新教材高中人教A版數(shù)學(xué)必修第2冊課堂作業(yè)第6章平面向量及其應(yīng)用_第1頁
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文檔簡介

第六章平面向量及其應(yīng)用考試時間120分鐘,滿分150分.一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.下列命題中正確的是(D)A.eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BA,\s\up6(→))=0C.0·eq\o(AB,\s\up6(→))=0 D.eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))[解析]起點相同的向量相減,則取終點,并指向被減向量,eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→));eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(BA,\s\up6(→))是一對相反向量,它們的和應(yīng)該為零向量,eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BA,\s\up6(→))=0;0·eq\o(AB,\s\up6(→))=0.2.如圖,a-b等于(C)A.2e1-4e2B.-4e1-2e2C.e1-3e2D.3e1-e2[解析]a-b=e1-3e2.3.設(shè)O,A,M,B為平面上四點,eq\o(OM,\s\up6(→))=λeq\o(OB,\s\up6(→))+(1-λ)eq\o(OA,\s\up6(→)),且λ∈(1,2),則(B)A.點M在線段AB上B.點B在線段AM上C.點A在線段BM上D.O,A,B,M四點共線[解析]eq\o(OM,\s\up6(→))=λeq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(OA,\s\up6(→))-λeq\o(OA,\s\up6(→)),所以eq\o(OM,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))=λ(eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))),eq\o(AM,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→)),由λ∈(1,2)可知,A,B,M三點共線,且B在線段AM上.4.已知a、b、c分別是△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊,b=eq\r(7),c=eq\r(3),B=eq\f(π,6),那么a等于(C)A.1 B.2C.4 D.1或4[解析]在△ABC中,b=eq\r(7),c=eq\r(3),cosB=eq\f(\r(3),2),由余弦定理有b2=a2+c2-2accosB,即7=a2+3-3a,解得a=4或a=-1(舍去).故a的值為4.5.(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a=(1,2),b=(-2,3),c=(4,5),若(a+λb)⊥c,則實數(shù)λ=(C)A.-eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.-2 D.2[解析]a+λb=(1,2)+(-2λ,3λ)=(1-2λ,2+3λ),由(a+λb)⊥c,可得(1-2λ)×4+(2+3λ)×5=0,解得λ=-2.6.在△ABC中,已知sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C,且滿足ab=4,則該三角形的面積為(A.1 B.2C.eq\r(2) D.eq\r(3)[解析]由sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C,得a2+b2-ab=c2,cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)=eq\f(1,2).∵C∈(0°,180°),∴C=60°.∴sinC=eq\f(\r(3),2),∴S△ABC=eq\f(1,2)absinC=eq\r(3).7.在△ABC中,B=60°,C=45°,BC=8,D為BC上一點,且eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\f(\r(3)-1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)),則AD的長為(C)A.4(eq\r(3)-1) B.4(eq\r(3)+1)C.4(3-eq\r(3)) D.4(3+eq\r(3))[解析]由題意知∠BAC=75°,根據(jù)正弦定理,得AB=eq\f(BCsin45°,sin75°)=8(eq\r(3)-1),因為eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\f(\r(3)-1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)),所以BD=eq\f(\r(3)-1,2)BC.又BC=8,所以BD=4(eq\r(3)-1).在△ABD中,AD=eq\r(AB2+BD2-2AB·BD·cos60°)=4(3-eq\r(3)).故選C.8.如圖所示,半圓的直徑AB=4,O為圓心,C是半圓上不同于A,B的任意一點,若P為半徑OC上的動點,則(eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值是(D)A.2 B.0C.-1 D.-2[解析]由平行四邊形法則得eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))=2eq\o(PO,\s\up6(→)),故(eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))=2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→)),又|eq\o(PC,\s\up6(→))|=2-|eq\o(PO,\s\up6(→))|,且eq\o(PO,\s\up6(→)),eq\o(PC,\s\up6(→))反向,設(shè)|eq\o(PO,\s\up6(→))|=t(0≤t≤2),則(eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))=2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].∵0≤t≤2,∴當(dāng)t=1時,(eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))取得最小值-2,故選D.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多個選項是符合題目要求的,全部選對的得5分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分)9.設(shè)向量a,b滿足:|a|=3,|b|=4,a·b=0,以a,b,a-b的模為邊長構(gòu)成三角形,則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)可以是(ABC)A.0或1 B.2或3C.4 D.6[解析]由題意可知該三角形為直角三角形,其內(nèi)切圓半徑恰好為1,它與半徑為1的圓的公共點個數(shù)可能為0個,1個,2個,3個,4個,故選ABC.10.已知m,n是實數(shù),a,b是向量,則下列命題中正確的為(AB)A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,則a=b D.若ma=na,則m=n[解析]對于A和B屬于數(shù)乘對向量與實數(shù)的分配律,正確;對于C,若m=0,則不能推出a=b,錯誤;對于D,若a=0,則m,n沒有關(guān)系,錯誤.故選AB.11.對于△ABC,有如下命題,其中正確的有(ACD)A.若sin2A=sin2B,則△ABCB.若sinA=cosB,則△ABC為直角三角形C.若sin2A+sin2B+cos2C<1,則△D.若AB=eq\r(3),AC=1,B=30°,則△ABC的面積為eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)[解析]對于A,sin2A=sin2B,∴A=B?△ABC是等腰三角形;對于B,由sinA=cosB,∴A-B=eq\f(π,2)或A+B=eq\f(π,2).∴△ABC不一定是直角三角形,B錯誤;對于C,sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C,∴a2+b2<c2,∴△ABC為鈍角三角形,C正確;對于D,如圖所示,由正弦定理,得sinC=eq\f(c·sinB,b)=eq\f(\r(3),2).而c>b,∴C=60°或C=120°,∴A=90°或A=30°,∴S△ABC=eq\f(1,2)bcsinA=eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4),D正確.故選ACD.12.給出下列四個命題,其中正確的選項有(ABC)A.非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b的夾角是30°B.若(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)))=0,則△ABC為等腰三角形C.若單位向量a,b的夾角為120°,則當(dāng)|2a+xb|(x∈R)取最小值時x=D.若eq\o(OA,\s\up6(→))=(3,-4),eq\o(OB,\s\up6(→))=(6,-3),eq\o(OC,\s\up6(→))=(5-m,-3-m),∠ABC為銳角,則實數(shù)m的取值范圍是m>-eq\f(3,4)[解析]A中,令eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b.以eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形OACB.∵|a|=|b|=|a-b|,∴四邊形OACB為菱形,∠AOB=60°,∠AOC=30°,即a與a+b的夾角是30°,故A正確;B中,∵(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)))=0,∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|2=|eq\o(AC,\s\up6(→))|2,故△ABC為等腰三角形,故B正確;C中,∵(2a+xb)2=4a2+4xa·b+x2b2=4+4xcos120°+x2=x2-2x+4=(x-1)2+3,故|2a+xb|取最小值時x=1.故C正確;D中,∵eq\o(BA,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))=(3,-4)-(6,-3)=(-3,-1),eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))=(5-m,-3-m)-(6,-3)=(-1-m,-m),又∠ABC為銳角,∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0,即3+3m+m>0,∴m>-eq\f(3,4).又當(dāng)eq\o(BA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))同向共線時,m=eq\f(1,2),故當(dāng)∠ABC為銳角時,m的取值范圍是m>-eq\f(3,4)且m≠eq\f(1,2),故D不正確.故選ABC.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.(2019·全國卷Ⅲ)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2a-eq\r(5)b,則cos〈a,c〉=__eq\f(2,3)__.[解析]由題意,得cos〈a,c〉=eq\f(a·2a-\r(5)b,|a|·|2a-\r(5)b|)=eq\f(2a2-\r(5)a·b,|a|·\r(|2a-\r(5)b|2))=eq\f(2,1×\r(4+5))=eq\f(2,3).14.設(shè)向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,則|a|2+|b|2+|c|2的值是__4__.[解析]由于a⊥b,由此畫出以a,b為鄰邊的矩形ABCD,如圖所示,其中,eq\o(AD,\s\up6(→))=a,eq\o(AB,\s\up6(→))=b,∵a+b+c=0,∴eq\o(CA,\s\up6(→))=c,eq\o(BD,\s\up6(→))=a-b.∵(a-b)⊥c,∴矩形的兩條對角線互相垂直,則四邊形ABCD為正方形.∴|a|=|b|=1,|c|=eq\r(2),|a|2+|b|2+|c|2=4.15.(2018·浙江,13)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=eq\r(7),b=2,A=60°,則sinB=__eq\f(\r(21),7)__,c=__3__.[解析]由正弦定理,得eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB),∴eq\f(\r(7),sin60°)=eq\f(2,sinB),得sinB=eq\f(\r(21),7),由余弦定理,得cosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc)=eq\f(4+c2-7,4c)=eq\f(1,2),解得c=3.16.(2020·江西弋陽一中高二月考)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,已知(a+b-c)·(a+b+c)=3ab,且c=4,則△ABC面積的最大值為__4eq\r(3)__.[解析](a+b-c)(a+b+c)=(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2=3ab,∴a2+b2-c2=ab.又∵a2+b2-c2=2abcosC,∴2abcosC=ab,∴cosC=eq\f(1,2),∵C∈(0,π),∴C=eq\f(π,3).由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,∴16=a2+b2-2abcoseq\f(π,3)=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,∴ab≤16.∴△ABC面積的最大值S=eq\f(1,2)absinC≤eq\f(1,2)×16×sineq\f(π,3)=4eq\r(3).四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=4,cosA=eq\f(3,4),sinB=eq\f(5\r(7),16),c>4.(1)求b;(2)求△ABC的周長.[解析](1)因為a=4,cosA=eq\f(3,4),sinB=eq\f(5\r(7),16),所以sinA=eq\r(1-cos2A)=eq\f(\r(7),4),所以由正弦定理可得:b=eq\f(asinB,sinA)=eq\f(4×\f(5\r(7),16),\f(\r(7),4))=5.(2)因為由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA,可得:16=25+c2-2×5×c×eq\f(3,4),整理可得:2c2-15解得:c=6或eq\f(3,2)(由c>4,舍去),所以△ABC的周長=a+b+c=4+5+6=15.18.(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長;(2)設(shè)實數(shù)t滿足(eq\o(AB,\s\up6(→))-teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))=0,求t的值.[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))=(3,5),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-1,1),求兩條對角線的長即求|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))|與|eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))|的大小.由eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))=(2,6),得|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))|=2eq\r(10),由eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))=(4,4),得|eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))|=4eq\r(2).(2)eq\o(OC,\s\up6(→))=(-2,-1),∵(eq\o(AB,\s\up6(→))-teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))-teq\o(OC,\s\up6(→))2,易求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))=-11,eq\o(OC,\s\up6(→))2=5,∴由(eq\o(AB,\s\up6(→))-teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))=0得t=-eq\f(11,5).19.(本小題滿分12分)(2020·全國Ⅱ卷理)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsin(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周長的最大值.[解析](1)由正弦定理和已知條件得BC2-AC2-AB2=AC·AB,①由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA,由①,②得cosA=-eq\f(1,2).因為0<A<π,所以A=eq\f(2π,3).(2)由正弦定理及(1)得eq\f(AC,sinB)=eq\f(AB,sinC)=eq\f(BC,sinA)=2eq\r(3),從而AC=2eq\r(3)sinB,AB=2eq\r(3)sin(π-A-B)=3cosB-eq\r(3)sinB.故BC+AC+AB=3+eq\r(3)sinB+3cosB=3+2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B+\f(π,3))).又0<B<eq\f(π,3),所以當(dāng)B=eq\f(π,6)時,△ABC周長取得最大值3+2eq\r(3).20.(本小題滿分12分)△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是邊BC的中點,BE⊥AD,垂足為E,延長BE交AC于F,連接DF,求證:∠ADB=∠FDC.[解析]如圖,B為原點,BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)A(0,2),C(2,0),則D(1,0),eq\o(AC,\s\up6(→))=(2,-2).設(shè)eq\o(AF,\s\up6(→))=λeq\o(AC,\s\up6(→)),則eq\o(BF,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(AF,\s\up6(→))=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又eq\o(DA,\s\up6(→))=(-1,2),eq\o(BF,\s\up6(→))⊥eq\o(DA,\s\up6(→)),∴eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))=0,∴-2λ+2(2-2λ)=0,∴λ=eq\f(2,3).∴eq\o(BF,\s\up6(→))=(eq\f(4,3),eq\f(2,3)),eq\o(DF,\s\up6(→))=eq\o(BF,\s\up6(→))-eq\o(BD,\s\up6(→))=(eq\f(1,3),eq\f(2,3)).又eq\o(DC,\s\up6(→))=(1,0),∴cos∠ADB=eq\f(\o(DA,\s\up6(→))·\o(DB,\s\up6(→)),|\o(DA,\s\up6(→))|·|\o(DB,\s\up6(→))|)=eq\f(\r(5),5),cos∠FDC=eq\f(\o(DF,\s\up6(→))·\o(DC,\s\up6(→)),|\o(DF,\s\up6(→))|·|\o(DC,\s\up6(→))|)=eq\f(\r(5),5),又∠ADB,∠FDC∈(0,π),∴∠ADB=∠FDC.21.(本小題滿分12分)如圖所示,甲船以每小時30eq\r(2)nmile的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當(dāng)甲船位于A1處時,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處,此時兩船相距20nmile.當(dāng)甲船航行20min到達(dá)A2處時,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處,此時兩船相距10eq\r(2)nmile,問乙船每小時航行多少nmile?[解析]解法一:如圖,連接A1B2,由題意知A2B2=10eq\r(2)nmile,A1A2=30eq\r(2)×eq\f(20,60)=10eq\r(2)nmile.所以A1A2=A2B2又∠A1A2B2所以△A1A2B2是等邊三角形所以A1B2=A1A2=10eq\r(2)nmile.由題意知,A1B1=20nmile,∠B1A1B2在△A1B2B1中,由余弦定理,得B1Beq\o\al(2,2)=A1Beq\o\al(2,1)+A1Beq\o\al(2,2)-2A1B1·A1B2·cos45°=202+(10eq\r(2))2-2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)=200.所以B1B2=10eq\r(2)nmile.因此,乙船速度的大小為eq\f(10\r(2),20)×60=30eq\r(2)(nmile/h).答:乙船每小時航行30eq\r(2)nmile.解法二:如下圖所示,連接A2B1,由題意知A1B1=20nmile,A1A2=30eq\r(2)×eq\f(20,60)=10eq\r(2)nmile,∠B1A1A2=105°,又cos105°=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°=eq\f(\r(2)1-\r(3),4),sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=eq\f(\r(2)1+\r(3),4),在△A2A1B1中,由余弦定理,得A2Beq\o\al(2,1)=A1Beq\o\al(2,1)+A1Aeq\o\al(2,2)-2A1B1·A1A2·cos105°=202+(10eq\r(2))2-2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2)1-\r(3),4)=100(4+2eq\r(3)),所以A2B1=10(1+eq\r(3))nmile由正弦定理,得sin∠

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