AE=X米，在RlΔBDH中，根據(jù)已知條件可得=400?,進(jìn)而求出。H和

3〃的長度；在RtAADE中，根據(jù)NADE=45?？傻肈E=AE=X米，進(jìn)而求出EC.在RtΔABC中，根據(jù)

tanZASC=——求出x,再結(jié)合AC=AE+EC解答題目.

BC

【詳解】解：過點。作￡>”_L3C于H,設(shè)AE=Xm.

這段斜坡的坡度1=1:3,

:.DH:BH=1:3.

在RtABDH中，DH2+(3DH)2=4002,

.?.DH=40√10(∕n),則BH=120√10(w).

在RtAADE中，NADE=45。,

.?.DE=AE=Xm.

又HC=ED,EC=DH,

：.HC=xin,EC=40yfl0nι，

ΔΓ,x+40√iδ√3

在RtAABC中,tan30°=—

BCl20√10+x^3

解得X=40回,

.?.AC=AE+EC=(40√30+40√10)∕w.

故山頂A到地面BC的高度AC是(40√30+40√10)∕n.

15.(2023?成武縣校級一模)春節(jié)期間，小明發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)處大樓的大屏幕時出現(xiàn)了“新年快樂”幾個大字，小明想利用

剛學(xué)過的知識測量“新”字的高度：如圖，小明先在A處，測得“新”字底端。的仰角為60。，再沿著坡面43向

上走到5處，測得“新”字頂端。的仰角為45。，坡面AB的坡度i=L√5,AB=50m,AE=756(假設(shè)A、B、

C、D、E在同一平面內(nèi)).

(1)求點3的高度BF；

(2)求“新”字的高度C￡>.(C。長保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)6=1.732)

【分析】(1)由坡度的概念求出所即可；

(2)由勾股定理求出AF,再由銳角三角函數(shù)定義求出Z)E和CG,即可解決問題.

【詳解】解：(1)如圖，過5作8Gl.cE于G,

?坡面AB的坡度1:6,

:.tanZBAF=l-.y∕3=-,

3

:.ZBAF=30°,

；.BF=LAB=25(m);

(2)由勾股定理得，AF=y]AB2-BF2=√5O2-252=,

BG=FE=AF+AE=(25百+75)?！?，

DEL

在RtADAE中，tanZDAE=一=tan60o≈√3.

AE

/.DE=√3AE=75√3(w),

NCBG=45。，

.?.ACBG是等腰直角三角形，

.?.CG=BG=(25百+75)In,

GE=BF=25m,

CD=CG+GE-DE=25√3+75+25-75√3=100-50√3≈13.4(〃?)，

答：“新”字的高度CD約為13.4m.

16.（2023?長清區(qū)一模）如圖，某無人機興趣小組在操場上開展活動，此時無人機在離地面30米的。處，無人機

測得操控者A的俯角為30。，測得教學(xué)樓BC頂端點C處的俯角為45。.又經(jīng)過人工測量測得操控者A和教學(xué)樓BC

之間的距離為57米.求教學(xué)樓BC的高度.（點A,B,C,。都在同一平面上，結(jié)果保留根號）

【分析】過點。作DE于點E,過點C作CF_Lf）E于點尸，由題意得AB=57米，DE=30米，ZDAE=30o,

NDCF=45°,再由銳角三角函數(shù)定義求出AE的長，然后求出CF=BE=（57-3Oe）米，進(jìn)而可得教學(xué)樓BC的高

度.

【詳解】解：過點。作DELAS于點E,過點C作C戶_LE)E于點F,如圖所示:

則四邊形BCEE是矩形，

由題意得：AB=57米，DE=30米，ZDAE=30o,ZDCF=45。,

在RtΔADE中，ZAED=90。，

DE

.?.tanNZ)A￡"=,

AE

AE=―—==30G(米)，

tan30o√∣

T

.?.BE=AB-AE=(57-30√3)米，

四邊形BCFE是矩形，

/.CF=BE=(57-30√3)米，

在RtΔDCF中，Ne)FC=90。,

；.NCDF=NDCF=45°,

：.DF=CF=(57-306)米，

.?.BC=EF=30-57+30√3=(30√3-27)^,

答：教學(xué)樓BC的高度為(3θ8-27)米.

17.(2023?鄲城縣一模)某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量烈士塔的高度.無人機在點A處測得烈士塔頂部點5的

仰角為45。，烈士塔底部點C的俯角為61。，無人機與烈士塔的水平距離為IO,",求烈士塔的高度.(結(jié)果保留

整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin6Io≈0.87,cos61o≈0.48,tan61°≈1.80)

R

☆

D革

嘲:命

烈

士

紀(jì)

念

碑

CDCD

【分析】在RtAABD中，ZS4Z)=45o,可得AD=BD=10機，在RtΔACD中，tan61°=——=—≈1.80,求出8,

AD10

根據(jù)BC=BD+CZ)可得答案.

【詳解】解：在RtΔABD中，ZBAD=45°,

.?.AD=BD=10/7?,

C∏CD

在RtΔACD中，tan61。=—=一≈1.80,

AD10

解得8≈18,

.?BC=BD+CD=28m

.?.烈士塔的高度約為28m.

18.(2023?新泰市一模)如圖是把一個裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車貨廂的示意圖.已知汽車貨

廂高度3G=2米,貨廂底面距地面的高度BH=0.6米,坡面與地面的夾角NBAH=a,木箱的長(FC)為2米,高(Er)

和寬都是1?6米.通過計算判斷：當(dāng)Sina=木箱底部頂點C與坡面底部點A重合時，木箱上部頂點E會不會觸

5

碰到汽車貨廂頂部.

【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后利用銳角三角函數(shù)求出87+EK的長度，再與2比較大小即可解答本題.

【詳解】解：B"=0.6米，sina=-,

BH_0-6_|來

■■AB——~-—-1√∣s,

Sina?

5

.?.A∕7=0.8米,

AF=FC=2米,

.?.3F=］米,

作E/_L8G于點J,作EKJL/7于點K,

AEKF=AFJB=ZAHB=90)°,ZEFK=ZFR/=ZABH,BF=AB,

:.莊FKSaBJS^BH,WBJ三N?BH,

EFFKEK

K∕=3"=0.6米,

~AB~~BH~~AH

1.6FKEK

即hπ—=----=----

10.60.8

解得，EK=L28,

.?.β∕+EK=0.6+1.28=1.88<2,

木箱上部頂點E不會觸碰到汽車貨廂頂部.

19.（2023?天橋區(qū)一模）某數(shù)學(xué)小組測量古塔Z）C的高度，如圖，在A處用測角儀測得古塔頂端。的仰角為34。，

沿AC方向前進(jìn)15〃?到達(dá)B處，又測得古塔頂端。的仰角為45。，已知測角儀高度A￡=BF=I5〃，測量點A,B與

古塔DC的底部C在同一水平線上，延長EF交C7）于點G,求古塔DC的高度（精確到,參考數(shù)據(jù)：sin34o≈0.56,

cos34o≈0.83,tan34o≈0.67).

【分析】根據(jù)題意可得：GC=AE=BF=L5m,AB=EF=15米，ZDGE=ZDCA=90°,然后設(shè)Z）G=x，"，在

RtADGF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出產(chǎn)G=X機，從而可得EG=（X+15）川，再在RtADGE中，利用銳角三角

函數(shù)的定義列出關(guān)于X的方程，進(jìn)行計算可求出OG的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答.

【詳解】解：由題意得:

GC=AE=BF=L5m,ΛB=EF=15米，NDGE=NDCA=90°,

設(shè)DG=xm,

在RtADGF中，Nr)FG=45。,

.?.FG---DG-=x(m)>

tan45°

EG=EF+FG=(x+15)∕M,

在RtΔDGE中，NZ)EG=34。，

.?.tan340=-=—^≈0.67,