蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊常考點(diǎn)微專題提分精練難點(diǎn)特訓(xùn)(一)和平行四邊形有關(guān)的壓軸大題(原卷版+解析)

難點(diǎn)特訓(xùn)（一）和平行四邊形有關(guān)的壓軸大題1．（2022春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)N作NP⊥AD于點(diǎn)P，連接AC交NP于點(diǎn)Q，連接MQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．(1)求點(diǎn)B到線段AC的距離；(2)當(dāng)NP經(jīng)過線段AC中點(diǎn)時(shí)，求t的值并直接寫出此時(shí)線段MQ、NQ的關(guān)系；(3)連接AN、CP，在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形ANCP的面積與四邊形ABNP的面積相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(4)將△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中，①是否存在某時(shí)刻t，使四邊形AQMK為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；②是否存在某時(shí)刻t，使四邊形AQMK為正方形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．2．（2022春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）【問題提出】學(xué)習(xí)了平行四邊形的判定方法（即“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”、“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”、“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”、“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”）后，我們繼續(xù)對“一組對邊相等和一組對角相等”的情形進(jìn)行研究．【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在四邊形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，對∠A和∠C進(jìn)行分類，可分為“∠A和∠C是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．【深入探究】第一種情況：如圖①，當(dāng)∠A＝∠C＝90°時(shí)，求證：四邊形ABCD是矩形．第二種情況：如圖②，當(dāng)∠A＝∠C＞90°時(shí)，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．第三種情況：如圖③，當(dāng)∠A＝∠C＜90°時(shí)，小明同學(xué)研究后認(rèn)為四邊形ABCD不一定是平行四邊形，請?jiān)趫D中畫出大致圖形，并寫出必要的文字說明．3．（2022春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）已知，矩形中，，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，垂足為．(1)如圖1－1，連接、．求證四邊形為菱形，并求的長；(2)如圖1－2，動(dòng)點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿和各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)自→→→停止，點(diǎn)自→→→停止．在運(yùn)動(dòng)過程中，①已知點(diǎn)的速度為每秒5，點(diǎn)的速度為每秒4，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值；②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位：，ab≠0），已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．4．（2021春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，C在x軸上，OA＝9，OC＝15．(1)如圖1，在OA上取一點(diǎn)E，將△EOC沿EC折疊，使O點(diǎn)落至AB邊上的D點(diǎn)，求直線EC的解析式；(2)如圖2，在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)M、F，將△MOF沿MF折疊，使O點(diǎn)落在AB邊上的點(diǎn)，過作G⊥CO于點(diǎn)G點(diǎn)，交MF于T點(diǎn)．①求證：TG＝AM；②設(shè)T（x，y），探求y與x滿足的等量關(guān)系式，并將y用含x的代數(shù)式表示（指出變量x的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，當(dāng)x＝6時(shí)，點(diǎn)P在直線MF上，問坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（2021春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，連接PQ、QM．（1）請用含有t的式子填空：AQ＝，AP＝，PM＝（2）是否存在某一時(shí)刻使四邊形AQMP為菱形？如果存在，求出相應(yīng)的t值；如果不存在，說明理由；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQM為直角三角形？請說明理由．6．（2021春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）我們知道，平行四邊形的對邊平行且相等，利用這一性質(zhì)，可以為證明線段之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系提供幫助．重溫定理，識別圖形（1）如圖1，我們在探究三角形中位線和第三邊的關(guān)系時(shí)，所作的輔助線為“延長到點(diǎn)，使，連接”，此時(shí)與在同一直線上且，又可證圖中的四邊形______為平行四邊形，可得與的關(guān)系是______，于是推導(dǎo)出了“，”．尋找圖形，完成證明（2）如圖2，四邊形和四邊形都是菱形，是等邊三角形，，連接、．求證：．構(gòu)造圖形，解決問題．（3）如圖3，四邊形和四邊形都是正方形，連接、．直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．7．（2020春·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校考期中）（1）如圖1，長方形ABCD中分別沿AF、CE將AC兩側(cè)折疊，使點(diǎn)B、D分別落在AC上的G、H處，則線段AE______CF．（填“＞”“＜”或“=”）（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，△ABF≌△CDE，AB=10cm，BF=6cm，AF=8cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．①若點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)點(diǎn)P在FB上運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)Q在DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若四邊形APCQ是平行四邊形，求此時(shí)t的值．②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），利用備用圖探究，當(dāng)a與b滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形APCQ是平行四邊形．8．（2020春·江蘇蘇州·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC為邊作平行四邊形CEFB，連CD、CF．（1）如圖2，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，求證：CD＝CF；（2）如圖3，AE＝，AB＝，將△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)四邊形CEFB為菱形時(shí)，求CF的長．9．（2020春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：如圖①，我們把一個(gè)四邊形的四邊中點(diǎn)依次連接起來得到的四邊形是平行四邊形嗎？小敏在思考問題，有如下思路：連接．結(jié)合小敏的思路作答．（1）若只改變圖①中四邊形的形狀（如圖②），則四邊形還是平行四邊形嗎？說明理由；（參考小敏思考問題方法）（2）如圖②，在（1）的條件下，若連接．①當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，四邊形是矩形，寫出結(jié)論并證明；②當(dāng)與滿足____時(shí)，四邊形是正方形．10．（2020春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°（0°＜＜180°），分別交直線BC、AD于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)=_____°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，從A、B、C、D、E、F中任意4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造四邊形，①當(dāng)=_______°時(shí)，構(gòu)造的四邊形是菱形；②若構(gòu)造的四邊形是矩形，求該矩形的兩邊長．11．（2020春·江蘇揚(yáng)州·八年級?？计谥校┤鐖D1，P為Rt△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不在直線AC上)，∠ACB=90°，M為AB邊中點(diǎn)．操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連結(jié)PM并延長到點(diǎn)E，使ME=PM，連結(jié)DE．（1）請你利用圖2，選擇Rt△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)P按上述方法操作；（2）經(jīng)歷（1）之后，觀察兩圖形，猜想線段DE和線段BC之間有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請選擇其中的一個(gè)圖形證明你的猜想；（3）觀察兩圖，你還可得出AC和DE相關(guān)的什么結(jié)論？請說明理由．（4）若以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，其中A、C、D的坐標(biāo)分別為（0，0），（5，3），（4，2），能否在平面內(nèi)找到一點(diǎn)M，使以A、C、D、M為點(diǎn)構(gòu)造成平行四邊形，若不能，說明理由，若能，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．12．（2022春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）我們知道，四邊形有兩組對邊，兩組對角，兩條對角線．已經(jīng)研究了，如果四邊形滿足下列條件之一：①兩組對邊分別平行；②兩組對邊分別相等；③一組對邊平行且相等；④對角線互相平分，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形．由此，進(jìn)一步探究(1)如圖①，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．(2)命題：如果四邊形滿足一組對邊平行且另一組對邊相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形．如果這個(gè)命題是真命題，請證明；否則，請畫出一個(gè)反例示意圖，并標(biāo)明所滿足的條件．(3)命題：如果四邊形滿足一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形．①小明認(rèn)為這是假命題，嘗試畫出反例．如圖②，他先畫出四邊形ABCD的一條邊AB，一條對角線BD．請你利用無刻度直尺和圓規(guī)在圖②中畫出反例．（保留作圖痕跡，不寫作法）②小明進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)，在四邊形ABCD中，AB＝CD，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且OB＝OD，BD＝8，∠AOB＝60°，對于滿足條件的平行四邊形ABCD的個(gè)數(shù)隨著AB長度的變化而變化，直接寫出平行四邊形ABCD的個(gè)數(shù)及對應(yīng)的AB的長的取值范圍．13．（2022春·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，B（0，20），D（25，0），一次函數(shù)的圖象過C（40，n），與x軸交于A點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)C坐標(biāo)；(2)求證：四邊形ABCD為平行四邊形；(3)將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)得△A1OB1，問：能否使以O(shè)、A1、D、B1為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若能，求點(diǎn)A1的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．難點(diǎn)特訓(xùn)（一）和平行四邊形有關(guān)的壓軸大題1．（2022春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)N作NP⊥AD于點(diǎn)P，連接AC交NP于點(diǎn)Q，連接MQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．(1)求點(diǎn)B到線段AC的距離；(2)當(dāng)NP經(jīng)過線段AC中點(diǎn)時(shí)，求t的值并直接寫出此時(shí)線段MQ、NQ的關(guān)系；(3)連接AN、CP，在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形ANCP的面積與四邊形ABNP的面積相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(4)將△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中，①是否存在某時(shí)刻t，使四邊形AQMK為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；②是否存在某時(shí)刻t，使四邊形AQMK為正方形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)秒，MQ=NQ(3)存在，秒，理由見詳解(4)①存在，秒，理由見詳解②不存在，理由見詳解【分析】（1）結(jié)合題意，在中由勾股定理計(jì)算，由平行線的性質(zhì)可知CD的長與的邊BC上的高長相等，然后借助面積法求點(diǎn)B到線段AC的距離即可；（2）首先證明四邊形DPNC為平行四邊形，推導(dǎo)，當(dāng)NP經(jīng)過線段AC中點(diǎn)時(shí)，即Q為AC中點(diǎn)，由勾股定理計(jì)算可計(jì)算除，進(jìn)而易得CN、BN的長，即可求出此時(shí)t的值；（3）當(dāng)四邊形ANCP的面積與四邊形ABNP的面積相等時(shí)，結(jié)合圖形可知，由平行線間的距離處處相等，可知的邊BN上的高與的邊CN上的高相等，易得此時(shí)，進(jìn)而確定，然后計(jì)算此時(shí)t的值即可；（4）①由折疊的性質(zhì)及菱形的判定條件可知當(dāng)時(shí)，四邊形AQMK為菱形，根據(jù)題意列出關(guān)于t的方程并求解即可；②若四邊形AQMK為正方形，則，由折疊性質(zhì)可知，此時(shí)為等腰直角三角形，，而由題意可知，故可確定不存在某時(shí)刻t，使四邊形AQMK為正方形．（1）解：∵，，，∴在中，，∵，，∴CD的長與的邊BC上的高長相等，∴，設(shè)點(diǎn)B到AC的距離為h，∴，解得，∴點(diǎn)B到線段AC的距離為；（2）∵NP⊥AD，，∴，又∵AD//BC，∴四邊形DPNC為平行四邊形，∴，當(dāng)NP經(jīng)過線段AC中點(diǎn)時(shí)，即Q為AC中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴，∴秒，此時(shí)，∴，即點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，即，∵四邊形DPNC為平行四邊形，∴，∴，∴；（3）存在，當(dāng)秒時(shí)，四邊形ANCP的面積與四邊形ABNP的面積相等，理由如下：由題意可知，，，若=，則，∵，又∵平行線間的距離處處相等，∴的邊BN上的高與的邊CN上的高相等，設(shè)高均為，∴，∴，∵，∴，∴秒，綜上所述，在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)秒時(shí)，四邊形ANCP的面積與四邊形ABNP的面積相等；（4）①存在，當(dāng)秒時(shí)，四邊形AQMK為菱形，理由如下：由折疊可知，，又∵，∴當(dāng)時(shí)，四邊形AQMK為菱形，∵，，∴，∴，，∴，解得；②不存在，理由如下：若四邊形AQMK為正方形，則，由折疊性質(zhì)可知，，∴，∵，∴，∴，∴，由題意可知，，∴不存在某時(shí)刻t，使四邊形AQMK為正方形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及折疊的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，解題關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識，并利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．2．（2022春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）【問題提出】學(xué)習(xí)了平行四邊形的判定方法（即“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”、“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”、“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”、“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”）后，我們繼續(xù)對“一組對邊相等和一組對角相等”的情形進(jìn)行研究．【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在四邊形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，對∠A和∠C進(jìn)行分類，可分為“∠A和∠C是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．【深入探究】第一種情況：如圖①，當(dāng)∠A＝∠C＝90°時(shí)，求證：四邊形ABCD是矩形．第二種情況：如圖②，當(dāng)∠A＝∠C＞90°時(shí)，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．第三種情況：如圖③，當(dāng)∠A＝∠C＜90°時(shí)，小明同學(xué)研究后認(rèn)為四邊形ABCD不一定是平行四邊形，請?jiān)趫D中畫出大致圖形，并寫出必要的文字說明．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）連接BD，證明Rt△ABD≌Rt△CDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=AD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)判定定理證明結(jié)論；（2）別過點(diǎn)B、D作BE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，DF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，證明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，AE=CF，證明結(jié)論；（3）以B為圓心，BD為半徑作弧，交AD于D′，以B為圓心，BA為半徑作弧交以D為圓心，AD′為半徑的弧于A′，根據(jù)圖形證明結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：如圖①，連接BD，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），∴BC=AD，∵AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠A=90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）證明如圖②，分別過點(diǎn)B、D作BE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，DF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，則∠E=∠F=90°．∵∠DAB=∠BCD，∴180°-∠DAB=180°-∠BCD，即∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF，AE=CF，∵∠E=∠F=90°，BE=DF，∴四邊形EBFD是矩形，∴ED=BF，∴ED-AE=BF-CF．即AD=BC，∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（3）如圖③，以B為圓心，BD為半徑作弧，交AD于D′，以B為圓心，BA為半徑作弧交以D為圓心，AD′為半徑的弧于A′，則△ABD′≌△A′BD，∴∠A=∠A′，而四邊形A′BCD不是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及尺規(guī)作圖，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）已知，矩形中，，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，垂足為．(1)如圖1－1，連接、．求證四邊形為菱形，并求的長；(2)如圖1－2，動(dòng)點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿和各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)自→→→停止，點(diǎn)自→→→停止．在運(yùn)動(dòng)過程中，①已知點(diǎn)的速度為每秒5，點(diǎn)的速度為每秒4，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值；②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位：，ab≠0），已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．【答案】(1)證明見解析，AF=5cm(2)①；②a+b=12【分析】（1）利用SAS證明△AOE≌△COF，得OE=OF，可知四邊形AFCE是平行四邊形，再說明AC⊥EF即可證明是菱形，設(shè)AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，在Rt△ABF中，利用勾股定理得：42+（8-x）2=x2，解方程即可；（2）①通過判斷可知只有當(dāng)點(diǎn)P在BF上，Q點(diǎn)在ED上，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)QA=PC，從而可求解；②由題意得：四邊形APCQ是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P，Q在互相平行的對應(yīng)邊上，分三種情況分別畫出圖形，從而解決問題．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴ADBC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，∵O為AC中點(diǎn)，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，又∵AC平分∠EAF，∴AC⊥EF，∴四邊形AFCE為菱形；設(shè)菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8-x）2=x2，解得x=5，∴AF=5cm；（2）解：①顯然當(dāng)點(diǎn)P在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A，C，P，Q的四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形，同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上也不能構(gòu)成平行四邊形，因此只有當(dāng)點(diǎn)P在BF上，Q點(diǎn)在ED上，才能構(gòu)成平行四邊形，∴以A，C，P，Q的四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA，∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∴PC=5t，QA=CD+AD-4t=12-4t，即QA=12-4t，∴5t=12-4t，∴，∴t的值為；∴當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t的值為；②由題意得：四邊形APCQ是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P，Q在互相平行的對應(yīng)邊上，分三種情況：I：如圖，當(dāng)P點(diǎn)在AF上，Q點(diǎn)在CE上，AP=CQ=CD+DE+CE-b，即a=12-b，∴a+b=12；Ⅱ：如圖，當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ=CP，則PC=AD+DC-b即12-b=a，，∴a+b=12；Ⅲ：如圖，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ，即12-a=b，∴a+b=12，綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系為a+b=12（ab0）．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，化動(dòng)為靜，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．4．（2021春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，C在x軸上，OA＝9，OC＝15．(1)如圖1，在OA上取一點(diǎn)E，將△EOC沿EC折疊，使O點(diǎn)落至AB邊上的D點(diǎn)，求直線EC的解析式；(2)如圖2，在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)M、F，將△MOF沿MF折疊，使O點(diǎn)落在AB邊上的點(diǎn)，過作G⊥CO于點(diǎn)G點(diǎn)，交MF于T點(diǎn)．①求證：TG＝AM；②設(shè)T（x，y），探求y與x滿足的等量關(guān)系式，并將y用含x的代數(shù)式表示（指出變量x的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，當(dāng)x＝6時(shí)，點(diǎn)P在直線MF上，問坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①見解析②y＝﹣x2+（3≤x≤9）(3)（0，0）或（0，13）或（，0）【分析】（1）在Rt△DBC中，根據(jù)DB＝，設(shè)OE＝DE＝x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可．（2）①只要證明OM＝MF，MF＝FT即可．②如圖3中，連接OT，在Rt△OTG中利用勾股定理即可解決問題．（3）分MF為對角線，MF為邊兩種情形討論即可．（1）解：如圖1中，∵OA＝9，OC＝15，∵△DEC是由△OEC翻折得到，∴CD＝OC＝15，在Rt△DBC中，DB＝＝12，∴AD＝3，設(shè)OE＝ED＝x，在Rt△ADE中，x2＝（9﹣x）2+32，解得x＝5，∴E（0，5），設(shè)直線EC的解析式為y＝kx+5，把（15，0）代入得到k＝，∴直線EC的解析式為．（2）解：①如圖2中，∵M(jìn)D′＝MO，∠D′MF＝∠OMF，∵OM∥GD′，∴∠OMT＝∠D′TM，∴∠D′MT＝∠D′TM，∴D′M＝D′T，∴OM＝DT，∵OA＝DG，∴AM＝TG．②如圖3中，連接OT，由（2）可得OT＝D′T，由勾股定理可得x2+y2＝（9﹣y）2，得y＝﹣x2+．結(jié)合（1）可得AD′＝OG＝3時(shí)，x最小，從而x≥3，當(dāng)MF恰好平分∠OAB時(shí)，AD′最大即x最大，此時(shí)G點(diǎn)與F點(diǎn)重合，四邊形AOFD′為正方形，故x最大為9．從而x≤9，∴3≤x≤9．（3）解：如圖4中，x＝6時(shí)，y＝，即點(diǎn)T坐標(biāo)（6，）．∴OM＝D′T＝9﹣＝，①當(dāng)MD′為對角線時(shí)，點(diǎn)P與T重合，QM＝D′T＝，∴OQ＝13，∴此時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo)（0，13）．②D′M為邊時(shí)，∵四邊形MD′QP是平行四邊形，又∵四邊形D′MOT是平行四邊形，∴點(diǎn)P與T重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（0，0），③當(dāng)點(diǎn)P″在第四象限點(diǎn)時(shí)，四邊形MD′Q″P″是平行四邊形時(shí)，∵直線FM的解析式為y＝﹣x+，∵D′Q″∥MF，∴直線D′Q″的解析式為y＝﹣x+13，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，Q″（，0）綜上所述，以M、D′、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)（0，0）或（0，13）或（，0）．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、翻折變換、勾股定理、平行四邊形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問題，屬于中考壓軸題．5．（2021春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，連接PQ、QM．（1）請用含有t的式子填空：AQ＝，AP＝，PM＝（2）是否存在某一時(shí)刻使四邊形AQMP為菱形？如果存在，求出相應(yīng)的t值；如果不存在，說明理由；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQM為直角三角形？請說明理由．【答案】（1）t，40-2t，t；（2）時(shí)，四邊形AQMP是菱形；（3）或時(shí)△PQM是直角三角形【分析】（1）根據(jù)題意求出求出BP=2t，AQ=t，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AB=2AC=40，由此求出AP=AB-BP=40-2t，；（2）先證明四邊形AQMP是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定：當(dāng)AP=AQ時(shí)，四邊形AQMP是菱形，，解方程即可；（3）分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠MPQ=90°，當(dāng)∠MQP=90°時(shí)，當(dāng)∠PMQ=90°時(shí)，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）由題意可得：BP=2t，AQ=t∵∠C＝90°，∠A＝60°∴∠B=30°，∴，∴，∵PM⊥AC，∴∠PMB=90°，∴，故答案為：t，40-2t，t；（2）存在，理由如下：由（1）知，∵PM⊥BC，AC⊥BC∴PM∥AQ，∴四邊形AQMP是平行四邊形，∴當(dāng)AP=AQ時(shí)，四邊形AQMP是菱形，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，四邊形AQMP是菱形；（3）當(dāng)△PQM為直角三角形時(shí)有三種情況：①當(dāng)∠MPQ=90°，此時(shí)四邊形CMPQ是矩形，∴∠PQA=∠PQC=90°，∴∠APQ=30°，∴AP=2AQ，∴，解得；②當(dāng)∠MQP=90°時(shí)，由（2）知MQ∥AP，∴∠APQ=∠PQM=90°，∴∠PQA=30°，∴AQ=2AP，∴，解得；③當(dāng)∠PMQ=90°時(shí)此種情況不存在，∴綜上所述，或時(shí)△PQM是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．6．（2021春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┪覀冎溃叫兴倪呅蔚膶吰叫星蚁嗟?，利用這一性質(zhì)，可以為證明線段之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系提供幫助．重溫定理，識別圖形（1）如圖1，我們在探究三角形中位線和第三邊的關(guān)系時(shí)，所作的輔助線為“延長到點(diǎn)，使，連接”，此時(shí)與在同一直線上且，又可證圖中的四邊形______為平行四邊形，可得與的關(guān)系是______，于是推導(dǎo)出了“，”．尋找圖形，完成證明（2）如圖2，四邊形和四邊形都是菱形，是等邊三角形，，連接、．求證：．構(gòu)造圖形，解決問題．（3）如圖3，四邊形和四邊形都是正方形，連接、．直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）BCFD，平行且相等，理由見詳解；（2）見詳解；（3）CF＝BE．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝CF，∠ADE＝∠F，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連接BH，先證明△AEB≌△CHB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，推出四邊形EFCH是平行四邊形，得到CF＝EH，進(jìn)而得到結(jié)論；（3）BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到BH，連接EH，CH，則△BEH是等腰直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠ABE＋∠CBE＝90°根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝CH，∠AEB＝∠CHB，推出四邊形EFCH是平行四邊形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AE＝CE，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF，∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴DF＝BC，DF∥BC，故答案為：BCFD，平行且相等；（2）連接BH，∵是等邊三角形，∴∠EBH=∠ABC=60°，BE=BH=EH，∴∠ABE＝∠CBH，又∵AB＝BC，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，∵∠CHE＝∠CHB?∠BHE＝∠AEB?60°，∠FEH＝360°?∠AEF?∠AEB?∠BEH＝240°?∠AEB，∴∠CHE＋∠FEH＝180°，∴CH∥EF且CH＝EF，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴CF＝EH=BE；（3）證明：BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到BH，連接EH，CH，則△BEH是等腰直角三角形，∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠ABE＋∠CBE＝90°，∵△BEH是等腰直角三角形，∴EH＝BE＝BH，∠BEH＝∠BHE＝45°，∠EBH＝90°，即∠CBH＋∠CBE＝90°∴∠ABE＝∠CBH，在△ABE和△CBH中，，∴△ABE≌△CBH（SAS），∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB，∴∠CHE＝∠CHB?∠BHE＝∠CHB?45°＝∠AEB?45°，∵四邊形AEFG是正方形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴EF＝HC，∠FEH＝360°?∠AEF?∠AEB?∠BEH＝225°?∠AEB，∴∠CHE＋∠FEH＝∠AEB?45°＋225°?∠AEB＝180°，∴EF∥HC且EF＝HC，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴CF＝EH＝BE；【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2020春·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校考期中）（1）如圖1，長方形ABCD中分別沿AF、CE將AC兩側(cè)折疊，使點(diǎn)B、D分別落在AC上的G、H處，則線段AE______CF．（填“＞”“＜”或“=”）（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，△ABF≌△CDE，AB=10cm，BF=6cm，AF=8cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．①若點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)點(diǎn)P在FB上運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)Q在DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若四邊形APCQ是平行四邊形，求此時(shí)t的值．②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），利用備用圖探究，當(dāng)a與b滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形APCQ是平行四邊形．【答案】（1）=；（2）①秒；②a+b=24（ab≠0）【分析】（1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等得出AF∥CE，由兩對應(yīng)邊互相平行得出AFCE是平行四邊形，即可得出AE=CF；（2）①當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，列出方程求解即可；②分三種情況：當(dāng)點(diǎn)P在AF上，Q點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ；當(dāng)點(diǎn)P在BF上，Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ=CP；當(dāng)點(diǎn)P在AB上，Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ，分別得出a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．【詳解】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，由折疊的性質(zhì)可知，∠FAC=∠BAC=∠DCA=∠ECA，∴AF∥CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴AE=CF．故答案為：=；（2）①∵在平行四邊形ABCD中，△ABF≌△CDE，∴AE=CF，BF=DE=6cm，AB=CD=10cm，∵如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA，∴FP=EQ，∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∴PF=5t-8，QE=16-4t，∴5t-8=16-4t，解得t=，∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=秒；②由題意得，以A，C，P，Q四點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在相互平行的對邊上，分三種情況：Ⅰ．如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AF上，Q點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ，即a=24-b，得：a+b=24；Ⅱ．如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在BF上，Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ=CP，又∵AE=CF，∴EQ=FP，即16-b=a-8，得a+b=24；Ⅲ．如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在AB上，Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ，即24-a=b，得a+b=24．綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=24（ab≠0）．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，根據(jù)圖形判斷出以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．8．（2020春·江蘇蘇州·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC為邊作平行四邊形CEFB，連CD、CF．（1）如圖2，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，求證：CD＝CF；（2）如圖3，AE＝，AB＝，將△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)四邊形CEFB為菱形時(shí)，求CF的長．【答案】（1）見解析

（2）6或4【分析】（1）連接FD，證明△ADC≌△EDF（SAS），推出△DFC為等腰直角三角形即可解決問題；（2）分兩種情形分別畫出圖形，利用（1）中結(jié)論求出CD即可解決問題．【詳解】（1）解：連接FD，設(shè)DE與AC交于點(diǎn)G∵四邊形CEFB是平行四邊形∴BC∥EF∵AC⊥BC∴EF⊥AC∵AD⊥DE，EF⊥AC，∠DGA=∠CGE∴∠DAC=∠DEF，又∵AD=ED，AC=EF，∴△ADC≌△EDF（SAS），∴DC=DF，∠ADC=∠EDF，即∠ADE+∠EDC=∠FDC+∠EDC，∴∠FDC=∠ADE=90°，∴△DFC為等腰直角三角形，∴CD＝CF；（2）解：如圖，設(shè)AE與CD的交點(diǎn)為M，∵四邊形CEFB為菱形∴CE=CB∵△ADE、△ACB為等腰直角三角形∴CA=CB∴CE=CA，∵DE=DA，∴CD垂直平分AE，∵AE=,AB=∴DM=EM=AE=，AC=BC=AB=∴CE=∴CM==，∴CD=DM+CM=，∵CF=CD，∴CF=6；如圖，設(shè)AE與CD的交點(diǎn)為M，同法可得CD=CM-DM=-=，∴CF=CD=4；綜上所述，滿足條件的CF的值為6或4．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．9．（2020春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：如圖①，我們把一個(gè)四邊形的四邊中點(diǎn)依次連接起來得到的四邊形是平行四邊形嗎？小敏在思考問題，有如下思路：連接．結(jié)合小敏的思路作答．（1）若只改變圖①中四邊形的形狀（如圖②），則四邊形還是平行四邊形嗎？說明理由；（參考小敏思考問題方法）（2）如圖②，在（1）的條件下，若連接．①當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，四邊形是矩形，寫出結(jié)論并證明；②當(dāng)與滿足____時(shí)，四邊形是正方形．【答案】（1）是，理由見解析；（2）①AC⊥BD，證明見解析；②AC⊥BD且AC=BD【分析】（1）連接AC，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EF∥AC，EF=AC，然后根據(jù)平行四邊形判定定理即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；②在①基礎(chǔ)上，只要證明∠EHG=90°即可；【詳解】解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：如圖2，連接AC，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，綜上可得：EF∥HG，EF=HG，故四邊形EFGH是平行四邊形；（2）①當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形；理由如下：同（1）得：四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四邊形EFGH為矩形；②結(jié)論：當(dāng)AC⊥BD且AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形．理由：由①可知，AC=BD，四邊形EFGH是菱形，∵AC⊥BD，AC∥HG，∴HG⊥BD，∵EH∥BD，∴EH⊥HG，∴∠EHG=90°，∴四邊形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．10．（2020春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°（0°＜＜180°），分別交直線BC、AD于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)=_____°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，從A、B、C、D、E、F中任意4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造四邊形，①當(dāng)=_______°時(shí)，構(gòu)造的四邊形是菱形；②若構(gòu)造的四邊形是矩形，求該矩形的兩邊長．【答案】（1）90o；（2）①45o或90o；②和；和【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判斷方法即可解決問題；（2）①分兩種情形分別解決問題即可；②分兩種情形討論求解即可；【詳解】解：（1）當(dāng)α＝90°，四邊形ABEF是平行四邊形；理由：∵AB⊥AC，∴∠BAO＝∠AOF＝90°，∴AB∥EF，∵平行四邊形ABCD∴AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形．故答案為：90°．（2）①當(dāng)α＝45°或90°時(shí)，四邊形BEDF是菱形．當(dāng)α＝45°時(shí)∵AD∥BC，∴∠FDO＝∠EBO，∵∠FOD＝∠BOE，OD＝OB，∴△FDO≌△EBO，∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵OA＝OC＝2，AB＝2，∴AB＝OA，∴∠AOB＝45°，∴∠BOF＝45°＋45°＝90°，∴BD⊥EF，∴四邊形BEDF是菱形．當(dāng)α＝90°時(shí)，同法可證四邊形AFCE是菱形．故答案為：45°或90°．②∵AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，∴BC＝2，當(dāng)EF＝AC時(shí)，四邊形AECF是矩形，對角線AC＝4，過A點(diǎn)作AE⊥BC于BC,過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，如圖1，∴△AEB∽△BAC∴∴AE2+BE2=AB2∴BE=，AE=∴EC=BC-BE=過B作BF⊥AD于F，過D作DE⊥BC于E，此時(shí)四邊形BEDF是矩形，EF＝BD，如圖2同理可得：DA=BC=2，AF=，BF=，∴BE=DF＝DA+FA=矩形的邊長為：和或和故答案為：和或和【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．11．（2020春·江蘇揚(yáng)州·八年級?？计谥校┤鐖D1，P為Rt△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不在直線AC上)，∠ACB=90°，M為AB邊中點(diǎn)．操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連結(jié)PM并延長到點(diǎn)E，使ME=PM，連結(jié)DE．（1）請你利用圖2，選擇Rt△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)P按上述方法操作；（2）經(jīng)歷（1）之后，觀察兩圖形，猜想線段DE和線段BC之間有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請選擇其中的一個(gè)圖形證明你的猜想；（3）觀察兩圖，你還可得出AC和DE相關(guān)的什么結(jié)論？請說明理由．（4）若以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，其中A、C、D的坐標(biāo)分別為（0，0），（5，3），（4，2），能否在平面內(nèi)找到一點(diǎn)M，使以A、C、D、M為點(diǎn)構(gòu)造成平行四邊形，若不能，說明理由，若能，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析；（2）DE//BC；DE=BC；（3）DE⊥AC；（4）M（1，1）或（-1，-1）或（9，5）．【分析】（1）根據(jù)圖1的構(gòu)圖條件，在Rt△ABC內(nèi)的任取一點(diǎn)P，作圖即可；（2）連接BE，根據(jù)邊角邊可證△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，（3）由（2）得BC⊥AC，DE∥BC，所以DE也和AC垂直；（4）以A、C、D、M為點(diǎn)構(gòu)造成平行四邊形的頂點(diǎn)順序沒定，故有三種情況：分別過點(diǎn)A，C，D作線段CD，AD，AC的平行線，三條直線的交點(diǎn)即為能以A、C、D、M為點(diǎn)構(gòu)造成平行四邊形的點(diǎn)M的位置，再利用平行四邊形的性質(zhì)及平移知識即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)【詳解】解：（1）作圖如圖2：（2）觀察圖1，圖2，猜想線段DE和線段BC數(shù)量和位置關(guān)系為：DE=BC，DE//BC；選擇圖1，證明如下：連接BE，∵PM=ME，∠PMA=∠EMB，AM=MB，∴△PMA≌△EMB．（SAS）∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四邊形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四邊形DEBC是平行四邊形．∴DE∥BC，DE=BC．（3）猜想DE⊥AC；理由如下：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又∵DE∥BC，（已證）∴DE⊥AC．（3）如圖3分別過點(diǎn)A，C，D作線段CD，AD，AC的平行線,三條直線分別相交于點(diǎn),則得到即為滿足條件的點(diǎn)M，使以A、C、D、M為點(diǎn)構(gòu)造成平行四邊形.理由如下：∵AC//DM1，CD//AM1，∴四邊形ACDM1為平行四邊形，同理可得：四邊形ACM2D為平行四邊形，四邊形ADCM3為平行四邊形.設(shè)M1的坐標(biāo)為（x,y）,由于四邊形ACDM1為平行四邊形，∴AC//M1D,AC=M1D.可以看做線段AC經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭频骄€段M1D.C與D為對應(yīng)點(diǎn)，A與M1為對應(yīng)點(diǎn)，易知：點(diǎn)C(5,3)向左平移一個(gè)單位，向下平移一個(gè)單位得到D(4,2).故點(diǎn)A也向左平移一個(gè)單位，向下平移一個(gè)單位得到M1(x,y),即0-1=x，0-1=y，所以x=-1，y=-1.點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（-1，-1），同理可得M2的坐標(biāo)為（9,5），M3的坐標(biāo)為（1,1）.故存在M點(diǎn)，分別為（1，1）或（-1，-1）或（9，5）．使以A、C、D、M為點(diǎn)構(gòu)造成平行四邊形【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平移的知識，平行線的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用.綜合性較強(qiáng)，但難度不大.12．（2022春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）我們知道，四邊形有兩組對邊，兩組對角，兩條對角線．已經(jīng)研究了，如果四邊形滿足下列條件之一：①兩組對邊分別平行；②兩組對邊分別相等；③一組對邊平行且相等；④對角線互相平分，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形．由此，進(jìn)一步探究(1)如圖①，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∠B