高等數學（財經類） 課件 第六章 微分方程

§6.1

微分方程基本概念

第六章微分方程CONTENT目錄1微分方程定義2

微分方程得解例1.

例1.

例2.

例3.

例3.

如含有未知函數的導數(或微分)的方程稱為未知函數是一元函數的方程為方程中所出現(xiàn)的導數的最高階數稱為微分方程.常微分方程;未知函數是多元函數的方程為偏微分方程.微分方程的階.一階一階二階一階

一般的n階微分方程為或已解出最高階導數定義

9代入微分方程能使方程成為恒等式的函數稱為微分方程的解.微分方程的解的分類(1)通解微分方程的解中含有任意常數,且任意常數的個數與微分方程的階數相同.(2)特解確定了通解中任意常數以后的解.如方程通解通解特解特解10初始條件用來確定任意常數的附加條件.如前例,一階方程二階方程的初始條件表示為的初始條件表示為即為初始條件，例4.

§6.2

一階微分方程

CONTENT目錄1可分離變量微分方程3一階線性微分方程2

一階齊次微分方程

轉化

可分離變量微分方程解分離變量方程

可分離變量方程形如的一階微分方程叫做可分離變量方程

.兩邊積分,則有即形如的方程都叫做可分離變量方程.可化為已分離變量形式求解.或

分離變量方程的解法:設y＝

(x)

是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0

時,說明由②確定的隱函數y＝

(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當F’(x)=f(x)≠0時,上述過程可逆,由②確定的隱函數x＝

(y)也是①的解.可分離變量方程，求解步驟：(變量分離法)1、分離變量,得2、兩邊積分,得3、求出通解隱函數確定的微分方程的解微分方程的隱式通解例5.例5.例6.例6.例7.二、齊次方程形如的方程叫做一階齊次微分方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替

u,便得原方程的通解.解法:分離變量:例8例8例9例928一階線性微分方程的標準形式上面方程稱為上面方程稱為如線性的;非線性的.齊次的;非齊次的.線性一階

自由項一階線性微分方程特點：右邊是已知函數，左邊每項中僅含29齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)(C1為任意常數),lnd)(||ln1CxxPy+-=ò302.線性非齊次方程線性齊次方程是線性非齊次方程的特殊情況.設想非齊次方程

待定函數線性齊次方程的通解是的解是31從而C(x)滿足方程32即一階線性非齊次微分方程的通解為常數變易法把齊次方程通解中的常數變易為待定函數的方法..)()(dd的解是xQyxPxy=+33用常數變易法解一般的一階線性非齊次方程得到通解公式(10)：注解一階線性微分方程，可以直接利用這個公式，也可以用常數變易法.對應齊次方程通解非齊次方程特解

上式表明

非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和

例10例11例12例12§6.3

可降階的高階微分方程

CONTENT目錄1高階微分方程定義3

型的微分方程4

型的微分方程2

型的微分方程

一、高階微分方程

定義：二階及二階以上的微分方程統(tǒng)稱為高階微分方程。一般形式為：

或對于有些特殊的高階微分方程，我們可以通過某種變換降為較低階微分方程加以求解，所以稱為“降階法”。

下面我們介紹三種容易降階的高階微分方程的求解方法：

二、型的微分方程解法：特點：等式右端僅含有自變量x在兩邊積分則同理可得例14.解:

求微分方程

的通解。

對方程

兩端同時積分得再一次對上式兩端積分即為原方程得通解。

三、

型的微分方程特點：右端不含y

解法：降階令

代入原方程得若已求得其通解為回代

得變量可分離的一階方程積分得例15.例15.例16.例16.四、

型的微分方程特點：方程中不明顯地含有自變量x（右端不含x）降階解法：令由復合函數求導法則得代入原方程得這是一個關于y，p的一階方程若已求得它的通解為變量可分離的一階方程積分得即得原方程的通解.例17例17例17§6.4

高階線性微分方程

CONTENT目錄1高階線性微分方程概念2二階常系數齊次線性微分方程

n階線性微分方程的一般形式為時，當

稱式為n階齊次線性微分方程.時,稱式為n階非齊次線性微分方程.當

一、高階線性微分方程定理1.如果是齊次線性微分方程的兩個解，則也是方程的解，其中為任意常數。為了解決齊次線性微分方程通解問題，我們需要引入一個新的概念，即所謂函數的線性相關和線性無關。定義:是定義在區(qū)間

I上的n個函數，則稱這n個函數在

I上線性相關；否則稱為線性無關。

例如，

在(

,

)上都有故它們在任何區(qū)間I上都線性相關;使得若存在不全為0的常數設說明：對于兩個函數的情形，它們線性相關與否，只要看它們的比是否為常數，如果比是常數，那么它們就是線性相關；否則線性無關。定理2.如果是微分方程的n個線性無關的特解，則齊次線性微分方程的通解為其中為任意常數。例18.例19.二、二階常系數齊次線性微分方程形如的方程稱為二階常系數齊次線性微分方程，其中p,q為常數和它的導數只差常數因子,其根稱為特征根.因為r為常數時，函數所以令的解為

稱為微分方程的特征方程,1.當則微分因此方程的通解為：時,有兩個相異實根方程有兩個線性無關的特解:(r為待定常數)代入得2.當時,特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根所以可以取u=x,則得因此原方程的通解為2.