安徽省示范中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

安徽省示范中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖，在正方體A3CD-a4G2中，點(diǎn)E是上底面44GA的中心，則異面直線AE與所成角的余弦值為

()

吟

2.已知4(1,0,0),5(0/,0),C(0,0,1),￡>(1,1,2),則點(diǎn)。到平面ABC的距離為()

A.73B.V2

C.好D.國(guó)

23

3.已知直線/:x-百y+6=0與圓=12交于兩點(diǎn)，過(guò)A,3分別作/的垂線與x軸交于C,。兩點(diǎn)，貝!]

31=

A.2B.3

7

C.-D.4

2

4.2021年11月，鄭州二七罷工紀(jì)念塔入選全國(guó)職工愛(ài)國(guó)主義教育基地名單.某數(shù)學(xué)建模小組為測(cè)量塔的高度，獲得

了以下數(shù)據(jù)：甲同學(xué)在二七廣場(chǎng)A地測(cè)得紀(jì)念塔頂。的仰角為45。，乙同學(xué)在二七廣場(chǎng)8地測(cè)得紀(jì)念塔頂。的仰角為

30。，塔底為C,（A,B,C在同一水平面上，DC，平面ABC）,測(cè)得AB=63m,ZACB=3Q°,則紀(jì)念塔的高CZ>

為（）

A.40mB.63m

C.4073mD.636m

5.與圓Y+V=1和圓爐+丁2-10>+21=0都外切的圓的圓心在（）

A.一個(gè)圓上B.一個(gè)橢圓上

C.雙曲線的一支上D.一條拋物線上

22

6.設(shè)雙曲線C：――==1（?！?力〉0）的左，右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)2,過(guò)工的直線與雙曲線的右支交于A，8兩

點(diǎn),若閨匈=|4同=2閨耳,則雙曲線C的離心率為O

A.4B.2

C?GD.V2

7.下列函數(shù)中，以九為最小正周期，且在上單調(diào)遞減的為。

A.y=tanxB.y=|sinx|

C.y=|cosXD.y=cos2x

22

8.若雙曲線L+2L=i的一個(gè)焦點(diǎn)為（—2,0）,則加的值為（）

3m

A.—不B.-l

C.lD.V?

9.執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出的結(jié)果是（）

99100

A.-----B.-----

100101

10199

C.-----D.-----

100101

10.已知空間向量a=(2,—1,1),b=(-4,x,y),aIIb>則兀一丁=()

A.4B.-4

C.0D.2

11.在矩形ABC。中，AB=8,BC=7,在該矩形內(nèi)任取一點(diǎn)M,則事件“NAMBV90。”發(fā)生的概率為（）

2%71

A.—B.—

77

12兀

C.l-------D.1--

77

12.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2,—l）,且被圓。：爐+9―6x-2y-15=0所截得的弦最短時(shí)的直線/的方程為（）

A.2x-y-6=0B.2x+y—6=0

C.x+2y=0D.x-2y=0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.點(diǎn)加（8,0）到拋物線V=10%上的點(diǎn)的距離的最小值為.

14.數(shù)列｛4｝中，見(jiàn)=一；，2an設(shè)仇=4+”

（1）求證：數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛“〃｝的前"項(xiàng)和T,；

（3）若工］—a”,匕為數(shù)列＜￡＞紅，的前〃項(xiàng)和，求不超過(guò)鳥。21的最大的整數(shù)

15.已知圓錐的高為1,體積為2TC奇，則以該圓錐的母線為半徑的球的表面積為.

16.某校組織了一場(chǎng)演講比賽，五位評(píng)委對(duì)某位參賽選手的評(píng)分分別為9,x,8,j,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8.6,

方差為0.24,則k―y|=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）一個(gè)盒中裝有編號(hào)分別為1、2、3、4的四個(gè)形狀大小完全相同的小球.

（1）從盒中任取兩球，列出所有的基本事件，并求取出的球的編號(hào)之和大于6的概率；

（2）從盒中任取一球，記下該球的編號(hào)。，將球放回，再?gòu)暮兄腥稳∫磺?，記下該球的編?hào)〃，列出所有的基本事件,

并求|a-的概率.

18.（12分）已知數(shù)列｛4｝中,q=3,且滿足氏+1—3a〃=3"+i（"eN*）

（1）求證數(shù)列［上,是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和S,

19.（12分）在①S"="4+1+"（"+1）,〃wN*;②S“+i—a”=S“—2,nwN*;@^Sn+1—（M+l）Sn=—?（?+1）,

“cN*.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.問(wèn)題：已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,%=4,.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式

（2）已知包=-2"an,求數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和Tn.

20.（12分）已知AA3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足（2a-b）sinA+（2b-a）sinB=2csinC.

（1）求角C的大??；

（2）若cosA=",求sin（2A—C）的值.

21.（12分）已知拋物線。的方程為f=8y,點(diǎn)"（0,4）,過(guò)點(diǎn)M的直線交拋物線于兩點(diǎn)

（1）求△043面積的最小值（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

11

（2）而『+“『是否為定值？若是'求出該定值；若不是'說(shuō)明理由

22.（10分）已知圓C的圓心C在直線y=x+2上，且與直線x+2y—8=0相切于點(diǎn)（2,3）.

（1）求圓C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P（4,0）的直線/與圓C交于A3兩點(diǎn)，線段A3的中點(diǎn)為直線/與直線/1：》-5丁-3=0的交點(diǎn)為乂

判斷|PM|?|PN|是否為定值.若是，求出這個(gè)定值，若不是，說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角求解.

【詳解】以。為原點(diǎn)，ZM,DC,為蒼軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,

4(2,0,0),E(l,l,2),^(0,0,2),5(2,2,0)

UUlkuuu

所以AE=(-1,1,2),03=(2,2,—2),

uunuuir

AED[B—4

AE-D[B瓜g3

所以異面直線AE與BDI所成角的余弦值為正.

3

故選：B

2、A

【解析】根據(jù)給定條件求出平面ABC的法向量，再利用空間向量求出點(diǎn)。到平面ABC的距離.

【詳解】依題意，AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),AD=(0,1,2),

,、n-AB=-%+y=0/、

設(shè)平面ABC的法向量〃=(羽％z),貝!)〈,，令x=l,得〃=(1,1,1),

'7n-AC=-x+z=0'7

.…人”4、，,\n-AD\lxl+lx2r-

則點(diǎn)D到平面ABC的距離為d=-------=/==V3,

\n\Vl2+12+12

所以點(diǎn)￡＞到平面ABC的距離為班.

故選：A

3、D

【解析】由題意，圓心到直線的距離〃=-^==3,.?21=262-9=26?.?直線/:x—百y+6=0

:.直線/的

傾斜角為30。，?.?過(guò)A3分別作/的垂線與X軸交于C,D兩點(diǎn)，...\卜CP\L=73=—4，故選D.

4、B

【解析】設(shè)CD=加，先表示出AC,3C,再利用余弦定理即可求解.

如圖所示，ADAC=45,ZCBD=30,ZACB=30°,設(shè)塔高為加，因?yàn)镈C，平面A3C,所以DCLCA,DCLCB,

所以AC=根,5C=W>m,又AB。=AC2+BC--2AC-BCcosZACB,即632=加+3療-2xG機(jī)x租x且，

2

解得m=63.

故選：B.

5、C

【解析】設(shè)動(dòng)圓P的半徑為乙然后根據(jù)動(dòng)圓與兩圓都外切得歸同=2+廣療?=1+r，再兩式相減消去參數(shù)廣，則

滿足雙曲線的定義，即可求解.

【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為P,半徑為r，而圓爐+產(chǎn)=1的圓心為。(0,0),半徑為1；

Hx2+y2-10y+21=0的圓心為尸(0,5),半徑為2

依題意得|P司=2+r,|PQ|=l+r,則歸耳―歸。=(2+廠)—(1+廠)=1<怛。，

所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支

故選：C

6、B

【解析】根據(jù)雙曲線的定義及|耳4|=|/5|=2閨到，求出閨H，⑶到，I傷I，忸閭，再利用余弦定理計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意可知|A用-19I=2a、|%|-|幽|=2a,

又閨A|=|AB|=2閨@且|AB|=|耳目+|月A|,

所以閨聞=8a,忸用=4a,=6a,忸段=2。,

口口64〃2+364—4。264〃2+64/—16a??

BP---------------=-----------------,即Hnc29=4a2，

2x8〃x6a2x8〃x8〃

所以離心率e=f=2.

a

故選：B

7、B

【解析】A.利用正切函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.作出y=的圖象判斷；C.作出y=COSX的圖象判斷；D.作出

y=cos2x的圖象判斷.

【詳解】A.y=tan%是以〃為最小正周期，在］|,%］上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；

y

M

)=|siiix|

B.y=,inX如圖所示：/T

7,由圖象知：函數(shù)是以不為最小

0B廣

正周期，在上單調(diào)遞減，故正確；

y

)=|COST|

C.y=|cosx|如圖所示：,由圖象知：是以不為最小正周

，。至3M

222

期，在11,加］上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；

y

八

)=cos2br

D.y=cos2x如圖所示：\--/\

,由圖象知：是以〃為最小正周期，在

\;/。\;/w

\1/\1/

上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；

故選:B

8、B

【解析】由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，從而可得"=3,〃=Tn,再列方程可求得結(jié)果

22

【詳解】因?yàn)殡p曲線上+乙=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(—2,0),

3m

所以。2=3,從=—加，c=29

所以3+(一機(jī))=4,解得根=—1,

故選：B

9、B

【解析】列舉出循環(huán)的每一步，利用裂項(xiàng)相消法可求得輸出結(jié)果.

【詳解】第一次循環(huán)，左=1>100不成立，S=二一,左=1+1=2；

1x2

第二次循環(huán)，左=2>100不成立，—+左=2+1=3；

1x22x3

第三次循環(huán)，左=3>100不成立，5=-^-+-^-+—,%=3+1=4；

1x22x33x4

以此類推，最后一次循環(huán)，左=100>100不成立，5=-^-+-^—+-^—+1

H-----------------

1x22x33x4100x101

1111111,1100

=1---1------------1------------1-+-------=1----=——，左=100+1=101.

22334100101101101

左=101>100成立，跳出循環(huán)體，輸出s=圖

101

故選：B.

10、A

【解析】根據(jù)空間向量平行求出X,y,進(jìn)而求得答案.

-4=22A=—2

【詳解】因?yàn)椋骸ú?，所以存在?shí)數(shù)2,使得4,%,y)=X(2,-M)n<x=—2=<x=2,則x—y=4.

y=2。=一2

故選：A.

11、D

【解析】利用幾何概型的概率公式，轉(zhuǎn)化為面積比直接求解.

【詳解】以A3為直徑作圓，當(dāng)點(diǎn)拉在圓外時(shí)，ZAMB<9Q°.

12

所以事件"http://例48<90。”發(fā)生的概率為7x8-萬(wàn)"><4-

p=-------------

7x8

故選：D

12、C

【解析】當(dāng)P是弦中點(diǎn)，她能時(shí)，弦長(zhǎng)最短.由此可得直線斜率，得直線方程

【詳解】根據(jù)題意，圓心。為(3,1),當(dāng)CP與直線/垂直時(shí)，點(diǎn)P被圓C所截得的弦最短，此時(shí)左仃=匕匕。=2,

3—2

則直線/的斜率左=一1,則直線/的方程為y+l=—g(x—2),變形可得x+2y=0,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，掌握垂徑定理是求解圓弦長(zhǎng)問(wèn)題的關(guān)鍵

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、755

金21

【解析】設(shè)出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)A—,n,利用兩點(diǎn)間距離公式，配方求出最小值.

)

金21

【詳解】設(shè)拋物線/=10X上的點(diǎn)坐標(biāo)A—,n,則

)

，哈_|/+64=^J_(^_3Qp55,當(dāng)4=30時(shí)，取得最小值，且最小值為

底.

故答案為：755

2+〃

14、(1)證明見(jiàn)解析；(2)4=2———；(3)2021

2

a+n

【解析】⑴將2%=4---1兩邊都加2n,證明一77一n是常數(shù)即可；

⑵求出｛nbn｝的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求解即可；

2

⑶先求出g=〃，再求出的表達(dá)式,利用裂項(xiàng)相消法即可得解.

C.+C"

【詳解】(1)將2。"=。"_1一”一1兩邊都加2〃，得2(4+〃)=q_1+(“-1),而q+l=g,

即有磯+(-1)2又4=%+%則亡=/"〃cN),4/+1=天

所以數(shù)列｛〃｝是首項(xiàng)為公比為;的等比數(shù)列；

(2)由⑴知，bn=(-)",貝!］叨,=”.(▲)"=:，

,1234n—1n

<=萬(wàn)+合+了+吩+H-------T-H------9

2”一i2〃

4n—1n

H--------FH-----------1--------f

口弓+,+252〃2〃+i

因此，三=1111n-J-X―n

：一十一H-------1--------FH----------------—11,

2：23242〃2-12〃2〃+i

2+〃

所以4=2_

~1F

(3)由(2)知2=()",于是得區(qū),=〃_〃=(廠_〃，則c〃=”,

2

g+g+1rr+n+l,1,11

因此,2—3-------=1+—;------r=l+-----------

q;+gn+nn^n+1)nn+1

^2021=(l+：_g)+(l+；T+(l+g_；)+1-^—)+(1+—...........-)=2022———

+(1+

20202021202120222022

所以不超過(guò)g02i的最大的整數(shù)是2021

15、12萬(wàn)

【解析】利用圓錐體積公式可求得圓錐底面半徑廠，利用勾股定理可得母線長(zhǎng)/;根據(jù)球的表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為人母線長(zhǎng)為/,

12TZ-t—___

圓錐體積V=耳乃廠xl=3-,；,廠=,:./=J1+2=幣,

以I為半徑的球的表面積S=4兀F=12〃.

故答案為：12乃.

16、1

【解析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，求得羽兒則問(wèn)題得解.

【詳解】由題可知：8.6=g(9+8+9+x+y),整理得：x+y=17；

0.24=-r(9-8,6)2+(%-8.6)2+(8-8.6)2+(y-8.6)2+(9-8.6)2l=0.24,

5—-

整理得：(%-8.6)2+3-8.6)2=0.52,聯(lián)立方程組得“17x+72=0,

解得x=8或x=9,對(duì)應(yīng)y=9或y=8,故,-丁|=1.

故答案為：1.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)基本事件答案見(jiàn)解析，概率為工；(2)基本事件答案見(jiàn)解析，概率為

68

【解析】（D利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“取出的球的編號(hào)之和大于6”所包含的基本事件數(shù),

利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；

（2）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件'[a-所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式

可求得結(jié)果.

【詳解】（1）記“從盒中任取兩球，取出球的編號(hào)之和大于6”為事件A,

樣本點(diǎn)（1,2）表示“從盒中取出1、2號(hào)球”，且。,2）和（2,1）表示相同的樣本點(diǎn)（以此類推），

則樣本空間為。=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）｝,則4=｛（3,4）｝,

根據(jù)古典概型可知P（A）=\,

從盒中任取兩球，取出球的編號(hào)之和大于6的概率為,；

6

（2）記a\a-b\<ln為事件3,

樣本點(diǎn)（1,2）表示第一次取出1號(hào)球，將球放回，從盒中取出2號(hào)球（以此類推），

則樣本空間

Q=｛（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）｝,

則5=（1,2）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,3）,（4,4）｝,

所以P（3）=f=，，故事件“,―的概率為，.

1688

n

18、（1）證明見(jiàn)解析；an=n-3.

44

【解析】（D根據(jù)等差數(shù)列的定義證明需寧為常數(shù)即可;

（2）利用錯(cuò)位相減法即可求和.

【小問(wèn)1詳解】

由a“+i_3a,=3"i得，宅_%=1,

n+in3"+i3〃

,數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,

3"

—=n,an=n-3"

3"

【小問(wèn)2詳解】

Sn=1X3+2X3?+…+〃x3”①,

3S“=lx32+2x33+...+nx3,!+1@,

①一②得：-2S,,=3+32+33+...+3"—〃X3"+I=3(13〃義3'm=3,,+1-^—，

"1-322

—+了

19、(1)cin=-2n+8

(2)<=(4〃-20)x2"+20

【解析】(1)選①，利用a"+i=Sm-S”化已知等式為--翌=-1,得｛口｝是等差數(shù)列，公差d=—\,求出其

n+Lnn

通項(xiàng)公式后，再由4=邑-3_1(〃22)求得通項(xiàng)公式“，注意q=d；

選②，由4+i=S.M-Sn可變形已知條件得｛??｝是等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式；

SS

選③，已知式兩邊同除以〃("+1),得出3—-^=—1,以下同選①；

n+1n

(2)由錯(cuò)位相減法求和7；

【小問(wèn)1詳解】

選①，

由S"=%+1+”5+1)得Sn=n(Sn+1-Sn)+n(n+l),(n+1)S?-nSn+1=n(n+1),

所以i_?±L=1,gp^±L—_^=—1,

nn+1n+1n

q

所以是等差數(shù)列，公差d=—l,

n

又Si=〃i=%+2,a1=69—=6^=6,所以一^=6一(九一1)=7—M,Sn=n(J-Yi)-ln-n,

一1n

〃22時(shí)%=S〃—S,—=r7n—n2—7(n—1)+(n—I)2=8—2n,%=6也適合

所以為=8-2〃；

選②，

由3+i—%=S〃—2得Sx—S〃—％=，向—？=—2,所以｛4｝等差數(shù)列，公差為—2,又％=4,所以

—2)d—4+(n—2)x(—2)—8—2〃；

選③，

qq

由〃S"+1—(〃+1)S“=TZ(〃+1)得3—i=—1,以下同選①,

n+1n

【小問(wèn)2詳解】

由(1)/=—2"(8—2〃)=(2〃—8)2”,

7；=-6x2+(-4)x2?++(2〃—8)x2",

27；,=-6X22+(-4)X23++(2T?-10)X2"+(2n-8)x2n+1,

兩式相減得-7；=-12+2X22+2X23++2x2"-(2n-8)x2n+1=-12+2(2,,+I-4)-(2/7-8)x2,1+1,

所以7；=(4〃—20)x2"+20

7T

20、(1)C=-

3

⑵空

14

【解析】(1)利用正弦定理、余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得cos。，由此求得C.

(2)先求得sin2A,cos2A,結(jié)合兩角差的正弦公式求得sin(2A—C).

【小問(wèn)1詳解】

(2a—sinA+(2Z?—Q)sinfi=2csinC,

(2a—/?)Q+(2Z?—〃)/?=2/,即+/_/=曲,

a2+b2-c2]_

/.cosC=

2ab2

n

0<C<7i9

3

【小問(wèn)2詳解】

2、/7、/214、/3c1

由cosA=------,可得sinA=------,/.sin2A=2sinAcosA=-------,cos2A=2cos2A—1=一

7777

sin2AcosC-cos2AsinC=生8x--1733百

/.sin(2A-C)=—X------=---------

727214

21、(1)16A/2；

（2）是，該定值」.

【解析】（1）根據(jù)弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可;

（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

顯然直線存在斜率，設(shè)直線A3的方程為：y^kx+4,

Y-+4

所以有V2c二—8日一32=0,設(shè)4>1，%）,3（%2，n2），

%=8y

貝［］有％］+9=8k,玉%--32,

|AB\=Jl+/,｛（尤］+々）2=J1+/?,64公+128=8,1+/,2+1,

|4|

原點(diǎn)到直線,=履+4的距離為：~^=,

△OAB的面積為：S=—x8-Jl+K-12+k~x1=1612+k",

2y/l+k-

當(dāng)左=0時(shí)，S有最小值，最小值為16夜；

【小問(wèn)2詳解】

是定值，理由如下：

88.

由（1）可知：>1=~^2=-T，玉%2=-32,

玉x2

11

-------7--------T

|AM「\BM［

11

—小小I』］）?

11

------------1------------

44

—+16—+16

6464

]]

可