2023年廣東省河源市龍川縣中考數(shù)學(xué)一模試卷（含答案）

2023年廣東省河源市龍川縣中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.-5的倒數(shù)是（

)

A.-3B.--C.—D.3

33

2.2022年,廣東省外貿(mào)進(jìn)出口總值再創(chuàng)新高,達(dá)到83100億元,那么“83100”用科學(xué)記

數(shù)法表示為（）

A.8.31×IO3B.83.1×IO3C.8.31×IO4D.8.31×IO5

3.已知Nα=62°,則Na的余角為（)

A.28°B.38°C.118°D.138°

4.計算2。的結(jié)果是（)

A.0B.—C.1D.2

2

5.一組數(shù)據(jù)為4,2,a,5,1,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,則a=（)

A.0B.3C.4D.5

6.如圖是一個正八邊形，則它（

A.只是軸對稱圖形

B.只是中心對稱圖形

C.既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形

D.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形

7.下列式子中，x=2是它的解的是（）

〉

A.-^-χ=lB.X2-2x+?=0C.x<0x1

D.<

x>3

8.關(guān)于二次函數(shù)y=-（X-I）2+3的最值，說法正確的是（)

A.最小值為-1B.最小值為3C.最大值為1D.最大值為3

9.如圖，四邊形ABeD為菱形，AB=4,NA=60°,則BD的長為（)

d?4√3

10.如圖，P為AB上任意一點，分別以AP,PB為邊在AB同側(cè)作正方形APC。、正方形

PBEF,連接AF,BC,設(shè)/CBE=X°,ZAFP^y0,則y與X的關(guān)系為（）

DC

A.y=xB.y=2xC.y=180-xD.y=90-X

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11.cos30o=.

12.一個不透明布袋中裝有除顏色外其余均相同的4個小球，其中紅球3個，白球1個，從

中隨機摸出一球，顏色為紅色的概率為.

13,不等式：-x+l>2的解集是.

14.如圖，在aABC中，AB=AC,ZA=40o,CE平分aABC的外角N4CD,則Nl

15.如圖，扇形AoB的面積為15,半徑OA=O8=5,則標(biāo)的長為

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題8分，共24分.

16.先化簡，再求值：(α+l)(α-1)+(24-1)2,其中α=l.

18.某商場銷售甲、乙兩種商品，其中甲種商品進(jìn)價為20元/件，售價為30元/件；乙種商

品進(jìn)價為50元/件，售價為80元/件.現(xiàn)商場用13000元購進(jìn)這兩種商品并全部售出，兩

種商品的總利潤為7500元，問該商場購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？

四、解答題(二)：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.如圖，00的兩條弦AB=Cz),分別連接AC,BD,交點為P.

(1)求證：XAPB色XDPC:

(2)連接8C,若BC為OO的直徑，AB=4,秒求AC的長.

20.某校為了解本校學(xué)生對“二十大”的關(guān)注程度，對八、九年級學(xué)生進(jìn)行了“二十大”知

識競賽(百分制)，從中分別隨機抽取了10名學(xué)生的競賽成績，整理、分析如下，共分

成四組：A(80WXV85),B(85≤x<90),C(90WXV95),D(95WXWIo0),其

中八年級10名學(xué)生的成績分別是96,80,96,90,100,86,96,82,90,84；九年級

學(xué)生的成績在C組中的數(shù)據(jù)是90,91,92.

八、九年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

八年級9090h42.4

九年級90CIOO37.8

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)直接寫出上述4,b,C的值：a=,b=,C=；

(2)你認(rèn)為這次競賽中哪個年級成績更好，為什么？

(3)若該校九年級共500人參加了此次競賽活動，估計競賽成績優(yōu)秀(x290)的九年

級學(xué)生有多少人？

幾年級Illl1的學(xué)中.克碇成,-ii?)形統(tǒng)iI圖

21.如圖，一次函數(shù)％=履+b的圖象與反比例函數(shù)y0=生的圖象相交于點4(m,4),B

/X

(-4,n).

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接A。，BO,求AAOB的面積.

五、解答題(三)：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

22.如圖，在矩形ABCZJ中，AB=5,8C=10,點E是邊BC上一點(點E不與B,C重合)，

過點E作EFYDE交AB于點F,連接DF.

(1)當(dāng)BE=2時，求tanNEQF的值；

(2)當(dāng)AF=EF時，求NAQF的度數(shù)；

(3)若點尸為AB的中點，求BE的長.

23.如圖，頂點為M的拋物線y=0x2+bx-3與X軸交于A(-3,O),B(-1,0)兩點,

與y軸交于點C

(1)求點M的坐標(biāo)；

(2)點P為X軸上一點，且存在點尸使得APMC為直角三角形，求出點P的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.的倒數(shù)是（）

A.-3B.--C.—D.3

33

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義（乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)）解決此題.

解：?.?-^?x（-3）=1，

-，■的倒數(shù)是-3.

故選：A.

【點評】本題主要考查倒數(shù)，熟練掌握倒數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

2.2022年,廣東省外貿(mào)進(jìn)出口總值再創(chuàng)新高，達(dá)到83100億元，那么“83100”用科學(xué)記

數(shù)法表示為（）

A.8.31×IO3B.83.1×IO3C.8.31XlO4D.8.31×IO5

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10w的形式，其中IWIal<10,n為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成“時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對值210時，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值VI時，〃是負(fù)整數(shù).

解：83100=8.31×IO4.

故選：C.

【點評】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為“X10”的形式，

其中IWIal<10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵是要正確確定。的值以及〃的值.

3.已知Nα=62°,則Na的余角為（）

A.280B.38oC.118°D.138°

【分析】根據(jù)互余的兩角之和為90°,即可得出答案.

解：Na的余角=90°-62°=28°.

故選：A.

【點評】本題考查了余角的知識，解答本題需要用到：互余的兩角之和為90°.

4.計算2。的結(jié)果是（)

A.OB.—C.1D.2

2

【分析】根據(jù)零指數(shù)幕的定義解答即可.

解：根據(jù)零指數(shù)厚的定義可得：任何非零的數(shù)的零次幕為1,即2。=L

故選：C.

【點評】本題考查r零指數(shù)暴，熟練掌握零指數(shù)基的定義是解答本題的關(guān)鍵.

5.一組數(shù)據(jù)為4,2,“，5,1,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,則a=（）

A.OB.3C.4D.5

【分析】根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可求出α?

解：由題意得，a=3X5-4-2-5-1=3.

故選:B.

【點評】本題考查了平均數(shù)的概念.熟記公式是解決本題的關(guān)鍵.

6.如圖是一個正八邊形，則它（）

A.只是軸對稱圖形

B.只是中心對稱圖形

C.既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形

D.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形

【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可.把一個圖形繞某一點

旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱

圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸

對稱圖形.

解：正八邊形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.

故選：C.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.熟練掌握定義是解答本題

的關(guān)鍵.

7.下列式子中，x=2是它的解的是（）

A.—=1B.x2-2x+l=OC.x<0D.4、

2x]x>3

【分析】根據(jù)方程的解和不等式的解集的定義解答即可.

解：4、；將x=2代入原方程，左邊=I=右邊，

??.A選項符合題意；

8、:將x=2代入原方程，左邊=4-4+1=1≠右邊，

???8選項不符合題意；

C、?."=2不是不等式x<0的解，

.?.C選項不符合題意；

f>l

。、??χ=2不是不等式組1x、的解，

x>3

???。選項不符合題意.

綜上所述，A選項符合題意.

故選：A.

【點評】本題主要考查了方程的解和不等式的解集.正確掌握方程的解和不等式的解集

的定義是解題的關(guān)鍵.

8.關(guān)于二次函數(shù)y=-（X-I）2+3的最值，說法正確的是（）

A.最小值為-1B.最小值為3C.最大值為1D.最大值為3

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式可確定出其開口方向和頂點坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

解：二次函數(shù)y=-（X-I）2+3中，

'.,a=-1<0,

.?.函數(shù)圖象開口向下，

.?.函數(shù)有最大值，

：函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（1,3）,

.?.二次函數(shù)y=-（X-D2+3的最大值為3.

故選：D.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的最值，根據(jù)題意得出函數(shù)的頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，四邊形ABC。為菱形，AB=4,NA=60°,則8。的長為（）

A.2B.4C.???D.4^/3

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

解：：四邊形ABCO為菱形，A8=4,

.'.AD=AB=4,

'：ZA=60°,

.?.AABO是等邊三角形，

：.BD=AB=A,

故選：B.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

10.如圖，P為AB上任意一點，分別以AP,PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCZX正方形

PBEF,連接ARBC,設(shè)NCBE=X°,ZAFP=yo,則y與X的關(guān)系為()

C.y=180-XD.y=90-x

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用‘'SAS"證明△"尸二△"以證得NA尸P=NPBC即

可求得答案.

解：：四邊形APCO和四邊形PBEF都是正方形,

：.NAPE=NCPB=NEBP=9?！?AP=PC,PF=PB,

：.ZCBE+CBP=Wo,

在AAPF和aCP8中,

fAP=PC

<NAPF=NCPB,

PF=PB

：.XAPF烏ACPB(SAS),

???NAFP=NCBP,

VZCBE=xo,ZAFP=yo,

.?.x+y=90,

.?.y=90-x.

故選：D.

【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，對于解決四邊形的

問題往往是通過解決三角形的問題而實現(xiàn)的.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11.cos30o=近.

一2一

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

解：cos30o

2

故答案為：近.

2

【點評】考查了特殊角的三角函數(shù)值，是基礎(chǔ)題目，比較簡單.

12.一個不透明布袋中裝有除顏色外其余均相同的4個小球，其中紅球3個，白球1個，從

中隨機摸出一球，顏色為紅色的概率為?.

一4一

【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二

者的比值就是其發(fā)生的概率.

解：一個不透明布袋中裝有除顏色外其余均相同的4個小球，其中紅球3個，白球1個,

從中隨機摸出一球，顏色為紅色的概率為g.

4

故答案為：?.

4

【點評】本題考查概率的求法：如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，

其中事件4出現(xiàn)機種結(jié)果，那么事件4的概率P(A)=-.

n

13.不等式：-x+l>2的解集是x<-1.

【分析】不等式移項，合并同類項，把X系數(shù)化為1,即可求出解集.

解：移項得：-x>2-l,

合并得：-x>l,

系數(shù)化為1得：XV-L

故答案為：χ<-1.

【點評】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵.

14.如圖，?ΔABC中，AB=AC,ZA=40o,CE平分aABC的外角NAC。，則/1=

55°.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∕B=∕ACB=70°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到/

ACn=Il0。，根據(jù)角平分線定義求解即可.

解：'：AB=AC,∕A=4(Γ,

ZACB=-X(180°-40°)=70°,

2

ΛZACD=ZB+ZA=110°,

VCE平分aABC的外角ZACD,

：.Z\=—ZACD=55°,

2

故答案為：55。.

【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，扇形AOB的面積為15,半徑OA=OB=5,則靠的長為6.

△■

OB

【分析】設(shè)標(biāo)的長為m根據(jù)扇形面積公式和弧長公式得出15=∕a?5,再求出“即可.

解：設(shè)標(biāo)的長為”,

扇形AoB的面積為15,半徑0A=0B=5,

解得：a—6,

即標(biāo)的長是6.

故答案為：6.

【點評】本題考查了扇形的面積的和弧長的計算，能熟記公式是解此題的關(guān)鍵，扇形的

圓心角為〃°,半徑為r,那么扇形的面積等于史出，扇形所對的弧的長度是嚅；

360180

三、解答題(一)：本大題共3小題，每小題8分，共24分.

16.先化簡，再求值：(α+l)1)+(24-1)2,其中。=1.

【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式、合并同類項法則按原式化簡，把。的值代入

計算得到答案.

解：原式=〃2-1+4/-4α+l

=5a2-4a,

當(dāng)a=?時，原式=5XI2-4×1=1.

【點評】本題考查的是整式的化簡求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

17.解分式方程：x=?+3-

X-II-X

【分析】方程兩邊都乘X-1得出X=-I+3(X-I)，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗即可.

方程兩邊都乘X-1,得X=-I+3(x-1),

解得：x—2,

檢驗：當(dāng)x=2時，X-1≠O,

所以x=2是分式方程的解，

即分式方程的解是x=2.

【點評】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵.

18.某商場銷售甲、乙兩種商品，其中甲種商品進(jìn)價為20元/件，售價為30元/件；乙種商

品進(jìn)價為50元/件，售價為80元/件.現(xiàn)商場用13000元購進(jìn)這兩種商品并全部售出，兩

種商品的總利潤為7500元，問該商場購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？

【分析】設(shè)購進(jìn)甲種商品X件，乙種商品y件，根據(jù)現(xiàn)商場用13000元購進(jìn)這兩種商品,

銷售完后獲得總利潤7500元，列二元一次方程組，求解即可.

解：設(shè)購進(jìn)甲種商品X件，乙種商品y件,

zsf20x+50y=13000

根據(jù)題意,得《

(30-20)x+(80-50)y=7500

∫x=150

解得

ly=200

答：該商場購進(jìn)甲種商品150件，乙種商品200件.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

四、解答題(二)：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.如圖，。。的兩條弦AB=C，分別連接AC,BD,交點為P.

(1)求證：AAPB注ADPC；

(2)連接8C,若BC為。。的直徑，AB=A,第1，求AC的長.

【分析】(1)首先根據(jù)圓周角定理證得N4=N。，NB=NC,再根據(jù)AB=CD即可證

明AAPB也Z?CPC;

(2)若BC為。。的直徑，則NA=90°,根據(jù)祟4,可設(shè)AP=3x,PC=5x,則由(1)

?V*?

可知8P=5x,在RtZ?ABP中根據(jù)勾股定理可求出X=1,則4C=AP+PC=8.

【解答】(1)證明：；NA=NO,NB=NC,AB=CD,

：.AAPB名ADPC(ASA)；

(2)解：如圖，?.?BC為00的直徑，

.?.∕A=90°,

..AP3

?---—~，

PC5

，設(shè)AP=3x,PC=Sx,

,：XAPBqIXDPC,

'.BP=PC=Sx,

在RtZ?AB尸中，

222

根據(jù)勾股定理得：AP-^-AB=BPf

即(3x)2+42=(5x)2,

解得x=l或X=-I(不符合題意，舍去)，

.?.AP=3,PC=5,

.?.AC=AP+PC=8,

即AC的長為8.

Λ

P

【點評】本題考查了圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵

是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.

20.某校為了解本校學(xué)生對“二十大”的關(guān)注程度，對八、九年級學(xué)生進(jìn)行了“二十大”知

識競賽(百分制)，從中分別隨機抽取了10名學(xué)生的競賽成績，整理、分析如下，共分

成四組：A(80WXV85),B(85WXV90),C(90≤Λ<95),D(95WXWIoo),其

中八年級10名學(xué)生的成績分別是96,80,96,90,100,86,96,82,90,84；九年級

學(xué)生的成績在C組中的數(shù)據(jù)是90,91,92.

八、九年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

八年級9090b42.4

九年級90C10037.8

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)直接寫出上述α,b,C的值：a—40,b=96,C=91.5:

(2)你認(rèn)為這次競賽中哪個年級成績更好，為什么？

(3)若該校九年級共500人參加了此次競賽活動，估計競賽成績優(yōu)秀(x^90)的九年

級學(xué)生有多少人？

九年級Iili以的學(xué)牛.競賽成人?i形統(tǒng)il圖

【分析】(1)用1分別減去其它三組所占百分比即可得出。的值，根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的

定義即可得出氏C的值；

(2)可從平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差角度分析求解；

(3)利用樣本估計總體即可.

解：(1)由題意可知，α%=l-'XlOO%-10%-20%=40%,故。=40；

八年級抽取的學(xué)生競賽成績出現(xiàn)最多的是96分，故眾數(shù)6=96；

九年級10名學(xué)生的成績從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別為91、92,故中位數(shù)為

=91+92=915>

2

故答案為：40；96；91.5；

(2)九年級成績相對更好，理由如下：

①九年級測試成績的中位數(shù)和眾數(shù)大于八年級；②九年級測試成績的方差小于八年級；

(3)500×(I-20%-10%)=350(人).

答：估計競賽成績優(yōu)秀(x290)的九年級學(xué)生大約有350人.

【點評】本題考查了方差，眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)，掌握眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的

定義和方差的意義是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，一次函數(shù)M=&+b的圖象與反比例函數(shù)y0=生的圖象相交于點4(m,4),B

/X

(-4,n).

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接AO,BO,求AAOB的面積.

【分析】(1)根據(jù)點A",4)和點8(-4,〃)都在反比例函數(shù)丫2=*的圖象上即可

求出m和n的值，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式；

(2)利用SAAOB=SA40C+SABOC求解即可.

4

解：(1)；點A(m,4)和點8(-4,〃)都在反比例函數(shù)y0=上的圖象上，

ZX

'Λm=-4/1=4,

.?.m=l,幾=-1,

點A坐標(biāo)為(1,4),點3坐標(biāo)為(-4,-1),

k+b=4

把A、B的坐標(biāo)代入y∣=fcv+b得

-4k+b=-l

k=l

解得,

b=3,

,一次函數(shù)的解析式為V=X+3；

（2）設(shè)直線AB交y軸于C,

當(dāng)X=O時，y=x+3=3,

,C點坐標(biāo)（0,3）,

.?OC=3.

【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)

特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，求得交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

22.如圖，在矩形ABCD中，AB=5,BC=IO,點E是邊BC上一點（點E不與8,C重合），

過點E作EFLDE交AB于點F,連接DF.

（1）當(dāng)8E=2時，求tanNE。尸的值；

（2）當(dāng)AF=EF時，求/AOF的度數(shù)；

（3）若點P為AB的中點，求8E的長.

【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)求得總，再利用直角三角形

的邊角關(guān)系定理解答即可：

（2）利用矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可；

（3）利用矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)列出關(guān)于BE的比例式解答即可.

解：（1）,JEFA.DE,

：?NFED=90°,

ΛZBEF+ZDEC=90o.

Y四邊形ABC。為矩形，DA=BC=IO,AB=CD=5f

ΛZB=ZC=90o,

：?NBFE+NBEF=90°,

：.ZBFE=ZDEC9

：?XBEFs4CDE,

,FEJEJ

??而FT

9：EFLDE,

(2)Y四邊形ABCO為矩形，

ΛZA=90o,

EFLDE,

：.ZFED=90o,

在RtΔAFD和RtAEFD中，

?AF=EF

1DF=DF,

ΛRtAAFD^RtAEFD(HL),

ΛDA=DE=10,ZADF=ZEDF.

在Rt△￡("中，

9：DC=-DE

29

ΛZDEC=30o.

?9AD∕∕BC,

ΛZADE=ZDEC=30o,

ΛZADF=-ZADE=15°；

2

(3)???點尸為AF的中點,

15

：.BF=-AB=-.

22

9：EFLDEf

：.ZFED=90o,

ΛZBEF+ZDEC=90o.

???四邊形ABCO為矩形，

ΛZB=ZC=90o,

...NBFE+NBEF=90°,

：.ZBFE=ZDEC,

：.XBEFsACDE,

:?

B-F