2023年遼寧省沈陽(yáng)市某中學(xué)高一6月考試數(shù)學(xué)試題（含解析答案）

沈陽(yáng)市第120中學(xué)2023-2022學(xué)年度下學(xué)期高一年級(jí)考試

數(shù)學(xué)真題

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每題5分，共計(jì)40分.在每小給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)符合題目更求.

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足2+1=z（l-i）,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）

33j_3J_3

2522~22,22'2

（答案）A

（解析）

（分析）依據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,再依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義推斷即可;

1

（詳解）解：因?yàn)?+±=z（l-i）,所以2+《=z（l-i）,所以2—i=z（l-i）,

ir

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為1萬,/J；

應(yīng)選：A

2.如果一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是如下圖的直角梯形，其中。'4=2,ZB'A'O'=45\

8'C'//ON'.則原平面圖形的面積為（）

A.372B.672

（答案）A

（解析）

（分析）

作出原平面圖形,然后求出面積即可.

（詳解）ZB'A'O'=45Q=ZB'O'A',則△O'N'8'是等腰直角三角形,

?1?A'B'=OB'=y/2'

又OCC?,zLC'O'B'=45°,B'c'=1>

在直角坐標(biāo)系中作出原圖形為：

梯形CM3C,OA//BC,OA=2,BC=T,高08=2拉,

??.其面積為S=；(2+1)x2&=3JL

應(yīng)選：A

（點(diǎn)睛）

方法點(diǎn)睛：此題考查斜二測(cè)法畫平面圖形直觀圖，求原圖形的面積，可能通過復(fù)原出原平面圖形求得面

積，也可以通過直觀圖到原圖形面積的關(guān)系求解：直觀圖面積為S',原圖形面積為S,則？=也.

S4

-sina+cosa、冗兀

3.已知------------二-3,---<a<一,則sina-cosa=()

sina-cosa22

A』B亞3亞

rD,正

5555

（答案）D

（解析）

(分析)由理_3,得tana=2,再由-￡<&<1,可得sina=25,cosa=Y5即可得結(jié)

sina-cosa2255

果.

、遼fe、，sma+cosa「.一…tana+10…,口-

（詳解）因?yàn)?------------=3,所以-------=3,解得tana=2.

sina-cosatan。一1

兀兀JI,275V5

又因?yàn)椤?lt;a<一,tan?>0,所以0<a<一.sina=----?cosa=—，

22255

所以sina-cosa=-?

5

應(yīng)選：D

4.有如下命題，其中錯(cuò)誤的命題是（）

A.假設(shè)直線aua,且a〃尸，則直線。與平面夕的距離等于平面a、夕間的距離

B.假設(shè)平面a〃平面夕，點(diǎn)Nea,則點(diǎn)A到平面戶的距離等于平面a、4間的距離

C.兩條平行直線分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)，則這兩條直線間的距離等于這兩個(gè)平行平面間的距離

D.兩條異面直線分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)，則這兩條直線間的距離等于這兩個(gè)平行平面間的距離

（答案）C

（解析）

（分析）依據(jù)線線距離、線面距離、面面距離定義逐項(xiàng)推斷可得答案.

（詳解）對(duì)于A,假設(shè)直線aua,且a〃/7,則直線。與平面夕的距離等于平面a、夕間的距離，故A

正確；

對(duì)于B,假設(shè)平面a〃平面/，點(diǎn)/ea,則點(diǎn)A到平面夕的距離等于平面a、/間的距離，故B正

確；

對(duì)于C,當(dāng)兩條平行直線所在的平面與兩個(gè)平行平面垂直時(shí)則這兩條直線間的距離等于這兩個(gè)平行平面間

的距離，當(dāng)兩條平行直線所在的平面與兩個(gè)平行平面不垂直時(shí)，則這兩條直線間的距離不等于這兩個(gè)平行

平面間的距離，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,兩條異面直線分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)，則異面直線間的距離等于這兩個(gè)平行平面間的距離，異面

直線間距離往往轉(zhuǎn)化為平行平面間的距離，故D正確.

應(yīng)選：C.

.37、

cos（a----）

5.假設(shè)tana=2tan'，則---------=（）

5sin（a-y）

A.1B.2C.3D.4

（答案）C

（解析）

.71.n.7i

sina+—sinycos—+cosasm「

55

所以原式=-7—-

.|TC.71.71

sina-sinacos-coscrsin

I555

7171

tana+tan3tan

=--------------=-^=3，

TC71

tana-tantan

55

應(yīng)選c.

點(diǎn)睛：三角恒等變換的主要題目類型是求值，在求值時(shí)只要依據(jù)求解目標(biāo)的需要，結(jié)合已知條件選用適宜

的公式計(jì)算即可.本例應(yīng)用兩角和與差的正弦（余弦〕公式化解所求式子，利用同角關(guān)系式使得已知條件

可代入后再化簡(jiǎn)，求解過程中注意公式的順用和逆用.

此題主要考查兩角和與差的公式.

.(乃、

6.在△/BC中，角4,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知46S=(a+b)2-c2,則sinC4——

I4J

()

.V6+>/2口V6—V2rV2n

442

（答案）A

（解析）

（分析）依據(jù)三角形面積公式及余弦定理化簡(jiǎn)條件求角C,由此可求sin（c+?

L1

（詳解）因?yàn)?jiS=（a+b）?-。2,又S=i而sinC,

所以26absinC-2ab=a2+b2-c1

所以GsinC—1="一+"一，又cosC

2ab2ab

所以GsinC-cosC=1，

所以sin又Ce(O,%),

TT

所以。=2,

3

山”?nn.nV6+V2

所以sin|C+—=sin—+—=sin—cos—+cos—sin—=-------

I4)U4)34344

所以sinC+?=瓜+6

4

應(yīng)選：A.

7.如圖，四邊形四點(diǎn)共圓，其中8。為直徑，43=4,BC=3,ZABC=60°,則△/CO的面

積為（）

5737百

~6~~6~

（答案）C

（解析）

（分析）先在口N8C利用余弦定理求出邊NC,再利用正弦定理求出直徑8。，進(jìn)而利用直角三角形求出

AD、CQ,再利用三角形的面積公式進(jìn)行求解.

（詳解）在EI/8C中，因?yàn)?8=4,BC=3,N4BC=6。。，

所以由余弦定理，得4C=,42+32-2x4x3xg=JI5,

ATV132V39

由正弦定理，得BD=———

sinZABCsin60°-3

在Rt^ABD和Rt口BCD中，

"I必一初=殍短,

又ZADC=180u-ZABC=120".

所以的面積為,朱哈

應(yīng)選：C.

8.在△/8C中，\AB\=4,且|C4|=G|C8|,則△/8C面積的最大值是

A.2KB.4百C.6月D.88

（答案）B

（解析）

（分析）

2-Jcos^可得cos"手

設(shè)乙4c8=6,設(shè)|C8|=x,則|C4|=Gx，依據(jù)余弦定理求出f=

1I-4>/3sin0sin6

,依據(jù)面積公式可得與=一x?、GxsinJ-----,令y=—7=—依據(jù)輔助角公式可得

°"“。22-VJcos。2-j3cos。

2y=J1+3/sin（6+e），其中tan°=Gy,由|2）區(qū)J1+3y之可求得結(jié)果.

（詳解）設(shè)/ACB=6,設(shè)|C"|二x,則|。|二后,

8

由余弦定理得42=X2+（百x）2—2x-由XcosB，X2=，

顯然2-Gcos6>0，cos0<，

3

S^Bc=；x.百xsin<9=乎sin夕f；藍(lán)曲”,

222—，3cos夕

sing廠

令一百、a，則sin。=2y-J3ycos6,

所以2y=sine+Viycos6=Jl+3y2sin（，+夕）>其中tan*=

所以|2y區(qū)J1+3y2,解得一

所以乂儂=1，

此時(shí)sine+V5cose=2，sin[e+§

=1,0=—,x=4.滿足cos6

63

所以（53,）2=4百?

應(yīng)選：B.

（點(diǎn)睛）此題考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查了輔助角公式，

二、多項(xiàng)選擇：本大題共4小題，每小5分，共計(jì)20分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少

有只有一個(gè)符合題目要求，每道題全對(duì)得5分，局部選對(duì)得2分.

9.以下關(guān)于直線/,點(diǎn)A,8與平面a的關(guān)系推理正確的選項(xiàng)是（）

A.Ael,Aea,Bel,BnIua

B.Aea,AG0,Bea,BG0,=ac/3=AB

C.I<ta,Ael,=>A^a

D.Ael,!ua,nAea

（答案）ABD

（解析）

（分析）對(duì)于選項(xiàng)A,可推出/ua,所以選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,A,8兩點(diǎn)必定在a與夕交線上，所以可得到=所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,點(diǎn)A可以在直線/與平面a的交點(diǎn)處，即ac/=Z,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,A必定在平面a內(nèi)，所以可得到Zea,所以選項(xiàng)D正確；

（詳解）解：由題意可知，

對(duì)于選項(xiàng)A,A,8兩點(diǎn)均在直線/上，且A,B兩點(diǎn)均在平面內(nèi)a,則可推出/ua,所以選項(xiàng)A正

確；

對(duì)于選項(xiàng)B,A,8兩點(diǎn)既在a內(nèi)，又在夕內(nèi)，則必定在a與夕交線上，所以可得到。口S=/8,所

以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,點(diǎn)A在直線/上，但是直線/不在平面a內(nèi)，則點(diǎn)A可以在直線/與平面。的交點(diǎn)處，即

ac/=Z,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,點(diǎn)A在直線/上，直線/在平面a內(nèi)，則A必定在平面a內(nèi)，所以可得到Zea,所以選項(xiàng)

D正確；

應(yīng)選：ABD.

10.已知正方體的棱長(zhǎng)為“，則（）

A.正方體的外接球體積為蟲/兀B.正方體的內(nèi)切球外表積為41無

2

C.與44異面的棱共有4條D.三棱錐4-ABD與三棱錐4-BQQ體積相等

（答案）ACD

（解析）

（分析）對(duì)于A、B：正方體外接球的半徑尺=也°,內(nèi)切球的半徑尸=1a,代入球體的體積和外表積公

22

式計(jì)算；對(duì)于C：依據(jù)異面直線的定義進(jìn)行判定；對(duì)于D：利用等體積轉(zhuǎn)換處理.

（詳解）；正方體外接球的半徑/?=工2%內(nèi)切球的半徑r=二。

22

???正方體的外接球體積為P=2兀叱=走/兀，內(nèi)切球外表積為s=4口2=a\

32

A正確，B不正確：

與異面的棱有3C,C0，4G，CQ，共有4條，c正確：

???〃-洶產(chǎn)匕）-城出，則三棱錐A-ABD與三棱錐D-444的高四=DDX,底面積SABD=SAM

,故體積相等，D正確；

應(yīng)選：ACD.

11.在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的準(zhǔn)確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過以下兩種三角函數(shù)：定義

1—cos。為角。的正矢，記作versine,定義1-sin。為角。的余矢，記作conersin。，則以下命題正確

的選項(xiàng)是（〕

.16萬1

A.versin---=—

32

B.versin---0-coversin6

（2）

coversinx-1,.1

C.假設(shè)-----：-----=2,貝coversinx-versinx）2=—

versinx-1''5

D.函數(shù)/（x）=versin12020x-ij+coversinl2020x+zj的最大值為2+加

（答案）BC

（解析）

（分析）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得A錯(cuò)誤，B正確；

化簡(jiǎn)已知等式得到tanx,將所求式子化簡(jiǎn)為正余弦齊次式，由此可配湊出tanx求得結(jié)果，知C正確;

利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)整理得到/（x）=2—2sin（2020x+/],由此可知最大值為4，知D錯(cuò)誤.

.16^167rl(L乃、，兀3

（詳解）對(duì)于A,versin---=1-cos----=1-cos5乃+—=l+cos—=—,A錯(cuò)誤;

33I3J32

對(duì)于B,=1-sin=coversin0,B正確;

coversinx-I1-sinx-l3

對(duì)于C,-----:-----=:---------=tanx=2,

versinx—11-cosx-1

(coversinx-versinx)2=(1-sinx-1+cosx)2=l-2sinxcosx=1——

'7V7sin2x+cos2x

.2tanx.41-一

1----z----=1—=_,C正確;

tanx+155

對(duì)于D,v,/(x)=1-cosf2020%-yj+1-sin(2020x+

2-cos--+2020x+--sin2020x+-=2-2sin2020x+-

[2I6〃I6)I6

.,.當(dāng)sin（2020x+^J=—W、h/（x）,*、=2+2=4,D錯(cuò)誤.

應(yīng)選：BC.

（點(diǎn)睛）關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查了三角函數(shù)的新定義的問題，解題關(guān)鍵是能夠充分理解已知所給的定義，

結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、正余弦齊次式的求解等知識(shí)來推斷各個(gè)選項(xiàng).

12.已知三棱錐/-BCD的全部棱長(zhǎng)都為2,且球。為三棱錐/-88的外接球，點(diǎn)M是線段8。上靠

近。點(diǎn)的四等分點(diǎn)，過點(diǎn)M作平面a截球。得到的截面面積為S,則S的可能取值為（）

nc3兀廠3兀一5叮

A.-B.—C.—D.—

2423

（答案）BC

（解析）

（分析）求出三棱錐Z-88的外接球半徑A,可知截面面積的最大值為兀R2,當(dāng)球心。到截面的距離

最大時(shí)，截面面積最小，此時(shí)球心。到截面的距離為，截面圓的半徑的最小值為JFU77,進(jìn)而

可求出截面面積的最小值，然后可得答案

（詳解）因?yàn)槿忮F/-BCD是正四面體，棱長(zhǎng)為2,所以將其放置于正方體中，可得正方體的外接球就

是三棱錐〃一BCD的外接球，

因?yàn)槿忮F4-88的棱長(zhǎng)為2,所以正方體的棱長(zhǎng)為近，

可得外接球直徑為2R=J2+2+2=瓜,所以R=巫，

2

//7A2o

所以截面面積的最大值為萬代=%—=—,

因?yàn)辄c(diǎn)用是線段8。上的點(diǎn),

所以當(dāng)球心。到截面的距離最大時(shí)，截面面積最小,

此時(shí)球心。到截面的距離為OM,UOBD為等腰三角形,

過點(diǎn)。作8。的垂線，垂足為“，

所以0河2,=0“,2+.2,=1_+1_3=e

244

633

則所得截面半徑的最小值為加一OM

4~4

3兀

所以截面面積的最小值為萬T

所以截面面積的范圍為

應(yīng)選：BC

三、填空題：本大順共4小題，每題5分，共計(jì)20分.

13.已知sin0=---3,3n〈興一^1J^L,則tan—0=.

522---

（答案）-3

（解析）

Osinf）

（分析）依據(jù)角。的范圍，求出COS0后代入公式tan彳=；------計(jì)算即可.

21+cosO

_3

……、..3八7）但八4“h0sin。5

（詳解）由sin0=--->3n<0<--->得cos0=--->從而tan-=------------7*--3.

52521+cos。]_4

-5

故答案為：-3

14.己知函數(shù)/（x）=（-2cos2x-sin2x,/⑴在區(qū)間0,《工上有個(gè)零點(diǎn).

（答案）6

（解析）

（分析）由三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解

（詳解）令人（8）=（（，（x）=2cos2x+sin2x=sin2x+cos2x+1=V2sin2x+j+1

即/（x）在區(qū)間0,-—上有6個(gè)零點(diǎn).

O

故答案為：6

15.在口力8。中，角4B、。所對(duì)的邊分別為a、b、。，且8=34,則2的取值范圍是

a

（答案）（1,3）

（解析）

JTB

（分析）由三角形的內(nèi)角范圍可得OVZV：,注VcosZVl,運(yùn)用正弦定理和三角函數(shù)的二倍角的正弦

42

公式和余弦公式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍.

（詳解）由8=34可得C=Jt48=n44,

由0<8，，0<C<n,

可得0</<2，則①Vcos4<l,

42

hsinBsin3AsinlAcosA+coslAsinA

—=--------=-----------=------------------------------------------=2COSM+COS2J=4COSM.1,

asinAsinAsinA

[y]

由---Vcos/4<1,可得一Vcos2/4<1,

22

即有IV4cos241V3,

則2的取值范圍為（1,3）,

a

故答案為：（1,3）

（點(diǎn)睛）關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是將2利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角A的函數(shù)，注意角的范圍

a

16.如圖，點(diǎn)/是半徑為1的半圓。的直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，0A=58為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為

一邊作等邊口/BC,則四邊形。4c8的面積的最大值為.

（答案）2G

（解析）

（分析）

設(shè)N/O3=6,表示出口48。的面積及口0/8的面積，進(jìn)而表示出四邊形。4cB的面積，并化簡(jiǎn)所得面

積的解析式為正弦函數(shù)形式，再依據(jù)三角函數(shù)的有界性進(jìn)行求解.

（詳解）四邊形O4C8的面積的面積+△48。的面積，設(shè)乙408=9,

AB2=0A2-i-OB2-2OAOBcos0=3+l-2xlxy/3cos0=4-243cos0

則口/BC的面積.力C?sin600=@Z82=6_3COS?

242

\OAB的面積=LOAOB-sin^=—x1xV3sin=立sine，

222

四邊形。4cB的面積=G-3cos（9+立sin?

22

?苗

=G+G（—sin，-----cos。）=G+6sin（，一60°）>

22

故當(dāng)6-60。=90。，即6=150。時(shí)，四邊形。4c8的面積最大值為道+百=2道，

故答案為：2也.

（點(diǎn)睛）方法點(diǎn)睛：應(yīng)用余弦定理肯定要熟記兩種形式：（1）a2=〃+c2_2bccos/；（2）

>222

cos）=+c—a，同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.其它，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問

2bc

題時(shí).，還需要記住30°,45°,60°等特別角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.

四、解答題：本大題共6小題，共中17題總分值10分，其余各題總分值12分.

17.已知復(fù)數(shù)z=（/w—l）（〃?+2）+（加一l）i（meR）,其中i為虛數(shù)單位.

（1）假設(shè)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)，〃的值：

（2）假設(shè)加=2,設(shè)=■=a+M（a,beR）,試求a+b的值.

z-i

（答案）（1）〃?=一2

（2）a+b=—

2

（解析）

（分析）依據(jù)復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)相等的意義即可求解.

（小問1詳解）

假設(shè)z是純虛數(shù)，則八八）,解得〃?=—2：

機(jī)一1/0

（小問2詳解）

假設(shè)m=2,則z=4+i，

4+i+i4+2i

a+b\=l+-i

4+i-i42

,1

???q=1,b=—

2

L3

:?a+b=一；

2

3

綜上，m=-2,〃+b=一

2

37t

18.⑴已知sin。一，且。是第三象限角，求cos|二+6的值;

567

(2)已知tana='八7T7Tc、

0<a<一,—</3<7i,求tan（a—尸）及a+6的值.

3(22J

3-47337r

（答案）⑴(2)tan(cr-^)=7,cr+/?=—

10

（解析）

（分析）⑴求出cos仇利用余弦和角公式即可求;

[2）依據(jù)正切的和差角公式即可求.

34

（詳解）（1）,?飛由。=一]，且。是第三象限角，???cose=—不

717r

7兀1A..e百413、3-473

/.cos一+夕=cos—cossin—sine/=——x—x

666252510

(2)Vtana=-,tan/?=-2,

-+2

...tan(f)=tan"ta“J=7

1+tanatanp1二’

3

1-2

tan(a+0=tana+tan1J

1-tanertanp

3

C兀兀c

*.*0<a<—,—<p<兀，

22

兀八3兀

，5<。+/<耳,

◎3兀

:?a+0=.

19.已知/(%)=)石一1，其中G=(sin2x,2cosx),b=(V3,cosx)(xGR).

⑴求/（x）的最小正周期和最小值;

、

,假設(shè)/傳21+」一的

[2]在△ZBC中，角4、B、C的對(duì)邊分別為〃、b、c5bac，求

（47tanAtanC

值.

（答案）（1）〃x）最小正周期為乃，最小值為-2

⑵孚

（解析）

（分析）（1）向量?jī)?nèi)積展開后利用倍角公式和輔助角公式整理成正弦型函數(shù)，并依據(jù)正弦函數(shù)圖像性質(zhì)得

解;

jrsina

12）依據(jù)函數(shù)值先求出8=不，利用正弦定理將邊化角，結(jié)合tana=^——,以及兩角和的正

3cosa

弦公式和誘導(dǎo)公式解出答案.

（小問1詳解）

f（x）=a-b-l=（sin2x,2cosx）?（百,cosx）-1

=Gsin2x+2cos2x_1二百sin2x+cos2x=2sin^2x+—

2萬

?.?/*）的最小正周期為T=—=萬，

2

2,xH—eR,

6

pd

na^e+-±

siM-

D60的最小值為-1,

???函數(shù)/（x）的最小值為-2.

（小問2詳解）

/1）=2sin《+￡|=VL

7T

；?B=3或B=7U（舍去）

,?*b2=ac，

**?sin25=sin/4-sinC-

11cosAcosC

-----1-----=-----1-----

tan4tanCsin/sinC

_sinCcosA+cosCsinJ_sin(4+C)

sin4sinCsin/sinC

sin8sin51

sinAsinCsin2Bsin5

1

20.已知：直四棱柱ZBCO-ZSGA全部棱長(zhǎng)均為2,ZC%8=60。.在該棱柱內(nèi)放置一個(gè)球O,設(shè)球。的

體積為匕，直四棱柱去掉球。剩余局部的體積為匕.

U）求三棱錐的4一4與2的外表積S；

（2）求?的最大值.（只要求寫出必要的計(jì)算過程，不要求證明）

（答案）（1）s=4+退+V7；

,、冗

⑵----.

8-乃

（解析）

（分析）（1）求出三棱錐的力-的各個(gè)面的面積即得解；

（2）設(shè)直四棱柱48CD-44CQ的體積為JZ,當(dāng)球半徑R最大時(shí)，匕最大時(shí)，V■取到最大值，求出匕

最大值即得解.

（小問1詳解）

解：因?yàn)橹彼睦庵?8C。-48cA,

所以平面4為2,44為三棱錐的2-4\口的高,

由ND43=60。，全部棱長(zhǎng)為2,口4用。1為等邊三角形,

所以5A445=￥'22=百'

RtfU/B-RtEJN/A中，也叫=；x2x2=2,S“㈤=；*2*2=2,

口盟A中，BR=2,4穌=AD1=2也，過A作4H上BQ1于H,AH=5，

5:典q=；x2xg=V7,2,SLS9=；x2x2=2,

.",s-4+V3+V7.

（小問2詳解）

匕；匕一1

解：設(shè)直四棱柱48CD-44CQ的體積為％,所以匕V-V,￡_p

匕

所以當(dāng)匕最大時(shí)，，取到最大值，

即求棱柱內(nèi)放置一個(gè)球。體積匕最大，即球半徑R最大，

假設(shè)球。與棱柱側(cè)面相切，則半徑R即為菱形48co的內(nèi)切圓半徑，連接NC與8。交于點(diǎn)E,

AC1BD,

△Z8E中，AE=y/3,BE=\,7?,=^—1-=—，

22

假設(shè)球。與棱柱上、下底面相切，則半徑為4=1,&>&,

所以球0半徑最大為R=等，此時(shí)球0體積匕最大，匕=g萬［等］當(dāng)兀.

V=AAy-SABCD=2xx2V3x2=473,%=V一匕=4百一旦兀，

21.已知口*3。的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,c,且c=2（a-6cosC）.

（1）求3；

（2）假設(shè)口48C為銳角三角形，求sir?4+sin2c的取值范圍.

71

（答案）（1）一

3

<53-

⑵匕5_

（解析）

（分析）（1）依據(jù)余弦定理，將角化邊，即可得到三邊關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成余弦定理形式求解.

（2）用二倍角公式降基，然后利用輔助角公式合并，依據(jù)角的范圍求解.

（小問1詳解）

/+62-2

2（"bcosC）及cosC

2ab

a2+b2-c2"

,化