四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第05講-割補(bǔ)法巧算面積（人教版）含詳解

第第頁(yè)第五講割補(bǔ)法巧算面積在上一講中，我們學(xué)習(xí)了如何計(jì)算格點(diǎn)圖形的面積，介紹了正方形格點(diǎn)圖形和三角形格點(diǎn)圖形的面積計(jì)算公式．根據(jù)公式，我們可以求出正方形格點(diǎn)圖形的面積是最小正方形面積的幾倍，或者求出三角形格點(diǎn)圖形面積是最小正三角形面積的幾倍．隨著幾何學(xué)習(xí)的步步深入，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)除了用公式法直接求面積之外，還有很多間接求面積的方法．尤其是對(duì)于不規(guī)則圖形，我們并不知道這些圖形的面積公式，但是可以把它們通過(guò)分割、添補(bǔ)等各種方式變換為規(guī)則的圖形．例題1圖中的數(shù)字分別表示對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度，試求下面多邊形的面積．（單位：厘米）1122345「分析」這是一個(gè)不規(guī)則圖形，我們能不能把它切成很多規(guī)則的小塊，一塊一塊地求面積呢？

練習(xí)1圖中的數(shù)字分別表示對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度，試求下面多邊形的面積．（單位：厘米）3324341249我們可以看到，在沒(méi)有格點(diǎn)的情況下，割補(bǔ)的方法仍然可以使用．我們將來(lái)做幾何面積計(jì)算時(shí)，就要視情況靈活運(yùn)用割補(bǔ)法．例題2如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)部有一個(gè)長(zhǎng)方形EFGH．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是6厘米，圖中線段AE、AH都等于2厘米．求長(zhǎng)方形EFGH的面積．AABCDEHFG「分析」所求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬都是未知且不可求的，但是正方形面積以及周?chē)膫€(gè)直角三角形面積都是可以計(jì)算出來(lái)的，那么長(zhǎng)方形面積怎么計(jì)算呢？ABCABCDEF如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)部有三角形CEF．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是6厘米，圖中線段AE、AF都等于2厘米．求三角形CEF的面積．例題3如圖所示，大正方形的邊長(zhǎng)為10厘米．連接大正方形的各邊中點(diǎn)得小正方形，將小正方形每邊三等分，再將三等分點(diǎn)與大正方形的中心和一個(gè)頂點(diǎn)相連，那么圖中陰影部分的面積總和等于多少平方厘米？「分析」陰影部分零零散散，能不能通過(guò)割補(bǔ)的方法把它變成規(guī)則的圖形嗯？練習(xí)3如圖所示，大正三角形的面積為10平方厘米．連接大正三角形的各邊中點(diǎn)得到四個(gè)小正三角形，取各個(gè)小正三角形的中心，再將每個(gè)小正三角形的中心和頂點(diǎn)相連，得到三個(gè)一樣的小三角形，那么圖中陰影部分的面積總和等于多少平方厘米？例題4圖1圖2如圖，把兩個(gè)相同的正三角形的各邊分別三等分和四等分，并連接這些等分點(diǎn)．已知圖1圖1圖2「分析」圖1和圖2中最小正三角形的面積是不一樣的，但兩個(gè)大正三角形面積卻是一樣的，你能求出大正三角形的面積嗎？

練習(xí)4圖1圖2如圖，把兩個(gè)同樣大小的正方形分別分成和圖1圖2例題4中的陰影部分都是同樣形狀的花圖形，我們不能直接看出花圖形和大正三角形的面積之間有什么倍數(shù)關(guān)系，但是借助一塊塊小正三角形，我們把花圖形和大正三角形之間聯(lián)系起來(lái)，看看它們各自占了多少個(gè)小正三角形．找到面積之間的聯(lián)系，是解決類(lèi)似問(wèn)題的鑰匙．有些圖形看起來(lái)沒(méi)有分割成一些相同的小圖形，實(shí)際上不過(guò)是將分割線隱藏起來(lái)或者只出現(xiàn)了其中的一部分，需要我們自己進(jìn)行分割．例題5如圖，在兩個(gè)相同的等腰直角三角形中各作一個(gè)正方形，如果正方形A的面積是36平方厘米，那么正方形B的面積是多少平方厘米？AAB「分析」乍一看上去和例題2有些相似，我們能不能求出大等腰直角三角形的面積呢？它的面積和正方形A、B之間有什么關(guān)系呢？

例題645o345o37「分析」這個(gè)四邊形并不規(guī)則，直接求面積似乎有些困難．我們已經(jīng)知道了其中的三個(gè)角，其中有直角也有45°角．你能從這兩種“特殊角”發(fā)現(xiàn)圖形的特點(diǎn)嗎？課堂內(nèi)外畢式定理?yè)?jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯有次應(yīng)邀參加一位富有政要的餐會(huì)，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著正方形美麗的大理石地磚，由于大餐遲遲不上桌，這些饑腸轆轆的貴賓頗有怨言；但這位善于觀察和理解的數(shù)學(xué)家卻凝視腳下這些排列規(guī)則、美麗的方形瓷磚，但畢達(dá)哥拉斯不僅僅是欣賞瓷磚的美麗，而是想到它們和數(shù)之間的關(guān)系，于是拿了畫(huà)筆并且蹲在地板上，選了一塊瓷磚以它的對(duì)角線AB為邊畫(huà)一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形面積恰好等于兩塊瓷磚的面積和．他很好奇……于是再以?xún)蓧K瓷磚拼成的矩形之對(duì)角線作另一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形之面積等于5塊瓷磚的面積，也就是以?xún)晒蔀檫呑髡叫蚊娣e之和．至此畢達(dá)哥拉斯作了大膽的假設(shè)：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和．那一頓飯，這位古希臘數(shù)學(xué)大師，視線都一直沒(méi)有離開(kāi)地面．這就是著名的畢式定理：在任何一個(gè)直角三角形中（等腰直角三角形也算在內(nèi)），兩條直角邊的長(zhǎng)度的平方和等于斜邊長(zhǎng)度的平方．實(shí)際上，早在畢達(dá)哥拉斯之前，許多民族已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)事實(shí)，而且巴比倫、埃及、中國(guó)、印度等的發(fā)現(xiàn)都有真憑實(shí)據(jù)，有案可查．相反，畢達(dá)哥拉斯的著作卻什么也沒(méi)有留傳下來(lái)，關(guān)于他的這個(gè)故事都是后人輾轉(zhuǎn)傳播的．可以說(shuō)真?zhèn)坞y辨．這個(gè)現(xiàn)象的確不太公平，之所以這樣，是因?yàn)楝F(xiàn)代的數(shù)學(xué)和科學(xué)來(lái)源于西方，而西方的數(shù)學(xué)及科學(xué)又來(lái)源于古希臘，古希臘流傳下來(lái)的最古老的著作是歐幾里得的《幾何原本》，而其中許多定理再往前追溯，自然就落在畢達(dá)哥拉斯的頭上．他常常被推崇為“數(shù)論的始祖”，而在他之前的泰勒斯被稱(chēng)為“幾何的始祖”，西方的科學(xué)史一般就上溯到此為止了．至于希臘科學(xué)的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，畢達(dá)哥拉斯定理這個(gè)名稱(chēng)一時(shí)半會(huì)兒改不了．不過(guò)，在中國(guó)，因?yàn)槲覀兊睦献孀谝惭芯窟^(guò)這個(gè)問(wèn)題，因此稱(chēng)為商高定理，更普遍地則稱(chēng)為勾股定理．中國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．作業(yè)下圖中的數(shù)字分別表示對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度，圖中多邊形的面積是多少？

33243412423333如下圖所示，在正方形ABCD內(nèi)部有梯形EHGF．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是6厘米，圖中線段AE、AH、BF、DG都等于2厘米．則梯形EHGF的面積是多少平方厘米？

AABCDEHFG如圖所示，平行四邊形的面積是12，把一條對(duì)角線四等分，將四等分點(diǎn)與平行四邊形另外兩個(gè)頂點(diǎn)相連．圖中陰影部分的面積總和是多少？

下圖中空白部分的面積是100，那么陰影正方形的面積是多少？

如圖所示，正六邊形ABCDEF的面積是36．陰影正六邊形的面積是多少？

BBCDEFA第五講割補(bǔ)法巧算面積例題1答案：32平方厘米122345122345詳解：對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單分割后，分別求面積再相加．

122345122345例題2答案：16平方厘米詳解：正方形面積是36平方厘米，三角形AEH、FCG的面積是2平方厘米，三角形EBF、GDH的面積是8平方厘米．長(zhǎng)方形EFGH的面積是平方厘米．例題3答案：50平方厘米詳解：首先可把小正方形中間的陰影部分添補(bǔ)到相對(duì)應(yīng)的空白處，中間小正方形的面積等于四個(gè)角上的陰影三角形的面積和．可連接正方形對(duì)邊的中點(diǎn)，也可以把四個(gè)三角形向中間對(duì)折都可以說(shuō)明陰影部分的面積是正方形面積的一半，即為平方厘米.例題4答案：27平方厘米詳解：圖1中大三角形被分成9塊，陰影部分面積占3塊，面積是48平方分米，那么每個(gè)小三角面積是16平方分米，大三角形面積是平方分米．

圖2中大三角形被分成了16塊，那么每個(gè)小三角形的面積是平方分米，陰影部分面積是平方分米．例題5答案：32平方厘米AB詳解：對(duì)圖形進(jìn)行如左圖的分割，通過(guò)第一個(gè)圖，我們知道等腰直角三角形的面積是72平方厘米．那么第二個(gè)圖中每個(gè)小三角形面積是8平方厘米，正方形B的面積是32平方厘米．

AB例題6答案：20平方厘米45o37詳解：如圖所示，把原圖添補(bǔ)成一個(gè)大的等腰直角三角形．需要將多余的小直角三角形去掉才是原圖．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面積是平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面積是平方厘米．所以四邊形的面積是平方厘米．45o37練習(xí)1答案：78平方厘米3243412324341249練習(xí)2答案：10平方厘米

詳解：正方形面積是36平方厘米，三角形AEF的面積是2平方厘米，三角形BEC、DFC的面積都是12平方厘米．三角形EFC的面積是平方厘米．練習(xí)3答案：5簡(jiǎn)答：大正三角形被分成12塊，陰影部分占6塊，占總個(gè)數(shù)的一半，面積為5平方厘米．練習(xí)4答案：150簡(jiǎn)答：

圖1中大正方形被分成25塊，陰影部分面積占18塊，面積是162，那么每個(gè)小正方形面積是9，大正方形面積是．

圖2中大正方形被分成了9塊，那么每個(gè)小正方形的面積是，陰影部分面積是．作業(yè)1答案：84簡(jiǎn)答：平方厘米．

作業(yè)2答案：18簡(jiǎn)答：首先求出大正方形的面積，再求出各個(gè)角上的小三角形的邊長(zhǎng)和面積．然后把大正方形的面積減去四個(gè)小三角形的面積就得梯形的面積．作業(yè)3答案：6簡(jiǎn)答：將右上兩個(gè)