甘肅省武威市三校2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

-2024學(xué)年甘肅省武威市三校九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄，下列四幅作品分別代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．將分別標(biāo)有“文”“明”“寧“安”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機(jī)摸出一球，不放回；再隨機(jī)摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“寧安”的概率是（）A． B． C． D．3．如圖，平行四邊形中，，，，則的長為（）A． B．8 C．10 D．164．工程上常用鋼珠來測量零件上小孔的寬口，如果鋼珠的直徑為，鋼珠上頂端離零件上表面的距離為，如圖，則這個零件小孔的寬口等于．（）A．4 B．6 C．7 D．85．已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，，則為時，．（）A． B．或 C．或 D．6．小明同學(xué)用一把直尺和一個直角三角板（有一個銳角為）測量一張光盤的直徑，他把直尺、三角板和光盤按如圖的方式放置，點(diǎn)是角頂點(diǎn)，是光盤與直尺的公共點(diǎn)，測得，則此光盤的直徑為（）A．3 B． C． D．7．已知反比例函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)在它的圖象上B．其圖象分別位于第一、三象限C．隨的增大而減小D．若點(diǎn)在它的圖象上，則點(diǎn)也在其圖象上8．半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為（）A． B． C． D．9．函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．10．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11．如圖，在中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，若的面積是，則四邊形的面積為________．12．一個圓錐的底面半徑是，母線長是，則圓錐側(cè)面積展開圖的扇形圓心角是________．13．如圖，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到．若點(diǎn)、、在同一條直線上，，則的度數(shù)是________．14．如圖是反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖象，若圖中的矩形的面積為4，則等于________．15．如圖，以邊長為的等邊三角形的三個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的萊洛三角形（圖中陰影部分）的面積是________（圓周率用表示）16．三邊長分別是，，的三角形的內(nèi)切圓半徑為________．17．如圖，要使與相似，則需添加一個適當(dāng)?shù)臈l件是________（只添一個即可）．18．小明在某次投籃中，球的運(yùn)動路線是拋物線的一部分，如圖所示，若球命中籃圈中心，則他與籃底的距離是________．三、計算題：本大題共1小題，共6分。19．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為負(fù)整數(shù)，求此時方程的根．四、解答題：本題共7小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。20．（本小題8分）解下列方程：（1） （2）．21．（本小題7分）如圖，三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）請畫出繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后的；（2）寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；（3）求出（1）中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長．（結(jié)果保留）22．（本小題7分）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例（為常數(shù)，且）的圖象交于，兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求的最小值．23．（本小題6分）為幫助學(xué)生養(yǎng)成熱愛美、發(fā)現(xiàn)美的藝術(shù)素養(yǎng)，某校開展了“一人一藝”的藝術(shù)選修課活動．學(xué)生根據(jù)自己的喜好選擇一門藝術(shù)項目（：書法，：繪畫，：攝影，：泥塑，：剪紙），張老師隨機(jī)對該校部分學(xué)生的選課情況進(jìn)行調(diào)查后，制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖所示）．（1）張老師調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是________名．（2）補(bǔ)全條形圖．（3）現(xiàn)有4名學(xué)生，其中2人選修書法，1人選修繪畫，1人選修攝影，張老師要從這4人中任選2人了解他們對藝術(shù)選修課的看法，請用畫樹狀圖或列表的方法，求所選2人都是選修書法的概率．24．（本小題10分）某大學(xué)生創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊抓住商機(jī)，購進(jìn)一批干果分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本3元．試銷期間發(fā)現(xiàn)每天的銷售量（袋）與銷售單價（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，其中，另外每天還需支付其他各項費(fèi)用80元．銷售單價（元）3.55.5銷售量（袋）280120（1）請直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果每天獲得元的利潤，銷售單價為多少元？（3）設(shè)每天的利潤為元，當(dāng)銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？25．（本小題10分）如圖，在中，是邊上的中線，以為直徑的交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于．（1）求證：；（2）求證：直線是的切線．26．（本小題12分）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接．（1）求此拋物線的解析式；（2）求線段長度的最大值；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)時，求的長．答案和解析1．答案：D解析：解：選項A、B、C都不能找到這樣的一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，選項D能找到這樣的一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，故選：D．根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．本題考查的是中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．2．答案：B解析：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸出的球上的漢字組成“寧安”的結(jié)果數(shù)為2，所以兩次摸出的球上的漢字組成“長垣”的概率．故選：B．畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次摸出的球上的漢字組成“寧安”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．本題考查了列表法與樹狀圖法，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．3．答案：C解析：解：，，，，，，，四邊形是平行四邊形，．故選C．根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似，可證明，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可解得的長，而在中，，問題得解．本題考查了相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，注意對應(yīng)邊的比不要弄錯是解題的關(guān)鍵．4．答案：D解析：解：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，鋼珠的直徑是，鋼珠的半徑是，鋼珠頂端離零件表面的距離為，，在中，，．故選：D．先求出鋼珠的半徑及的長，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在中利用勾股定理即可求出的長，進(jìn)而得出的長．本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．5．答案：B解析：解：（1）拋物線與軸交于兩點(diǎn)，，，拋物線的解析式為：拋物線如圖所示：當(dāng)或時，．故選：B．首先利用待定系數(shù)法中交點(diǎn)式求函數(shù)解析式，然后利用已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合函數(shù)圖象得出的取值范圍．此題主要考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，同時也利用了二次函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．6．答案：D解析：解：設(shè)直角三角板的斜邊與光盤相切于點(diǎn)，連接、、，則，，，由題意得：，，，此光盤的直徑為，故選：D．連接、、，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)正切的定義計算，得到答案．本題考查的是切線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．7．答案：D解析：解：A、把代入得：左邊，右邊，故本選項錯誤，不符合題意；B、，其圖象位于第二、四象限，故本選項錯誤，不符合題意；C、，在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大，故本選項錯誤，不符合題意；D、，點(diǎn)在它的圖象上，則點(diǎn)也在其圖象上，故本選項正確，符合題意；故選：D．把代入即可判斷；根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷、、．本題主要考查對反比例函數(shù)的性質(zhì)的理解和掌握，能熟練地根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵．8．答案：B解析：【分析】本題考查正多邊形與圓的關(guān)系．正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長，邊心距，中心角之間的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．從中心向邊作垂線，構(gòu)建直角三角形，通過解直角三角形可得．【解答】解：設(shè)圓的半徑是，則多邊形的外接圓半徑是，則內(nèi)接正三角形的邊長是，內(nèi)接正方形的邊長是，正六邊形的邊長是，因而半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為．故選：B．9．答案：A解析：解：當(dāng)時，函數(shù)的圖象開口向上，但當(dāng)時，，故B不可能；當(dāng)時，函數(shù)的圖象開口向下，但當(dāng)時，，故C、D不可能．可能的是A．故選：A．本題只有一個待定系數(shù)，且，根據(jù)和分類討論．也可以采用“特值法”，逐一排除．討論當(dāng)時和時的兩種情況，用了分類討論的思想．10．答案：C解析：解：根據(jù)圖象可知：①，，正確；②頂點(diǎn)坐標(biāo)橫坐標(biāo)等于，，正確；③頂點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)為1，；，正確；④當(dāng)時，，錯誤．正確的有3個．故選：C．根據(jù)二次函數(shù)圖象反映出的數(shù)量關(guān)系，逐一判斷正確性．本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，會根據(jù)圖象獲取所需要的信息．掌握函數(shù)性質(zhì)靈活運(yùn)用．11．答案：解析：解：在中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，且，，的面積：的面積，的面積：四邊形的面積，的面積是，四邊形的面積是，故答案為：．由都是中點(diǎn)，可得是的中位線，則，則，且相似比是，則的面積和的面積比是，則的面積：四邊形的面積，結(jié)合已知條件，可得結(jié)論．本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的定理，掌握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．12．答案：解析：解：設(shè)圓錐側(cè)面積展開圖的扇形圓心角為，圓錐的底面圓的周長為：，圓錐側(cè)面積展開圖的扇形弧長為，則，解得：，則圓錐側(cè)面積展開圖的扇形圓心角為，故答案為：．根據(jù)圓的周長公式求出圓錐的底面圓的周長，得到圓錐側(cè)面積展開圖的扇形弧長，根據(jù)扇形弧長公式計算，得到答案．本題考查的是圓錐的計算，掌握扇形弧長公式是解題的關(guān)鍵．13．答案：解析：解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，．．故答案為．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出和度數(shù)，利用三角形外角的性質(zhì)即可．本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決這類問題關(guān)鍵是找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)角，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等量轉(zhuǎn)化角或線段．14．答案：解析：解：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)，且矩形的面積為，所以，即，又反比例函數(shù)的圖象在第二象限內(nèi)，，所以．故答案為：．過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形面積是個定值，再由反比例的函數(shù)圖象所在象限確定出的值．本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義：在反比例函數(shù)的圖象中任取一點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向軸和軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值．15．答案：解析：解：過作于，是邊長為的對邊三角形，，，，，，的面積，陰影部分的面積是，故答案為：．過作于，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，求出，，根據(jù)圖形得出陰影部分的面積，再求出答案即可．本題考查了扇形的面積計算和等邊三角形的性質(zhì)，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．16．答案：2解析：解：，此三角形為直角三角形，這個三角形的內(nèi)切圓半徑．故答案為2．先利用勾股定理的逆定理證明此三角形為直角三角形，然后利用直角三角形內(nèi)切圓的半徑（其中、為直角邊，為斜邊）進(jìn)行計算．本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個內(nèi)角．直角三角形內(nèi)切圓的半徑（其中、為直角邊，為斜邊）．17．答案：（答案不唯一）解析：解：要使與相似，則需添加一個適當(dāng)?shù)臈l件是：（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）．根據(jù)相似三角形的判定定理即可求解．本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．18．答案：4.5解析：解：如圖，把點(diǎn)縱坐標(biāo)代入中得：（舍去負(fù)值），即，所以．令解：把代入中得：，（舍去），米．故答案為：4.5．如圖，實(shí)際是求的距離，而已知，所以只需求出即可；而的長，又是點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以把點(diǎn)的縱坐標(biāo)3.05代入解析式即可解答．本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．19．答案：解：（1）由題意知，，，，，，解得：；（2）且為負(fù)整數(shù)，，則方程為，即或，解得：，．解析：本題考查了根的判別式以及用因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，找出；（2）將代入原方程，利用因式分解法解一元二次方程．（1）由方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根知，據(jù)此列出關(guān)于的不等式，解之可得；（2）由所得的范圍，結(jié)合為負(fù)整數(shù)得出的值，代入方程，再利用因式分解法求解．20．答案：解：（1），，即，則，；（2），，則，或，解得或．解析：（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．21．答案：解：（1）如圖，為所作，（2）、、三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，；（3），所以點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長解析：（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)、、的對應(yīng)點(diǎn)、、，（2）寫出它們的坐標(biāo)；（3）先計算出的長，然后根據(jù)弧長公式計算點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長．本題考查了作圖：旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．22．答案：解：（1）把點(diǎn)代入一次函數(shù)，得，解得，，點(diǎn)代入反比例函數(shù)，得，反比例函數(shù)的表達(dá)式，兩個函數(shù)解析式聯(lián)立列方程組得，解得，，點(diǎn)坐標(biāo)；（2）作點(diǎn)作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，此時的值最小，，，，的最小值為．解析：（1）把點(diǎn)代入一次函數(shù)，即可得出，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，即可得出，兩個函數(shù)解析式聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）作點(diǎn)作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，此時的值最小，然后根據(jù)勾股定理即可求得．本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)相交的有關(guān)問題；軸對稱最短路線問題；解題關(guān)鍵在于點(diǎn)的坐標(biāo)的靈活運(yùn)用．23．答案：50解析：解：（1）張老師調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（名），故答案為：50名；（2）泥塑的人數(shù)（名），（3）把2人選修書法的記為、，1人選修繪畫的記為，1人選修攝影的記為，畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結(jié)果，所選人都是選修書法的結(jié)果有種，所選2人都是選修書法的概率為．（1）由的人數(shù)除以所占百分比即可；（2）用總?cè)藬?shù)減去其它項目的人數(shù)求得泥塑人數(shù)，補(bǔ)全統(tǒng)計圖即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，所選2人都是選修書法的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．24．答案：解：（1）與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）由題意，得，整理，得，解得，．，．答：如果每天獲得160元的利潤，銷售單價為4元；（3）由題意得：，，當(dāng)時，有最大值為240．故當(dāng)銷售單價定為5元時，每天的利潤最大，最大利潤是240元．解析：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意找出等量關(guān)系列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，將