專題06豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)模型

專題06豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)模型一．汽車過拱（凹）形橋模型1．汽車過拱形橋：汽車在橋上運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，汽車的重力與橋?qū)ζ囍С至Φ暮狭μ峁┫蛐牧ΑＨ鐖D甲所示。由牛頓第二定律得：G－FN＝meq\f(v2,r)，則FN＝G－meq\f(v2,r)。汽車對橋的壓力與橋?qū)ζ嚨闹С至κ且粚ο嗷プ饔昧Γ碏′N＝FN＝G－meq\f(v2,r)，因此，汽車對橋的壓力小于重力，而且車速越大，壓力越小。(1)當(dāng)0≤v<eq\r(gr)時(shí)，0<FN≤G。(2)當(dāng)v＝eq\r(gr)時(shí)，F(xiàn)N＝0.(3)當(dāng)v>eq\r(gr)時(shí)，汽車做平拋運(yùn)動(dòng)飛離橋面，發(fā)生危險(xiǎn)。甲乙2．汽車過凹形橋如圖乙所示，汽車經(jīng)過凹形橋面最低點(diǎn)時(shí)，受豎直向下的重力和豎直向上的支持力，兩個(gè)力的合力提供向心力，則FN－G＝meq\f(v2,r)，故FN＝G＋meq\f(v2,r)。由牛頓第三定律得：汽車對凹形橋面的壓力F′N＝G＋meq\f(v2,r)，大于汽車的重力。二．豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕繩(過山車)模型小球沿豎直光滑軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在細(xì)繩作用下在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，都是繩模型，如圖所示。甲乙(1)向心力分析①小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)受向下的重力和向下的繩子拉力(或軌道彈力)作用，由這兩個(gè)力的合力提供向心力，mg＋FN＝meq\f(v2,r)。②小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)受向下的重力和向上的繩子拉力(或軌道彈力)作用，由這兩個(gè)力的合力提供向心力，F(xiàn)N－mg＝meq\f(v2,r)。(2)臨界條件小球恰好過最高點(diǎn)時(shí)，應(yīng)滿足彈力FN＝0，即mg＝meq\f(v2,r)，可得小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度v＝eq\r(gr)。(3)能過最高點(diǎn)的條件：v≥v臨。(4)不能通過最高點(diǎn)的條件：v＜v臨，實(shí)際上小球在到達(dá)最高點(diǎn)之前就脫離了圓軌道，如圖所示。三．豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕桿(管)模型小球被一輕桿拉著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在豎直放置的光滑細(xì)管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，都是桿模型，如圖所示。甲乙(1)向心力分析①小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)受桿(或軌道)的彈力和向下的重力作用，由這兩個(gè)力的合力提供向心力。若彈力向上：mg－FN＝meq\f(v2,r)；若彈力向下：mg＋FN＝meq\f(v2,r)。②小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)受桿(或軌道)向上的彈力和向下的重力作用，由這兩個(gè)力的合力提供向心力，F(xiàn)N－mg＝meq\f(v2,r)。(2)臨界條件：由于硬桿或管壁的支撐作用，小球能到達(dá)最高點(diǎn)的臨界速度v臨＝0，輕桿或軌道對小球有支持力FN＝mg。(3)當(dāng)0＜v＜eq\r(gr)時(shí)，桿或內(nèi)管壁對小球的支持力FN＝mg－meq\f(v2,r)，支持力FN隨v的增大而減小，其取值范圍是0＜FN＜mg。(4)當(dāng)v＞eq\r(gr)時(shí)，桿對小球施加的是拉力，且拉力F＝meq\f(v2,r)－mg；或外管壁對小球有豎直向下的壓力FN＝meq\f(v2,r)－mg?！灸Ｐ脱菥?】（2023下·北京延慶·高一統(tǒng)考期中）雜技表演中有一個(gè)“水流星”的節(jié)目：在一只水杯中裝上水，然后讓水杯在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，水不會(huì)灑出來。如圖所示為水流星運(yùn)動(dòng)的示意圖，一細(xì)繩與水杯相連，杯中裝有水，水杯與細(xì)繩一起在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，若水的質(zhì)量m=0.5kg，水的重心到轉(zhuǎn)軸的距離L=40cm。（g=10m/s2）（1）若在最高點(diǎn)水不流出來，求桶的最小速率；（2）若在最高點(diǎn)水桶的速率v=4m/s，求桶底對水的壓力大小【答案】（1）2m/s；（2）15N【詳解】（1）根據(jù)解得

（2）根據(jù)解得【方法總結(jié)】豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法(1)明確運(yùn)動(dòng)的模型，是輕繩模型還是輕桿模型。(2)明確物體的臨界狀態(tài)，即在最高點(diǎn)時(shí)物體具有最小速度時(shí)的受力特點(diǎn)。(3)分析物體在最高點(diǎn)及最低點(diǎn)的受力情況，根據(jù)牛頓第二定律列式求解?！灸Ｐ脱菥?】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）長度為的輕桿OA繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，A端連著一個(gè)質(zhì)量的小球，g取。求在下述兩種情況下，通過最高點(diǎn)時(shí)小球?qū)U的作用力的大小和方向。(1)桿做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速為；(2)桿做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速為?！敬鸢浮?1)138N，方向豎直向上；(2)10N，方向豎直向下【詳解】(1)設(shè)小球在最高點(diǎn)時(shí)受到桿的作用力的方向豎直向下，則其受力分析如圖所示。桿的轉(zhuǎn)速為時(shí)，有由牛頓第二定律得故小球所受桿的作用力即桿對小球提供了138N的拉力。由牛頓第三定律知，小球?qū)U的拉力大小為138N，方向豎直向上。(2)桿的轉(zhuǎn)速為時(shí)同理可得小球所受桿的作用力力為負(fù)值表示它的方向與受力分析中所假設(shè)的方向相反，故由牛頓第三定律知，小球?qū)U的壓力大小為10N，方向豎直向下。【方法總結(jié)】(1)注意r/s與rad/s的不同。(2)先求小球受到桿的彈力，再用牛頓第三定律得出桿受小球的力。(3)當(dāng)未知力的方向不確定時(shí)，要采用假設(shè)正方向的辦法?！灸Ｐ脱菥?】（2023下·山東日照·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，質(zhì)量m=2.0×104kg的汽車以不變的速率先后駛過凹形橋面和凸形橋面，兩橋面的圓弧半徑均為60m，如果橋面承受的壓力不得超過3.0×105N，重力加速度g=10m/s2，則：（1）分析汽車以相同速率分別通過凹形橋面最低點(diǎn)和凸形橋面最高點(diǎn)時(shí)，哪種情況對橋面壓力較大？（2）汽車允許的最大速率是多少？（3）若以所求速度行駛，汽車對橋面的最小壓力是多少？【答案】（1）汽車過凹形橋面最低點(diǎn)時(shí)，汽車對橋面的壓力較大；（2）；（3）【詳解】（1）汽車以相同速率分別通過凹形橋面最低點(diǎn)和凸形橋面最高點(diǎn)時(shí)，受力分析如圖通過凹形橋面最低點(diǎn)由牛頓第二定律可知解得通過凸形橋面最高點(diǎn)由牛頓第二定律可知解得由此可知汽車過凹形橋面最低點(diǎn)時(shí)，汽車對橋面的壓力較大；（2）汽車過在凹形橋面最低點(diǎn)時(shí)，汽車對橋面的壓力較大，如果橋面承受的壓力不得超過3.0×105N，則解得（3）當(dāng)汽車過凸形橋面最高點(diǎn)時(shí)，支持力最小，由（1）知根據(jù)牛頓第三定律得，最小的壓力為【規(guī)律總結(jié)】對于汽車過橋問題，具體的解題步驟如下：(1)選取研究對象，確定軌道平面、圓心位置和軌道半徑；(2)正確分析研究對象的受力情況，明確向心力是按作用效果命名的力，在受力分析時(shí)不能列出，明確向心力的來源；(3)根據(jù)平衡條件和牛頓運(yùn)動(dòng)定律列方程求解?！灸Ｐ脱菥?】1.（2023下·高一全國聯(lián)考期中）如圖甲，小球用不可伸長的輕繩連接繞定點(diǎn)O在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度大小為v，此時(shí)繩子拉力大小為FT，拉力FT與速度的平方v2的關(guān)系如圖乙所示，圖像中的數(shù)據(jù)a和b以及重力加速度g都為已知量，以下說法正確的是()A.數(shù)據(jù)a與小球的質(zhì)量有關(guān)B.數(shù)據(jù)b與小球的質(zhì)量無關(guān)C.比值eq\f(b,a)只與小球的質(zhì)量有關(guān)，與圓周軌道半徑無關(guān)D.利用數(shù)據(jù)a、b和g能夠求出小球的質(zhì)量和圓周軌道半徑【答案】D【解析】當(dāng)v2＝a時(shí)，此時(shí)繩子的拉力為零，物體的重力提供向心力，則有mg＝meq\f(v2,r)，解得v2＝gr即a＝gr，故與物體的質(zhì)量無關(guān)，A錯(cuò)誤；當(dāng)v2＝2a時(shí)，對物體受力分析，則有mg＋b＝meq\f(v2,r)，解得b＝mg，故與小球的質(zhì)量有關(guān)，B錯(cuò)誤；根據(jù)以上分析可知：eq\f(b,a)＝eq\f(m,r)，與小球的質(zhì)量有關(guān)，與圓周軌道半徑有關(guān)，C錯(cuò)誤；若F＝0，由圖知v2＝a，則有mg＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(a,g)，當(dāng)v2＝2a時(shí)，則有mg＋b＝meq\f(v2,r)，解得m＝eq\f(b,g)，D正確。2.如圖所示，一輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，F(xiàn)N－v2圖像如圖所示。下列說法正確的是()A.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮閑q\f(R,b)B.小球的質(zhì)量為eq\f(a,b)RC.v2＝c時(shí)，桿對小球彈力方向向上D.若v2＝2b，則桿對小球彈力大小為2a【答案】B【解析】通過圖分析可知：當(dāng)v2＝b，F(xiàn)N＝0時(shí)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力提供，即mg＝meq\f(b,R)，g＝eq\f(b,R)，A錯(cuò)誤；當(dāng)v2＝0，F(xiàn)N＝a時(shí)，重力與彈力FN大小相等，即mg＝a，所以m＝eq\f(a,g)＝eq\f(a,b)R，B正確；當(dāng)v2＞b時(shí)，桿對小球的彈力方向與小球重力方向相同，豎直向下，故v2＝c＞b時(shí)，桿對小球的彈力方向豎直向下，C錯(cuò)誤；若v2＝2b時(shí)，mg＋FN＝meq\f(2b,R)，解得FN＝a，方向豎直向下，D錯(cuò)誤?！緮?shù)理思想與模型建構(gòu)】1.數(shù)理思想是基于物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的科學(xué)思維方法。2.模型建構(gòu)(1)輕繩模型：①v＞eq\r(gR)時(shí)繩子的彈力F＝meq\f(v2,R)－mg，方向豎直向下②v＝eq\r(gR)時(shí)繩子的彈力為零，是安全通過最高點(diǎn)的臨界條件(2)輕桿模型①v＞eq\r(gR)時(shí)輕桿對物體的彈力F＝meq\f(v2,R)－mg，方向豎直向下②v＝eq\r(gR)時(shí)輕桿對物體的彈力為零，是物體所受彈力方向變化的臨界速度。③v＜eq\r(gR)時(shí)輕桿對物體的彈力FN＝mg－meq\f(v2,R)，方向豎直向上?！舅季S建構(gòu)】1.根據(jù)物理現(xiàn)象列出物理方程。如1：FT＋mg＝meq\f(v2,r)。2.根據(jù)物理方程整理成函數(shù)關(guān)系。如1：FT＝eq\f(m,r)v2－mg。3.將物理方程與一次函數(shù)相對應(yīng)。如1：FT＝eq\f(m,r)v2－mgeq\o(→,\s\up7(對應(yīng)))y＝kx＋b。4.根據(jù)函數(shù)思想對應(yīng)物理圖像分析求解。【題后感悟】1.清楚圓周運(yùn)動(dòng)中繩、桿模型的物理規(guī)律，列出正確的物理方程。2.對一次函數(shù)y＝kx＋b要非常熟練，會(huì)用會(huì)畫。3.熟練地將數(shù)學(xué)和物理結(jié)合起來，用圖像法來解決物理問題。一、單選題1．（2023下·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，一同學(xué)表演蕩秋千，已知秋千的兩根繩長均為10m，該同學(xué)的質(zhì)量為50kg，秋千踏板的質(zhì)量約為，繩的質(zhì)量忽略不計(jì)，當(dāng)該同學(xué)蕩到秋千支架的正下方時(shí)，速度大小為，此時(shí)每根繩子平均承受的拉力約為（）（g=10m/s2）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)牛頓第二定律解得T=600N故選C。2．（2023下·江蘇·高一階段練習(xí)）如圖所示，一個(gè)固定在豎直平面上的光滑圓形管道，質(zhì)量為M，管道里有一個(gè)直徑略小于管道內(nèi)徑的小球，質(zhì)量為m，小球在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，已知M>m，下列說法正確的是（

）A．小球通過管道最低點(diǎn)時(shí)，管道對地面的壓力為(m＋M)gB．小球通過管道最高點(diǎn)時(shí)，管道對地面的壓力可能大于(m＋M)gC．小球通過管道最高點(diǎn)時(shí)，管道對地面的壓力不可能為零D．小球通過管道最高點(diǎn)時(shí)，管道對地面壓力可能為Mg【答案】D【詳解】A．小球通過管道最低點(diǎn)時(shí)，具有向上的向心加速度，系統(tǒng)超重，故系統(tǒng)對地面的壓力一定大于，故A錯(cuò)誤；B．小球通過管道最高點(diǎn)時(shí)，具有向下的向心加速度，系統(tǒng)失重，故系統(tǒng)對地面的壓力一定小于等于，故B錯(cuò)誤；C．小球在最高點(diǎn)時(shí)，對管道受力分析，若小球給管道的力向上等于Mg，則管道對地面無壓力，故C錯(cuò)誤；D．當(dāng)小球在最高點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的速度等于時(shí)，管道對小球無作用力，對管道受力分析可知，管道對地面的壓力為Mg，故D正確。故選D。3．（2023·四川眉山·統(tǒng)考一模）如圖，豎直面內(nèi)兩個(gè)完全相同的光滑圓弧軌道平滑對接，P、Q是等高的兩端。讓一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球以沿切線的初速度從P端進(jìn)入軌道，則（

）A．小球在軌道最低點(diǎn)的機(jī)械能最大B．小球在軌道最低點(diǎn)對軌道的壓力最大C．初速度足夠大時(shí)，小球可能飛離“凹形”軌道D．初速度足夠大時(shí)，小球一定能通過“凸形”軌道最高點(diǎn)【答案】B【詳解】A．小球在光滑圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒，故A錯(cuò)誤；B．小球在軌道最低點(diǎn)有根據(jù)機(jī)械能守恒則小球在軌道最低點(diǎn)速度最大，則球在軌道最低點(diǎn)軌道對球的支持力最大，根據(jù)牛頓第三定律球?qū)壍赖膲毫ψ畲螅蔅正確；C．設(shè)小球與豎直方向的夾角為，在“凹形”軌道運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有球的重力與軌道對球的支持力的合力提供向心力，初速度足夠大時(shí)，小球不可能飛離“凹形”軌道，故C錯(cuò)誤；D．在“凸形”軌道運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有初速度足夠大時(shí)，球的重力與軌道對球的支持力的合力不足以提供向心力，小球不能通過“凸形”軌道最高點(diǎn)，故D錯(cuò)誤。故選B。4．（2024上·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考期末）某同學(xué)將用長約1m的充電線懸掛于固定點(diǎn)，拉開小角度釋放，在豎直面內(nèi)擺動(dòng)，傳感器記錄角速度隨時(shí)間變化的關(guān)系，如圖所示，則（）A．在A→B過程中，速度增大B．在A、C兩點(diǎn)時(shí)，速度方向相反C．在C點(diǎn)時(shí)，線中的拉力最小D．在B、D兩點(diǎn)時(shí)，線中拉力方向相同【答案】B【詳解】A．根據(jù)可知，在A→B過程中，角速度減小，速度減小，故A錯(cuò)誤；B．A、C兩點(diǎn)剛好相差半周期，單擺的速度最大，即在最低點(diǎn)，則速度方向相反，故B正確；C．在C點(diǎn)時(shí)，單擺速度最大，在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可知，線中的拉力最大，故C錯(cuò)誤；D．B、D兩點(diǎn)相差半個(gè)周期，速度為0，可知單擺在對稱的兩側(cè)最高點(diǎn)，線中拉力方向不相同，故D錯(cuò)誤；故選B。5．（2024下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，光滑圓軌道固定在豎直面內(nèi)，一質(zhì)量為m的小球沿軌道做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，已知小球在最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為N1，速度大小為v1，在最高點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為N2，速度大小為v2，重力加速度大小為g，且v1、v2滿足關(guān)系式，則N1N2的值為（）A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg【答案】D【詳解】在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得又聯(lián)立三式可得N1N2=6mg故選D。6．（2023下·貴州遵義·高一仁懷市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖所示，長為的輕桿一端固定質(zhì)量為的小球，另一端固定在轉(zhuǎn)軸，現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，為圓周的最高點(diǎn)，若小球通過圓周最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為，忽略摩擦阻力和空氣阻力，則以下判斷正確的是（）A．小球不能到達(dá)點(diǎn)B．小球到達(dá)點(diǎn)時(shí)輕桿受到的彈力為0C．小球能到達(dá)點(diǎn)，且在點(diǎn)受到輕桿向上的彈力D．小球能到達(dá)點(diǎn)，且在點(diǎn)受到輕桿向下的彈力【答案】C【詳解】A．根據(jù)機(jī)械能守恒得到達(dá)點(diǎn)速度為故小球能達(dá)到點(diǎn)，A錯(cuò)誤；BCD．小球到達(dá)點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得小球到達(dá)點(diǎn)時(shí)輕桿受到的彈力，方向向上。BD錯(cuò)誤，C正確。故選C。7．（2024上·北京海淀·高一清華附中?？计谀┰诠飞铣?huì)看到凸形和凹形的路面，如圖所示。一輛質(zhì)量為m的汽車，通過凸形路面的最高處時(shí)對路面的壓力為，通過凹形路面最低處時(shí)對路面的壓力為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】汽車通過凸形路面的最高處時(shí)，加速度方向向下，合力方向向下，處于失重狀態(tài)，則有汽車通過凹形路面最低處時(shí)，加速度方向向上，合力方向向上，處于超重狀態(tài)，則有故選A。8．（2024上·上海靜安·高一上海市市西中學(xué)校考期末）如圖所示，拱橋可以視為半徑為40m的圓弧面，如果要使汽車行駛至橋頂時(shí)對橋頂恰無壓力，，則汽車通過橋頂?shù)乃俣葢?yīng)為（）A．10m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s【答案】B【詳解】要使汽車行駛至橋頂時(shí)對橋頂恰無壓力，則有可得故選B。9．（2023上·吉林長春·高一長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）一個(gè)質(zhì)量為m的物體（體積可忽略），在半徑為R的光滑半球頂點(diǎn)處以水平速度運(yùn)動(dòng)，如圖所示，重力加速度為g，則下列說法正確的是（）A．若，則物體對半球頂點(diǎn)壓力為mgB．若，則物體對半球頂點(diǎn)的壓力為C．若，則物體對半球頂點(diǎn)的壓力為D．若，則物體對半球頂點(diǎn)的壓力為零【答案】B【詳解】A．根據(jù)題意，在最高點(diǎn)有若解得由牛頓第三定律可知，物體對半球頂點(diǎn)壓力為0，故A錯(cuò)誤；B．同理可得，若則有由牛頓第三定律可知，物體對半球頂點(diǎn)壓力為故B正確；CD．若，物體處于平衡狀態(tài)，則有由牛頓第三定律可知，物體對半球頂點(diǎn)壓力為，故CD錯(cuò)誤。故選B。10．（2023下·安徽蕪湖·高一安徽省無為襄安中學(xué)?？计谥校槊烙^和經(jīng)濟(jì)，許多橋面建成拱形。汽車通過橋頂時(shí)，對橋面的壓力會(huì)減小，過快的汽車將失去控制、無法轉(zhuǎn)向，造成安全隱患，故拱形橋上都會(huì)有限速標(biāo)志。設(shè)汽車對橋面的壓力是其重力的0.6倍時(shí)，其速度就是限速標(biāo)志對應(yīng)的速度，橋頂圓弧對應(yīng)的半徑為100m，則該限速標(biāo)志所示速度約為（取）（）A．36km/h B．54km/h C．72km/h D．80km/h【答案】C【詳解】設(shè)該限速標(biāo)志所示速度為，根據(jù)題意有其中聯(lián)立解得故選C。11．（2023下·新疆阿克蘇·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，一汽車過半徑均為50m的圓弧形凹橋和凸橋，在凹橋的最低處和凸橋的最高處的速度大小均為10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，則在凸橋的最高處和凹橋的最低處汽車對橋面的壓力大小之比為（）A．3:2 B．2:3 C．2:1 D．3:1【答案】B【詳解】在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律解得故選B。12．（2023下·四川德陽·高一什邡中學(xué)校考階段練習(xí)）為美觀和經(jīng)濟(jì)，許多橋面建成拱形。汽車通過橋頂時(shí)，對橋面的壓力會(huì)減小，過快的汽車將失去控制、無法轉(zhuǎn)向，造成安全隱患，故拱形橋上都會(huì)有限速標(biāo)志。設(shè)汽車對橋面的壓力是其重力的0.6倍時(shí)，其速度就是限速標(biāo)志對應(yīng)的速度，橋頂圓弧對應(yīng)的半徑為100m，則該限速標(biāo)志所示速度約為（?。ǎ〢．36km/h B．54km/hC．70km/h D．80km/h【答案】C【詳解】在最高點(diǎn)對汽車受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可知由于橋面對汽車的支持力與汽車對橋面的壓力大小相等，即聯(lián)立解得該限速標(biāo)志所示速度約為故選C。二、多選題13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，桿的一端固定一小球，另一端固定在水平轉(zhuǎn)軸上，小球隨轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O，半徑為l，重力加速度為g。當(dāng)小球通過最高點(diǎn)時(shí)（

）A．若速度大小為桿對小球的作用力豎直向上B．若速度大小為桿對小球的作用力豎直向下C．若速度大小為桿對小球的作用力豎直向上D．若速度大小為桿對小球的作用力豎直向下【答案】AD【詳解】小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，設(shè)桿對球的作用力為豎直向下的，則牛頓第二定律可得AB．若速度大小為，解得負(fù)號表示桿對小球的作用力豎直向上，A正確，B錯(cuò)誤；CD．若速度大小為，解得即桿對小球的作用力豎直向下，C錯(cuò)誤，D正確。故選AD14．（2023下·江西宜春·高一江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖甲所示，一輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，圖像如圖乙所示。下列說法正確的是（）A．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?B．小球的質(zhì)量為RC．v2=c時(shí)，桿對小球彈力方向向下 D．若c=2b，則桿對小球彈力大小為2a【答案】BC【詳解】A．由圖乙可知，當(dāng)時(shí)，對小球在最高點(diǎn)由牛頓第二定律得可得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮楣蔄錯(cuò)誤；B．當(dāng)時(shí)，在最高點(diǎn)有可得小球的質(zhì)量故B正確；C．當(dāng)時(shí)，在最高點(diǎn)對小球由牛頓第二定律得可得則桿對小球彈力方向向下，故C正確；D．在最高點(diǎn)對小球由牛頓第二定律得解得則桿對小球的彈力大小為，故D錯(cuò)誤。故選BC。15．（2023下·天津和平·高一統(tǒng)考期末）如圖甲所示，小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）穿在豎直平面內(nèi)光滑的固定圓環(huán)上，繞圓心O點(diǎn)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，圓環(huán)與小球間彈力大小為F，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，其Fv2圖像如圖乙所示，g取10m/s2，則（

）A．小球的質(zhì)量為2kgB．固定圓環(huán)的半徑R為0.4mC．小球在最高點(diǎn)速度為4m/s時(shí)，圓環(huán)受到小球施加的豎直向下20N的彈力D．若小球恰好能做完整圓周運(yùn)動(dòng)，則其運(yùn)動(dòng)中所受圓環(huán)給的最大彈力為100N【答案】AD【詳解】A．對小球在最高點(diǎn)進(jìn)行受力分析，速度為0時(shí)結(jié)合圖像可知故A正確；B．當(dāng)時(shí)，由重力提供向心力可得結(jié)合圖像可知故B錯(cuò)誤；C．小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時(shí)，有解得小球受到的彈力方向豎直向下，由牛頓第三定律可知圓環(huán)受到小球施加的豎直向上，故C錯(cuò)誤；D．小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，其受力最大，由牛頓第二定律得若小球恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，由機(jī)械能守恒得由以上兩式得代入數(shù)據(jù)得故D正確。故選AD。三、解答題16．（2024上·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)?？计谀┤鐖D，輕桿長為3L，在桿的兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和球B，桿上距球A為L處的點(diǎn)O裝在光滑的水平轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，桿和球可在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，已知球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，球B對桿恰好無作用力，重力加速度為g。（1）當(dāng)球B在最高點(diǎn)時(shí)，球B的速度為多大；（2）當(dāng)球B在最高點(diǎn)時(shí)，桿對球A的作用力為多大；（3）若球B轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為，求此時(shí)桿對球A的作用力?！敬鸢浮浚?）；（2）1.5mg；（3）0.3mg，方向豎直向下【詳解】（1）球B在最高點(diǎn)時(shí)只受重力作用，根據(jù)牛頓第二定律有得（2）AB兩球的角速度大小相等，設(shè)球B在最高點(diǎn)時(shí)的角速度為，由向心力公式，有此時(shí)球A在最低點(diǎn)，由向心力公式，有解得（3）設(shè)球B在最低點(diǎn)時(shí)的角速度為1，由向心力公式，對AB分別有；此時(shí)球A在最高點(diǎn)，由向心力公式，有解得方向豎直向下。17．（2023上·上海長寧·高一上海市延安中學(xué)?？计谀┤鐖D，長為的細(xì)繩一端拴一質(zhì)量為的小球，另一端固定在點(diǎn)?，F(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸離地高，繩所能承受的最大張力為。（1）求小球通過最高點(diǎn)時(shí)最小速度的大??；（2）分析小球在何位置繩最易被拉斷?求出在此位置繩恰被拉斷時(shí)小球的角速度大??；（3）在（2）的情況下，求小球落地點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的水平距離及落地速度的大小和方向?！敬鸢浮浚?）；（2）最低點(diǎn)，；（3）4.8m，10m/s，與水平面成角向下【詳解】（1）小球要做完整圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)當(dāng)重力提供向心力時(shí)，速度最小，則有其中，解得（2）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球速度最大，此時(shí)根據(jù)牛頓第二定律有可知此時(shí)繩子的張力最大，所以小球最低點(diǎn)時(shí)繩最易被拉斷。此時(shí)有解得，繩恰被拉斷時(shí)小球的角速度大小為（3）繩斷后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為根據(jù)平拋規(guī)律，豎直方向上有解得，繩斷后小球落到地面的時(shí)間為則小球落地點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的水平距離為小球落到地面時(shí)，豎直方向的分速度大小為則落地速度的大小為而小球速度偏轉(zhuǎn)角的正切值為則小球落地速度的方向?yàn)榕c水平面成角向下。18．（2023下·安徽蕪湖·高一安徽省無為襄安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，AB為豎直半圓軌道的豎直直徑，軌道A端與水平面相切。質(zhì)量為0.4kg的光滑木塊從水平面上滑上A再經(jīng)過B，若在A、B兩點(diǎn)速度大小分別是、，到B點(diǎn)對軌道的壓力恰好為零，g取10m/s2，求（1）軌道半徑的大?。唬?）木塊經(jīng)A點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力；（3）木塊落地點(diǎn)到A點(diǎn)的距離?！敬鸢浮浚?）10m；（2）24N，方向豎直向下；（3）20m【詳解】（1）木塊經(jīng)B點(diǎn)時(shí)，對軌道的壓力恰好為零，重力剛好提供向心力，則有解得軌道半徑的大小為（2）在A點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得解得根據(jù)牛頓第三定律可知，木塊經(jīng)A點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為，方向豎直向下。（3）木塊離開B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則豎直方向有水平方向有聯(lián)立解得19．（2023下·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，一質(zhì)量為的小球，用長為的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。g取，求：（1）小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度至少為多大？（2）當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為時(shí)，輕繩拉力多大？（3）若輕繩能承受的最大張力為，小球的速度不能超過多大？【答案】（1）2m/s；（2）15N；（3）m/s【詳解】（1）在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得由于輕繩對小球只能提供指向圓心的拉力，即F1不可能取負(fù)值，亦即F1≥0聯(lián)立得v≥代入數(shù)值得v≥2m/s所以小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度至少為2m/s。（2）小球在最高點(diǎn)的速度為時(shí)，有得F2=15N（3）小球在最低點(diǎn)時(shí)輕繩張力最大，由牛頓第二定律得代入得v3=m/s即小球的速度不能超過m/s。20．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一根長的剛性輕繩，其一端固定于點(diǎn)，另一端系著一質(zhì)量的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），將小球提至點(diǎn)正上方的A點(diǎn)處，此時(shí)繩剛好伸直且無拉力，如圖所示。不計(jì)空氣阻力，取。（1）為保證小球能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)小球至少需要獲得多大的水平速度；（2）在小球以的速度水平拋出的瞬間，繩中的拉力為多大；（3）小球以的速度水平拋出，求繩再次伸直時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間?！敬鸢浮浚?）

（2）

（3）【詳解】（1）要使小球在豎直面內(nèi)能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)重力恰好提供向心力，則有解得（2）因?yàn)?，所以繩中有拉力，根據(jù)牛頓第二定律得解得即繩中的拉力大小為

（3）小球以的速度水平拋出，小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過時(shí)間繩拉直，如圖所示在豎直方向有在水平方向有由幾何關(guān)系得解得21．（2023下·廣東梅州·高一豐順縣豐順中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖所示，小球A質(zhì)量為m，固定在長為的輕細(xì)直桿一端，并隨桿一起繞桿的另一端O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)小球經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，桿對球的彈力大小為，求這時(shí)小球的瞬時(shí)速度大小?！敬鸢浮咳鬎向上，；若F向下，【詳解】桿在最高點(diǎn)處，球的重力與桿的彈力的合力提供球的向心力。若F向上，根據(jù)牛頓第二定律得解得若F向下，根據(jù)牛頓第二定律得解得22．（2023下·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）輕桿長L＝60cm，一端固定于轉(zhuǎn)軸O，另一端系一質(zhì)量為m＝0.5kg的小球，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度，求：（1）若小球在最低點(diǎn)速率v＝6m/s，小球?qū)U的作用力；（2）若小球剛好能做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度為多大；（3）若小球經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)受桿的作用力向上，則通過最高點(diǎn)的速率的范圍?！敬鸢浮浚?）35N