三元一次方程組的解法（單元教學設計）大單元教學人教版七年級數(shù)學下冊

8.4三元一次方程組的解法（單元教學設計）

一、【單元目標】

通過《九章算術》里的題目，引出本章的主旨內(nèi)容一三元一次方程組，通過設三個未知

數(shù)，列出三元一次方程組，讓學生掌握三元一次方程組的概念，再通過“消元”的思維，將

三元轉化為二元，再轉化為一元，即可解出三元一次方程組，讓學生切實體會到三元一次方

程組的解法；

（1）本節(jié)將從三元一次方程組的概念出發(fā)，將概念的組成條件展現(xiàn)出來，使學生可以

從字面意思上理解三元一次方程組的三要素：（1）方程組中一共含有三個未知數(shù)；（2）每個方

程中含未知數(shù)的次數(shù)都是1；（3）方程組中共有三個整式方程；

（2）通過設置小組合作探究，讓學生參與教學過程，利用掌握的二元一次方程組的解

法，自己動手解三元一次方程組，并從中總結出經(jīng)驗，培養(yǎng)學生的思維能力和實踐能力；

（3）通過典型例題的訓練，加強學生的做題技巧，訓練做題的方法，提升學生的邏輯

推理素養(yǎng)；

（4）在師生共同思考與合作下，學生通過概括與抽象、類比的方法，體會了歸因與轉

化的數(shù)學思想，同時提升了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，并發(fā)展了學生的邏輯推理素養(yǎng)；

二、【單元知識結構框架】

（三元一次方程組的概念

三元一次方程組的解法（三元一次方程組的解法

（三元一次方程組的應用

1.認知基礎

三元一次方程組的解法是相對拓展的內(nèi)容，主要是對二元一次方程組的深化理解，學會

將三元一次方程組轉化為二元一次方程組，再轉化為一元一次方程，即可達到解方程組的目

的；三元一次方程組的概念、解法和應用的學習，加強學生解決多個未知數(shù)題型的能力，同

時豐富了對方程的理解；

2.認知障礙

三元一次方程組主要問題在于解法容易出錯，遇到復雜系數(shù)的三元一次方程組問題，往

往不知從何下手；三元一次方程組的應用題型，需要對情況進行分類；三元一次方程組，是

對二元一次方程組問題的深入學習，要有舉一反三的能力；

四、【教學設計思路/過程】

課時安排：約2課時

教學重點：三元一次方程組的概念與解法；

教學難點：三元一次方程組的實際應用問題;

五、【教學問題診斷分析】

【情境導入】

《九章算術》分為9章，并因此而得名.其中第8章為“方程”，里面有這樣一道題目

（用現(xiàn)代漢語表述）：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等

的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下

等的稻，共出谷26斗.

問：上、中、下三種稻，每束的出谷量各是多少斗？

8.4.1三元一次方程組的概念

問題1：下列方程組中，是三元一次方程組的是（）

ri

一+1=1,

（2X

X—y—1\,

?.,y+z—O,B.S-+z=2,

-÷x=6

,z

a+b^?-c+d=1,∕ZZ÷∕7=18,

D.?n+f=12,

[b-d=3,r÷∕o=O

【破解方法】滿足三元一次方程組的條件：（1）方程組中一共含有三個未知數(shù)；（2）每個

方程中含未知數(shù)的次數(shù)都是1；（3）方程組中共有三個整式方程.

【解析】A選項中，方程f-y=l與χz=2中含未知數(shù)的項的次數(shù)為2,不符合三元一

次方程組的定義，故A選項不是；B選項中LLL不是整式，故B選項不是；C選項中方程

xyz

組含有四個未知數(shù)，故C選項不是；D選項符合三元一次方程組的定義.故答案為D.

8.4.2三元一次方程組的解法

問題2：解下列三元一次方程組：

z—y+x,①’2x+3y+z=ll,①

（1）＜2x—3y+2z=5,②⑵（x+y+z=0,②

/+2y+z=13;③.3χ-y—z=-2.③

【破解方法】解三元一次方程組的難點在于根據(jù)方程組中方程的系數(shù)特點選擇較簡便的

方法.（1）一般地，若某一方程的系數(shù)比較簡單，可選用代入法；（2）若方程組三個方程中某

個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成倍數(shù)時，可選用加減消元法，但要注意必須消去同一個未

知數(shù),否則所得的兩個新方程雖然都含兩個未知數(shù),但由它們組成的方程組仍含三個未知數(shù),

并未達到消元的目的.

4χ-y=5f[x=2f

【解析】⑴將①代入②、③，消去Z,得C,；,°解得C把x=2,=3代

2x+3y=13.Iy=3.y

'X—2,

入①，得z=5.所以原方程組的解為?尸3,

.z=5;

⑵①一②，得x+2y=ll.④

①+③，得5x+2y=9.⑤

x÷2y=ll,

④與⑤組成方程組,

[5x+2y=9.

卜=T

解得〈CC

23

rτ?

12321

把X=-尸于代入②，得Z=——.

乙，dI

C1

X=~2f

93

所以原方程組的解是彳y=-

21

8.4.3三元一次方程組的應用

問題3：（三元一次方程組在非負數(shù)中的應用）割Lb-II+（,Ta+"+3一引

=0,求小b,C的值.

【破解方法】非負數(shù)之和為0,隱含著每個非負數(shù)都為0,從而可列方程組求解.

【解析】解：因為三個非負數(shù)的和等于0,所以每個非負數(shù)都為0.

（a-b-l=O,a=-3,

可得方程組上一2a+c=0,解得V

Z?=—4,

〔2c—b=0.

C=-2.

問題4：（利用三元一次方程組解決數(shù)字問題）一個三位數(shù)，十位上的數(shù)字是個位上的

數(shù)字的T百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和比個位上的數(shù)字大L將百位與個位上的數(shù)字對

調后得到的新三位數(shù)比原三位數(shù)大495,求原三位數(shù).

【破解方法】解數(shù)字問題的關鍵是正確地用代數(shù)式表示數(shù).如果一個兩位數(shù)的十位上的

數(shù)字為a,個位上的數(shù)字為b,那么這個兩位數(shù)可表示為IOa+6.如果一個三位數(shù)的百位上

的數(shù)字為a,十位上的數(shù)字為b,個位上的數(shù)字為c,那么這個三位數(shù)可表示為IOOa+10%

+c,依此類推.

【解析】解：設原三位數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字分別為X、人z.由題意，得

r3

y=^iz,

<

x+y—z+1,

JoOZ+10y+x—100x+10y+z+495,

'x=3,

解得<尸6,

.z=8.

答：原三位數(shù)是368.

問題5：（列三元一次方程組解決實際問題）某汽車在相距70km的甲、乙兩地往返行

駛，因途中有一坡度均勻的小山.該汽車從甲地到乙地需要2.5h,而從乙地到甲地需要2.3h.

假設汽車在平路、上坡路、下坡路的時速分別是30km、20km、40km,則從甲地到乙地的過

程中，上坡路、平路、下坡路的長度各是多少？

【破解方法】題中有三個等量關系：①上坡路長度+平路長度+下坡路長度=70km;②

從甲地到乙地的過程中，上坡時間+平路時間+下坡時間=2.5h；③從乙地到甲地的過程中，

上坡時間+平路時間+下坡時間=2.3h.

【解析】解：設從甲地到乙地的過程中，上坡路、平路、下坡路的長度分別是妹m,?km

和2km.

(rx+y+z=70,

X=I2,

二÷Z÷Z=25

由題意,得<203040,解得《JZ=54,

二+2+二=232=4.

1203040

答：從甲地到乙地的過程中，上坡路是12km,平路是54km,下坡路是4km.

六、【教學成果自我檢測】

1.課前預習

設計意圖：落實與理解教材要求的基本教學內(nèi)容.

1.下列方程組中，是三元一次方程組的是（)

x+y=Ox+y+z=O

A.<y+z=lB.<x-3yz=-?3

z+W=5x-2z=11

3x+4z=7x2-2y=0

C..2x+3y=9-zD.’y+z=3

5x-9y+7z=8x+y+z=1

【答案】c

【分析】方程組含有三個未知數(shù)，每個方程中含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,像這樣的方程

組叫做三元一次方程組.利用三元一次方程組的定義判斷即可.

【詳解】解：由三元一次方程組的定義得

3x+4z=7

?2x+3y=9-z是三元一次方程組，

5x-9y+7z=8

故選：C.

【點睛】此題考查「三元一次方程組的定義，熟練掌握三元一次方程組的定義是解本題的關

鍵.

x+>>=3

2.已知方程組,y+z=-6,則x+y+z的值是（）

z+x=9

A.3B.4

C.5D.6

【答案】A

【分析】三個方程相加即可得到χ+y+z的值.

x+y=3

【詳解】解：方程組?y+z=-6,

z+x=9

三個方程相加得：2x+2y+2z=6,

x+y+z=3,

故選：A.

【點睛】本題主要考查三元一次方程組的解,解得關鍵是明確解三元一次方程組的解答方法.

3.在“自主互助學習型課堂競賽”中，為獎勵表現(xiàn)突出的同學，初一（7）班利用班費IOO

元錢，購買鋼筆、相冊、筆記本三種獎品，其中鋼筆至多買2支，若鋼筆每支20元，相冊

每本10元，筆記本每本5元，在把錢都用盡的條件下，買法共有（）

A.9種B.10種C.11種D.12種

【答案】D

【分析】根據(jù)題意設未知數(shù)，列出方程，然后分類討論即可.

【詳解】解：設購買鋼筆X支，相冊y本，筆記本Z本，

根據(jù)題意得20x+10y+5z=100,

化簡，得4x+2y+z=20,

：鋼筆最多買2支，

.?.x可以取1、2,

當x=l時,4+2y+z=20,

即2y+z=16,y可以取的值有1、2、3、4、5、6、7,有7種；

當x=2時,8+2y+z=20,

即2y+z=12,y可以取的值有1、2、3、4、5,有5種：

.?.一共有買法7+5=12（種），

故選：D.

【點睛】本題考查了三元一次方程組的應用，根據(jù)題意列出方程，分類討論是解題關鍵.

4.含有個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是,這樣的方程叫做三

元一次方程.例如：x+y+z=23和2x+y—z=20

【答案】三1

5.若（a—l）x+5yfe+∣+2z2M=10是一個三元一次方程，那么a=,b=.

【答案】-10

【分析】根據(jù)三元一次方程的定義：含有三個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程，由此可

,a-l≠0

得,?+l=l,解出即可得出答案.

2-同=1

α-l≠O

【詳解】由題意得：，"1=1,

2-14=1

故答案為：T,0.

【點睛】本題考查了三元一次方程，解題關鍵是掌握三元一次方程的定義.

x+y-z=llφ

6.解方程組：,y+z-x=5②

z+x-y=1③

x=6

【答案】＞=8

2=3

【詳解】解：①+②，解得y=8.

將尸8代入②和③,

Z-X=-3

得

z÷x=9

x=6

解得

z=3

x=6

所以原方程組的解為＜y=8.

z=3

2.課堂檢測

設計意圖：例題變式練.

x+y+z=0①

【變式1】解三元一次方程組卜x+2y+z=10②，如果消掉未知數(shù)Z,則應對方程組變形為

2x-y+z=0③

()

A.①+③，①X2-②B.①+③，③X2+②C.②-①，②-

③D.①-②，①X2-③

【答案】C

【分析】注意到方程組Z前面的系數(shù)都為1,所以直接相減消去

【詳解】②一①得：2x+y=10

②-③得：x+3y=10

∣2x+y=10

方程組變形為?小，剛好消去Z

故選：C

【點睛】本題考查對三元一次方程組的消元，善于觀察是解題關鍵.

【變式2】已知j2x-l+Jl-2x+∣x-2y∣+∣z+4y∣=0,則2孫Z的相反數(shù)是（

【答案】B

2Λ?-1=0

【分析】根據(jù)算術平方根和絕對值的非負性，得出τ-2y=0,解之得出X、y、Z的值，

z+4y=0

再把X、y、Z的值代入2孫Z計算，得出2^Z的值，再根據(jù)相反數(shù)的定義，即可得出答案.

【詳解】解：在J2x—1+Jl—2x+|x—2y∣+∣z+4y∣=O中,

V√2x-l≥0,√1-2Λ≥0.∣x-2y∣≥0,∣z+4y∣>0,

,2x-l=0

.?.可得：?x-2y=0,

解得:

.?.2沖Z的相反數(shù)是

4

故選：B

【點睛】本題考查了算術平方根和絕對值的非負性、解三元一次方程組、求代數(shù)式的值、相

反數(shù)，解本題的關鍵在得出X、y、Z的值.

【變式3】有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若購甲4

件、乙10件、丙1件，共需79元；現(xiàn)購甲、乙、丙各一件，共需（）元

A.33B.34C.35D.36

【答案】B

3x+7y+z=64

【分析】設購甲每件X元，購乙每件）元，購內(nèi)每件Z元.列方程組得:

4x+10>,+z=79

然后求得χ+y+z的值.

【詳解】解：設購甲每件X元，購乙每件y元，購丙每件Z元.

3x+7y+z=64①

列方程組得:

4x+10y+z=79②'

①χ3-②χ2得：x+y+z=34.

故選：B.

【點睛】本題考查了三元一次方程組的應用.根據(jù)系數(shù)特點，通過加減，得到一個整體，然

后整體求解.

【變式4】已知。、b、C滿足α+4+3c=10,3a+?+c=70,則a+b+c=_.

【答案】20

【分析】仔細觀察兩個等式中的“、b、C的系數(shù)知，兩式相加得4α+4b+4c=80,由此即

可解題.

【詳解】解：a、b、C滿足α+2?+3c?=10①，3α+2b+c=7O②,

①+②得：4α+4A+4c=80,

即：4(α+b+c)=80,

所以4+6+c=20.

故答案為：20.

【點睛】本題考查的是解三元一次方程組.解答此題時，注意尋找其中的技巧，即兩個等式

相加后，恰好是α+b+c的4倍.

XC

—+y+z=2

2

【變式5】解方程組:2x+--z=1

3

y=x+?

X=lθ

23

33

y=一

283

z--

23

【分析】①+②得:,+募=3④，將③代入④求出X的值，將X的值代入③求出y的

值，再將X,y的值代入①求出Z的值.

]+y+z=2①

【詳解】解：，2x+1-Z=I②，

y=x+l?③

①+②得：,=3④,

將③代入④，得：—+≤^=3,

23

解得工吟，

將X=荔代入③,得：y=￡+i=H，

將X=1M0y=竟33代入①，得焉S+3導3z=2,

Q

解得Z=卷，

23

X-10

一

y23

33

-一

故該方程組的解為：?

z283

-一

23

【點睛】本題考查解三元一次方程組，熟練掌握三元一次方程組的解法是解題的關鍵.

【變式6】在y=+bx+c中，當X=O時，￥=-7；X=I時，γ=-9；%=一1時，y=-3,

求。、b、C的值.

【答案]α=1,b=-3,C=-I.

【分析】將尢=0,丁=-7；χ=l,y=-9；χ=-l,產(chǎn)―3代入方程列出三元一次方程組,

然后進行求解.

【詳解】解：將Y=0,丁=-7；χ=l,y=-9；χ=-l,丁二一3代入得：

C=-I

<a+h+c=—9,

a-h+c=-3

a-?

解得：?b=-3.

c=-7

.*.tz=Lb=-3,c=-rl.

【點睛】此題主要考查三元?次方程組的運用，解題的關鍵是根據(jù)題意列出方程組.

3.課后作業(yè)

設計意圖：鞏固提升.

X=Cl

1.若方程組+：Z=I的解是.

V=I,則α+0+6c的值是（）

[x-2Ay+3z=3

Z=C

A.-3B.OC.3D.6

【答案】A

x=a

α-8+4c=1①

【分析】先把y=l代入原方程組,可得V由①-②可得b=-2-c,再把

α-2b+3c=3②

Z=C

6=—2—c代入①，可得α+5c=T,然后代入，即可求解.

Ix-hy+4z=1

【詳解】解：???方程組二Q2的解是y=L

x-2?y+3z=3

I[z=c

.?α-b+4c=l①

?1a-2"3c=3②，

由①-②得：6+c=-2,

.*.b=-2-c,

把b=-2-c√t入①，得：

tz-（-2-c）+4c=l,

??4+5c——11

；?α+b+6c=α+5c+b+c=-l-2=-3.

故選：A

【點睛】本題主要考查了三元一次方程組的解，解二元一次方程組，理解方程組的解就是使

方程組中每一個方程都成立的未知數(shù)的值是解題的關鍵.

2x+y=3

2.方程組■3x-z=l的解為（)

x-y+3z=0

'x=2x=2X=2X=2

A.?y=lB<y=-lC.<y=-lD.<J7=I

Z=-Iz=1z=-lz=l

【答案】C

【分析】根據(jù)代入消元法解三元一次方程組即可求解.

'2x+y=3①

【詳解】解：，3x-z=7②，

X-y+3z=O③

由①得y=3-2x④，由②得z=3x-7⑤，

將④⑤代入③得，x-(3-2x)+3(3x-7)=0,

解得x=2,

將χ=2代入④得y=-l,

將X=2代入⑤得Z=T,

X=2

???原方程組的解為b=-1.

z=-l

故選C.

【點睛】本題考查了解三元一次方程組，掌握代入消元是解題的關鍵.

3.小李在某電商平臺上選擇了甲，乙，丙三種商品，當購物車內(nèi)選3件甲，2件乙，1件丙

時顯示價格為420元；當選2件甲，3件乙，4件丙時顯示價格為580元，那么購買甲，乙,

丙各一件時顯示價格為（）

A.180元B.150元C.220元D.200元

【答案】C

3x+2y+z=420①

【分析】設1件甲商品X元，1件乙商品y元，1件丙商品Z元，由題意得：《

2x+3y+4z=580②

由①+②得：5x+5y+5z=1100,進而得出x+y+z=220,即可得出答案.

【詳解】解：設1件甲商品X元，1件乙商品了元，1件丙商品Z元，

3x+2y+z=420①

由題意得:

2x+3y+4z=580②

由①+②得：5x+5y+5z=1100,

.?.x÷y÷z=220,

故選：C.

【點睛】本題考查了三元一次方程組的應用，正確列出方程組并求出X+y+z=220是解決

問題的關鍵.

2x-y=4

4.方程組2x+y+z=l的解為—

x-z=5

X=2

【答案】y=o

z=-3

【分析】根據(jù)三元一次方程組的解法求解即可.

2χ-y=4φ

【詳解】解：?2x+y+z=l②

x-z=5③

由①得：y=2x-4④，

由③得：Z=X-5⑤，

把④和⑤代入至IJ②得：2x+2x-4+x-5=l,解得x=2,

把x=2代入④得：y=2×2-4=0,

把X=2代入⑤得：z=2—5=—3,

X=2

方程組的解為?y=o,

z=-3

X=2

故答案為：,y=o.

z=-3

【點睛】本題主要考查了解三元一次方程組，熟知解三元一次方程組的方法是解題的關鍵.

5.代數(shù)式fl√+6χ+c,當x=()時值為1;當x=2時值為3；當x=-3時值為28,則這個代

數(shù)式是.