2022年北京第五十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022年北京第五十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)命題p：x2+2x﹣3＜0q：﹣5≤x＜1，則命題p成立是命題q成立的(

)條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】命題p：x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1．即可判斷出命題p與q關(guān)系．【解答】解：命題p：x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1．又q：﹣5≤x＜1，則命題p成立是命題q成立的充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法、充要條件的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2.在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：42，43，46，52，42，50，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都減5后所得數(shù)據(jù)，則A、B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是A.平均數(shù) B.標(biāo)準(zhǔn)差 C.眾數(shù) D.中位數(shù)參考答案：B3.在曲線的切線中，與直線平行的切線方程是（

）A. B.C. D.或參考答案：D試題分析：先求導(dǎo)函數(shù)，然后設(shè)切點(diǎn)為（a，b），根據(jù)在P點(diǎn)處的切線平行于直線y=4x-1建立等式，解之即可求出a，得到切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出所求解：曲線y=x3+x-2求導(dǎo)可得y′=3x2+1,設(shè)切點(diǎn)為（a，b）則3a2+1=4，解得a=1或a=-1,切點(diǎn)為（1，0）或（-1，-4）,與直線4x-y-1=0平行且與曲線y=x3+x-2相切的直線方程是：4x-y-4=0和4x-y=0,故答案為D考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及直線平行的應(yīng)用，屬于中檔題．4.把一枚硬幣擲三次，三次都出現(xiàn)正面的概率為（

）（Ａ）

（Ｂ）

（Ｃ）

（Ｄ）參考答案：A略5.等比數(shù)列an中，a1=2，q=2，Sn=126，則n=（）A．9 B．8 C．7 D．6參考答案：D【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由首項(xiàng)和公比的值，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出Sn，讓其等于126列出關(guān)于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．【解答】解：由a1=2，q=2，得到Sn===126，化簡(jiǎn)得：2n=64，解得：n=6．故選D6.若平面α的一個(gè)法向量為=（0，2，2），A（1，0，2），B（0，﹣1，4），A?α，B∈α，則點(diǎn)A到平面α的距離為（）A．1 B．2 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】平面的法向量．【分析】點(diǎn)A到平面α的距離為d=，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵平面α的一個(gè)法向量為=（0，2，2），A（1，0，2），B（0，﹣1，4），A?α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），∴點(diǎn)A到平面α的距離為d===．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．7.“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定為

A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)B．a(chǎn)，b，c不都是奇數(shù)

C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)

D．a(chǎn)，b，c中或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)參考答案：D8.已知異面直線a、b的方向向量分別為、，平面α、β的法向量分別為、，則下列命題中是假命題的是(

▲

)A．對(duì)于，若存在實(shí)數(shù)x、y使得，則共面B．若∥，則a⊥αC．若=，則l與所成角大小為D．若二面角α—l—β的大小為γ，則γ=<,>或π－<,>.參考答案：C略9.關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．或參考答案：D10.．“1＜m＜2”是“方程表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件 參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù):將三角形數(shù)1,3,6,10,記為數(shù)列,將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列,可以推測(cè):是數(shù)列中的第______項(xiàng);

(2)______.(用表示)參考答案：略12.如圖是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象，對(duì)下列四個(gè)判斷：①y=f（x）在（﹣2，﹣1）上是增函數(shù)；②x=﹣1是極小值點(diǎn)；③f（x）在（﹣1，2）上是增函數(shù)，在（2，4）上是減函數(shù)；④x=3是f（x）的極小值點(diǎn)；其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．②④參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】通過導(dǎo)函數(shù)的圖象，判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的極值，從而得出答案．【解答】解：對(duì)于①：在區(qū)間（﹣2，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：在區(qū)間（﹣2，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）遞減，區(qū)間（﹣1，2）上，f′x）＞0，f（x）遞增，∴x=﹣1是極小值點(diǎn)，故②正確；對(duì)于③：在區(qū)間（﹣1，2）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，故③正確；對(duì)于④：f（﹣3）＜0，故④錯(cuò)誤；故選：C．13.已知點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B（1，2，0），且|AB|=,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_________________.參考答案：(0,0,0)或（2，0，0）14.橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A和B，右焦點(diǎn)為F．若|AF|、|AB|、3|BF|成等比數(shù)列，則該橢圓的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】AF=a﹣c，，3BF=3a，AF?3BF=AB2，可得a2+b2=3a（a﹣c），c2﹣3ac+a2=0，即e2﹣3e+1=0，解出即可得出．【解答】解：∵AF=a﹣c，，3BF=3a，∴由AF?3BF=AB2，a2+b2=3a（a﹣c），∵b2=a2﹣c2，∴c2﹣3ac+a2=0，則e2﹣3e+1=0，解得或（舍去）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．15.已知直線l過點(diǎn)，且與曲線相切，則直線的方程為

.參考答案：16.已知x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為

．參考答案：，作出約束條件表示的可行域，如圖，平移直線，由圖可知直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，且，.

17.函數(shù)的值域是________________.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知定點(diǎn)及直線,動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離為d,若.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程；(2)設(shè)M、N是C上位于x軸上方的兩點(diǎn),B坐標(biāo)為(1,0),且,MN的延長(zhǎng)線與x軸交于點(diǎn),求直線AM的方程.參考答案：（1）（2）【分析】（1）直接把條件用坐標(biāo)表示，并化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)，由可得的關(guān)系，的關(guān)系，再結(jié)合在曲線上，可解得，從而能求得的方程．【詳解】（1）設(shè)，則由，知又，∴由題意知：∴∴∴點(diǎn)的軌跡方程為（2）設(shè)，∵∴為中點(diǎn)，∵∴∴又，∴又，∴∵，∴，∴∴直線方程為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的軌跡方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，求軌跡方程用的是直接法，另外還有定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法等．

19.已知數(shù)列{an}中，，其前n項(xiàng)和Sn滿足：．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的，都有．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）由，可得，即數(shù)列時(shí)以1為首項(xiàng)公比為2的等比數(shù)列，即可求解．（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即有．【詳解】（Ⅰ）由，于是，當(dāng)時(shí),，即，，∵，數(shù)列為等比數(shù)列，∴，即．

（Ⅱ），∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，顯然成立，綜上，對(duì)于任意的，都有．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推式，等比數(shù)列的求和、放縮法，屬于中檔題．

20.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列，（1）求{an}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求Sn．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】（Ⅰ）由題意知a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2），由此可知2q2+q=0，從而．（Ⅱ）由已知可得，故a1=4，從而．【解答】解：（Ⅰ）依題意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）由于a1≠0，故2q2+q=0又q≠0，從而（Ⅱ）由已知可得故a1=4從而21.（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsinA=2csinB，b=2，cosA=．（Ⅰ）求c；（Ⅱ）求cos（2A+）．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得：a=2c，由余弦定理可得：c2+2c﹣8=0，即可解得c的值．（Ⅱ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，即可根據(jù)兩角和的余弦函數(shù)公式計(jì)算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵bsinA=2csinB，∴由正弦定理可得：ba=2cb，可得：a=2c，又∵b=2，cosA=，∴由余弦定理cosA=，可得：=，∴整理可得：c2+2c﹣8=0，解得：c=2或﹣4（舍去）．（Ⅱ）∵cosA=，∴sinA==，sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=﹣，∴cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin=（﹣）×﹣×=﹣．22.從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：排號(hào)分組頻數(shù)1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合計(jì)100（Ⅰ）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率；（Ⅱ）求頻率分布直方圖中的a，b的值；（Ⅲ）假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組（只需寫結(jié)論）參考答案：【考點(diǎn)】頻率分布直方圖；頻率分布表．【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表求出1周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻數(shù)，再根據(jù)頻率=求頻率；（Ⅱ）根據(jù)小矩形的高=求a、b的值；（Ⅲ）利用平均數(shù)公式求得數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布表知：1周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻數(shù)為6