中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型34 旋轉(zhuǎn)-費(fèi)馬點(diǎn)模型-（原卷版+解析）

旋轉(zhuǎn)模型（三十四）——費(fèi)馬點(diǎn)模型費(fèi)馬點(diǎn)：到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為三角形的費(fèi)馬點(diǎn).當(dāng)PA+PB+PC取最小值時(shí)，點(diǎn)P叫三角形的費(fèi)馬點(diǎn).◎結(jié)論：如圖,△ABC的三個(gè)內(nèi)角均不大于120°，點(diǎn)P在形內(nèi)，當(dāng)∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120o時(shí)，PA+PB+PC的值最小.【證明】如圖，將△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A1BP1，連接PP1，則△BPP1是等邊三角形，所以PB=PP1.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA+PB+PC＝P1A1+PP1+PC≥A1C,∴當(dāng)A1、P1、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，∵△BPP1是等邊三角形，∠BPP1＝60o，∴∠BPC＝120o，∵∠APB＝∠A1P1B，∠BP1P＝60o，∴∠APB＝180o－60o＝120o則∠CPA＝360o－120o－120o＝120o，故∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120o.費(fèi)馬點(diǎn)作法：分別以AC、BC、AB為邊作等邊△ACD、△BCE、△ABF,連接CF,BD,AE,由手拉手可得△ACE≌△DCB，△ABE≌△FBC,∴AE＝BD，AE＝CF，∴AE＝BD＝CF旋轉(zhuǎn)角：∠BPE＝∠EPC＝∠CPD＝60°eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)有等邊，求長度，不好求，作等邊1．(2023·四川·成都實(shí)外九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為______．2．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．1．(2023·福建三明·八年級期中）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，線段的長為所求的最小值，即點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是______；②當(dāng)，，時(shí)，求的大??；(2)如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，求的最小值．2．(2023·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校八年級期中）背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出_______；知識生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4，在中，，，，點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接、、，且邊長；求的最小值．3．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及的長；（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長.2．(2023·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=________．旋轉(zhuǎn)模型（三十四）——費(fèi)馬點(diǎn)模型費(fèi)馬點(diǎn)：到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為三角形的費(fèi)馬點(diǎn).當(dāng)PA+PB+PC取最小值時(shí)，點(diǎn)P叫三角形的費(fèi)馬點(diǎn).◎結(jié)論：如圖,△ABC的三個(gè)內(nèi)角均不大于120°，點(diǎn)P在形內(nèi)，當(dāng)∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120o時(shí)，PA+PB+PC的值最小.【證明】如圖，將△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A1BP1，連接PP1，則△BPP1是等邊三角形，所以PB=PP1.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA+PB+PC＝P1A1+PP1+PC≥A1C,∴當(dāng)A1、P1、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，∵△BPP1是等邊三角形，∠BPP1＝60o，∴∠BPC＝120o，∵∠APB＝∠A1P1B，∠BP1P＝60o，∴∠APB＝180o－60o＝120o則∠CPA＝360o－120o－120o＝120o，故∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120o.費(fèi)馬點(diǎn)作法：分別以AC、BC、AB為邊作等邊△ACD、△BCE、△ABF,連接CF,BD,AE,由手拉手可得△ACE≌△DCB，△ABE≌△FBC,∴AE＝BD，AE＝CF，∴AE＝BD＝CF旋轉(zhuǎn)角：∠BPE＝∠EPC＝∠CPD＝60°eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)有等邊，求長度，不好求，作等邊1．(2023·四川·成都實(shí)外九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為______．答案:分析將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BD的長；根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，連接PF、AD、DB，過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長線于點(diǎn)E；∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，∴△PCF、△ACD是等邊三角形，∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=∴，∴當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BD的長；∵，∠CAD=，∴∠EAD=，∴，∴，∴，∴，∴的值最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，將三條線段的長轉(zhuǎn)化到一條直線上．2．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．答案:分析以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，如圖，則△BCM≌△BEN，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到CM=NE，進(jìn)而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到BH⊥AE，AH=EH，根據(jù)30°直角三角形三邊的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，則BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．難度比較大．作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵．1．(2023·福建三明·八年級期中）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，線段的長為所求的最小值，即點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是______；②當(dāng)，，時(shí)，求的大??；(2)如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，求的最小值．答案:(1)①3；②150°；(2)分析（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求出的值；②先證△ABP≌，利用全等的性子求出對應(yīng)的邊長，通過勾股定理的逆定理得到，即可求出的大??；（2）將△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，先求出，然后證明為等邊三角形，當(dāng)B、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，和最小，用勾股定理求出的值即可．（1）①如圖，將繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則，，∴為等邊三角形，；②∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°，又∵是等邊三角形，∴∠PAC+=60°，∴∠BAP=，在△ABP與中，，∴△ABP≌（SAS），∴∴，，，又∵旋轉(zhuǎn)，∴；（2）如圖，將△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，則，在中，，，，又∵，，，過作⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D，則，，（30°所對的直角邊等于斜邊的一半），，，為等邊三角形，當(dāng)B、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，和最小，在中，，，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．2．(2023·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校八年級期中）背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出_______；知識生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4，在中，，，，點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接、、，且邊長；求的最小值．答案:(1)150°；(2)見詳解；(3)；(4)．分析（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根據(jù)△ABC為等邊三角形，得出∠BAC=60°，可證△APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；（2）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，根據(jù)△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根據(jù)∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，根據(jù)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，點(diǎn)P在CB′上即可；（3）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可證△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根據(jù)，可得點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，利用30°直角三角形性質(zhì)得出AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根據(jù)∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；（4）將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可證△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=AB′，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根據(jù)勾股定理AB′=即可．(1)解：連結(jié)PP′，∵≌，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，∴△APP′為等邊三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案為150°；(2)證明：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，∵，∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，∴點(diǎn)P在CB′上，∴過的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)解：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，∵∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，∵，，，∴AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=∴BB′=AB=2，∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C=∴最小=CB′=；(4)解：將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，∵，∴點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=AB′，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=，∴AF=AB+BF=2+，∴AB′=，∴最小=AB′=．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，四點(diǎn)共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，四點(diǎn)共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值答案:分析將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大倍，得到△，當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線上時(shí)，=最短，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大，相似比為倍，得到△，則，，，過點(diǎn)P作PE⊥A于E，∴AE=，∴E=A-AE=，∴P=，當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線上時(shí)，=最短，此時(shí)=B，∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，∴．∴=B=【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線段，利用三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)共線的知識求解，有時(shí)根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及的長；（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長.答案:(1)

(2)；或

（3）可以取到的最小值為．當(dāng)取得最小值時(shí)，線段的長為分析（1）已知點(diǎn)B的坐標(biāo)，可求出OB的長；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通過解直角三角形即可求得OD的長，也就得到了點(diǎn)D的坐標(biāo)；由于E是線段BD的中點(diǎn)，根據(jù)B、D的坐標(biāo)即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)；將B、E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，由此確定拋物線的解析式；（2）過E作EG⊥x軸于G，根據(jù)A、E的坐標(biāo)，即可用勾股定理求得AE的長；過O作AE的垂線，設(shè)垂足為K，易證得△AOK∽△AEG，通過相似三角形所得比例線段即可求得OK的長；在Rt△OMK中，通過解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的長可在Rt△AOK中由勾股定理求得，根據(jù)AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的長；（3）由于點(diǎn)P到△ABO三頂點(diǎn)的距離和最短，那么點(diǎn)P是△ABO的費(fèi)馬點(diǎn)，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易證得△OBE是等邊三角形，那么PA+PO+PB的最小值應(yīng)為AE的長；求AP的長時(shí)，可作△OBE的外接圓（設(shè)此圓為⊙Q），那么⊙Q與AE的交點(diǎn)即為m取最小值時(shí)P點(diǎn)的位置；設(shè)⊙Q與x軸的另一交點(diǎn)（O點(diǎn)除外）為H，易求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，也就得到了AH的長，相對于⊙Q來說，AE、AH都是⊙Q的割線，根據(jù)割線定理（或用三角形的相似）即可求得AP的長．【詳解】（1）過E作EG⊥OD于G∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，∴△BOD∽△EGD，∵點(diǎn)B（0，2），∠ODB=30°，可得OB=2，OD＝2；∵E為BD中點(diǎn)，∴=∴EG=1，GD＝∴OG＝∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，1)∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，∴.可得.∴拋物線的解析式為.（2）∵拋物線與軸相交于、，在的左側(cè)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.過E作EG⊥x軸于G∴,∴在△AGE中，,.過點(diǎn)作⊥于，可得△∽△．∴．∴．∴∴.∵△是等邊三角形,∴．∴．∴,或

（3）如圖；以AB為邊做等邊三角形AO′B，以O(shè)A為邊做等邊三角形AOB′；易證OE=OB=2，∠OBE=60°，則△OBE是等邊三角形；連接OO′、BB′、AE，它們的交點(diǎn)即為m最小時(shí)，P點(diǎn)的位置（即費(fèi)馬點(diǎn)）；∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，∴△AOE≌△B′OB；∴∠B′BO=∠AEO；∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，∴∠POP'=60°，∴△POP′為等邊三角形，∴OP=PP′，∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；即m最小=AE=如圖；作正△OBE的外接圓⊙Q，根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)知∠BPO=120°，