廣東省佛山市三水區(qū)西南中學2023-2024學年九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）廣東省佛山市三水區(qū)西南中學2023-2024學年九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷一、選擇題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．2．（3分）下列四邊形中，是中心對稱而不是軸對稱圖形的是（）A．一般平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形3．（3分）一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一個根為2，則m的值是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（3分）根據(jù)下列表格中的對應(yīng)值：x3.233.243.253.26y＝ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.265．（3分）小明和小華玩“石頭、剪子、布”的游戲，若隨機出手一次，則小華獲勝的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，則方程可化為（）A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x+8）2＝23 D．（x﹣8）2＝97．（3分）如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．若∠AOB＝60°，BD＝8，則AB的長為（）A．3 B．4 C． D．58．（3分）已知菱形的兩條對角線長分別為6cm和8cm，則菱形的邊長等于（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm9．（3分）若一個等腰三角形的一邊為4，另外兩邊為x2﹣12x+m＝0的兩根，則m的值為（）A．32 B．36 C．32或36 D．不存在10．（3分）如圖，邊長為6的正方形ABCD中，M為對角線BD上的一點，連接AM并延長交CD于點P，若PM＝PC，則AM的長為（）A．3（﹣1） B．3（3﹣2） C．6（﹣1） D．6（3﹣2）二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）一元二次方程x2＝3x的根是．12．（3分）設(shè)m是方程x2﹣x﹣2023＝0的一個根，m2﹣m+1的值為．13．（3分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，則四邊形AEDF的周長是．14．（3分）如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點．若AB＝5，AD＝12，則四邊形ABOM的周長為．15．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB，BC的中點，CE、DF交于點G，連接AG，下列結(jié)論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°．其中正確的結(jié)論是．三、解答題（一）（本大題3小題，每小題8分，共24分）16．（8分）解方程：x2﹣4x﹣3＝0．17．（8分）已知：菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，CE∥OD，DE∥OC．求證：四邊形OCED是矩形．18．（8分）一只不透明的袋子中裝有1個白球，2個紅球，這些球除顏色外都相同．攪勻后從中隨機取出1個球，記錄顏色后放回．再次攪勻后，從中隨機取出1個球．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次取到的球恰好為1個白球和1個紅球的概率．四、解答題（二）（本大題3小題，每小題9分，共27分）19．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0．（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若x1，x2滿足x1x2+x1+x2＝4．求m的值．20．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．（1）求證：四邊形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面積為40．求AC的長．21．（9分）由于新冠疫情的影響，口罩需求量急劇上升，經(jīng)過連續(xù)兩次價格的上調(diào)，口罩的價格由每包10元漲到了每包14.4元．（1）求出這兩次價格上調(diào)的平均增長率；（2）在有關(guān)部門調(diào)控下，口罩價格還是降到了每包10元，而且調(diào)查發(fā)現(xiàn)，定價為每包10元時，一天可以賣出30包，每降價1元，可以多賣出5包，當銷售額為315元時，且讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，應(yīng)該降價多少元？五、解答題（三）（本大題2小題，每小題12分，共24分）22．（12分）閱讀材料：我們都知道a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．于是，﹣2x2+40x+5＝﹣2（x2﹣20x）+5＝﹣2（x2﹣2?x?10+102﹣102）+5＝﹣2[（x﹣10）2﹣100]+5＝﹣2（x﹣10）2+205．又因為a2≥0，所以，（x﹣10）2≥0，﹣2（x﹣10）2≤0，﹣2（x﹣10）2+205≤205．所以，﹣2x2+40x+5有最大值205．如圖，某農(nóng)戶準備用長34米的鐵柵欄，一邊利用墻，其余邊用鐵柵欄圍成長方形羊圈ABCD和一個邊長為1米的正方形狗屋CEFG．設(shè)AB＝x米．（1）請用含x的代數(shù)式表示BC的長（直接寫出結(jié)果）；（2）設(shè)山羊活動范圍即圖中陰影部分的面積為S平方米，請用含x的代數(shù)式表示S；（寫出過程）（3）求出山羊活動范圍面積S的最大值．23．（12分）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)．求證：四邊形AFCE是菱形；（2）【類比應(yīng)用】如圖②，直線EF分別交矩形ABCD的邊AD，BC于點E，F(xiàn)，將矩形ABCD沿EF翻折，使點C的對稱點與點A重合，點D的對稱點為D'，若AB＝3，BC＝4，求四邊形ABFE的周長；（3）【拓展延伸】如圖③，直線EF分別交平行四邊形ABCD的邊AD，BC于點E，F(xiàn)，將平行四邊形ABCD沿EF翻折，使點C的對稱點與點A重合，點D的對稱點為D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的長．參考答案與解析一、選擇題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．【解答】解：根據(jù)一元二次方程的定義可得出方程x2+1＝0為一元二次方程，故選：C．2．（3分）下列四邊形中，是中心對稱而不是軸對稱圖形的是（）A．一般平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【解答】解：A、平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故選項正確；B、矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故選項錯誤；C、菱形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故選項錯誤；D、正方形，矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故選項錯誤．故選：A．3．（3分）一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一個根為2，則m的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：把x＝2代入方程得4﹣2m﹣2＝0，、解得m＝1．故選：A．4．（3分）根據(jù)下列表格中的對應(yīng)值：x3.233.243.253.26y＝ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【解答】解：∵x＝3.24時，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25時，ax2+bx+c＝0.03，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是3.24＜x＜3.25．故選：C．5．（3分）小明和小華玩“石頭、剪子、布”的游戲，若隨機出手一次，則小華獲勝的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有9種等可能的結(jié)果，小華獲勝的情況數(shù)是3種，∴小華獲勝的概率是：＝．故選：C．6．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，則方程可化為（）A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x+8）2＝23 D．（x﹣8）2＝9【解答】解：x2+8x+7＝0，移項得：x2+8x＝﹣7，配方得：x2+8x+16＝9，即（x+4）2＝9．故選：A．7．（3分）如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．若∠AOB＝60°，BD＝8，則AB的長為（）A．3 B．4 C． D．5【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，且BD＝8，∴，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，OA＝AB＝4，故選：B．8．（3分）已知菱形的兩條對角線長分別為6cm和8cm，則菱形的邊長等于（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm【解答】解：如圖：∵菱形ABCD中BD＝8cm，AC＝6cm，∴OD＝BD＝4cm，OA＝AC＝3cm，在直角三角形AOD中AD＝＝＝5cm．故選：D．9．（3分）若一個等腰三角形的一邊為4，另外兩邊為x2﹣12x+m＝0的兩根，則m的值為（）A．32 B．36 C．32或36 D．不存在【解答】解：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝12，x1x2＝m，若x1＝4，則x2＝8，不成立（根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊），所以x1＝x2＝6，則m＝36，故選：B．10．（3分）如圖，邊長為6的正方形ABCD中，M為對角線BD上的一點，連接AM并延長交CD于點P，若PM＝PC，則AM的長為（）A．3（﹣1） B．3（3﹣2） C．6（﹣1） D．6（3﹣2）【解答】解：以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系，如圖：∵正方形ABCD邊長為6，∴A（0，6），D（6，6），C（6，0），由B（0，0），D（6，6）可得直線BD解析式為y＝x，設(shè)M（m，m），由A（0，6），M（m，m）得直線AM解析式為y＝x+6，在y＝x+6中，令x＝6得y＝，∴P（6，），∵PM＝PC，∴（m﹣6）2+（m﹣）2＝（）2，∴m2﹣12m+36+m2﹣2（12m﹣36）+（）2＝（）2，整理得m2﹣18m+54＝0，解得m＝9+3（不符合題意，舍去）或m＝9﹣3，∴M（9﹣3，9﹣3），∴AM＝＝6（﹣1），故選：C．方法2：∵PM＝PC，∴∠PMC＝∠PCM，∴∠DPA＝∠PMC+∠PCM＝2∠PCM＝2∠PAD，∵∠DPA+∠PAD＝90°，∴∠APD＝60°，∠PAD＝30°，∴PD＝＝2，∠CPM＝120°，∴CP＝CD﹣PD＝6﹣2，在△PCM中，∠CPM＝120°，PM＝PC，∴CM＝CP＝6﹣6，由正方形對稱性知AM＝CM＝6（﹣1），方法3：∵四邊形ABCD是邊長為6的正方形，∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD，由題意：設(shè)AM＝m，PM＝n，則PC＝n，DP＝6﹣n，∵AB∥CD，∴，∴，化簡得：mn＝6m﹣6n，由勾股定理可知：AD2+DP2＝AP2，∴62+（6﹣n）2＝（m+n）2，化簡得：m2+2mn+12n＝72，將mn＝6m﹣6n代入，得：m2+12m﹣12n+12n﹣72＝0，解得：m1＝6﹣6，m2＝﹣6﹣6（舍去），∴AM＝6﹣6，故選：C．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）一元二次方程x2＝3x的根是x1＝0，x2＝3．【解答】解：原方程可化為x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x1＝0，x2＝3．故答案為：x1＝0，x2＝3．12．（3分）設(shè)m是方程x2﹣x﹣2023＝0的一個根，m2﹣m+1的值為2024．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2023＝0的一個根，∴m2﹣m﹣2023＝0，∴m2﹣m＝2023，∴m2﹣m+1＝2023+1＝2024，故答案為：2024．13．（3分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，則四邊形AEDF的周長是24．【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形，∠EAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，∴DF＝AF，∴平行四邊形AEDF為菱形．∴AE＝DE＝DF＝AF＝6，∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24，即四邊形AEDF的周長是24，故答案為：24．14．（3分）如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點．若AB＝5，AD＝12，則四邊形ABOM的周長為20．【解答】解：∵O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，∴OM＝CD＝AB＝2.5，∵AB＝5，AD＝12，∴AC＝＝13，∵O是矩形ABCD的對角線AC的中點，∴BO＝AC＝6.5，∴四邊形ABOM的周長為AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案為：20．15．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB，BC的中點，CE、DF交于點G，連接AG，下列結(jié)論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°．其中正確的結(jié)論是①②③．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE與△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正確，符合題意；∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正確，符合題意；∴∠EGD＝90°，延長CE交DA的延長線于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AHE＝∠BCE，∵點E是AB的中點，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∴AG是Rt△DHG斜邊的中線，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF，故③正確，符合題意；∵CF＝BC＝CD，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，∵AD＝AG，∴△ADG不是等邊三角形，∴∠EAG≠30°，故④錯誤，不符合題意；故答案為：①②③．三、解答題（一）（本大題3小題，每小題8分，共24分）16．（8分）解方程：x2﹣4x﹣3＝0．【解答】解：移項得x2﹣4x＝3，配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝，開方得x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．17．（8分）已知：菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，CE∥OD，DE∥OC．求證：四邊形OCED是矩形．【解答】證明：∵CE∥OD，DE∥OC，∴四邊形OCED是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴平行四邊形OCED是矩形．18．（8分）一只不透明的袋子中裝有1個白球，2個紅球，這些球除顏色外都相同．攪勻后從中隨機取出1個球，記錄顏色后放回．再次攪勻后，從中隨機取出1個球．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次取到的球恰好為1個白球和1個紅球的概率．【解答】解：畫樹狀圖如下：一共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次取到的球恰好為1個白球和1個紅球的結(jié)果數(shù)有4種可能，∴P（兩次取到的球恰好為1個白球和1個紅球）＝．四、解答題（二）（本大題3小題，每小題9分，共27分）19．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0．（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若x1，x2滿足x1x2+x1+x2＝4．求m的值．【解答】解：（1）由題意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，∴m≤．故實數(shù)m的取值范圍為m≤；（2）依題意有x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2，∵x1x2+x1+x2＝4，∴m2﹣（2m﹣1）＝4，解得m1＝﹣1，m2＝3（舍去）．故m的值是﹣1．20．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．（1）求證：四邊形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面積為40．求AC的長．【解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵點E是AD的中點，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE（AAS），∴AF＝CD，∵點D是BC的中點，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，∴AD＝BD＝BC，∴四邊形ADBF是菱形；（2）解：∵四邊形ADBF是菱形，∴菱形ADBF的面積＝2△ABD的面積，∵點D是BC的中點，∴△ABC的面積＝2△ABD的面積，∴菱形ADBF的面積＝△ABC的面積＝40，∴AB?AC＝40，∴×8?AC＝40，∴AC＝10，∴AC的長為10．21．（9分）由于新冠疫情的影響，口罩需求量急劇上升，經(jīng)過連續(xù)兩次價格的上調(diào)，口罩的價格由每包10元漲到了每包14.4元．（1）求出這兩次價格上調(diào)的平均增長率；（2）在有關(guān)部門調(diào)控下，口罩價格還是降到了每包10元，而且調(diào)查發(fā)現(xiàn)，定價為每包10元時，一天可以賣出30包，每降價1元，可以多賣出5包，當銷售額為315元時，且讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，應(yīng)該降價多少元？【解答】解：（1）設(shè)這兩次價格上調(diào)的平均增長率為x，依題意得：10（1+x）2＝14.4，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：這兩次價格上調(diào)的平均增長率為20%．（2）設(shè)每包應(yīng)該降價m元，則每包的售價為（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，依題意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，整理得：m2﹣4m+3＝0，解得：m1＝1，m2＝3．又∵要讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，∴m的值為3．答：每包應(yīng)該降價3元．五、解答題（三）（本大題2小題，每小題12分，共24分）22．（12分）閱讀材料：我們都知道a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．于是，﹣2x2+40x+5＝﹣2（x2﹣20x）+5＝﹣2（x2﹣2?x?10+102﹣102）+5＝﹣2[（x﹣10）2﹣100]+5＝﹣2（x﹣10）2+205．又因為a2≥0，所以，（x﹣10）2≥0，﹣2（x﹣10）2≤0，﹣2（x﹣10）2+205≤205．所以，﹣2x2+40x+5有最大值205．如圖，某農(nóng)戶準備用長34米的鐵柵欄，一邊利用墻，其余邊用鐵柵欄圍成長方形羊圈ABCD和一個邊長為1米的正方形狗屋CEFG．設(shè)AB＝x米．（1）請用含x的代數(shù)式表示BC的長32﹣2x（直接寫出結(jié)果）；（2）設(shè)山羊活動范圍即圖中陰影部分的面積為S平方米，請用含x的代數(shù)式表示S；（寫出過程）（3）求出山羊活動范圍面積S的最大值．【解答】解：（1）依題意得AB＝DC＝x，EF＝FG＝1∵AB+DC+BC+EF+FG＝34，∴2x+BC+2＝34，∴BC＝32﹣2x；故答案為：32﹣2x；（2）依題意得：S＝S長方形ABCD﹣S正方形CEFG，S＝x（32﹣2x）﹣1，S＝﹣2x2+32x﹣1；（3）S＝﹣2x2+32x﹣1＝﹣2（x2﹣16x+64）+127＝﹣2（x﹣8）2+127又因為﹣2＜0，所以，（x﹣8）2≥0，﹣2（x﹣8）