2023-2024學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題1（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市徐i匚區(qū)高二下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.已知直線Lx-V-I=O,則直線/的傾斜角的大小為.

【正確答案】45°

【詳解】由直線/的方程x-yT=0可知直線的斜率Z=I，設(shè)直線/的傾斜角內(nèi)α,則

tana=1,

X0o≤α<180o,所以a=450?

2.橢圓2∕+3y2=6的焦距為.

【正確答案】2

【分析】根據(jù)題意，將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，然后得到從而得到J即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)闄E圓2/+3)2=6,即工+?=1,

32

所以。2=/一從=3一2=1,即c=l,

所以焦距為2c=2.

故2

3.拋物線V=2x的準(zhǔn)線方程為.

【正確答案】x=-；

【分析】拋物線V=2px的準(zhǔn)線方程為X=,由此得到題目所求準(zhǔn)線方程.

【詳解】拋物線∕=2x的準(zhǔn)線方程是x=-g.

本小題主要考查拋物線的準(zhǔn)線方程，拋物線V=2px的準(zhǔn)線方程為X=,直接利用公式

可得到結(jié)果.屬于基礎(chǔ)題.

4.雙曲線E-￡=1的漸近線方程為.

436

【正確答案】y=±3χ

【分析】令三-2=0,化簡即可得解.

436

【詳解】令《-￡=0,可得漸近線方程為y=±3χ,

436

故答案為.y=±3χ

5.己知圓?√+V=5和點(diǎn)A(2,T),則過點(diǎn)A的圓的切線方程為.

【正確答案】2x-y-5=0

【分析】經(jīng)分析不存在切線斜率不存在的情況，設(shè)出切線方程：y=Z(x-2)-l,根據(jù)相切

時(shí)圓心到直線的距離為圓的半徑求解出k的值，即可寫出切線方程.

【詳解】設(shè)切線方程為：y=k[x-i)-?,

因?yàn)橄嗲袝r(shí)圓心到直線的距離為半徑，所以后=畢口，解得k=2,

√l÷jt2

所以切線方程為：y=2(x-2)-i,即2x-y-5=0.

故答案為2x—y-5=0.

本題考查根據(jù)直線與圓相切求解切線方程，難度一般.求解切線方程時(shí)，注意考慮切線的斜

率是否存在：斜率不存在時(shí)，需單獨(dú)分析；斜率存在時(shí)利用圓心到直線的距離等于半徑求解.

6.已知直線/過點(diǎn)(TO)且與直線2x-y=0垂直，則圓χ2+∕-4x+8y=0與直線/相交所得

的弦長為一

【正確答案】2而

先求出直線/的方程，再求出圓心C與半徑廠，計(jì)算圓心到直線/的距離d,由垂徑定理求弦

長∣AB∣.

【詳解】解：由題意可得，/的方程為x+2y+l=0,

X2+-4x+8y=0可化為(x-2)-+(y+4)^=20,圓心(2,—4),半徑r=2?∣5,

圓心(2,-4)到/的距離d=晨+”=√5,

.?.AB=2√r2-rf2=2√20-5=2√f5?

故2√i?.

本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用問題，考查兩條直線垂直以及直線與圓相交所得弦長的計(jì)算

問題，屬于基礎(chǔ)題.

7.若直線∕∣:XCoSe+2y=0與直線4：3x+ysin?+3=0垂直，則sin26=.

12

【正確答案】

【分析】由兩直線垂直求出tan。的值，然后利用二倍角的正弦公式結(jié)合弦化切的思想可求

出sin26的值.

【詳解】由于直線∕∣：XCOSe+2y=0與直線4：3x+ysin?+3=。垂直，則3cos6+2sin0=0,

32sin0cos0_2tan12

可得tan。二一」,二.sin2。=2sinJcosO二

2Sin26+cos2θtan20+113'

、.

故答案為.-12

本題考查二倍角正弦值的計(jì)算，涉及利用兩直線垂直求參數(shù)以及弦化切思想的應(yīng)用，考查運(yùn)

算求解能力，屬于中等題.

8.已知6,K是橢圓「的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A在「上，且NZAK=90,延長A4交「于點(diǎn)8,若

IAM=IA用，則橢圓「的離心率e=.

【正確答案】√6

【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義結(jié)合條件表示出I,然后在RtAEK中由勾股定理可

得a，c的關(guān)系，結(jié)合離心率的公式即可得到結(jié)果.

22

根據(jù)題意，不妨設(shè)橢圓方程為5+馬=1,設(shè)IA圖=X,則∣A6∣=24-x,

ab

因?yàn)镹ZA鳥=90。，且∣A8∣=kE∣,所以AABg為等腰直角三角形,

i^?BF2?=2a-?BFl?=4a-2x=y∕2x,故χ=4α-2√∑α,

2+∣A∕^2,222

在Rt44鳥中，情片「=|4凰βp4c=(2√2α-20)+(4a-2√2a),

化簡可得4c2=36∕-24億2,即/=￡=36-248=9-6&,且ew(0,l),

Cr4

所以e=J9-6>∕^=?/e—?/?

故答案為：√6-√3

2

9.已知曲線C：x=-y∣4-y,直線1：x=6.若對于點(diǎn)A(m,0),存在C上的點(diǎn)P和1上的

點(diǎn)Q使得AP+AQ=O,則m的取值范圍為

【正確答案】[2,3]

根據(jù)藕意可設(shè)1-2,。)，Q(6.b)(6€R),

則.1戶_(?r-.4。-(6-m.6)t所以

【詳解】療+R-(6-?r-2，”."+6)-(0.0),所以

_6+x

6+x-2m=0解得因?yàn)?€[-2.0L

所以m€[2.3].

故答案為⑵3].

<22?________

10.已知曲線「：?-?-l√x2+∕-9=0,要使直線y=〃z(加eR)與曲線「有四個(gè)不

I4?/

同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【正確答案】1-3,-句e停3)

2”2

【分析】由題意知曲線「為當(dāng)r上-二7=0時(shí)f+y2-9≥0;當(dāng)V+y2-9=0;由此即可

45

畫出曲線「的圖像，借助圖像由直線y=m(meR)與曲線「有四個(gè)不同的交點(diǎn)即可求出實(shí)數(shù)

機(jī)的取值范圍.

/22?________

【詳解】由曲線F:春-1次+/-9=0及題意,知x,y∈[-3,3].

如圖所示，曲線「表示的是一個(gè)圓與雙曲線的一部分,

解得y=±g,

要使直線y=小eR)與曲線「有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，可得"z{-3,-?∣)陪,3

故答案為1-3,一IMQ)

22

11.已知橢圓C:^+2=l(a>〃>0),C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為的，尸2,離心率為;.過

K且垂直于AF2的直線與C交于O,E兩點(diǎn)，IDEh6,則VAOE的周長是.

【正確答案】13

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為二+E=1,B∣J3X2+4∕-12C2=0,根據(jù)離心率得

到直線AE的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線OE的斜率，寫出直線DE的方程：

X=氐-c，代入橢圓方程#+4),2-12/=O,整理化簡得到：13y2-66cy-9c2=0,利用弦

長公式求得C==,得〃=2c==,根據(jù)對稱性將Vg的周長轉(zhuǎn)化為E的周長，利

用橢圓的定義得到周長為44=13.

【詳解】；橢圓的離心率為e=￡=《，.?.α=2c,,U=/-2=302,.?.橢圓的方程為

a2

22

?+/I,BP3√+4√-12C2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為￡,右焦點(diǎn)為鳥，如圖所示，

TT

'：AF2=a,OF2=c,α=2c,.?.NAEO=y,.?.ZV165為正三角形，：過片且垂直于AF2的

直線與C交于￡?,E兩點(diǎn),OE為線段4尼的垂直平分線，.?.直線OE的斜率為正，斜率倒

3

數(shù)為6，直線Z)E的方程：x=y[3y-c,代入橢圓方程3∕+4),J12∕=O,整理化簡得到：

13,y2-6√3cy-9c2=O,

判另IJ式A=(6√5c)2+4xl3x9∕=62χl6χc"

?,?IQEl=J1+(@?yl-y2?=2×^-=2×6×4×-^=6,

.13zp,C13

..C=—,得〃=2C=丁，

84

￡>E為線段AE的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DF2,AE=EKVAOE的周長等于

E的周長，利用橢圓的定義得到a∕y?E周長為

I叫+閩+|。EHDF2?+?EF21+|叫+1%HDFl?+?DF21+∣EF1?+?EF2?=2a+2a=4a=?3.

故13.

12.已知拋物線V=2px(x>0),尸(2,1)為拋物線內(nèi)一點(diǎn)，不經(jīng)過P點(diǎn)的直線，：y=2x+，"與

拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，直線4尸、8P分別交拋物線于C、。兩點(diǎn)，若對任意直線/,總存

在4,使得AP=/IPC，Bp=XPo(2>O,∕l≠l)成立，則。=.

【正確答案】2

【分析】設(shè)Aa,χ),3(毛,%),C(x0%),仇孫/)，根據(jù)AP=∕IPCBP=/IP。推出

>-l+y2+2(γ3+y4)=2(l+Λ),結(jié)合點(diǎn)在拋物線上可得y+必=。，%+”=P，即可求得P，

即得答案.

【詳解】由題意設(shè)Aa,為),3(々,%),(西≠Λ2),C(Λ3,y3),β(x4,y4),(Λ3≠X4)，

由AP=λPC可得：(2-XI,I->>I)=Λ(X3-2,y3-l),

X1+Λx,=2+22x2+Ax4=2+22

可得:'?1?，同理可得:

y+Zy3=1+Z%+丸典=1+2

Λ,+?+Λ(Λ?+X)=4(1+Λ)x+Ax=x+Ax

則：\41324

),

y1+J2+Λ(y3+y4)=2(1+2yι÷^Λ=y2÷?

則q=山

X1-X2JC3-X4

將AB兩點(diǎn)代入拋物線方程得K=2內(nèi),￡=Ipx1,

2L2LA

作差可得：5A(y+%)=2p,而直線∕h=2x+機(jī)與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，∈=2,

即y+%=P，

同理可得，%+>4=P,代入(*)，可得P=2,

故2

二、單選題

13.已知直線4：x+ay-2=0,l2?.(a+Y)x-ay+?=0,則α=-2是∕∣〃4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】先利用兩直線平行的公式求出“，再確定充分性和必要性即可.

【詳解】當(dāng)時(shí)，一a=α(α+l),解得α=0或。=一2,

當(dāng)α=-2時(shí)，直線∕∣：x-2y-2=0,∕2:-x+2y+l=0,此時(shí)兩直線不重合，

當(dāng)α=0時(shí)，直線4㈠-2=O,l2?.x+l=0,此時(shí)兩直線不重合，

即4=0或α=-2時(shí)，∕∣〃4，

故α=-2是4〃4的充分不必要條件.

故選：A.

14.已知拋物線方程V=4x,過點(diǎn)P(l,2)的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有()

A.0條B.1條C.2條D.3條

【正確答案】C

【分析】考慮直線斜率存在A=O,ZxO和不存在三種情況，設(shè)直線方程為y=%(χ-l)+2,

聯(lián)立方程，根據(jù)A=O得到答案.

【詳解】點(diǎn)P在拋物線上，易知當(dāng)直線斜率不存在時(shí)不滿足；

當(dāng)直線斜率k=()時(shí)，易知y=2滿足條件;

當(dāng)直線斜率存在且ZHO時(shí).，設(shè)直線方程為y=Mx-l)+2,即y=依-Z+2,

y=kx-k+2

，整理得到，fcy2-4y-4?+8=0,

V=4x?

Δ=(-4)2-4?(-4?+8)=0,解得k=l,直線方程為>=xT.

綜上所述：滿足條件的直線有2條.

故選：C

15.已知實(shí)數(shù)演，巧，X，%滿足x：+y：=4,%+y：=4,xlx2+yly2=0,則

IXI+乂-4+|々+丫2-4|的最大值是()

A.6B.8C.6√2D.12

【正確答案】D

【分析】采用數(shù)形結(jié)合法，將所求問題轉(zhuǎn)化為A8兩點(diǎn)到直線x+y-4=0的距離和的0倍,

結(jié)合梯形中位線性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系可求.

由x；+y；=4,jq+y；=4,xγx2+yxy2=0,可知，點(diǎn)4(%,兇)3(孫方)在圓上，由

xlx2+yly2=0=>OA±OB,即為等腰直角三角形，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式"=也浮1

√2

可理解為點(diǎn)到直線x+y-4=0的距離，變形得∣x+y-4∣=√id,即所求問題可轉(zhuǎn)化為A,B兩

點(diǎn)到直線x+y-4=0的距離和的正倍，作AM，/于〃47_1_/于汽，AB中點(diǎn)為E,MN中

點(diǎn)為F,由梯形中位線性質(zhì)可得，IAMMBNI=2∣EF∣,作。7,EF于T,OCL/于C,連接OE,

則IEFklET∣+附=IETI+∣OC∣≤∣EO∣+∣OC∣,當(dāng)且僅當(dāng)T與。重合，EQ(T),C三點(diǎn)共線時(shí)，IEFl

有最大值，由點(diǎn)到直線距離公式可得|。。=爰=2及，由幾何性質(zhì)可得IOEl=3,

?EF?ma=?0C?+?0E?=3^2,此時(shí)IAM+1BM=2∣EF∣=6√Σ,故%-4|+|毛+%-4的最大值為

√2-6√2=12.

故選：D

16.已知曲線C:^A-y?y?=l,夕(々,九)為C上一點(diǎn)，

①-%的取值范圍為［-2,2］；

②x：+y；的取值范圍為［LR);

③不存在點(diǎn)P(?.y0),使得?-2%=-1；

④,-2%+碼的取值范圍為(62√∑+√η.

則上述命題正確的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【正確答案】C

【分析】對于①，分段化簡方程，得到圖形，數(shù)形結(jié)合得到①錯(cuò)誤；對于②，數(shù)形結(jié)合，結(jié)

合橢圓性質(zhì)得到②正確；對于③，根據(jù)漸近線性質(zhì)及圖形可得③正確；對于④，利用

∣?-2%+閩的幾何意義，結(jié)合三角換元得到，-2%+叫的取值范圍.

--y2=l(x≥O,y≥θ)

【詳解】對于①，曲線?-y∣y∣=ι得至U,:+V=ι(χ≥o,y<o),

丈2

y2-γ=l(x<0,y<0)

畫出圖形如下：其中x-2y=0為漸近線,

由曲線和圖形可知XoeR,故①錯(cuò)誤;

對于②，J?+M可看做曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,顯然無最大值,

當(dāng)點(diǎn)夕(知兒)位于橢圓9+V=ι(χ≥o,y<o)上時(shí),距離原點(diǎn)的距離取得最小值,

則考+尤=焉+ι-4=ι+理,故當(dāng)玉>=o時(shí)，片+尤取得最小值，最小值為1,

則x：+犬的取值范圍為［1,+功，②正確；

對于③，因?yàn)橹本€x-2y=-1與漸近線x-2y=0平行，故不存在點(diǎn)夕(々,九)，使得

XO-2%=T,③正確；

對于④，卜。-2%+碼表示點(diǎn)P(X(P幾)到直線x-2y+6=O的距離的逐倍，

又直線x-2y+百=0與漸近線九-2y=0平行，且距離為^==1,

√4+l

故IAo-2%+石|〉y∣5,

2

由圖形可知，尸(4，九)在3+y2=l(χ≥0,y<0)上時(shí)，到直線x-2y+√^=0的距離取得最

大值，

設(shè)Xo=2cos6,%=2sinθ,則。伍,幾)到直線χ-2y+√5=0的距離為

FCoSe-2sin，+網(wǎng)=20cos"+T+上<2再也,

√4+T-√4+T-√5

當(dāng)且僅當(dāng)cos(e+：)=i時(shí)等號成立，

故.0-2%+四的取值范圍為(底2&+向，④正確.

故選：C

圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決;

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，

再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍.

三、解答題

17.已知直線/：(2?+6)x+S+b)y+a-b=0及點(diǎn)P(3,4).

(1)證明直線/過某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)當(dāng)點(diǎn)尸到直線/的距離最大時(shí)，求直線/的方程.

【正確答案】(1)證明見解析,定點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,3)(2)5x+y+7=0

【分析】⑴直線/方程化成α(2x+y+l)+6(x+y-I)=0,再聯(lián)解關(guān)于x、Y的方程組

2x+y+l=0

即可得到直線/經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo);

x+γ-l=0

(2)設(shè)直線/經(jīng)過的定點(diǎn)為A,由平面幾何知識，得到當(dāng)PAL/時(shí)，點(diǎn)尸到直線/的距離最大

?因此算出直線期的斜率，再利用垂直直線斜率的關(guān)系算出直線/的斜率，即可求出此時(shí)直

線/的方程.

【詳解】0)直線/方程可化為：a(2x+y+?)+b{x+y-?)=Q

2x+y+1=0

由解得X=—2且y=3,

x+y-l=O

直線恒/過定點(diǎn)A,其坐標(biāo)為(-2,3).

⑵直線恒/過定點(diǎn)A(-2,3)

???當(dāng)點(diǎn)尸在直線/上的射影點(diǎn)恰好是A時(shí)，

即尸AL/時(shí)，點(diǎn)P到直線/的距離最大

PA的斜率即A=W=I

二直線/的斜率％=4=-5

kPA

由此可得點(diǎn)尸到直線/的距離最大時(shí)，

直線/的方程為y—3=-5(x+2),即5x+y+7=0?

本題主要考查直線過定點(diǎn)的問題，以及求直線外一點(diǎn)P到直線的距離最大時(shí)直線的方程；熟

記兩直線交點(diǎn)的求法、點(diǎn)到直線的距離公式，以及直線的一般式方程即可，屬于基礎(chǔ)題.

18.有一塊直角三角形的板置于平面直角坐標(biāo)系中，已知AS=OB=I,點(diǎn)

是三角形內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)在由于三角板中陰影部分受到損壞，為把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點(diǎn)產(chǎn)

的一條直線MN,將三角板鋁成AMN,問：應(yīng)該如何鋸法，即直線MN斜率為多少時(shí)，可

使三角板一AMN的面積最大？

【分析】由已知及直線的斜截式方程求M、N坐標(biāo)，再由三角形面積公式寫出AAMN的面

積s,并指出左的取值范圍；由面積S的解析式構(gòu)造函數(shù)，并研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求S

的最值.

【詳解】依題意，直線MN過點(diǎn)P且斜率存在，則MN的方程為

4

ABVOB,IABI=IOBl=1,

???直線04的方程為y=x,直線AB的方程為X=I,

y--=kx^W:2k-?2k-?2k-l≥θ,可得QI或k≤L

由，.4M4(?-l),4(?-l)Ja4(?-l)

k2

Iy=X

ykx5)知:N(L

-?=[2?+l2?+l

由，且≥0,可得出≤-/,

44

X=I

-I≤k4l,故M(2k-?2k-11

2214（攵一1），4（攵一1）/

ΛMN=；IAN=2?+l2k-]4(l-%)+j4?+4,

S.I-

44(?-l)J32]

,S.AMN=][4(1++4],且-g≤A≤;.

設(shè)f=i∈g,g],/(r)=4∕+?

當(dāng)!"S'時(shí)，/（，【）一/（，2）=4r∣÷~4/I]LaT2)(4H)

2tJ~

13

*?*一≤/1</?≤—,

22

--tlt2>0,tl-t2<0,4f也>0,則“4)-/日)<0，即/(%)</&)，

"⑺在g,|］是增函數(shù)，

???當(dāng)舊時(shí)，&）=與，即時(shí)，SMq得+4卜提

ND，。乙?κ?J?

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用直線的斜截式方程及三角形面積公式寫出面積S及Z的范圍，利用函數(shù)的

單調(diào)性求S的最值.

19.已知橢圓d+2y2=l,過原點(diǎn)的兩條直線4和4分別于橢圓交于A、B和C、D,記得

到的平行四邊形ABCD的面積為S.

（1）設(shè)A（Λ,,X）,C（X2,必），用A、C的坐標(biāo)表示點(diǎn)C到直線4的距離，并證明

5=2∣x1y2-x2yl∣;

（2）設(shè)4與4的斜率之積為求面積S的值.

【正確答案】（1）詳見解析（2）S=√2

【詳解】（1）直線4：MX-Xly=0,點(diǎn)C到4的距離4J

√^+z^

IABl=2∣OAl=2jx；+y：,

A(%,yJ,C(?,y2).

y-kx_1

由｛,C,「得.√=-4ττ

χ-+2y=11+2&2

1Ik2

^-2?2+l.

同理l+2^?

2

龍1?X>72?+l.八-）

由（1）,S=2?xy-xy?=2—+x.?kx.=W+ιp∣

i22i2k-'1'2l^κ∣√I7ΞF?√2F7I

整理得s=√L

20.設(shè)拋物線「：y2=2px(p>Q),O(x<),%)滿足>2px°,過點(diǎn)。作拋物線F的切線，切

點(diǎn)分別為A(xl,J1),B(X2,y2).

(1)求證：直線郎=P(X+±)與拋物線「相切；

(2)若點(diǎn)A坐標(biāo)為(4,4),點(diǎn)。在拋物線「的準(zhǔn)線上，求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)O在直線x+P=0上運(yùn)動(dòng)，直線AB是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo);

若不存在，請說明理由；

【正確答案】(1)證明見詳解；(2)(3)是，(p,0)

【分析】(D聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由A=O,即可證明；

(2)根據(jù)點(diǎn)A在拋物線上解得P,進(jìn)而寫出。點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B既在直線>2=2(X+W)

上，又在拋物線上，聯(lián)立方程組即可求得3的坐標(biāo)；

(3)寫出直線AB的方程，根據(jù)過點(diǎn)A和過點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)0得到的結(jié)論，整理化簡直

線方程，即可求得48恒過的定點(diǎn).

【詳解】(1)聯(lián)立直線網(wǎng)=P*+%)與拋物線方程丁=2px,消去X

可得;y2fy+pχ∣=0

故A=yj-2PX1,因?yàn)辄c(diǎn)A(ΛI(xiàn),X)在拋物線上，

故△=y；-2pxl=0

則直線網(wǎng)=P(X+&)與拋物線y2=2PX只有一個(gè)交點(diǎn)

又因?yàn)楣试撝本€不與X軸平行，

即證直線處=P(X+5)與拋物線相切.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)A(4,4)在拋物線V=2px上，故可得16=2px4,解得。=2

由(1)可知過點(diǎn)A的切線方程為勸=MX+玉)，即x-2y+4=0

3

又拋物線的準(zhǔn)線方程為卡-1,故令χ=-l,解得y=j,

即點(diǎn)3的坐標(biāo)為[-1,∣）.

因?yàn)檫^點(diǎn)8（%,%）的切線方程為勸=2（x+W），其過點(diǎn)

故可得∣y2=2（T+占），又因?yàn)辄c(diǎn)月）滿足拋物線方程,

故可得及=4々，聯(lián)立方程組可得及-3%-4=0

解得必=-1，%=4（舍去，與A點(diǎn)重合），X2=:,

故點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（3）由（1）得過A點(diǎn)的切線方程為y∣y=Mχ+%）

2

令χ=-p,可解得y-P+四

過5點(diǎn)的切線方程為%y=P（?r+X2）

2

號X=—P,可解的y=—〃+P∕

%

22

因?yàn)閮芍本€交于點(diǎn)。，故可得一p~+p%=—p

?l%

整理得*2%一百M(fèi)=〃（乂一%）①

當(dāng)過A,B兩點(diǎn)的直線斜率存在，則設(shè)其方程為：&z2L（X-XJ

X「為

整理得y=&s/?χ+型二邑，將①代入可得

X2-χ1X2-X1

2

故直線方程為y=&ZLX+P（X一乃）=&z2L（x_p）

X2-X1X2-XxX2-X]

故該直線恒過定點(diǎn)（p,o）;

當(dāng)過AB兩點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，

χl=χ2,yl=-y2,代入①可得Xl=X2=P

過此時(shí)直線AB:x=%=p,也經(jīng)過點(diǎn)（p,0）

綜上所述，直線恒過定點(diǎn)（p,o）,即證.

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及拋物線中直線恒過定點(diǎn)的問題，屬綜合性中檔題；

在本題中，要注意利用第一問中的結(jié)論去解決第二問和第三問.

21.已知橢圓d^+Y=ι.雙曲線r的實(shí)軸頂點(diǎn)就是橢圓C的焦點(diǎn)，雙曲線r的焦距等于

1612

橢圓Ω的長軸長.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/經(jīng)過點(diǎn)E（3,0）與橢圓。交于AI兩點(diǎn)，求AoAB的面積的最大值；

（3）設(shè)直線/：>=履+，〃（其中為太，“整數(shù)）與橢圓C交于不同兩點(diǎn)48,與雙曲線「交于

不同兩點(diǎn)C、。，問是否存在直線/,使得向量AC+BQ=O,若存在，指出這樣的直線有多

少條？若不存在，請說明理由.

22

【正確答案】（1）—-?=1（2）4√3（3）存在，9

412

【分析】（1）根據(jù)橢圓方程可以得到雙曲線的焦距和頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而直接寫出雙曲線方程即

可；

（2）設(shè)出直線方程，將三角形面積拆分為2個(gè)三角形的面積，從而利用韋達(dá)定理進(jìn)行處理;

（3）根據(jù)直線與兩個(gè)曲線相交，通過△夾逼出左,〃?的取值范圍，再結(jié)合向量相加為零轉(zhuǎn)化

出的條件，得到玄機(jī)之間的關(guān)系，從而利用左，機(jī)是整數(shù)，對結(jié)果進(jìn)行取舍即可.

22

【詳解】（1）對橢圓Q：工+匯=1,因?yàn)椤?16,/=12,c2=a2-b2=4,

1612

故其焦點(diǎn)為（±2,0）,橢圓的長軸長為2α=8.

設(shè)雙曲線方程為二-￥=1,

mn

由題可知：m=2,2>∕W2+n2=2α=8?解得〃？=12.

故雙曲線的方程為?/-f=1

412

（2）因?yàn)橹本€