北師大版八年級數(shù)學下冊舉一反三 專題1.5 線段的垂直平分線-重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題1.5線段的垂直平分線-重難點題型【北師大版】【知識點1線段垂直平分線的性質(zhì)】線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段】【例1】(2023春?萊陽市期末）如圖，△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于點D，交AC于點F，交BC的延長線于點E，若BF＝6，CF＝2，則AC的長為．【變式1-1】(2023秋?長寧區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E．△ABC的周長為19，△ACE的周長為13，則AB的長為（）A．3 B．6 C．12 D．16【變式1-2】(2023春?高新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線交BC于點E，AC的垂直平分線交BC于點F，連接AE、AF，若△AEF的周長為2，則BC的長是（）A．2 B．3 C．4 D．無法確定【變式1-3】(2023春?乾縣期末）如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線DE，分別與AB、AC邊交于點D、E兩點，BC邊的中垂線FG，分別與BC、AC邊交于點F、G兩點，連接BE、BG．若△BEG的周長為16，GE＝1．則AC的長為（）A．13 B．14 C．15 D．16【題型2利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】【例2】(2023?越秀區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點D，交AB于點E，連接AD，AD將∠CAB分成兩個角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．75° C．80° D．85°【變式2-1】(2023春?建平縣期末）如圖，已知△ABC中，∠B＝50°，P為△ABC內(nèi)一點，過點P的直線MN分別交AB，BC于點M、N．若M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，則∠APC的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．115° D．120°【變式2-2】(2023?市南區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點，若∠BOC＝100°，則這兩條垂直平分線相交所成銳角α的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．80°【變式2-3】(2023春?安國市期末）如圖，在△ABC中，I是三角形角平分線的交點，O是三邊垂直平分線的交點，連接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，則∠AIB的大小為（）A．160° B．140° C．130° D．125°【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用】【例3】(2023秋?甘井子區(qū)期末）如圖，電信部門要在公路l旁修建一座移動信號發(fā)射塔．按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)M，N的距離必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)該建在（）A．A處 B．B處 C．C處 D．D處【變式3-1】(2023秋?偃師市期末）元旦聯(lián)歡會上，同學們玩搶凳子游戲，在與A、B、C三名同學距離相等的位置放一個凳子，誰先搶到凳子誰獲勝．如果將A、B、C三名同學所在位置看作△ABC的三個頂點，那么凳子應(yīng)該放在△ABC的（）A．三邊中線的交點 B．三條角平分線的交點 C．三邊上高的交點 D．三邊垂直平分線的交點【變式3-2】(2023春?寧陽縣期末）如圖，若記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，若想建立一個貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到A、B、C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在（）A．三邊垂直平分線的交點 B．三邊中線的交點 C．三條角平分線的交點 D．三邊上高的交點【變式3-3】(2023春?惠來縣期末）《中共中央國務(wù)院關(guān)于促進農(nóng)民增加收入若干政策的意見》中提出“進一步精簡鄉(xiāng)鎮(zhèn)機構(gòu)和財政供養(yǎng)人員，積極穩(wěn)妥地調(diào)整鄉(xiāng)鎮(zhèn)建制，有條件的可實行并村”．《中共中央國務(wù)院關(guān)于積極發(fā)展現(xiàn)代農(nóng)業(yè)扎實推進社會主義新農(nóng)村建設(shè)的若干意見》中明確提出“治理農(nóng)村人居環(huán)境，搞好村莊治理規(guī)劃和試點，節(jié)約農(nóng)村建設(shè)用地”．以上兩個政策出臺后，山東陸陸續(xù)續(xù)開展了村莊合并某地興建的幸福小區(qū)的三個出口A、B、C的位置如圖所示，物業(yè)公司計劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，想在小區(qū)內(nèi)修建一個電動車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)該在（）A．三條邊的垂直平分線的交點處 B．三個角的平分線的交點處 C．三角形三條高線的交點處 D．三角形三條中線的交點處【題型4線段垂直平分線的性質(zhì)綜合】【例4】(2023春?平頂山期中）如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分線DN交BC于點D，交AB于點N，DF⊥AC于點F，交AE于點M．求證：（1）AE＝DE；（2）EM＝EC．【變式4-1】(2023春?高州市期末）如圖，在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC，過點A作BC的平行線AF交CD于F，延長AB、DC交于點E．求證：（1）AC平分∠EAF；（2）∠FAD＝∠E．【變式4-2】(2023春?蓮湖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點E是BC邊上的一點，連接AE，BD垂直平分AE，垂足為F，交AC于點D，連接DE．（1）若△ABC的周長為18，△DEC的周長為6，求AB的長．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度數(shù)．【變式4-3】(2023秋?澠池縣期末）在△ABC中，AB的垂直平分線l1交BC于點D，AC的垂直平分線l2交BC于點E，l1與l2相交于點O，△ADE的周長為6．（1）AD與BD的數(shù)量關(guān)系為．（2）求BC的長．（3）分別連接OA，OB，OC，若△OBC的周長為16，求OA的長．【知識點2線段垂直平分線的判定】到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點需要找兩個）【題型5線段垂直平分線的判定】【例5】(2023秋?儀征市月考）如圖．AB＝AC，MB＝MC．求證：直線AM是線段BC的垂直平分線．【變式5-1】(2023?沭陽縣校級開學）如圖．△ABC中，∠B＝∠C，點P、Q、R分別在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．求證：點Q在PR的垂直平分線上．【變式5-2】(2023秋?博白縣期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度數(shù)；（2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．【變式5-3】(2023秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于點M交BE于點G，AD平分∠MAC，交BC于點D，交BE于點F．求證：線段BF垂直平分線段AD．【題型6線段垂直平分線的作法】【例6】(2023秋?盤龍區(qū)期末）如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，以相同的長（大于12AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D，交AC于點E，連接CD．已知△CDE的面積比△CDB的面積小5，則△ADEA．5 B．4 C．3 D．2【變式6-1】(2023春?碑林區(qū)校級期中）在△ABC中，∠C＞∠B、請用尺規(guī)作圖法，在AB上找一點P，使∠PCB＝∠B．（保留作圖痕跡，不寫作法．）【變式6-2】(2023?碑林區(qū)校級模擬）尺規(guī)作圖：如圖，已知△ABC．請在AC邊上找一點D，使△ABD的周長等于AB+AC．（保留作圖痕跡，不寫作法）【變式6-3】(2023春?長安區(qū)期末）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：如圖，直線m表示一條公路，A、B表示兩所大學，要在公路旁修建一個車站P，使車站到兩所大學的距離相等．（1）請用尺規(guī)在圖上找出點P；（2）請說明你作圖的依據(jù)．專題1.5線段的垂直平分線-重難點題型【北師大版】【知識點1線段垂直平分線的性質(zhì)】線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段】【例1】(2023春?萊陽市期末）如圖，△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于點D，交AC于點F，交BC的延長線于點E，若BF＝6，CF＝2，則AC的長為．分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AF＝BF＝6，結(jié)合圖形計算即可．【解答】解：∵ED垂直平分AB，BF＝6，∴AF＝BF＝6，∵CF＝2，∴AC＝AF+CF＝6+2＝8，故答案為：8．【變式1-1】(2023秋?長寧區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E．△ABC的周長為19，△ACE的周長為13，則AB的長為（）A．3 B．6 C．12 D．16分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB的垂直平分線交AB于點D，∴AE＝BE，∵△ACE的周長＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周長＝AC+BC+AB＝19，∴AB＝△ABC的周長﹣△ACE的周長＝19﹣13＝6，故選：B．【變式1-2】(2023春?高新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線交BC于點E，AC的垂直平分線交BC于點F，連接AE、AF，若△AEF的周長為2，則BC的長是（）A．2 B．3 C．4 D．無法確定分析：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，根據(jù)三角形的周長公式即可求出BC．【解答】解：∵AB的垂直平分線交BC于點E，∴EA＝EB，∵AC的垂直平分線交BC于點F．∴FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+FC＝△AEF的周長＝2．故選：A．【變式1-3】(2023春?乾縣期末）如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線DE，分別與AB、AC邊交于點D、E兩點，BC邊的中垂線FG，分別與BC、AC邊交于點F、G兩點，連接BE、BG．若△BEG的周長為16，GE＝1．則AC的長為（）A．13 B．14 C．15 D．16分析：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系即可解決問題．【解答】解：∵DE是線段AB的中垂線，GF是線段BC的中垂線，∴EB＝EA，GB＝GC，∵△BEG周長為16，∴EB+GB+EG＝16，∴EA+GC+EG＝16，∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，∴AC+2EG＝16，∵EG＝1，∴AC＝14，故選：B．【題型2利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】【例2】(2023?越秀區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點D，交AB于點E，連接AD，AD將∠CAB分成兩個角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．75° C．80° D．85°分析：設(shè)∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BD＝AD，求出∠BAD＝∠B＝5x°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠CAB+∠B＝90°，求出x，再求出∠B和∠BAD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．【解答】解：設(shè)∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，∵AB的垂直平分線是DE，∴BD＝AD，∴∠BAD＝∠B，即∠B＝5x°，∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴2x+5x+5x＝90，解得：x=15即∠B＝∠BAD＝（752∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝（752）°+（75故選：B．【變式2-1】(2023春?建平縣期末）如圖，已知△ABC中，∠B＝50°，P為△ABC內(nèi)一點，過點P的直線MN分別交AB，BC于點M、N．若M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，則∠APC的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．115° D．120°分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC+∠ACB＝130°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AM＝PM，PN＝CN，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，進而得出∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP=1【解答】解：∵∠ABC＝50°，∴∠BAC+∠ACB＝130°，∵M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，∴AM＝PM，PN＝CN，∴∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，∵∠APC＝180°﹣∠APM﹣∠CPN＝180°﹣∠PAC﹣∠ACP，∴∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP=1∴∠APC＝115°，故選：C．【變式2-2】(2023?市南區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點，若∠BOC＝100°，則這兩條垂直平分線相交所成銳角α的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．80°分析：連接OA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA＝OB＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，求出∠BAC，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出答案即可．【解答】解：連接OA，∵點O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點，∴OA＝OB，OB＝OC，∴OA＝OB＝OC，∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，∵∠BOC＝100°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，即∠BAC＝50°，∵點O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點，∴∠ODA＝∠OEA＝90°，∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠α＝180°﹣130°＝50°，故選：C．【變式2-3】(2023春?安國市期末）如圖，在△ABC中，I是三角形角平分線的交點，O是三邊垂直平分線的交點，連接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，則∠AIB的大小為（）A．160° B．140° C．130° D．125°分析：連接CO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OAB+∠OBA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OC，OB＝OC，進而得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案．【解答】解：連接CO，∵∠AOB＝140°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°，∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°，∵O是三邊垂直平分線的交點，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∴∠OCA+∠OCB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=1∴∠IAB+∠IBA=12（∠CAB+∠∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°，故選：D．【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用】【例3】(2023秋?甘井子區(qū)期末）如圖，電信部門要在公路l旁修建一座移動信號發(fā)射塔．按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)M，N的距離必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)該建在（）A．A處 B．B處 C．C處 D．D處分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出即可．【解答】解：根據(jù)作圖可知：EF是線段MN的垂直平分線，所以EF上的點到M、N的距離相等，即發(fā)射塔應(yīng)該建在C處，故選：C．【變式3-1】(2023秋?偃師市期末）元旦聯(lián)歡會上，同學們玩搶凳子游戲，在與A、B、C三名同學距離相等的位置放一個凳子，誰先搶到凳子誰獲勝．如果將A、B、C三名同學所在位置看作△ABC的三個頂點，那么凳子應(yīng)該放在△ABC的（）A．三邊中線的交點 B．三條角平分線的交點 C．三邊上高的交點 D．三邊垂直平分線的交點分析：為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊垂直平分線的交點上．【解答】解：∵三角形的三條垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，∴凳子應(yīng)放在△ABC的三條垂直平分線的交點最合適．故選：D．【變式3-2】(2023春?寧陽縣期末）如圖，若記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，若想建立一個貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到A、B、C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在（）A．三邊垂直平分線的交點 B．三邊中線的交點 C．三條角平分線的交點 D．三邊上高的交點分析：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵中轉(zhuǎn)倉到A、B兩地的距離相等，∴中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在邊AB的垂直平分線上，同理，中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在邊AC、BC的垂直平分線上，∵中轉(zhuǎn)倉到A、B、C三地的距離相等，∴中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在三邊垂直平分線的交點上，故選：A．【變式3-3】(2023春?惠來縣期末）《中共中央國務(wù)院關(guān)于促進農(nóng)民增加收入若干政策的意見》中提出“進一步精簡鄉(xiāng)鎮(zhèn)機構(gòu)和財政供養(yǎng)人員，積極穩(wěn)妥地調(diào)整鄉(xiāng)鎮(zhèn)建制，有條件的可實行并村”．《中共中央國務(wù)院關(guān)于積極發(fā)展現(xiàn)代農(nóng)業(yè)扎實推進社會主義新農(nóng)村建設(shè)的若干意見》中明確提出“治理農(nóng)村人居環(huán)境，搞好村莊治理規(guī)劃和試點，節(jié)約農(nóng)村建設(shè)用地”．以上兩個政策出臺后，山東陸陸續(xù)續(xù)開展了村莊合并某地興建的幸福小區(qū)的三個出口A、B、C的位置如圖所示，物業(yè)公司計劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，想在小區(qū)內(nèi)修建一個電動車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)該在（）A．三條邊的垂直平分線的交點處 B．三個角的平分線的交點處 C．三角形三條高線的交點處 D．三角形三條中線的交點處分析：根據(jù)性的垂直平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵電動車充電樁到三個出口的距離都相等，∴充電樁應(yīng)該在三條邊的垂直平分線的交點處，故選：A．【題型4線段垂直平分線的性質(zhì)綜合】【例4】(2023春?平頂山期中）如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分線DN交BC于點D，交AB于點N，DF⊥AC于點F，交AE于點M．求證：（1）AE＝DE；（2）EM＝EC．分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝22.5°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明；（2）證明△MDE≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【解答】證明：（1）∵DN是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°，∴∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∴AE＝DE；（2）∵DF⊥AC，AE⊥BC，∴∠MDE＝∠CAE，在△MDE和△CAE中，∠MDE=∠CAEDE=AE∴△MDE≌△CAE（ASA），∴EM＝EC．【變式4-1】(2023春?高州市期末）如圖，在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC，過點A作BC的平行線AF交CD于F，延長AB、DC交于點E．求證：（1）AC平分∠EAF；（2）∠FAD＝∠E．分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BA＝BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠BCA，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAF＝∠BCA，等量代換證明結(jié)論；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠DCA，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)證明即可．【解答】證明：（1）∵BD所在的直線垂直平分線段AC，∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵BC∥AF，∴∠CAF＝∠BCA，∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；（2）∵BD所在的直線垂直平分線段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠DCA是△ACE的一個外角，∴∠DCA＝∠E+∠EAC，∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，∵∠CAF＝∠EAC，∴∠FAD＝∠E．【變式4-2】(2023春?蓮湖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點E是BC邊上的一點，連接AE，BD垂直平分AE，垂足為F，交AC于點D，連接DE．（1）若△ABC的周長為18，△DEC的周長為6，求AB的長．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度數(shù)．分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB＝BE，AD＝DE，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，證明△BAD≌△BED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BED＝∠BAC＝105°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算即可．【解答】解：（1）∵BD是線段AE的垂直平分線，∴AB＝BE，AD＝DE，∵△ABC的周長為18，△DEC的周長為6，∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，∴AB+BE＝18﹣6＝12，∴AB＝6；（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，在△BAD和△BED中，BA=BEBD=BD∴△BAD≌△BED（SSS），∴∠BED＝∠BAC＝105°，∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．【變式4-3】(2023秋?澠池縣期末）在△ABC中，AB的垂直平分線l1交BC于點D，AC的垂直平分線l2交BC于點E，l1與l2相交于點O，△ADE的周長為6．（1）AD與BD的數(shù)量關(guān)系為．（2）求BC的長．（3）分別連接OA，OB，OC，若△OBC的周長為16，求OA的長．分析：（1）根據(jù)線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等解答；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EC，根據(jù)三角形的周長公式計算即可；（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OB＝OC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：（1）∵l1是線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD，故答案為：AD＝BD；（2）∵l2是線段AC的垂直平分線，∴EA＝EC，∵△ADE的周長為6，∴AD+DE+AE＝6，∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（3）∵l1是線段AB的垂直平分線，∴OA＝OB，∵l2是線段AC的垂直平分線，OA＝OC，∴OB＝OC，∵△OBC的周長為16，BC＝6，∴OB+OC＝10，∴OA＝OB＝OC＝5．【知識點2線段垂直平分線的判定】到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點需要找兩個）【題型5線段垂直平分線的判定】【例5】(2023秋?儀征市月考）如圖．AB＝AC，MB＝MC．求證：直線AM是線段BC的垂直平分線．分析：由AB＝AC，MB＝MC，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理，可得點A在BC的垂直平分線上，點M在BC的垂直平分線上，又由兩點確定一條直線，可得直線AM是線段BC的垂直平分線．【解答】證明：∵AB＝AC，∴點A在BC的垂直平分線上，∵BM＝CM，∴點M在BC的垂直平分線上，∴直線AM是BC的垂直平分線．【變式5-1】(2023?沭陽縣校級開學）如圖．△ABC中，∠B＝∠C，點P、Q、R分別在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．求證：點Q在PR的垂直平分線上．分析：根據(jù)全等三角形的判定定理證明△BQP≌△CRQ，得到QP＝QR，根據(jù)線段的垂直平分線的判定證明結(jié)論．【解答】證明：連接PQ，在△BQP和△CRQ中，PB=QC∠B=∠C∴△BQP≌△CRQ，∴QP＝QR，∴點Q在PR的垂直平分線上．【變式5-2】(2023秋?博白縣期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度數(shù)；（2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．分析：（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解決問題；（2）只要證明AE＝AC，利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明；【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=12∠∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．（2）證明∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分線段EC，即直線AD是線段CE的垂直平分線．【變式5-3】(2023秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，A