河北省邯鄲市2024屆高三年級(jí)上冊(cè)第二次調(diào)研監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案）

河北省邯鄲市2024屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:.姓名:.班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.已知集合A=xy=log2x—x2,B=則Au5=()

1

A.x|x>01B.X<x<1C.Xx>一D.x\x<

2

2.若角。為第二象限角,tana=-------，貝“cosa=()

4

A.半2A/2_1

B.cD.

__3--1~3

3.設(shè)見(jiàn)力為兩個(gè)不同的平面，c為三條不同的直線(xiàn)，則下列命題正確的是（）

A.若al/a,bua,貝lja//bB.若alI/3、aua,bu/3,則〃/必

C.若a_L分,au%aP=c.a±c,則a_L/7D.若a工B，aua,bu(3,貝

4.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2+z+l=0,貝?。┠?（）

B6

A,—2C.1D.2

2

直線(xiàn)尸丘-3左+1被圓f+y2—4-5=0截得的弦長(zhǎng)的最小值為（

5.)

A.4B.275C.276D.2A/7

n

6.在（2加+2\的二項(xiàng)展開(kāi)式中，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為%,各項(xiàng)系數(shù)之和為4,若

an+bn=1056,則〃=()

A.4B.5C.6D.7

7.已知函數(shù)/⑴=3-廣2,若—2）+/（2片）＞0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

-23

A.(2,+oo)B.4C.—00,------D.(-2,+oo)

2

8.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABC。-AgGA中，a。分別為4瓦。6的中點(diǎn)，則平面A尸。

截此正方體所得的截面周長(zhǎng)為（)

A25+2713+975口25+4713+9^

A.---------------------D.-------------------------------------------

33

C.—+6A/5D.—+675

42

二、多選題

9.已知函數(shù)〃x）=2cos12x+：］,則下列描述正確的是（）

A.函數(shù)“X）的最小正周期為無(wú)

B.x=￡是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸

6

C.是函數(shù)“X）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

D.若函數(shù)的圖象向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）為奇

0

函數(shù)

10.已知實(shí)數(shù)〃涉,根滿(mǎn)足a>Z?>0,則以下大小關(guān)系正確的是（）

A.a2>b2B.QH—>b-\—

ab

「bb+mabi—n-

C.—<-------D.—j=+—j=>V〃+，b

aa+m7b

11.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足4=1,%+%=8,現(xiàn)將數(shù)列｛4｝與數(shù)列

｛邑-1｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列也｝,則下列敘述正確的是（）

2

A.an=2n-\B.=M-1

C.仇。=399D.數(shù)列卜勺前10項(xiàng)和為義

12.己知橢圓。:1+產(chǎn)=1（4>1）的上頂點(diǎn)為8,左、右焦點(diǎn)分別為用,工，則下列敘述

a

正確的是（）

A.若橢圓C的離心率為也，則。=2

2

B.若直線(xiàn)8K與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為A,且防=2為4,則/=2

C.當(dāng)4=2時(shí)，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)被橢圓C所截得的弦長(zhǎng)的最大值為題

3

D.當(dāng)a=2時(shí)，橢圓C上存在異于B的兩點(diǎn)P,。，滿(mǎn)足8PL3。，則直線(xiàn)PQ過(guò)定

點(diǎn)［。，一|］

三、填空題

13.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：4,6,7,7,8,9,11,14,15,19,

則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為.

14.已知非零向量a/滿(mǎn)足2同=3忖,6，（2°-6）,則向量a,b夾角的余弦值為

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

15.已知拋物線(xiàn)W=2py(p>())的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)歹的直線(xiàn)/與該拋物線(xiàn)相交于兩

點(diǎn)，若|腦V|=5|NF|,則直線(xiàn)/的斜率為.

16.已知函數(shù)f(x)=xlog/-gx2(a>0,且awl)存在極小值和極大值，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

四、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S",且滿(mǎn)足S"=1+1.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列b?=(-1)"??,求數(shù)列｛a｝的前2n項(xiàng)和T2?.

18.在二ABC中，角A8,C的對(duì)邊分別為〃八c,且生女=咽.

ccosC

⑴求角C；

⑵若c=3,角C的平分線(xiàn)交A3于點(diǎn)。，且滿(mǎn)足3￡)=-2AD，求△BCD的面積.

19.如圖，已知直三棱柱ABC-A4G的體積為2石(其中底面三角形ABC為銳角三角

B

⑴求點(diǎn)G到平面ABC的距離；

(2)求平面\BC與平面BCC'B,夾角的余弦值.

20.已矢口函數(shù)/(x)=lnx+(a—2)尤+<7.

⑴若a=l,求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(e"(e))處的切線(xiàn)方程;

⑵討論函數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

21.隨著芯片技術(shù)的不斷發(fā)展，手機(jī)的性能越來(lái)越強(qiáng)大，為用戶(hù)體驗(yàn)帶來(lái)了極大的提

升.某科技公司開(kāi)發(fā)了一款學(xué)習(xí)類(lèi)的闖關(guān)益智游戲，每一關(guān)的難度分別有“容易”“適

中”“困難”三個(gè)檔次，并且下一關(guān)的難度與上一關(guān)的難度有關(guān)，若上一關(guān)的難度是“容易”

或者“適中”，則下一關(guān)的難度是“容易”“適中”“困難”的概率分別為若上一關(guān)的

難度是“困難”，則下一關(guān)的難度是“容易”“適中”“困難”的概率分別為35二，已知第1

632

關(guān)的難度為“容易”.

(1)求第3關(guān)的難度為“困難”的概率；

(2)用月表示第九關(guān)的難度為“困難”的概率，求匕.

2

22.已知點(diǎn)片,工分別為雙曲線(xiàn)C:Y一上=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)C的右支上，

3

且雙曲線(xiàn)在點(diǎn)A處的切線(xiàn)/與圓C?:(x-2>+y2=io交于N兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)RM,RN的

傾斜角分別為

⑴求|a-；

⑵設(shè)直線(xiàn)/與x軸的交點(diǎn)為。，且滿(mǎn)足山。=2上。，求△甲WN的面積.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域?qū)⒓螦化簡(jiǎn)，再由并集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閥=log2（%—爐），貝鼠_%2>o,解得Ovxvi,

則A=1x|O<x<l|,且5={l%>；卜

故選：A

2.B

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程組，解得即可.

【詳解】因?yàn)閟in2a+cos%=l,tana=阿里=一變，又角a為第二象限角，

cosa4

解得cosa=-2四.

3

故選：B

3.C

【分析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面和面面的基本關(guān)系依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】A：若a〃a,bua,則a/必或〃與A互為異面直線(xiàn)，故A錯(cuò)誤；

B：若a"/3,aua,bu/3,則a//b或〃與Z?互為異面直線(xiàn)，故B錯(cuò)誤；

C：若。_L，,aua,ai/3=c,a【c,則々_14，故C正確；

D：若aLf3,aua,buf3,則；_L3或a//b或。與Z?互為異面直線(xiàn)或。與/?相交，故D錯(cuò)誤.

故選：C

4.C

【分析】設(shè)z=a+bi（4,b￡R）,根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法與加減運(yùn)算化簡(jiǎn)z2+z+l，再根據(jù)復(fù)

數(shù)相等得到方程組，求出4、b,即可求出其模.

【詳解】設(shè)z=Q+歷（4,b￡R）,

因?yàn)閆N+Z+IMO,所以（a+歷）+a+Z?i+l=。，

BPa1—b2+2aZ?i+a+歷+1=0,BP—b2+a+l+（2"+Z?）i=。，

/+Q+1=0

所以c77c，當(dāng)b=0時(shí)儲(chǔ)+〃+i=o無(wú)解，

\2ab+b=Q

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

當(dāng)“=-"時(shí)解得6=±,

22

所以目=-\/a2+b2=1.

故選：C

5.D

【分析】求出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，圓心坐標(biāo)與半徑，判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)，從而求出弦長(zhǎng)最小值.

【詳解】直線(xiàn)'=辰一3左+1,即(彳_3)左+(1—y)=0,令J］_y=0，解得［=1，

所以直線(xiàn)、=丘-3a+1恒過(guò)定點(diǎn)4(3,1),

?x2+y2-4%-5=0,§P(X-2)2+/=9,則圓心為3(2,0),半徑廠=3,

又|A3|=43-2)2+T=0<3,所以點(diǎn)A在圓內(nèi)，

則當(dāng)A8與直線(xiàn)了=履-3左+1垂直時(shí)所截得的弦長(zhǎng)最小，最小值為2Jr2TAM'=2出.

6.B

【分析】依題意可得。“=2"，令x=l得到2=4”,從而求出”.

【詳解】由12加+工］，令x=l可得各項(xiàng)系數(shù)之和為2=4",又各二項(xiàng)式系數(shù)之和為%=2”,

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

因?yàn)槭?2=1056,貝！J4〃+2〃=1056,解得2〃=32或2〃=一33(舍去)，

所以〃=5.

故選：B

7.B

【分析】令g(x)=〃x+2),即可判斷g(x)為奇函數(shù),從而得到關(guān)于(2,0)對(duì)稱(chēng)，則

f(x)+/(4-x)=0,再判斷的單調(diào)性，由對(duì)稱(chēng)性將不等式化為/(2片)>“6-a),再

由單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

11

【詳解】因?yàn)椤ü馍狭薧一小?xeR,令g(x)=〃尤+2)=/-e*,xeR,

貝Ig(一司='-e-二一'-ej二-g⑺，

所以g(x)為奇函數(shù),則g(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以“X)關(guān)于(2,0)對(duì)稱(chēng)，

貝|/(尤)+/(4—x)=0,

則>=6"2在定義域R上單調(diào)遞增，y=」在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以y=占在定義域R上

Xe

單調(diào)遞減，

則“X)=W-廣2在定義域R上單調(diào)遞減，

則不等式〃”2)+八2/)>0,即〃2/)>一44一2),所以八2/)>〃6-a),

則2〃<6-a,解得-2<a<g,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是1-2,：.

故選：B

8.A

【分析】取點(diǎn)”為棱G2上靠近C1的四等分點(diǎn)，取點(diǎn)N為棱8c上靠近C的三等分點(diǎn)，連

接PN、NQ、QMy,即可得到平面A尸。截此正方體所得的截面為五邊形A/WQM,

再求出其周長(zhǎng)即可.

【詳解】依題意，取點(diǎn)M為棱GQ上靠近C1的四等分點(diǎn)，取點(diǎn)N為棱BC上靠近C的三等

分點(diǎn)，

連接PN、NQ、QM,AM,取OC、AC的中點(diǎn)石、F,連接。乃、CF、EP,則研〃A2

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

且=

所以四邊形￡尸42為平行四邊形，所以ER//AP，

又CE與。尸平行且相等，則四邊形。/CE為平行四邊形，所以RE//CP,

又MQIICF,所以加?！?尸，同理可證PN〃AM,

所以平面A/。截此正方體所得的截面為五邊形A/WQM,

又/1="2+22=2君,4M=次+32=5，MQ=yJ12+22=A/5，

所以截面周長(zhǎng)為2國(guó)百+5+孚+g=25+2?+9斯

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】函數(shù)〃x)=2cos(2x+^|的最小正周期T=g=

兀，故A正確;

71

2cos2x-+-=2cos-=0,所以"%)關(guān)于去。)對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤;

66)2

2兀71

2cos-----+—=2cos0,所以卜；,oj是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心,

36

故C正確;

將函數(shù)/(X)的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度得到

0

7171

g(x)=2cos2X+-+—=2cosl2x+^l=-2sin2x,

6

貝!|g(-x)=-2sin(-2x)=2sin2x=—g(x),所以g(x)為奇函數(shù)，故D正確;

故選：ACD

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

10.AD

【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷A、利用特殊值判斷B、C,利用作差法判斷D.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)閍>b>0,所以/>/,故A正確；

對(duì)于B：當(dāng)a=l,b=一時(shí)滿(mǎn)足a>b>0,但是oH—=2<b+—=—,故B錯(cuò)誤；

2abl

對(duì)于C：當(dāng)=0時(shí)：=,故c錯(cuò)誤；

aa+m

對(duì)于D：因?yàn)閍>右>0,所以正>揚(yáng)>0,

所以&+包_?_a（&+斯）>0,所以條+/=>夜+虛，故D正確;

aG箍37a

故選：AD

11.ACD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列公式計(jì)算S“=1得到A正確B錯(cuò)誤，確定2=4/-1,

計(jì)算c正確，；=（［八-±］，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到D正確，得到答案.

bn212〃-12n+17

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：4=1,4+%=2q+3"=8,d-2,故正確；

對(duì)選項(xiàng)B：Sn=—（1+2n—1）xn=?~,錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C：%表示從1開(kāi)始的奇數(shù)，當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，/_1為奇數(shù)，

故a=4〃2_1,故%）=399,正確;

111\（11）

對(duì)選項(xiàng)D：-=-^~—^=~z—］、「|，

bn4〃—1+212〃-12n+lJ

數(shù)列小的前io項(xiàng)和為:卜"T++歷1一端1二1正0正f確;

故選：ACD.

12.ACD

【分析】直接由離心率求出。，即可判斷A,求出A點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，即可判斷B,設(shè)點(diǎn)

M（W，%）在橢圓上，求出眼呼，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C,設(shè)點(diǎn)尸（4乂），。優(yōu),上）,

當(dāng)尸。的斜率不為零時(shí)，設(shè)直線(xiàn)尸。的方程為〃、=犬+〃7,聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消元、列出

韋達(dá)定理，又BP1BQ,得到BP.BQ=0,即可求出加、〃的關(guān)系，從而求出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)坐

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

標(biāo)，再檢驗(yàn)斜率為零時(shí)也滿(mǎn)足.

【詳解】對(duì)于A：e=￡=3,b=l,c2=a2-b2,解得〃=4,所以。=2,故A正確;

a2

對(duì)于B：因?yàn)椤?-c,0),又BF\=2F、A,

3c]

設(shè)則(-c,-l)=2(%o+c,%),解得不=—■,yQ,

所以《奇小

代入橢圓方程得到竺+工=1,所以所以"=解得"=],故B錯(cuò)誤;

4/4a23a232

對(duì)于C：當(dāng)。=2時(shí)橢圓為9+產(chǎn)=1,設(shè)點(diǎn)加(七,為)在橢圓上，則]+q=1，

所以阿創(chuàng)=%；+(%_1)=4—4y；+y；_2y3+1=_3y；_2y3+5,

因?yàn)樗援?dāng)為=一；時(shí)阿2取得最大值印所以弦長(zhǎng)最大值為手,

故C正確;

對(duì)于D：設(shè)點(diǎn)尸(%,%),當(dāng)尸。的斜率不為零時(shí)，設(shè)直線(xiàn)尸。的方程為利=%+機(jī),

ny=x+m

,可得(〃2+4)y2_2mny+m2-4=0,

由</21

——+V-1

I4,

2mnm2-4

顯然A〉0,所以％+%=--，必+%=----

〃+4n+4

因?yàn)锽PL3Q,可得5P50=玉9+(%—1)(%_1)=。，

n

因?yàn)轭?=玉+機(jī)，y2=x2+m,代入可得("+1)%%一(機(jī)〃+1)(%+%)+m2+1=0,

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

12*

所以(〃2+1)耳一^--(mn+l)+m+1=0,

\7n2+4v乙2+4

3

整理得(5m+3〃)(m-〃)=0,所以根=幾或加=一丁,

當(dāng)機(jī)=〃時(shí)直線(xiàn)。。的方程為4=%+〃，恒過(guò)(0,1),不成立，

當(dāng)根=時(shí)直線(xiàn)PQ的方程為=x-|〃，恒過(guò),

若直線(xiàn)PQ的斜率為0且過(guò)點(diǎn)不妨取Q

則BPBQ=0,滿(mǎn)足3尸，8。，

綜上可得直線(xiàn)PQ恒過(guò)點(diǎn)(。，-|1,故D正確；

故選：ACD

(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一

般性證明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線(xiàn)系

或曲線(xiàn)的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為

坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

(3)求證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(%,%),常利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程5)或截距式、=丘+》

來(lái)證明.

13.7

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的概念進(jìn)行估計(jì)即可.

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

【詳解】因?yàn)檫@組數(shù)有10個(gè)，所以10x25%=2.5

這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)的為值為第3位的數(shù)7.

故答案為：7.

14.-

3

【分析】設(shè)同=3/”。），則W=2t,由6M2a-6）,得到九儂詢(xún)=0,即可求出幾回

再由夾角公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?同=3忖且°力為非零向量，設(shè)同=3中＞0）,則小2乙

又6_L（2a-b）,所以人（2。-6）=0,則2尻。-匕2=0，

解得。?a=2產(chǎn)，

八b-a2t21

設(shè)向量a涉的夾角為凡貝18$"=麗=荻五=§，

即向量a,b夾角的余弦值為；.

故答案為：—

15.±-

4

【分析】過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為過(guò)點(diǎn)N作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為N',過(guò)點(diǎn)N作

NGLMM，垂足為G,再根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求出|困、|NG|,從而求出tan/MNG,即可求

出直線(xiàn)的斜率.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為過(guò)點(diǎn)N作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為N',

過(guò)點(diǎn)N作NGL跖VT垂足為G,因?yàn)閨AW|=勺NF],不妨設(shè)|NF|=小＞0）,

則|MV|=5f,\MF\=4t,根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得|酒1=加尸|=乙|%”|=|肱^=5乙

所以Mq=\MM'\-\NN'\^3t,所以|NG|=洞不麗7=書(shū)，

\MG\33

所以tanNMNG=1=：,此時(shí)直線(xiàn)/的斜率為一,

\NG\44

3

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得直線(xiàn)/的斜率為土二.

3

故答案為：±-

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，依題意可得尸(X)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則J=x-10g“x,設(shè)

Ina

g(x)=x-log〃x,所以g(x)=j有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明g(x)的單調(diào)性，求出

g(x)1nin，即可得至ljlog“J->。(fl>l),從而求出a的取值范圍.

Ina

00

【詳解】因?yàn)椤o(wú))=才。8/-；.一定義域?yàn)?。,+)，f'(x)=logax+^--x,

依題意可得f(x)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

令尸(x)=0,則J—=.”log/,設(shè)g(x)=x-log.x,所以g(x)=J—有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，

maIna

又/⑴=1---—，若Ovavl,lna<0,則g[x)>0,則函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

xinQ

所以g(x)=J至多有一個(gè)根，不符合題意，

ina

若。>1,則lna>0,顯然g'(x)=l-一二單調(diào)遞增，

xlna

當(dāng)0<x<匕時(shí)g'(x)<0,則g(x)在(0,。)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>力時(shí)g'(x)>0,則g(x)在上單調(diào)遞增，

所以g(Mmin=§[7->1=T---log”T—,

\\naJInaIna

又當(dāng)％f0時(shí)g(x)f+%當(dāng)尤—+8時(shí)g(x)->+孫

要使g(x)=J-有兩個(gè)不同正實(shí)數(shù)根，則gfT—}=7~一一loga7—<7—，

Inaylna)InaInaIna

即loga-->0,又a>l所以->1,則。<lna<l,所以lva<e,

InaIna

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(Le).

故答案為：(l,e)

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：依題意得到[Lux-logd，從而得到g(x)=J—有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根.

In〃In〃

f2,n=l

17.⑴%=

\2n-\,n>2

(2)2〃—1

(S]9n=l

【分析】(1)根據(jù)%=cc、。計(jì)算可得；

—2,n=l

(2)由⑴可得2=(T)%=,…小，、，利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.

(一1)x(2〃-

【詳解】⑴因?yàn)镾“="+1,

當(dāng)〃=1時(shí)，％=SI=F+I=2,

當(dāng)"22時(shí)，—1)+1,貝Uan=+1—(〃—1)—1=2〃—1,

⑵〃二1

當(dāng)〃=1時(shí)，％=2〃一1不成立，所以為=1

[2n-l,n>2

—2,Yl—\

⑵由⑴可得—=7「(21),〃”

所以=-2+3-5+7-9+11-13++(4?-5)-(4/?-3)+(4n-1)

=-2+(3-5)+(7-9)+(11-13)++[(4?-5)-(4?-3)]+(4?-1)

=-2-2(zI-l)+(4n-l)=2n-l.

71

18.%

⑵G

【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，再根據(jù)三角形函數(shù)角度關(guān)系化簡(jiǎn)，即可得角c的大

小；

（2）由角平分線(xiàn)定理結(jié)合余弦定理求解的長(zhǎng)，再求解cosB,從而得△BCD的面積.

,、*切、，，、,^,2a-b2sinA-sinBcosB

【詳解】（1）由正弦定T理Cn得zs-----=----———=-

csmCcosC

所以2sinAcosC—sinBcosC=cosBsinC,

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

則2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）,

又A+3+C=7t,l^sin（i3+C）=sinA,

則2sinAcosC=sinA,因?yàn)镺VAVTI,則sinAwO,

171

所以cosC=彳，由于0<C<7T,則c=:；

23

因?yàn)閏=AB=3,BD=-2AD，所以|3“=2,從回=1

CACAAD1

角C的平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)。’由角平分線(xiàn)定理可得而=而’則而=拓=5'即。=2CA

22222

百人口片』Tm-日CA+CB-AB1CA+4CA-91

由余弦定理可得cosZACB=----------------------一，則mtl-------------=一整理得CA=6

2CACB22CA-2CA2

所以CB=2G

上

T7,4-.rmZB+CB——CA"9+12-318

又由余弦定理得cosB=--------------

2ABCB2x3x26-12百一2

因?yàn)?€（0,兀），所以sinB=；,

故S?rn=-DB-CBsinB=-x2x2V3xl=73.

222

19.⑴

7

Q）也

7

7T

【分析】(1)由柱體的體積求出NBAC=-,即可得到ABC為等邊三角形，取AC的中點(diǎn)。，

AC的中點(diǎn)E,連接。E、OA,則OEL平面ABC,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量

法計(jì)算可得；

(3、

⑵取BC的中點(diǎn)，連接AD,即可證明AD,平面BCG耳，則AQ=|方"，于°為平面

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

的一個(gè)法向量，再由向量法計(jì)算可得.

【詳解】(1)依題意匕BC-MG=M?S."c2倉(cāng)42倉(cāng)小sin?BAC243,

所以sin/BAC=且，又/B4c為銳角，所以ZBAC=￡,

23

所以ASC為等邊三角形，取AC的中點(diǎn)0,AG的中點(diǎn)E,連接0E、0A,

則?！?〃切，OBLAC,又平面ABC,所以0E_L平面ABC,

如圖建立空間直角坐標(biāo)，則4（0,T,2）,B（V3,0,0）,C（0,l,0）,Q（0,1,2）,

UUU/L\null

所以AB=（四,1,-2）,AC=（O,2,—2）,CG=（0,0,2）,

,、n-A.B=y/ix+y-2z=0

設(shè)平面ABC的法向量為〃=X,y,z,貝IJ7，

'n-AiC=2y-2z=0

\n-Cc\2J32J21

則點(diǎn)G到平面\BC的距離d==關(guān)=.

"J77

(2)取BC的中點(diǎn)，連接AD,則AD/3C,又CC】_L平面ABC,

加u平面ABC,所以CC］，A3,BCcCC\=C,3C,CGu平面BCC4,

所以A。，平面BCC4,又Z)乎,;,0

(hA、

所以人。=|5-6,0為平面BCG耳的一個(gè)法向量,

\7

刖臼_2如2幣

設(shè)平面ABC與平面BCC4夾角為e,則cos0=

|AZ)|-|H|不義67

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

所以平面\BC與平面BCCA夾角的余弦值亞.

7

20.(l)Q-l^-y+l=0

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線(xiàn)的斜率，再由點(diǎn)斜式計(jì)算可得；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分。-220、。-2<0兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值討

論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)/(x)=lnx-x+l,則/(e)=lne-e+l=2-e,

廣(力=!一1,所以廣(e)=1-1,

所以曲線(xiàn)＞=/⑺在點(diǎn)(e"(e))處的切線(xiàn)方程為y-(2-e)=g-1](x-e),即

-l^x-y+l=0.

(2)函數(shù)〃x)=lnx+(a-2)x+a定義域?yàn)?0,+8),

f'^x)=—+a—2,

當(dāng)a-220,即2時(shí)恒成立，所以在(0,+向上單調(diào)遞增，

又當(dāng)x趨向于。時(shí)〃x)<0,/(l)=2a-2>0,所以函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)°-2<0,即"2時(shí)令尸("=。，解得x=

所以當(dāng)。<尤<J時(shí)尚勾>。，當(dāng)了>4時(shí)r(x)<。，

所以/(X)在［。，占］上單調(diào)遞增，在［占，+8)上單調(diào)遞減，

當(dāng)X趨向于0時(shí)〃x)<0,當(dāng)無(wú)趨向于正無(wú)窮時(shí)/(x)<0,X/f-^Ulnf-^Vl+a,

\L-dJ12—Cl)

令=—1—1+4(〃<2),

貝1J”(Q)=4+1〉0,所以在(f,2)上單調(diào)遞增，且入。)=0，

若占［=必［￡］一"">()'即1<“<2時(shí)函數(shù)“X)有兩個(gè)零點(diǎn)；

若/［占)=ln［￡)T+"="即"=1時(shí)函數(shù)〃x)有一個(gè)零點(diǎn)；

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

若+即13<1時(shí)函數(shù)〃尤）沒(méi)有零點(diǎn)；

綜上，當(dāng)a<1時(shí)函數(shù)〃x）沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)。=1或。22時(shí)函數(shù)〃尤）有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)1<“<2時(shí)

函數(shù)/（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

7

21.⑴一

18

【分析】（1）根據(jù)概率事件的關(guān)系分析求解即可;

（2）利用概率分布結(jié)合等比數(shù)列求解第n關(guān)的難度為“困難”的概率Pn即可.

【詳解】⑴已知第1關(guān)的難度為“容易”，則第2關(guān)的難度是“容易”“適中”“困難”的概率分

別為！w，

623

故第3關(guān)的難度是，困難”的概率為尸=底2+葭:+卜!=［；

63233218

（2）由題意可得，匕表示第〃關(guān)的難度為“困難”的概率，尺―表示第5-1）關(guān)的難度為“困

難”的概率，

則匕=