預(yù)習(xí)06向量在幾何和物理中的應(yīng)用舉例（七大考點(diǎn)）

預(yù)習(xí)06向量在幾何和物理中的應(yīng)用舉例一、向量在幾何中的應(yīng)用1.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三個(gè)步驟”.①建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.②通過(guò)向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問(wèn)題.③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.2.用向量證明平面幾何問(wèn)題的兩種基本思路（1）向量的線(xiàn)性運(yùn)算法的四個(gè)步驟：①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；④把計(jì)算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.（2）向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；④利用向量關(guān)系回答幾何問(wèn)題.3.平面向量及三角形的“四心”.設(shè)為所在平面上一點(diǎn),內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，①O為的外心；②O為的重心；③O為的垂心(三角形三邊高的交點(diǎn))；④O為的內(nèi)心二、向量在物理中的應(yīng)用（1）物理問(wèn)題中常見(jiàn)的向量有力、速度、位移等.（2）向量的加減法運(yùn)算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解上.（3）動(dòng)量是向量的數(shù)乘運(yùn)算.（4）功是力與位移的數(shù)量積.用向量解決物理問(wèn)題的一般步驟（1）問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.（2）模型的建立:建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型.（3）參數(shù)的獲得:求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值.（4）問(wèn)題的答案:回到問(wèn)題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.考點(diǎn)01證明線(xiàn)段垂直【方法點(diǎn)撥】（1）基底法：利用圖形特點(diǎn)選擇基底,向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化,用數(shù)量積的運(yùn)算律算出值0;（2）坐標(biāo)法：建立坐標(biāo)系,確定相應(yīng)向量的坐標(biāo),代入數(shù)量積的坐標(biāo)公式算出0【例1】已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求得，由模長(zhǎng)公式計(jì)算可得，即可得出結(jié)論.【詳解】易知，可得，即，且，所以可得的形狀是直角三角形.故選：B【例2】在中，分別為邊上的點(diǎn)，且.設(shè).(1)用表示；(2)用向量的方法證明：.【答案】(1).(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解；（2）由（1）得，根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算即可證明.【詳解】（1）因?yàn)椋?（2）由且，得，所以.【變式11】如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】以為基底，表示，，結(jié)合向量的運(yùn)算可知，進(jìn)而證得結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，即，?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量的應(yīng)用，證明垂直，解題的關(guān)鍵是以為基底，表示，，結(jié)合向量的運(yùn)算可知，利用向量的數(shù)量積即可得證.【變式12】在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，(且)，D為AB的中點(diǎn)，E為的重心，F(xiàn)為的外心．(1)求重心E的坐標(biāo)；(2)用向量法證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出D的坐標(biāo)，根據(jù)重心坐標(biāo)公式即可求出E的坐標(biāo)；（2）求出F的坐標(biāo)，證明即可．【詳解】（1）如圖，∵，，，∴，則由重心坐標(biāo)公式，得；（2）．易知的外心F在y軸上，可設(shè)為．由，得，∴，即．∴．∴，∴，即．【變式13】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為是的中點(diǎn)，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)求的余弦值．(2)若點(diǎn)自點(diǎn)逆時(shí)針沿正方形的邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，在這個(gè)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得？若存在，求出的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在．【分析】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，由于就是的夾角，從而利用向量夾角的坐標(biāo)表示即可求解；（2）根據(jù)向量的共線(xiàn)表示聯(lián)立方程組可求解，分點(diǎn)在上、點(diǎn)在上，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系．則．由于就是的夾角．的余弦值為．（2）設(shè)．．由題得．①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，，舍去．綜上，存在．考點(diǎn)02求夾角問(wèn)題【方法點(diǎn)撥】（1）基底法：利用圖形特點(diǎn)選擇基底,向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化,用公式求解;（2）坐標(biāo)法：建立坐標(biāo)系,確定相應(yīng)向量的坐標(biāo),代入【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn).已知點(diǎn)，.試求的度數(shù).【答案】【分析】求出，根據(jù)數(shù)量積的定義可求解.【詳解】由，得，.其中，故.所以.故答案為：.【例4】如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，B，D分別在x，y軸正半軸上，，，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)(1)若，求AE的長(zhǎng)；(2)若E為AB的中點(diǎn)，AC與DE的交點(diǎn)為M，求．【答案】(1)1(2)【分析】（1）設(shè)，由可得，即可得答案；（2）由圖可知，由向量夾角公式可得答案.【詳解】（1）由題，可得.則.設(shè)，則.因，則.則，故AE的長(zhǎng)為1；（2）若E為AB的中點(diǎn)，則，，又.由圖可知.【變式21】已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為,求的大?。敬鸢浮?20°【分析】由向量的數(shù)量積求夾角即可.【詳解】由條件可得：，所以，所以，所以.【變式22】如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).(1)求和的長(zhǎng)度；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)定義即可求得的長(zhǎng)；利用向量法即可求得的長(zhǎng)度；（2）利用向量夾角的余弦公式即可求得的值.【詳解】（1）是高，，在Rt中，，所以.是中線(xiàn)，，，（2），.另解：過(guò)D作交于，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線(xiàn)，是的中位線(xiàn)，，.【變式23】在長(zhǎng)方形中，，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），利用向量知識(shí)判斷當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，．【答案】當(dāng)為線(xiàn)段的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）時(shí)【分析】以，為基底，表示向量，，利用向量夾角公式求，列方程確定點(diǎn)的位置.【詳解】設(shè)，，取為基底，且，，，為向量與的夾角．∵為線(xiàn)段上一點(diǎn)，∴可設(shè)，∴，而．∴，，，∴，所以或，又，所以，∴當(dāng)為線(xiàn)段的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）時(shí)，．考點(diǎn)03求線(xiàn)段長(zhǎng)度【方法點(diǎn)撥】（1）基底法：利用圖形特點(diǎn)選擇基底,向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化,用公式求解;（2）坐標(biāo)法：建立坐標(biāo)系,確定相應(yīng)向量的坐標(biāo),代入模的坐標(biāo)公式【例5】用向量的方法證明：梯形的中位線(xiàn)等于兩底和的一半．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用向量加法法則，結(jié)合梯形的特征用兩底邊所表示向量表示出中位線(xiàn)所表示向量，即可證結(jié)論.【詳解】如下圖，梯形ABCD中，且為中位線(xiàn)，則，，又，所以，又同向，所以所以梯形的中位線(xiàn)等于兩底和的一半.【例6】如圖，在中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)D，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用可得，由可得，繼而可證明，即得證【詳解】證明：如圖，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)設(shè)，，，，則，，所以，所以.所以，.因?yàn)镋，D，F(xiàn)共線(xiàn)，所以，所以化簡(jiǎn)得.因?yàn)椋?所以.【變式31】如圖，已知中，，，，點(diǎn)是的內(nèi)切圓圓心（即三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)），直線(xiàn)與交于點(diǎn).(1)設(shè)，求和的值；(2)求線(xiàn)段的長(zhǎng).【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，再根據(jù)平面向量線(xiàn)性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可求出，連結(jié)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)求出.【詳解】（1）由于是的平分線(xiàn)，所以，因此，從而，由平面向量基本定理可得，.（2）由（1）可知.由題意，，.由得，即，所以.因此，即，又，，所以，連結(jié)，則是的平分線(xiàn)，因此，從而.【變式32】如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點(diǎn)，BE，BF分別與AC交于R，T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？用向量方法證明你的結(jié)論.【答案】，證明見(jiàn)解析.【分析】由于是對(duì)角線(xiàn)上的兩點(diǎn)，要判斷之間的關(guān)系，只需分別判斷與之間的關(guān)系即可.【詳解】設(shè)，，，則.由，可設(shè)，又，，可設(shè)，∵，∴，綜上，有，即，由于與不共線(xiàn)，則，解得，∴.同理，，.∴.【變式33】如圖，在中，.(1)求的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）確定，，，，計(jì)算得到答案.（2），，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）；，，故，.（2），.考點(diǎn)04求幾何最值【方法點(diǎn)撥】（1）基底法：①利用其底轉(zhuǎn)化向量;②根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)；③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論（2）坐標(biāo)法：①根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);②將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化;③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解【例7】已知正六邊形邊長(zhǎng)為2，是正六邊形的外接圓的一條動(dòng)弦，，P為正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】若是外接圓圓心，是中點(diǎn)，連接，根據(jù)，數(shù)形結(jié)合有、即可求最小值.【詳解】若是外接圓圓心，是中點(diǎn)，連接，如下圖，所以，則，故，而，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線(xiàn)且重合為正六邊形一邊的中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以.故答案為：【例8】如圖，在四邊形中，.若為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，再由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再求二次函數(shù)的最大值即可．【詳解】以為原點(diǎn)，，所在直線(xiàn)分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，則，，，當(dāng)時(shí)，有最大值6．故選：C．【變式41】如圖，在平面四邊形ABCD中，．若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)，即可求得答案.【詳解】由于，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立直角坐標(biāo)系，連接,由于，則≌,而，故，則，則，設(shè)，則，，故，當(dāng)時(shí)，有最小值，故選：B．【變式42】如圖，已知在邊長(zhǎng)為2的正三角形中，點(diǎn)P，Q，R分別在邊，，上，且，則的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律以及定義即可求解.【詳解】設(shè)，則，故，故當(dāng)，取最大值，由于，所以，故最大值為，故答案為：【變式43】如圖，邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在線(xiàn)段BO上運(yùn)動(dòng)，若，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)以及數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【詳解】由得，設(shè)，所以，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故答案為：考點(diǎn)05三角形“四心”問(wèn)題【例9】已知中，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“”是“點(diǎn)為重心”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)重心的向量表示即可求得點(diǎn)為重心；利用點(diǎn)為重心，即可得，可得結(jié)論.【詳解】依題意，則是重心，即充分性成立；若是重心時(shí)，，可得所以，必要性成立，故選：C.【例10】是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】B【分析】根據(jù)給定等式，利用數(shù)量積運(yùn)算律結(jié)合向量減法計(jì)算得判斷作答.【詳解】由得：，即，則有，由，同理可得，因此，，所以是的外心.故選：B【變式51】已知點(diǎn)G是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則G點(diǎn)是三角形ABC的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【答案】D【分析】直接利用平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算和三角形重心的定義，即可判斷點(diǎn)G是△ABC的重心.【詳解】因?yàn)?，所?以GA、GB為鄰邊作平行四邊形GADB，連接GD交AB于點(diǎn)O.如圖所示:則，所以，CO是AB邊上的中線(xiàn)，所以G點(diǎn)是△ABC的重心.故選：D【變式52】若O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線(xiàn)的三點(diǎn)，若點(diǎn)P滿(mǎn)足+λ(λ∈(0，+∞))，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（

）A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心【答案】C【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，通過(guò)向量的線(xiàn)性運(yùn)算求得，由此判斷出的軌跡經(jīng)過(guò)三角形的重心.【詳解】設(shè)線(xiàn)段BC的中點(diǎn)為D，則有)，因此由已知得+λ，即=λ，于是=λ，則，因此P點(diǎn)在直線(xiàn)AD上，又AD是△ABC的BC邊上的中線(xiàn)，因此點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)三角形ABC的重心．故選：C【變式53】已知所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足，且實(shí)數(shù)x，y形成的向量與向量共線(xiàn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必經(jīng)過(guò)的心.（在重心、內(nèi)心、外心、垂心中選擇）【答案】重心【分析】根據(jù)向量平行得到，將變形得到，取的中點(diǎn)，則，從而得到答案.【詳解】與向量共線(xiàn)，故，即，則變形為，即，所以，取的中點(diǎn)，則，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必經(jīng)過(guò)的重心.故答案為：重心考點(diǎn)06力的合成【例11】已知兩個(gè)力，的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為60°，那么的大小為（

）．A．N B．5N C．10N D．N【答案】B【分析】作圖，根據(jù)已知，在直角三角形中，求解即可得出答案.【詳解】

如圖，，，，，.在中，有，所以，的大小為5N.故選：B.【例12】如圖，質(zhì)量為m的物體靜止地放在斜面上，斜面與水平面的夾角為，求斜面對(duì)物體的摩擦力．【答案】見(jiàn)解析【分析】利用，兩邊同乘，根據(jù)數(shù)量積定義和三角形誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得.【詳解】物體受到三個(gè)力：重力（方向豎直向下，大小為mgN），斜面的支持力（方向與斜面垂直向上，大小記為pN），摩擦力（方向與斜面平行向上，大小記為fN）．因?yàn)槲矬w靜止，所以上述三個(gè)力的合力為零，即，則，易知，所以，即，從而．答：斜面對(duì)于物體的摩擦力的大小為，方向與斜面平行向上．【變式61】馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運(yùn)動(dòng)的節(jié)目深受觀眾們的喜愛(ài)，當(dāng)小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態(tài)時(shí)，每只胳膊的拉力大小為，此時(shí)兩只胳膊的夾角為，試估算小猴子的體重（單位）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5【答案】C【分析】可設(shè)兩只胳膊的拉力分別為，，根據(jù)即可求出重力的值，進(jìn)而得出小猴子的體重．【詳解】設(shè)兩只胳膊的拉力分別為，，，，，，解得．小猴子的體重約為．故選：C．【變式62】如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大小為.（注：重力加速度取，精確到0.01N）【答案】N【分析】根據(jù)降落傘勻速下落可知根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大小，則繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量與禮物的重力是一對(duì)相反向量，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】

如圖，設(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為，因?yàn)?，所以在上的投影向量為，所?根繩子拉力的合力為，又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣?，所以，必有，所以，，所以故答案為：N【變式63】如圖，在細(xì)繩l上作用著一個(gè)大小為200N的力，與水平方向的夾角為45°，細(xì)繩上掛著一個(gè)重物，使細(xì)繩的另一端與水平面平行，求物重G的大?。敬鸢浮俊痉治觥孔鲌D，進(jìn)行力（向量）的分解，即可得出答案.【詳解】

設(shè)細(xì)繩作用力為，則，如圖，對(duì)力進(jìn)行分解，可得.根據(jù)力的平衡可知，物重G的大小為.考點(diǎn)07速度、位移的合成【例13】在平面內(nèi)以點(diǎn)O的正東方向?yàn)閤軸正方向，正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，分別求下列位移向量的坐標(biāo)：(1)向量表示沿北偏東移動(dòng)了3個(gè)單位長(zhǎng)度；(2)向量表示沿西北方向移動(dòng)了4個(gè)單位長(zhǎng)度；(3)向量表示沿南偏西移動(dòng)了3個(gè)單位長(zhǎng)度；(4)向量表示沿東南方向移動(dòng)了4個(gè)單位長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)方位角及向量的模長(zhǎng)結(jié)合三角函數(shù)值求解向量坐標(biāo)即可.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄勘硎狙乇逼珫|移動(dòng)了3個(gè)單位長(zhǎng)度，所以向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系中的角度為且模長(zhǎng)為3，所以；（2）因?yàn)橄蛄勘硎狙匚鞅狈较蛞苿?dòng)了4個(gè)單位長(zhǎng)度，所以向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系中的角度為且模長(zhǎng)為4，所以；（3）因?yàn)橄蛄勘硎狙啬掀饕苿?dòng)了3個(gè)單位長(zhǎng)度，所以向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系中的角度為且模長(zhǎng)為3，所以；（4）因?yàn)橄蛄勘硎狙貣|南方向移動(dòng)了4個(gè)單位長(zhǎng)度，所以向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系中的角度為且模長(zhǎng)為4，所以.【例14】一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h.一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，求此時(shí)小貨船航行速度為多少.（

）A．km/h B．km/hC．km/h D．km/h【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：，，，設(shè)合速度為，小貨船航行速度為，水流的速度為，則有所以有，故選：B.【變式71】如圖，一艘船從長(zhǎng)江南岸點(diǎn)A出發(fā)，以km/h的速度垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km/h．(1)試用向量表示江水速度、船速以及該船實(shí)際航行的速度；(2)求船實(shí)際航行速度的大小與方向（方向用與江水速度間的夾角表示）．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)船實(shí)際航行速度的大小為，方向與江水速度間的夾角為【分析】（1）直接利用向量加法的平行四邊形法則作圖即可；（2）利用勾股定理求解船速的實(shí)際大小，在求解直角三角形即可得方向.【詳解】（1）如圖所示，表示船速，表示水速，以為鄰邊作平行四邊形，則表示該船實(shí)際航行的速度；（2）由題意，在中，，則，，所以，所以船實(shí)際航行速度的大小為，方向與江水速度間的夾角為.【變式72】一架飛機(jī)從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達(dá)B地，然后向C地飛行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C兩地相距2000km，求飛機(jī)從B地到C地的位移．【答案】飛機(jī)從B地到C地的位移：南偏西且距離為km.【分析】由題設(shè)有，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求即可.【詳解】如下圖，，則，所以km.又，即，結(jié)合圖易知：在南偏西方位，綜上，飛機(jī)從B地到C地的位移：南偏西且距離為km.【變式73】一條河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度，一艘游船從南岸碼頭點(diǎn)出發(fā)航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是，水流速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸上的點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向.(1)若游船沿到達(dá)北岸點(diǎn)所需時(shí)間為，求的大小和的值；(2)當(dāng)時(shí)，游船航行到北岸的實(shí)際航程是多少？【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)游船的實(shí)際速度為，由速度合成的，根據(jù)求得結(jié)果即可；（2）設(shè)到達(dá)北岸點(diǎn)所用時(shí)間為，根據(jù)計(jì)算長(zhǎng)度，得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)游船的實(shí)際速度為.由，得，.如圖所示速度合成示意圖，由，得，.所以的大小為的值為.（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)到達(dá)北岸點(diǎn)所用時(shí)間為，作出向量加法示意圖如圖所示，由向量數(shù)量積運(yùn)算得：..在Rt中，，從而.所以.故游船的實(shí)際航程為.一、單選題1．已知的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P在（

）A．的內(nèi)部 B．線(xiàn)段AB上 C．直線(xiàn)BC上 D．的外部【答案】D【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合相等向量的幾何意義畫(huà)圖，即可判斷點(diǎn)的位置.【詳解】由題設(shè)，如下圖示，四邊形是平行四邊形，所以P在的外部.故選：D2．四邊形中，，，則四邊形的面積（

）A． B．5 C．10 D．20【答案】B【分析】根據(jù)條件得到，從而得到，結(jié)合向量模長(zhǎng)的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，又，，所以四邊形的面積，故選：B.3．一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知，成角且，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得，則，根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】物體處于平衡狀態(tài)，，即，．故選：D4．在中，，，，，，CN與BM交于點(diǎn)P，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將三角形放到直角坐標(biāo)系當(dāng)中，利用坐標(biāo)法求向量夾角，即可求解.【詳解】解：建立如圖直角坐標(biāo)系，則,得,所以，故選：D.5．如圖，在中，D為的中點(diǎn)，，，是圓心為C、半徑為1的圓的動(dòng)直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算出，設(shè)與的夾角為，得到，根據(jù)，求出答案.【詳解】，又，且，所以．設(shè)與的夾角為，則．因?yàn)?，所以．故選：C．6．設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】先設(shè)，于是得到點(diǎn)O是的重心，則，再結(jié)合三角形面積公式即可求出的面積與的面積，進(jìn)而得到答案.【詳解】不妨設(shè)，如圖所示，根據(jù)題意則，即點(diǎn)O是的重心，取的中點(diǎn)，連接，則三點(diǎn)共線(xiàn)，且，所以邊上的高是邊上的高的倍，，即，同理可得：，，所以有，又因?yàn)椋敲?，故的面積與的面積的比值為.故選：A.二、多選題7．如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn)分別在軸、軸正半軸上（含原點(diǎn)）上滑動(dòng)，則的值可能是（

）A．1 B．C．2 D．【答案】AC【分析】令，由邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn)、分別在軸、軸正半軸上，可得出，的坐標(biāo)，由此可以表示出兩個(gè)向量，由坐標(biāo)運(yùn)算即可求解．【詳解】如圖令，由于故，，如圖，，故，，故，同理可求得，即，，，，故選：AC8．在中，已知，BC、AC邊上的兩條中線(xiàn)AM、BN相交于點(diǎn)P，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的余弦值為 D．【答案】BD【分析】畫(huà)出圖形，由同時(shí)平方可求；同理由同時(shí)平方可求；由，代換成基底向量可求的余弦值；結(jié)合重心性質(zhì)全部代換成可驗(yàn)證選項(xiàng)D.【詳解】如圖所示：由題可知，分別為中點(diǎn)，則，同時(shí)平方得，則，故A錯(cuò)誤；又，同時(shí)平方得，則，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：BD9．點(diǎn)O在所在的平面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則點(diǎn)O為的垂心B．若，則點(diǎn)O為的外心C．若，則1D．若且，則點(diǎn)O是的內(nèi)心【答案】ACD【分析】由可得出，從而可判斷A的正誤；可畫(huà)出圖形，取的中點(diǎn)，連接，可得出，從而判斷B的正誤；可畫(huà)出圖形，設(shè)，分別是，的中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件可得出，從而得出，然后即可判斷C的正誤；根據(jù)條件可得出，從而得出，同理可得出，從而可判斷D的正誤．【詳解】對(duì)A：如圖所示，，則，，，，為的垂心，A正確；對(duì)B：如圖，取的中點(diǎn)，連接，由，則，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，又是的中線(xiàn)，且，為的重心，B錯(cuò)誤；對(duì)C：如圖：，分別是，的中點(diǎn)，由，，，，，，則，，，則，C正確；對(duì)D：如圖，，，，，即為的平分線(xiàn)，同理由得，即為的平分線(xiàn)，為的內(nèi)心，D正確．故選：ACD三、填空題10．點(diǎn)是三角形內(nèi)一點(diǎn)，若，則.【答案】【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，由題意知為的重心，可得，同理，進(jìn)而得出的值.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，由題意知為的重心，則,所以，同理.而，故.故答案為：11．已知兩點(diǎn)分別是四邊形的邊的中點(diǎn)，且，，，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為是【答案】【分析】作，交于點(diǎn)，可知；利用向量線(xiàn)性運(yùn)算可得到，根據(jù)，由向