2022-2023學年安徽省安慶市高一（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年安徽省安慶市高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合4={x|y=ln(x-1)},B=[x\x2+2x-3>0],則AnB=()

A.(1,3)B.(l,+oo)C.[3,+oo)D.[-1,1)

2.已知a,b均為實數(shù)，復數(shù)：z=a2-b+(b-2a)i,其中i為虛數(shù)單位，若z<3,則a的

取值范圍為()

A.(-1,3)B.(-co,-1)U(3,+°o)

C.(-00,-3)U(l,+oo)D.(-3,1)

3.如圖，是水平放置的△048用斜二測畫法得到的直觀圖△

O'4'B'（其中Nx'Oy=45°）,若小夕_L/軸，O'A'=2,A'B'=2c,

則△048的面積為（）

A.2。B.4C.8D.4。

4.唐代以來，牡丹之盛，以“洛陽牡丹甲天下”的美名流傳于世.唐朝詩人白居易“花開花

落二十日，一城之人皆若狂”和劉禹錫“唯有牡丹真國色，花開時節(jié)動京城”的詩句正是描

寫洛陽城的景象.已知根據(jù)花瓣類型可將牡丹分為單瓣類、重瓣類、千瓣類三類，現(xiàn)有牡丹花

幾朵，千瓣類比單瓣類多30朵，采用分層抽樣方法從中選出12朵牡丹進行觀察研究，其中單

瓣類有4朵，重瓣類有2朵，千瓣類有6朵，貝舊=（）

A.360B,270C.240D.180

5.在4ABC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,若44BC為鈍角三角形，且a=6,b=8,

則c的取值不可能的是（）

A.3B.4C.9D.12

6.已知向量為=（3,-1）花=（一1,2），則向量方在向量石上的投影向量是（）

A.（1,-2）B.（-1,2）C.（＜^,-2AT5）D.（-廣,2—）

7.某校通過統(tǒng)計學生在校的5次?？紨?shù)學成績（分數(shù)均為整數(shù)）決定該學生是否適合進行數(shù)

學競賽培訓.規(guī)定："5次?？汲煽兙坏陀?40分”，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學5次模考成績，

則根據(jù)以下數(shù)據(jù)能確定適合數(shù)學競賽培訓的學生有（）

甲：眾數(shù)為140,中位數(shù)為145；

乙：中位數(shù)為145,極差為6；

丙：均值為143,其中一次成績?yōu)?45,方差為1.6.

A.甲乙B.甲丙C.乙丙D.甲乙丙

8.設函數(shù)/（%）=｛，募1）|,x>1'若/—）=汽刀2）=/（x3）=/（辦）（其中/<%2<

4

x3<X4）?則三手■+（久1+%2+2）%3的取值范圍是（）

A.（3,y）B.（4,學）C.（3,學D.[4,學）

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知m,n為兩條不同的直線，a,0為兩個不同的平面，命題''若,則mln”是

真命題，則橫線上可以是下列選項中的（）

A.m1a,Til/?,且a///?B.m1a,n//p,且a///?

C.a〃0,mua,nu0D.m1a,n1/?,且aJL0

10.歐拉公式e&=cosx+isin%（e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐

拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關系，在復變函數(shù)論中占有非常重要的地位，

被譽為“數(shù)學中的天橋”，在復數(shù)范圍內(nèi)關于x的方程/+ax+b=0（a,b6R）的兩根為

Z2,其中為=/至6半，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.復數(shù)z=a+兒對應的點在第一象限B.\a+bi\=2，9

C.z2=1-iD.憶逐2|=Iz/OI

11.在AABC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c.若4=多角4的平分線4。交BC于

點。，AD=2,b=6,則以下結(jié)論正確的是（）

A.c=3B.BD=2CD

C.△4BC的面積為9：3D.a=3V-5

12.如圖1,將正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個

三棱錐，截取后的剩余部分稱為“阿基米德多面體”.阿基米德多面體是一個有十四個面的半

正多面體，其中八個面為正三角形，六個面為正方形、它們的邊長都相等，又稱這樣的半正

多面體為二十四等邊體.如圖2,現(xiàn)有一個邊長為2的二十四等邊體、則關于該二十四等邊體說

法正確的是（）

圖1圖2

A.該二十四等邊體的表面積為24+8/m

B.共有8條棱所在直線與直線A8異面，且所成角為會

C.任意兩個有公共頂點的三角形所在平面的夾角余弦值均為；

D.該二十四等邊題的外接球的體積為竽兀

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.某校高三年級10次?？贾屑淄瑢W的數(shù)學成績從小到大依次排列為94,96,98,98,100,

101,101,102,102,103,則甲同學在這10次?？贾袛?shù)學成績的第40百分位數(shù)為.

14.若cos。+a)=9，且扛a<4,則cos管一a)=.

15.己知事件兩兩相互獨立，若P(4B)=g,P(畫=g,P(心=%則P(4)=

16.如圖是甲烷的球棍結(jié)構(gòu)，它的分子結(jié)構(gòu)為正四面體結(jié)構(gòu)(正四面體是每個

面都是正三角形的四面體)，碳原子位于正四面體的中心，4個氫原子分別位于

正四面體的4個頂點.已知相鄰的兩個氫原子之間的距離為7,若不計原子大小，

該正四面體內(nèi)放入一個圓柱，使得圓柱的下底面在正四面體的底面，則當該圓柱的表面積取

得最大值時，圓柱的底面半徑為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖，在△ABC中，AB=6,BC=2^2,4aBe=%，點P在線段"上，且有而=3困

(1)用向量瓦彳，品表示喬：

(2)求品.正的值.

B

18.（本小題12.0分）

為提高全民的身體素質(zhì)，某市體育局舉行“萬人健步走”活動，體育局通過市民上傳微信走

步截圖的方式統(tǒng)計上傳者每天的步數(shù)，現(xiàn)從5月20日參加活動的全體市民中隨機抽取了100人

的走步數(shù)組成樣本進行研究，并制成如圖所示的頻率分布直方圖（步數(shù)單位：千步）.

（1）求a的值，并根據(jù)直方圖估計5月20日這100位市民走步數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間中點值代表）；

⑵按分層抽樣的方式在［23,27）和［27,31］兩組中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行走步

路線調(diào)查，求這2人步數(shù)都在［27,31］的概率.

19.（本小題12.0分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BCD是菱形，AB=2,N4BC=（APAB是正三角形,

平面P4B1平面4BCD,點Q是線段PC的中點.

（1）求三棱錐Q-PA。的體積；

（2）求平面PBC與平面BC。夾角的余弦值.

20.（本小題12。分）

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=冬4tanC=

3a+csinA

(1)求角B的大??；

(2)若AABC的外接圓周長為2，弓兀，求BC邊上的中線長.

21.(本小題12.0分)

如圖，在斜三棱柱ABC-&B1C1中，四邊形4BB出是邊長為2的菱形，乙4遇B=半UBC為

正三角形，平面48當&_L平面4BC,點P是棱CCi的中點.

(1)求證：平面PBp41平面ABB14；

(2)求P&與平面PB14所成角.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=lg(100x+a)-x(a>0).

⑴當函數(shù)”乃是偶函數(shù)時，解不等式：/(x)<1g|；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-lg(l-3x10X)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由題意4={x\x-1>0]={x\x>1}=(1,+oo),B={x\x2+2x—3>0}={x\x>1

或x<-3},

■■AC\B=(1,+°o).

故選:B.

根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的定義域以及一元二次不等式化簡集合4B,即可由交集運算求解.

本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：由題z=a2—b+(b—2a)i<3,所以z為實數(shù)，即;弁：；，

則有a2-2a-3<0,解得一1<a<3,即a的取值范圍為(一1,3).

故選：A.

由復數(shù)為實數(shù)及不等關系列不等式，解一元二次不等式即可.

本題主要考查復數(shù)的運算，屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：由題SA。”曲=2xO'4x4B'=gx2x2-=24，

所以黑。迫=空Z=C,

S.OABS&OAB4

解得SAOAB=8.

故選：C.

根據(jù)直觀圖和原圖的面積關系，即可求解.

本題主要考查了平面圖形的直觀圖，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)分層抽樣的特點，設單瓣類、重瓣類、千瓣類的朵數(shù)分別為4x,2%,6%,

由題意可得6x-4x=30,解得x=15,所以n=4x+2x+6x=12x=12x15=180.

故選：D.

利用分層抽樣中各層之間的比例，結(jié)合已知條件列方程求解.

本題考查分層抽樣，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：因為b>a,所以B>4

若△力BC為鈍角三角形，則C為鈍角或B為鈍角，

若C為鈍角，則有<°,

即［36+64<解得J。<?<14：

(6+8>c

若8為鈍角，則有產(chǎn)從<0,

(a+c>b

2

即伊+c<64,解得2<?<2<7.

即2<c<2/7或10<c<14.

因為2<3<2/7,2<4<2/710<12<14，而9不能滿足上述取值范圍.

故選：C.

分C為鈍角或B為鈍角兩種情況，求出c的取值范圍，得到答案.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查運算求解能力，屬中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：a=(3,-1)5=(-1,2).

則同cos位㈤喻=海*=冷k=一3=(1,-2).

故選：A.

由投影向量的定義，結(jié)合向量數(shù)量積和模的坐標運算求解.

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：甲同學眾數(shù)為140,說明140出現(xiàn)至少兩次，若保證中位數(shù)為145,說明另外兩個數(shù)

不小于145,滿足參加競賽培訓條件；

乙同學若最低分為139分，其余分數(shù)均為145分時，符合“中位數(shù)為145,極差為6”，不滿足參加

競賽培訓條件;

丙同學家145-143)2=0.8,設另外四次成績分別為和ie{1,2,3,4},

所以白—143)2+(145-143)2］=1.6=￡*=式々-143)2=4,

由于看均為整數(shù)，所以々2141,滿足參加競賽培訓條件.

故選：B.

根據(jù)中位數(shù)以及極差的定義即可判斷甲乙，根據(jù)方差的計算即可判斷丙.

本題考查中位數(shù)、方差以及極差的定義，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：當xWl時，函數(shù)〃x)=x2在(-8,0］上遞減，函數(shù)值集合為［0,+8),在［0,1］上遞增,

函數(shù)值集合為［0,1］,

當x>l時，函數(shù)/(x)=|log2(x-l)|在(L2］上遞減，函數(shù)值集合為［0,+8),在［2,+8)上遞增，

函數(shù)值集合為［0,+oo),

作出函數(shù)/(%)的圖象，如圖，設f(/)=(。2)=f(“3)=/(應)=3

當0V￡W1時，直線y=t與函數(shù)y=/(%)的圖象有四個交點，旦交點的橫坐標分別為%1，X29%3，

%4，且%1V%2Vx3V%4，

當%>1時，由/'(%)=|log2(x-1)1=1,解得工=5或％=3,于是|4工3<2,2V%443,

由f(%3)=f(%4)，得Tog2(%3-1)=也2(%4-1)，則%3T=即%3=+］，而%1+%2=

0,

4442

因此不I+(XI+”2+2)X3=B+2X3=B+M+2'

令g(x)=言+告+2,顯然函數(shù)g(x)在(2,3］上遞減，且g(2)=3,g(3)=4,于是g(x)e［4,竽),

所以;4?+%+&+2)%的取值范圍是［4,學).

十■*-J

故選：D.

分析函數(shù)/\x)的性質(zhì)并作出圖象，將問題轉(zhuǎn)化為直線y=t與函數(shù)f(x)的圖象的四個交點問題，結(jié)

合圖象性質(zhì)再構(gòu)造函數(shù)，借助單調(diào)性求解作答.

本題考查函數(shù)的性質(zhì)，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：由《，￡且?！?,可得nla,而垂直同一個平面的兩條直線相互平行，則小〃n,故

A錯誤；

由于a〃口，m1a,所以zn_L，，又因為?i〃S，則7n1n,故B正確；

若a//B，mca,nu0,則m與n平行或異面，故C錯誤；

設an￡=2,在平面B內(nèi)作直線c11,

如圖，又因為aJ-S，貝ijc1a,又m_La,所以zn〃c,

因為n_L6，cu0,所以nlc,從而有n_Lm,故。正確.

故選：BD.

根據(jù)空間中點線面的位置關系，結(jié)合選項即可逐一求解.

本題考查線線、線面和面面的位置關系，主要是平行和垂直的判定和性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和推理

能力，屬于基礎題.

10.【答案】BCD

【解析】解：由題Z[=yj~2e^=\/~2(cos，+isin*)=1+3

因為1+i是/+ax+b=0的一個復數(shù)根，

則(l+i)2+a(l+i)+b=0,即a+b+(a+2)i=0,則有仁::二;，解得｛，二

所以z=a+bi=—2+2i,對應的點為(—2,2),在第二象限，故4錯誤;

|a+￡>i|=2V-2'故B正確;

Zi+Z2=—a=2,所以Z2=l-3故C正確；

\zrz21=2,%|%|=V_2xV-2=2>故力正確.

故選：BCD.

根據(jù)歐拉公式可得zi=Ce*=AT2(COS^+isin^)=l+i,進而代入方程中，利用復數(shù)相等的

充要條件即可求解片1~2',結(jié)合選項即可逐一求解.

本題考查歐拉公式的應用，復數(shù)的運算，是中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：因為4=當，角A的平分線2。交BC于點C,AD=2,

所以可得SAABC-S^ACD+S?ABD，

所以;bcsinA=力?40?sin9gc.40.sin夕，

所以整理可得兒=2b+2c,

因為匕=6,

所以c=3,故A正確；

由角平分線性質(zhì)可知28。=CD,故B錯誤；

由于SgBc=\bcsinA=x6x3x故。正確；

1

36+9+2X6X3X--63

在△ABC中，由余弦定理得a?=￡>2+c2—2bccos力2

所以a=3，~7，故。錯誤.

故選：AC.

由題意可得SAABC=SMCD+SAAB。，利用三角形的面積公式可得加=2b+2C,進而可求c的值,

即可判斷4由角平分線性質(zhì)即可判斷B；利用三角形的面積公式即可判斷C；利用余弦定理即可

判斷￡>.

本題考查了三角形的面積公式，角平分線性質(zhì)以及余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計

算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：由題該二十四等邊體是由8個邊長為2的正三角形和6個邊長為2的正方形構(gòu)成,

所以表面積S=8x：x2x2x?+6x2x2=24+8，？，故A正確；

在與4B相交的6條棱40,AF,AM,BF,BC,BE中，與4B所成的角是稱的棱有4凡AM,BF,BC共

有4條，

又這4條棱中，每一條棱都有3條平行的棱，故與AB異面且所成的角是5的棱共有12條，故8錯誤；

H

由圖1知，設任一三角形所在平面與正方形的底面所成角為a,

取4B中點為G,連接NG,FG,

由于三角形ABN,AABF均為等腰三角形，所以NG_L4B,FGA.AB,故NNGF=a

>由于AB=2,二NG=7：AB=1,FG=\^-AB=V-3>所以cosa=翌=

22FG3

由對稱性可知任意兩個三角形所在平面的夾角均為兀-2a,

COS(TT-2a)——cos2a——[2X(芋)？—1]=^>故C正確；

該二十四等邊體的外接球球心即為原正方體的中心，半徑為球心到任一頂點的距離，

易得原正方體棱長為2/訝，所以外接球半徑r=J(C)2+(C)2=2，

所以體積V=々兀r3=竽兀，故￡)正確.

故選:ACD.

根據(jù)二十四等邊體的形成過程可知是由8個邊長為2的正三角形和6個邊長為2的正方形構(gòu)成，即可

由面積公式求解4,根據(jù)等邊三角形可得與AB相交的棱中與其成g的條數(shù)，即可由二十四等邊體的

結(jié)構(gòu)特征求解剩余的棱，即可判斷B,根據(jù)面面角即可由對稱求解C,根據(jù)正方體的外接球即可判

斷D.

本題主要考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及幾何體的外接球體積的求解，考查計算能力，屬于中檔題.

13.【答案】99

【解析】解：因為10x40%=4,

所以第40百分位數(shù)為第四、五兩數(shù)的平均數(shù)即為竺翳=99.

故答案為：99.

根據(jù)百分位數(shù)的定義直接計算即可.

本題考查百分位數(shù)的求解，是基礎題.

14.【答案】一寫

【解析】解：cos始一a)=sin碎一/一a)]=sin(1+a).

n,,3兀

V2<a<->

5九一7T..117T

?1?T<3+?<—?

又,:cos(g+a)=1>0>

3兀,兀?,117T

?1--<3+a<—'

sin/+a)=—Jl-cos2(^+a)=

???cos(5一a)=-

故答案為：一寫

根據(jù)條件cos《-a)=sin6+a),利用平方關系即可求出結(jié)果.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，屬于中檔題.

15.【答案】|

【解析】解:因為事件4,B,C兩兩相互獨立,若P(4B)=g,P(BC)=Q(4C)=2,

所以P(4B)=P(A)P(B)=A，

P面)=P⑻P?=P(B)(1-P(C))=i,

PQ4C)=P(A)P(C)=P(A)(1-P(C))=

解得P(A)=1.

故答案為：

根據(jù)相互獨立事件和對立事件的概率公式結(jié)合題意列方程組求解即可.

本題考查相互獨立事件和對立事件的概率公式，屬于基礎題.

16.【答案】審+華

36

【解析】解：如圖，不計原子大小后，設5個原子所確定的四面

體為正四面體4BCD,

則其棱長為7,若使圓柱最大，

則圓柱的上底面為一個平行于底面的截面所成正三角形的內(nèi)切圓,

設截面正三角形邊長為x,xG(0,7),設圓柱的高AO交截面于F,

連接EF、BO,圓柱的高為h,

<32GccGr27G._7y/~6

則EF=十不x耳=〒工，BO=—x7x-=,AO=，

由幾何關系可得:*需，則甯嚼￥

則圓柱的高九=4。?(1一個=癡(尸),

圓柱底面半徑為r=ix-^-x=

326

所以圓柱表面積:

S=2b2+2口k2兀(?x)2+2兀XX軍山=@一華++號m

663633

故當x=-一三一=4+。時，S取得最大值,

2(尹宇”

此時r=?x==x(4+<l)=*+y.

OODO

故答案為：浮+?.

36

利用幾何關系求出圓柱底面半徑為r=%，利用表面積公式表示出表面積幾何二次函數(shù)最值求

出結(jié)果.

本題考查空間幾何體的的結(jié)構(gòu)特征，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題.

17.【答案】解：（1）因為齊=3正，所以而=［而，

所以加=0+存=源+|畫-甌=；協(xié)+：配；

⑵由⑴得，JP-AC=（^BA+^BC）■（BC-BA）=-^\AB\2-^BA-BC+^\BC\2,

因為AB=6,BC=2yT2.,/-ABC=^n,

所以前?而=-9-|x6x2<7x（一?）+6=3.

【解析】（1）由9=，而利用線性表示可求出結(jié)果；

（2）前=（；瓦？+：瓦?（元一瓦?），再利用向量數(shù)量積運算即可求出結(jié)果.

本題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積，屬于基礎題.

18.【答案】解：（1）由題有4x（0.025+0.0375+0.05+a+0.0375+0.025）=1,

解得a=0.0750,

由頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，可得這100位市民走步數(shù)的平均數(shù)：

x=（9x0.025+13x0.0375+17x0.05+21x0.075+25x0.0375+29x0.025）x4=19.2

千步；

（2）在［23,27）和［27,31］兩組中的人數(shù)分別為100x4x0.0375=15人和100x4x0.025=10人，

所以在［23,27）分組中抽取的人數(shù)為5x高=3人，記為由,a2,a3,

在［27,31］分組中抽取的人數(shù)為2人,記為瓦，b2,

所以這5人中隨機抽取2人的情況有：

僅=｛（。1，。2），（@1,Q3），瓦），尻），（電，瓦），（。2，匕2），（。3,瓦），（03,82），（瓦”2）｝，

共10種取法，

其中這2人步數(shù)都在［27,31］的情況只有｛（瓦,&）｝,共有1種，

所以這2人步數(shù)都在［27,31］的概率為P=

【解析】（1）由各組的頻率和為1可求出a的值，根據(jù)平均數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解平均數(shù);

（2）根據(jù)分層抽樣的定義求出在［23,27）和［27,31］兩組中各抽取的人數(shù)，然后利用列舉法可求出概

率.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題.

19.【答案】解：（1）如圖，取4B中點0,連接P。，

???△248是正三角形，:「。148,

???平面P4B平面ZBCD,且兩平面的交線為ZB,ABu平面4BCD,

???P01_平面48C0,二p。==V3，

S4ACD=2x4。xCDxsinz_40C=~x2x2x?=V"""3>

又PQ=；PC,

則為-PAD=2^C-PAD=2^P-ACD='義QXSA^CDXP°=7X2XX—于

(2)由(1)知P。1平面ZBCD,BCu平面4BCD,故P。1BC,

過。作。HIBC于H,連接P”，

???P。、OHc5FffiPOH,POnOH=0,

BC_L平面POH,則BC1PH,

"H0即為平面PBC與平面8CD的夾角，

在RtAPH。中，因為P0=/3,0"=?，

所以PH=VPO2+OH2=J(/3)2+(行/=三，

即COSNPH°=*逢=?,

2

即平面PBC與平面BCD夾角的余弦值為

【解析】(1)根據(jù)面面垂直得線面垂直，由等體積法即可求解；

(2)根據(jù)面面垂直得線面垂直，進而根據(jù)面面角的幾何法求解其平面角，利用三角形的邊角關系即

可求解.

本題考查了空間幾何體的體積、二面角的求解，考查了運算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解:(1)因為a=?b,tanC-c-c-o-s-A-=-s-in-C-，

a+csinAcosC

y/~3.八sinCcosAsinC

根據(jù)正弦定理可得Sina=—smB,.■.,.=~7,

3sinA+sinCstnAcosC

因為S譏C豐0,

所以sim4=cosCcosA-sinCsinA=cos(C+4)=COS(TT-8)=—cosB=—sinB，

即tcmB=—VS,因為。V8<7T,所以B=1

(2)由⑴sim4=浮sinB=?x?=所以力=看，?！?/p>

如圖，取8C中點0,連接4D,

=2，3兀，解得r=y/~3<

根據(jù)正弦定理可得AB=2rsinC=C，所以BC=4B=V~^,即BD=?.

根據(jù)余弦定理可得

AD2=AB2+BD2-2AB-BD-cosB=(<3)2+(號/-2x<3xx(-1)=

所以力。=冷，故BC邊上的中線長為

【解析】(1)利用弦切互化及正弦定理化簡條件，利用三角形的性質(zhì)結(jié)合正切值求角;

(2)根據(jù)正弦定理求出邊，再利用余弦定理求解即可.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

21.【答案】（1）證明：連接4遇交AB】于點Q,連接PQ,

取48中點0,連接C。，0Q,

11

V0Q//AAlt且0Q=次1，PC〃441，PC=

0Q//PC,且。Q=PC,

四邊形PQ0C為平行四邊形，

PQ//C0.

4BC為正三角形，

???COLAB,

???平面ABBMi1平面ZBC,平面4BBian平面ABC=AB,

C。J■平面4BB14,PQ1平面

又PQu平面尸當4

二平面PBM1平面4BBi公；

(2)由(1)得平面1平面ABB14,A[B1BtA,