高中數(shù)學(xué)-化歸與轉(zhuǎn)化思想

考點(diǎn)回顧化歸與轉(zhuǎn)化的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問題的思想。轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式的變換過程，化歸是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題?；瘹w轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法，堪稱數(shù)學(xué)思想的精髓，它滲透到了數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的各個(gè)領(lǐng)域和解題過程的各個(gè)環(huán)節(jié)中。轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與不等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實(shí)質(zhì)是一樣的，不等價(jià)轉(zhuǎn)則部分地改變了原對(duì)象的實(shí)質(zhì)，需對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正。應(yīng)用化歸轉(zhuǎn)化思想解題的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡(jiǎn)，盡量是等價(jià)轉(zhuǎn)化。常見的轉(zhuǎn)化有：1、等與不等的相互轉(zhuǎn)化等與不等是數(shù)學(xué)中兩個(gè)重要的關(guān)系，把不等問題轉(zhuǎn)化成相等問題，可以減少運(yùn)算量，提高正確率；把相等問題轉(zhuǎn)化為不等問題，能突破難點(diǎn)找到解題的突破口。2、正與反的相互轉(zhuǎn)化對(duì)于那些從“正面進(jìn)攻”很難奏效或運(yùn)算較難的問題，可先攻其反面，從而使正面問題得以解決。3、特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化對(duì)于那些結(jié)論不明或解題思路不易發(fā)現(xiàn)的問題，可先用特殊情形探求解題思路或命題結(jié)論，再在一般情況下給出證明，這不失為一種解題的明智之舉。4、整體與局部的相互轉(zhuǎn)化整體由局部構(gòu)成，研究某些整體問題可以從局部開始。5、高維與低維的相互轉(zhuǎn)化事物的空間形成，總是表現(xiàn)為不同維數(shù)且遵循由低維想高維的發(fā)展規(guī)律，通過降維轉(zhuǎn)化，可把問題有一個(gè)領(lǐng)域轉(zhuǎn)換到另一個(gè)領(lǐng)域而得以解決，這種轉(zhuǎn)化在復(fù)數(shù)與立體幾何中特別常見。6、數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化通過挖掘已知條件的內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)式子的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性解決問題，使問題簡(jiǎn)化。7、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化經(jīng)典例題剖析例1、設(shè)，．（Ⅰ）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，恒有．解析：（Ⅰ）討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值只需求出的導(dǎo)數(shù)即可解決；（Ⅱ）要證當(dāng)時(shí)，恒有，可轉(zhuǎn)化為證時(shí)，亦即轉(zhuǎn)化為時(shí)恒成立；因，于是可轉(zhuǎn)化為證明，即在上單調(diào)遞增，這由（Ⅰ）易知。答案：（Ⅰ）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有，故，于是，列表如下：20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值．（Ⅱ）證明：由知，的極小值．于是由上表知，對(duì)一切，恒有．從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．所以當(dāng)時(shí)，，即．故當(dāng)時(shí)，恒有．點(diǎn)評(píng)：對(duì)于證明在區(qū)間恒成立問題，常運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為證明在區(qū)間上恒成立，令，即可轉(zhuǎn)化為在上，這樣只需求出在區(qū)間上的最小值即可解決之。這種化歸轉(zhuǎn)化的思想方法在近幾年高考中經(jīng)常用到。例、設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明，其中為正整數(shù)．解：方法二：由（1）可知，因?yàn)?，所?．由可得，即 兩邊開平方得 ．即 為正整數(shù)．例、在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，則_____．例、若一條直線與一個(gè)正四棱柱各個(gè)面所成的角都為，則＝______解：不妨認(rèn)為這個(gè)正四棱柱為正方體，與正方體的所有面成角相等時(shí)，為與相交于同一頂點(diǎn)的三個(gè)相互垂直的平面所成角相等，即為對(duì)角線與該正方體所成角.故.點(diǎn)評(píng)：象這種“特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化”在高考的選擇題和填空題中經(jīng)常應(yīng)用例、已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：解析：（1）通過求導(dǎo)得出切線的斜率，從而由點(diǎn)斜式較易寫出切線方程；（2）由（1）易得過點(diǎn)的曲線的切線方程，曲線有三條切線可轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故只需的極大值大于零且的極小值小于零。答案：解：（1）的導(dǎo)數(shù)．曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即．（2）如果有一條切線過點(diǎn)，則存在，使．若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．記，則．當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：0＋0－0＋增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則即 ．點(diǎn)評(píng)：將證明不等式的問題通過等價(jià)轉(zhuǎn)化化歸為函數(shù)的極值問題來討論，這是近年來高考試題中常出現(xiàn)的一種類型。例、已知函數(shù)（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；解析：（Ⅰ）求出的導(dǎo)函數(shù)，易得的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）易知是偶函數(shù)，于是對(duì)任意成立可等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為在上的最小值大于零，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍。答案：解：（Ⅰ）由得，所以． 由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是， 由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是． （Ⅱ）由可知是偶函數(shù)． 于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立． 由得． ①當(dāng)時(shí)，． 此時(shí)在上單調(diào)遞增． 故，符合題意． ②當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：x－0＋單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，．依題意，，又．綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．選擇題：1.若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．2.函數(shù)的圖象關(guān)于（）A、原點(diǎn)對(duì)稱B、x軸對(duì)稱C、y軸對(duì)稱D、直線y＝x對(duì)稱3.若、滿足，則有A．最小值和最大值1B．最小值和最大值1C．最小值但無最大值D．最大值1，但無最小值4.若關(guān)于的不等式≤＋4的解集是M，則對(duì)任意實(shí)常數(shù)，總有：（）A、2∈M，0∈M；B、2M，0M；C、2∈M，0M；D、2M，0∈M．5.若不等式x2＋ax＋10對(duì)于一切x（0，）成立，則a的取值范圍是_________6.若，則點(diǎn)的軌跡是A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線填空題：7.P（x，y）在直線x＋2y－3＝0上運(yùn)動(dòng)，則x2＋y2的最小值是________．8.在－6，4，－2，0，1，3，5，7這8個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為虛數(shù)的實(shí)部和虛部，則所組成的所有不同虛數(shù)中，模大于5的虛數(shù)的個(gè)數(shù)是________．解答題：9.已知函數(shù)，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

解析答案：1.C解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)恒成立。當(dāng)時(shí)有對(duì)恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使對(duì)恒成立，必須且，解得。綜上，故選C.2.A解析：函數(shù)定義域滿足，∴f(x)為奇數(shù)，∴選A．3.B解析：因、滿足，故可設(shè)，，則＝，所以的最大值為1，最小值為，故選B。4.A解析：方法1：代入判斷法，將分別代入不等式中，判斷關(guān)于的不等式解集是否為；方法2：求出不等式的解集：≤＋4；故選A。5.解析：設(shè)f（x）＝x2＋ax＋1，則對(duì)稱軸為x＝，若，即a－1時(shí)，則f（x）在〔0，〕上是減函數(shù)，應(yīng)有f（）0－x－1；若0，即a0時(shí)，則f（x）在〔0，〕上是增函數(shù)，應(yīng)有f（0）＝10恒成立，故a0若0，即－1a0，則應(yīng)有f（）＝恒成立，故－1a0綜上，有－a。6.C解析：由得，由雙曲線的定義知點(diǎn)的軌跡是雙曲線。故選C。7.解析：x2＋y2為原點(diǎn)與直線x＋2y－3＝0上的點(diǎn)距離的平方，其最小值為原點(diǎn)到直線x＋2y－3＝0距離的平方．8.32個(gè)解析：當(dāng)a＝0時(shí)，b可?。?，7；當(dāng)a≠0時(shí)，從－6，－4，－2，1，3，5，7中任取2個(gè)作為a、b，共個(gè)，其中不合格的是從－4，－2，1，3中任取2個(gè)共個(gè)．∴模大于5的不同虛數(shù)共2＋個(gè)．17.本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識(shí)，以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力．解：（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，且，，即的取值范圍是．高考數(shù)學(xué)試題十分重視