新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.4空間點直線平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面課件新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．了解平面的概念，會用圖形與字母表示平面直觀想象2．能用符號語言描述空間中的點、直線、平面之間的位置關(guān)系直觀想象3．了解基本事實1，2，3，理解基本事實1，2，3的地位與作用直觀想象、邏輯推理|自學(xué)導(dǎo)引|平面的畫法與表示1．平面的畫法畫法我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面當(dāng)平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向當(dāng)平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向圖示2．平面的表示方法(1)用希臘字母表示，如平面α，平面β，平面γ；(2)用代表平面的平行四邊形的四個頂點的大寫英文字母表示，如平面ABCD；(3)用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂點的大寫英文字母表示，如平面AC，平面BD．【預(yù)習(xí)自測】有下列說法：①書桌面是平面；②8個平面重疊后，要比6個平面重疊后厚；③有一個平面的長是100m，寬是90m；④平面是絕對平滑，無厚度，無限延展的抽象概念．其中正確的個數(shù)為 (

)A．0

B．1

C．2

D．3【答案】B【解析】①錯誤，因為平面具有延展性；②錯誤，平面無厚度；③錯誤，因為平面無厚度、大小之分；④正確，符合平面的概念．平面的基本性質(zhì)基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1過__________________的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實2如果一條直線上的________在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?_____基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的__________P∈α，P∈β?________________不在一條直線上兩個點l?α

公共直線α∩β＝l，且P∈l

特別提醒三個推論：推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．【預(yù)習(xí)自測】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)三點可以確定一個平面． (

)(2)一條直線和一個點可以確定一個平面． (

)(3)四邊形是平面圖形． (

)(4)兩條相交直線可以確定一個平面． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√【解析】(1)不共線的三點可以確定一個平面．(2)一條直線和這條直線外一個點可以確定一個平面．(3)四邊形不一定是平面圖形．(4)兩條相交直線可以確定一個平面．|課堂互動|題型1立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化用符號表示下列語句，并畫出圖形．(1)平面α與β相交于直線l，直線a與平面α，β分別相交于點A，B；(2)點A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上．解：(1)用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖1．(2)用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖2．三種語言的轉(zhuǎn)換的注意點(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先注意觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著先用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)要注意符號語言的意義．如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．(3)由符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．1．用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：(1)三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC．解：(1)符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，如圖1．(2)符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，如圖2．圖1圖2

題型2點線共面問題如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a．求證：PQ?α．證明：∵PQ∥a，∴PQ與a確定一個平面β．∴a?β，P∈β．∵P∈b，b?α，∴P∈α．又∵a?α，∴α與β重合．∴PQ?α．解決點線共面問題的基本方法2．如圖，已知直線a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求證：直線a，b，c和l共面．證明：(方法一：輔助平面法)因為a∥b，所以a，b確定一個平面α．因為A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α．又因為A∈l，B∈l，所以l?α．因為C∈l，所以C∈α，所以直線a與點C同在平面α內(nèi)．因為a∥c，所以直線a，c確定一個平面β．因為C∈c，c?β，所以C∈β，即直線a與點C同在平面β內(nèi)．由推論1，可得平面α和平面β重合，則c?α．所以a，b，c，l共面．(方法二：納入平面法)因為a∥b，所以a，b確定一個平面α．因為A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α．又因為A∈l，B∈l，所以l?α．故a，b，l都在平面α內(nèi)，即b在a，l確定的平面內(nèi)．同理可證c在a，l確定的平面內(nèi)．因為過a與l只能確定一個平面，所以a，b，c，l共面于a，l確定的平面．題型3點共線、線共點問題如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l．設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β．求證：AB，CD，l共點(相交于一點)．證明：因為梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰．所以AB，CD必定相交于一點．設(shè)AB∩CD＝M．又因為AB?α，CD?β，所以M∈α，M∈β．所以M∈α∩β．又因為α∩β＝l，所以M∈l．即AB，CD，l共點(相交于一點)．證明點共線的方法(1)首先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3可知，這些點都在兩個平面的交線上．(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在此直線上．證明三線共點的步驟(1)首先說明兩條直線共面且交于一點．(2)說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交．(3)得到交線也過此點，從而得到三線共點．3．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F(xiàn)．求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線．證明：∵AB∥CD，∴AB，CD確定一個平面β．又∵AB∩α＝E，AB?β，∴E∈α，E∈β，即E為平面α與平面β的一個公共點．同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點．∵兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線，∴E，F(xiàn)，G，H四點必定共線．易錯警示應(yīng)用公理或其推論時忽略條件致誤已知A，B，C，D，E五點中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，則A，B，C，D，E五點一定共面嗎？錯解：A，B，C，D，E五點一定共面．因為A，B，C，D共面，所以點A在B，C，D所確定的平面內(nèi)．因為B，C，D，E共面，所以點E也在B，C，D所確定的平面內(nèi)．所以點A，E都在B，C，D所確定的平面內(nèi)，即A，B，C，D，E五點一定共面．易錯防范：錯解忽略了基本事實1中“不在一條直線上的三點”這個重要條件．實際上B，C，D三點有可能共線．正解：①如果B，C，D三點不共線，則B，C，D三點確定一個平面α．因為A，B，C，D共面，所以點A在平面α內(nèi)．因為B，C，D，E共面，所以點E在平面α內(nèi)．所以點A，E都在平面α內(nèi)，即A，B，C，D，E五點一定共面．②如果B，C，D三點共線于l，若A∈l，E∈l，則A，B，C，D，E五點一定共面；若A，E中有且只有一個在l上，則A，B，C，D，E五點一定共面；若A，E都不在l上，則A，B，C，D，E五點可能不共面．|素養(yǎng)達(dá)成|1．立體幾何的三種語言．(體現(xiàn)邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng))圖形語言、符號語言、文字語言是立體幾何的三大語言，要準(zhǔn)確實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換．2．三個基本事實的作用：基本事實1——判定點共面、線共面的依據(jù)；基本事實2——判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；基本事實3——判定點共線、線共點的依據(jù)．3．證明幾點共線的方法：首先考慮兩個平面的交線，再證有關(guān)的點都是這兩個平面的公共點．或先由某兩點作一條直線，再證明其他點也在這條直線上．1．(題型2)能確定一個平面的條件是 (

)A．空間三個點 B．一個點和一條直線C．無數(shù)個點 D．兩條相交直線【答案】D【解析】不在同一條直線上的三個點可確定一個平面，A，B，C條件不能保證有不在同一條直線上的三個點，故不正確．2．(題型1)若直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則

(

)A．l?α B．l?αC．l∩α＝M D．l∩α＝N【答案】A【解析】因為M∈a，a?α，所以M∈α，同理，N∈α．又因為M∈l，N∈l，故l?α．3．(題型2，3)如果空間四點A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是

(

)A．A，B，C，D四點中必有三點共線B．A，B，C，D四點中不存在三點共線C．直線AB與CD相交D．直線AB與CD平行【答案】B【解析】兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點都分別確定一個平面．4．(題型1)設(shè)平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝_______．【答案】