四年級下冊數(shù)學(xué)競賽試題第05講-割補法巧算面積（人教版）含詳解

第第頁第五講割補法巧算面積在上一講中，我們學(xué)習(xí)了如何計算格點圖形的面積，介紹了正方形格點圖形和三角形格點圖形的面積計算公式．根據(jù)公式，我們可以求出正方形格點圖形的面積是最小正方形面積的幾倍，或者求出三角形格點圖形面積是最小正三角形面積的幾倍．隨著幾何學(xué)習(xí)的步步深入，大家會發(fā)現(xiàn)除了用公式法直接求面積之外，還有很多間接求面積的方法．尤其是對于不規(guī)則圖形，我們并不知道這些圖形的面積公式，但是可以把它們通過分割、添補等各種方式變換為規(guī)則的圖形．例題1圖中的數(shù)字分別表示對應(yīng)線段的長度，試求下面多邊形的面積．（單位：厘米）1122345「分析」這是一個不規(guī)則圖形，我們能不能把它切成很多規(guī)則的小塊，一塊一塊地求面積呢？

練習(xí)1圖中的數(shù)字分別表示對應(yīng)線段的長度，試求下面多邊形的面積．（單位：厘米）3324341249我們可以看到，在沒有格點的情況下，割補的方法仍然可以使用．我們將來做幾何面積計算時，就要視情況靈活運用割補法．例題2如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)部有一個長方形EFGH．已知正方形ABCD的邊長是6厘米，圖中線段AE、AH都等于2厘米．求長方形EFGH的面積．AABCDEHFG「分析」所求長方形的長、寬都是未知且不可求的，但是正方形面積以及周圍四個直角三角形面積都是可以計算出來的，那么長方形面積怎么計算呢？ABCABCDEF如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)部有三角形CEF．已知正方形ABCD的邊長是6厘米，圖中線段AE、AF都等于2厘米．求三角形CEF的面積．例題3如圖所示，大正方形的邊長為10厘米．連接大正方形的各邊中點得小正方形，將小正方形每邊三等分，再將三等分點與大正方形的中心和一個頂點相連，那么圖中陰影部分的面積總和等于多少平方厘米？「分析」陰影部分零零散散，能不能通過割補的方法把它變成規(guī)則的圖形嗯？練習(xí)3如圖所示，大正三角形的面積為10平方厘米．連接大正三角形的各邊中點得到四個小正三角形，取各個小正三角形的中心，再將每個小正三角形的中心和頂點相連，得到三個一樣的小三角形，那么圖中陰影部分的面積總和等于多少平方厘米？例題4圖1圖2如圖，把兩個相同的正三角形的各邊分別三等分和四等分，并連接這些等分點．已知圖1圖1圖2「分析」圖1和圖2中最小正三角形的面積是不一樣的，但兩個大正三角形面積卻是一樣的，你能求出大正三角形的面積嗎？

練習(xí)4圖1圖2如圖，把兩個同樣大小的正方形分別分成和圖1圖2例題4中的陰影部分都是同樣形狀的花圖形，我們不能直接看出花圖形和大正三角形的面積之間有什么倍數(shù)關(guān)系，但是借助一塊塊小正三角形，我們把花圖形和大正三角形之間聯(lián)系起來，看看它們各自占了多少個小正三角形．找到面積之間的聯(lián)系，是解決類似問題的鑰匙．有些圖形看起來沒有分割成一些相同的小圖形，實際上不過是將分割線隱藏起來或者只出現(xiàn)了其中的一部分，需要我們自己進行分割．例題5如圖，在兩個相同的等腰直角三角形中各作一個正方形，如果正方形A的面積是36平方厘米，那么正方形B的面積是多少平方厘米？AAB「分析」乍一看上去和例題2有些相似，我們能不能求出大等腰直角三角形的面積呢？它的面積和正方形A、B之間有什么關(guān)系呢？

例題645o345o37「分析」這個四邊形并不規(guī)則，直接求面積似乎有些困難．我們已經(jīng)知道了其中的三個角，其中有直角也有45°角．你能從這兩種“特殊角”發(fā)現(xiàn)圖形的特點嗎？課堂內(nèi)外畢式定理據(jù)說畢達(dá)哥拉斯有次應(yīng)邀參加一位富有政要的餐會，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著正方形美麗的大理石地磚，由于大餐遲遲不上桌，這些饑腸轆轆的貴賓頗有怨言；但這位善于觀察和理解的數(shù)學(xué)家卻凝視腳下這些排列規(guī)則、美麗的方形瓷磚，但畢達(dá)哥拉斯不僅僅是欣賞瓷磚的美麗，而是想到它們和數(shù)之間的關(guān)系，于是拿了畫筆并且蹲在地板上，選了一塊瓷磚以它的對角線AB為邊畫一個正方形，他發(fā)現(xiàn)這個正方形面積恰好等于兩塊瓷磚的面積和．他很好奇……于是再以兩塊瓷磚拼成的矩形之對角線作另一個正方形，他發(fā)現(xiàn)這個正方形之面積等于5塊瓷磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和．至此畢達(dá)哥拉斯作了大膽的假設(shè)：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和．那一頓飯，這位古希臘數(shù)學(xué)大師，視線都一直沒有離開地面．這就是著名的畢式定理：在任何一個直角三角形中（等腰直角三角形也算在內(nèi)），兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方．實際上，早在畢達(dá)哥拉斯之前，許多民族已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這個事實，而且巴比倫、埃及、中國、印度等的發(fā)現(xiàn)都有真憑實據(jù)，有案可查．相反，畢達(dá)哥拉斯的著作卻什么也沒有留傳下來，關(guān)于他的這個故事都是后人輾轉(zhuǎn)傳播的．可以說真?zhèn)坞y辨．這個現(xiàn)象的確不太公平，之所以這樣，是因為現(xiàn)代的數(shù)學(xué)和科學(xué)來源于西方，而西方的數(shù)學(xué)及科學(xué)又來源于古希臘，古希臘流傳下來的最古老的著作是歐幾里得的《幾何原本》，而其中許多定理再往前追溯，自然就落在畢達(dá)哥拉斯的頭上．他常常被推崇為“數(shù)論的始祖”，而在他之前的泰勒斯被稱為“幾何的始祖”，西方的科學(xué)史一般就上溯到此為止了．至于希臘科學(xué)的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，畢達(dá)哥拉斯定理這個名稱一時半會兒改不了．不過，在中國，因為我們的老祖宗也研究過這個問題，因此稱為商高定理，更普遍地則稱為勾股定理．中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．作業(yè)下圖中的數(shù)字分別表示對應(yīng)線段的長度，圖中多邊形的面積是多少？

33243412423333如下圖所示，在正方形ABCD內(nèi)部有梯形EHGF．已知正方形ABCD的邊長是6厘米，圖中線段AE、AH、BF、DG都等于2厘米．則梯形EHGF的面積是多少平方厘米？

AABCDEHFG如圖所示，平行四邊形的面積是12，把一條對角線四等分，將四等分點與平行四邊形另外兩個頂點相連．圖中陰影部分的面積總和是多少？

下圖中空白部分的面積是100，那么陰影正方形的面積是多少？

如圖所示，正六邊形ABCDEF的面積是36．陰影正六邊形的面積是多少？

BBCDEFA第五講割補法巧算面積例題1答案：32平方厘米122345122345詳解：對這個圖形進行簡單分割后，分別求面積再相加．

122345122345例題2答案：16平方厘米詳解：正方形面積是36平方厘米，三角形AEH、FCG的面積是2平方厘米，三角形EBF、GDH的面積是8平方厘米．長方形EFGH的面積是平方厘米．例題3答案：50平方厘米詳解：首先可把小正方形中間的陰影部分添補到相對應(yīng)的空白處，中間小正方形的面積等于四個角上的陰影三角形的面積和．可連接正方形對邊的中點，也可以把四個三角形向中間對折都可以說明陰影部分的面積是正方形面積的一半，即為平方厘米.例題4答案：27平方厘米詳解：圖1中大三角形被分成9塊，陰影部分面積占3塊，面積是48平方分米，那么每個小三角面積是16平方分米，大三角形面積是平方分米．

圖2中大三角形被分成了16塊，那么每個小三角形的面積是平方分米，陰影部分面積是平方分米．例題5答案：32平方厘米AB詳解：對圖形進行如左圖的分割，通過第一個圖，我們知道等腰直角三角形的面積是72平方厘米．那么第二個圖中每個小三角形面積是8平方厘米，正方形B的面積是32平方厘米．

AB例題6答案：20平方厘米45o37詳解：如圖所示，把原圖添補成一個大的等腰直角三角形．需要將多余的小直角三角形去掉才是原圖．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面積是平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面積是平方厘米．所以四邊形的面積是平方厘米．45o37練習(xí)1答案：78平方厘米3243412324341249練習(xí)2答案：10平方厘米

詳解：正方形面積是36平方厘米，三角形AEF的面積是2平方厘米，三角形BEC、DFC的面積都是12平方厘米．三角形EFC的面積是平方厘米．練習(xí)3答案：5簡答：大正三角形被分成12塊，陰影部分占6塊，占總個數(shù)的一半，面積為5平方厘米．練習(xí)4答案：150簡答：

圖1中大正方形被分成25塊，陰影部分面積占18塊，面積是162，那么每個小正方形面積是9，大正方形面積是．

圖2中大正方形被分成了9塊，那么每個小正方形的面積是，陰影部分面積是．作業(yè)1答案：84簡答：平方厘米．

作業(yè)2答案：18簡答：首先求出大正方形的面積，再求出各個角上的小三角形的邊長和面積．然后把大正方形的面積減去四個小三角形的面積就得梯形的面積．作業(yè)3答案：6簡答：將右上兩個