河南省南陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期終質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023年秋期高中二年級期終質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.考生做題時將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無效.2.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚.4.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.5.保持卷面清潔，不折疊、不破損.第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若，則（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】B【解析】【分析】直接利用排列數(shù)和組合數(shù)的公式計算.【詳解】由得，解得故選：B.2.點(diǎn)為兩條直線和的交點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：的距離最大為（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】求出點(diǎn)坐標(biāo)，且直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線與直線垂直時，此時點(diǎn)到直線的距離最大，利用兩點(diǎn)間的距離公式計算可得答案.【詳解】由得，即，直線：，所以直線過定點(diǎn)，所以當(dāng)直線與直線垂直時，此時點(diǎn)到直線的距離最大，且最大值為.故選：B.3.長時間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時，這些人的近視率約為，現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1小時的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合全概率公式列式求解作答.【詳解】令=“玩手機(jī)時間超過1小時的學(xué)生”，=“玩手機(jī)時間不超過1小時的學(xué)生”，=“任意調(diào)查一人，此人近視”，，且互斥，，依題意有，解得從每天玩手機(jī)不超過1小時的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為.故選：C4.已知焦點(diǎn)在軸上雙曲線實軸長為4，漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意，由于雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且漸近線方程為，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：D5.南陽市博物院為國家二級博物館，是豫西南最大的地方綜合性博物館、文化新地標(biāo)，是展示南陽悠久歷史和燦爛文化的重要窗口.南陽市博物院每周一閉館（節(jié)假日除外）.某學(xué)校計劃于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）組織高一、高二、高三年級的同學(xué)去南陽市博物院參觀研學(xué)，每天只能有一個年級參觀，其中高一年級需要連續(xù)兩天，高二、高三年級各需要一天，則不同的方案有（）A.20種 B.50種 C.60種 D.100種【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用分步計數(shù)原理即可求出結(jié)果.【詳解】因為博物院每周一閉館，所以高一年級可以從周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中選擇2日去參觀，共5種選擇，再從剩下的四天里安排高二、高三年級，有種安排方法，根據(jù)分步計數(shù)原理，知不同的方案有種，故選：C.6.若橢圓和雙曲線的共同焦點(diǎn)為，，是兩曲線的一個交點(diǎn)，則的面積值為（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】A【解析】【分析】利用橢圓，雙曲線定義求出，進(jìn)而可求出，，利用余弦定理求出，進(jìn)而可得，最后利用面積公式計算即可.【詳解】不妨設(shè)為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，則由已知得，則，，，則，所以.故選：A.7.已知過點(diǎn)且法向量為的平面的方程為.若平面的方程為，直線是平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合新定義求出直線的方向向量及平面的法向量，即可求解.【詳解】解：直線是平面與的交線，設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，令，得，則直線的方向向量為，因為平面的方程為，所以為平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，得直線與平面所成角的正弦值為，故選：A8.在正方體中，點(diǎn)在底面所在的平面上運(yùn)動.下列說法不正確的是（）A.若點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡為一條直線B.若，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡是圓C.若點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離比為，則動點(diǎn)的軌跡是橢圓D.若點(diǎn)到直線的距離與到直線的距離相等，則動點(diǎn)的軌跡為拋物線【答案】C【解析】【分析】對于A，根據(jù)線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可判斷A；利用勾股定理求出，由可得動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓可判斷B；在平面內(nèi)，設(shè)正方形對角線的交點(diǎn)為，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)可得動點(diǎn)的軌跡可判斷C；點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到點(diǎn)的距離，根據(jù)拋物線定義可判斷D.【詳解】對于A，連接，因為平面，平面，所以，因為四邊形為正方形，所以，因為，平面，所以平面，當(dāng)點(diǎn)在直線上時，此時平面，可得，則動點(diǎn)的軌跡為直線，故A正確；對于B，連接，若，，所以，又因為，所以動點(diǎn)的軌跡在平面是在平面內(nèi)，以為圓心，為半徑的圓，故B正確；對于C，在平面內(nèi)，設(shè)正方向?qū)蔷€交點(diǎn)為，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)，因為，所以，化簡得，則動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故C錯誤；對于D，因為平面，平面，所以，所以點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到點(diǎn)的距離，若點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等，根據(jù)拋物線定義，則動點(diǎn)的軌跡為在平面的拋物線，故D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：考查平面上點(diǎn)的軌跡，根據(jù)動點(diǎn)滿足的關(guān)系式，在平面上建立平面直角坐標(biāo)系，用解析法求軌跡是常用方法．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先計算，根據(jù)點(diǎn)共面列方程，從而確定正確答案.【詳解】，不共線，設(shè)為平面內(nèi)一點(diǎn)，則，，由于無解，所以不在平面內(nèi).，由，解得，所以在平面內(nèi).，由，解得，所以在平面內(nèi).，由于，所以在平面內(nèi).故選：BCD10.下列說法不正確的是（）A.過點(diǎn)且在，軸上的截距相等的直線方程為B.過點(diǎn)與圓相切的直線有兩條C.若二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為，則展開式共有7項D.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則【答案】ABC【解析】【分析】對于A項，錯在于少了在，軸上的截距都為0的情況；對于B項，因點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)做切線只有一條；對于C項，錯在于由條件求得后，二項式的展開式有項；對于D項，利用正態(tài)分布的對稱性易得結(jié)論正確.【詳解】對于A項，過點(diǎn)且在，軸上的截距相等的直線方程包括截距為0時的直線和截距不為0時的直線，故A項不正確，符合題意；對于B項，因點(diǎn)在圓上，故過點(diǎn)與圓相切的直線只有一條，故B項不正確，符合題意；對于C項，因二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為，解得：，則展開式有項，故C項不正確，符合題意；對于D項，因，，則，故.故D項正確,不符題意.故選：ABC.11.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯誤的是（）A.B.第2023行中從左往右第1011個數(shù)與第1012個數(shù)相等C.記第行的第個數(shù)為，則D.第20行中第12個數(shù)與第13個數(shù)之比為【答案】AB【解析】【分析】對于A：利用性質(zhì)計算即可；對于B：利用的展開式的二項式系數(shù)計算；對于C：代入，利用二項式定理計算即可；對于D：利用的展開式的二項式系數(shù)計算【詳解】對于A：，A錯誤；對于B：第2023行中的數(shù)為的展開式的二項式系數(shù)，則從左往右第1011個數(shù)為，第1012個數(shù)為，，B錯誤；對于C：第行的第個數(shù)為，則，C正確；對于D：第20行中的數(shù)為的展開式的二項式系數(shù)，則從左往右第12個數(shù)為，第13個數(shù)為，則，D正確.故選：AB.12.已知拋物線：的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過的直線交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于弦的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的最小值為2C.的面積為定值D.若在軸上，則為直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線方程，利用拋物線性質(zhì)解決焦點(diǎn)弦相關(guān)問題.【詳解】由橢圓的方程可知，橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線焦點(diǎn)為，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為，拋物線的焦點(diǎn)弦中，通徑最短，通徑長為，則，A選項正確；顯然直線的斜率為0時不合題意，則設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，，得，，所以，，則，因為與垂直，所以直線的斜率為，其方程為，聯(lián)立，解得，即，所以點(diǎn)M到直線AB的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為2，即選項B正確；的面積當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的面積最小值為4，即選項C錯誤；若在軸上，則，此時為通徑，有，，，，滿足，則為直角三角形，D選項正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)即可得答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，即，，當(dāng)焦點(diǎn)在軸正半軸時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)焦點(diǎn)在軸正半軸時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.14.已知，且，記隨機(jī)變量為，，中的最小值，則______.【答案】0.09##【解析】【分析】的可能取值為，利用排列組合知識求出相應(yīng)的概率，求出期望和方差.【詳解】，且，相當(dāng)于6個1之間的5個空中插入兩個擋板，故共有種情況，的可能取值為，其中時，只有三個數(shù)為，故，則，所以，.故答案為：15.南陽素有“月季花城”的美譽(yù)，是“中國月季之鄉(xiāng)”和世界月季名城.某社區(qū)對一個街心公園進(jìn)行改造，在公園中央有一個正方形區(qū)域如圖示，它由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成.現(xiàn)對該區(qū)域種植月季，有5種不同的月季可供選擇，要求相鄰區(qū)域種植的月季不同.在所有的種植方案中隨機(jī)選擇一種方案，該方案恰好只用到四種月季的概率是______.【答案】【解析】【分析】分別求出用了種，種，種月季時的種植方案數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】對該區(qū)域種植月季，有種不同的月季可供選擇，當(dāng)只選擇種或種月季種植，不可能相鄰區(qū)域種植的月季不同；當(dāng)選擇種月季種植時，第一步：先種植①④⑤區(qū)域，有種種植方法；第二步：再種植②區(qū)域，必和④區(qū)域相同，只有種種植方法；第三步：種植③區(qū)域，必和①區(qū)域相同，只有種種植方法；故選擇3種月季種植時，有種種植方法；當(dāng)選擇種月季種植時，第一步：先種植①④⑤區(qū)域，用了種月季中的種，有種種植方法；第二步：再把還沒有用過的種月季選種植下去，有②③兩個區(qū)域可供種植，有種種植方法；第三步，種植最后一個區(qū)域，只有種種植方法，故選擇種月季種植時，有種種植方法；，當(dāng)選擇全部的種月季種植時，有種種植方法；所以該方案恰好只用到四種月季的概率是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于染色問題，相鄰區(qū)域要不同的顏色，我們可利用所用顏色的數(shù)量進(jìn)行分類求解，有時候會比較方便快捷.16.已知橢圓：，經(jīng)過原點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn).是上異于、的一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且.若直線、的斜率之積為，則橢圓的離心率______.【答案】##【解析】【分析】利用點(diǎn)差法和橢圓離心率等知識求得正確答案.【詳解】依題意，直線、的斜率存在，由于，則直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，即，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，設(shè)，則，，由兩式相減并化簡得，由于直線、的斜率之積為，即，則，所以，所以橢圓的離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】求解橢圓離心率有關(guān)的問題，可以利用直接法來進(jìn)行求解，也即通過已知條件求得和，從而求得雙曲線的離心率.也可以利用構(gòu)造齊次式的方法來進(jìn)行求解，也即通過已知條件求得或的等量關(guān)系式，由此來求得離心率.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在下列所給兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.①與直線垂直；②一個方向向量為；問題：已知直線過點(diǎn)，且______.（1）求直線的一般式方程；（2）若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求弦的長.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）若選①根據(jù)垂直關(guān)系得到所求直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求解；若選②根據(jù)方向向量直接求所求直線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式求解直線方程.（2）利用點(diǎn)到直線距離公式求出圓心到直線的距離然后根據(jù)公式求弦長.【小問1詳解】（1）若選①，因為直線的斜率為，直線與直線垂直，所以直線的斜率為.依題意，直線的方程為，即；若選②，因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率為，直線的方程為，即.【小問2詳解】（2）由（1）可得：直線方程為.圓的圓心到直線的距離為：.又圓的半徑為，所以.18.一個袋子里放有除顏色外完全相同的2個白球、3個黑球.（1）采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個小球，求兩個小球顏色不同的概率；（2）采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個小球，求在第1次摸到的是黑球的條件下，第2次摸到的是黑球的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分先白后黑和先黑后白兩種情況，由概率公式計算.（2）利用條件概率公式求解.【小問1詳解】設(shè)事件：用放回抽樣方式摸出兩個顏色不同的小球.因為采取放回抽樣方式，所以每次摸一個白球的概率為，每一次摸一個黑球的概率為，所以.即用放回抽樣方式摸出兩個顏色不同的小球的概率為.【小問2詳解】設(shè)事件為第一次摸到黑球，事件為第一次摸到黑球，第二次也摸到黑球，所以，，所以在第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率為：.19.已知平行六面體的底面是邊長為1的正方形，，.（1）求對角線的長；（2）求直線與所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：求出、，對兩邊平方化簡計算可得答案；方法二：以為原點(diǎn)，，分別為、軸正方向，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，再求即可；（2）方法一：設(shè)直線與所成角為，利用計算可得答案；方法二：以為原點(diǎn)，，分別為、軸正方向，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出、，設(shè)直線與所成角為，利用計算可得答案.【小問1詳解】方法一：因為，又底面是正方形，，，，所以，所以；方法二：如圖所示，以為原點(diǎn)，，分別為、軸正方向，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以；【小問2詳解】方法一：因為，所以，又，設(shè)直線與所成角為，所以，即直線與所成角的余弦值為；方法二：與（1）中的方法二，以為原點(diǎn)，，分別為、軸正方向，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)直線與所成角為，所以，即直線與所成角的余弦值為.20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，且經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于（異于點(diǎn)）兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若以為直徑的圓過點(diǎn)，求證直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）求出，，利用求出，進(jìn)而可得，則橢圓方程可求；（2）若直線的斜率不為0時，設(shè)，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及，可求出，進(jìn)而可得直線過定點(diǎn).【小問1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，則，，，可得，即，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由題意可知：.若直線的斜率不為0時，設(shè)，，聯(lián)立方程，消去得，則，可得，，又因為，，由題意可知：，則，整理得，則，又因為，則，可得，整理得，即直線：過定點(diǎn)；若直線的斜率為0，則，，又因為，，由題意可知：，即且，解得，此時直線：，不合題意；綜上所述：直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線相交問題，首先是設(shè)出直線方程，然后與圓錐曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件，列式，列方程求解，計算下去，一般無關(guān)的參數(shù)會抵消，然后留下需要的參數(shù)即可解答題目.21.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到面的距離；（3）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線面平行；（2）利用向量法求解點(diǎn)到面的距離；（3）利用向量法求解平面與平面的夾角.【小問1詳解】由題意，可以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，（1）顯然為平面的一個法向量，而.因為，所以.又平面，所以平面；【小問2詳解】設(shè)為面的一個法向量，又，則，不妨取，則，記點(diǎn)到面的距離為，則.即點(diǎn)到面的距離為；【小問3詳解】顯然為平面的一個法向量.設(shè)為面的一個法向量，則，不妨取，則.設(shè)平面與平面的夾角為，則.即平面與平面的夾角的余弦值為.22.某省年開始將全面實施新高考方案．