2024年中考數(shù)學常見幾何模型全歸納（全國通用）專題30 最值模型之瓜豆模型（原理）圓弧軌跡型（原卷版）

專題30最值模型之瓜豆模型（原理）圓弧軌跡型動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點往往成為學生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復習的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點軌跡為圓弧型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握?！灸Ｐ徒庾x】模型1、運動軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．Q點軌跡是？如圖，連接AO，取AO中點M，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.定義型：若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動態(tài)翻折中）如圖，若P為動點，但AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，則動點P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。模型1-4.定邊對定角（或直角）模型1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB=90°，則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧?！灸Ｐ驮怼縿狱c的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。例1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為；中，，連接，點M是中點，連接．將以點O為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2例2．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為．例3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正方形邊的中點，是正方形內(nèi)一點，連接，線段以為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．

例4．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，動點在矩形的邊上沿運動．當點不與點重合時，將沿對折，得到，連接，則在點的運動過程中，線段的最小值為．

例5．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，點E在線段上運動，點F在線段上，，則線段的最小值為．

例6．（2023·浙江金華·九年級?？计谥校┤鐖D，點A，C，N的坐標分別為，以點C為圓心、2為半徑畫，點P在上運動，連接，交于點Q，點M為線段的中點，連接，則線段的最小值為．例7．（2023上·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習）已知矩形為矩形內(nèi)一點，且，若點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到點，則的最小值為．

例8．（2023下·陜西西安·九年級?？茧A段練習）問題提出：（1）如圖①，在中，，，，則的長為__________；問題探究：（2）如圖②，已知矩形，，，點P是矩形內(nèi)一點，且滿足，連接，求線段的最小值；問題解決：（3）如圖③所示，我市城市綠化工程計劃打造一片四邊形綠地，其中，，，點E為邊上一點，且，，為了美化環(huán)境，要求四邊形的面積盡可能大，求綠化區(qū)域面積的最大值．課后專項訓練1．（2023·安徽合肥·校考一模）如圖，在中，，，以為邊作等腰直角，連，則的最大值是（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東·九年級專題練習）已知：如圖，在中，，，面積的最大值是（

）．A． B． C． D．3．（2022秋·江蘇揚州·九年級校考階段練習）如圖，A是上任意一點，點C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（）A． B．4 C． D．64．（2023·山東濟南·一模）正方形ABCD中，AB=4，點E、F分別是CD、BC邊上的動點，且始終滿足DE=CF，DF、AE相交于點G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，連接BH．則BH的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2023上·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，已知，，點是邊上一動點點不與點，重合，連接，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，則的最小值為．6．（2023春·廣東深圳·九年級專題練習）如圖，點G是內(nèi)的一點，且，是等邊三角形，若，則的最大值為．7．（2023·江蘇泰州·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，P為的中點，連接．在矩形外部找一點E，使得，則線段的最大值為．8．（2023·陜西渭南·三模）如圖，在矩形ABCD中，，，點E在BC上，且，點M為矩形內(nèi)一動點，使得，連接AM，則線段AM的最小值為______．9．（2023江蘇揚州·三模）如圖，在等邊△ABC和等邊△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)一周，則線段AF的最小值是______．10．（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，為等腰直角三角形，，，點為所在平面內(nèi)一點，，以、為邊作平行四邊形，則的最小值為．

11．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，點是正方形的內(nèi)部一個動點（含邊界），且，點在上，，則以下結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③；④的最小值為；正確的是．

12．（2021·廣東·中考真題）在中，．點D為平面上一個動點，，則線段長度的最小值為_____．13．（2023·廣東·深圳市二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為邊BC上一動點，F(xiàn)為AE中點，G為DE上一點，BF＝FG，則CG的最小值為______．14．（2023秋·廣東汕頭·九年級?？计谥校┤缦聢D，在正方形中，，點是以為直徑的圓上的點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段的最大值與最小值的和．

15．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，Q是矩形左側(cè)一點，連接、，且，連接，E為的中點，連接，則的最大值為．16．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預測）等腰直角中，，，點是平面內(nèi)一點，，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當填度數(shù)度時，可以取最大值，最大值等于．17．（2023·河北廊坊·統(tǒng)考二模）已知如圖，是腰長為4的等腰直角三角形，，以A為圓心，2為半徑作半圓A，交所在直線于點M，N．點E是半圓A上仟意一點．連接，把繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到的位置，連接，．(1)求證：；(2)當與半圓A相切時，求弧的長；(3)直接寫出面積的最大值．18．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，點關(guān)于點的對稱點為，稱點為點的“對應點”．(1)如圖，點點在線段的延長線上，若點點為點的“對應點”．①在圖中畫出點；②連接交線段于點求證：(2)的半徑為1，是上一點，點在線段上，且，若為外一點，點為點的“對應點”，連接當點在上運動時直接寫出長的最大值與最小值的差（用含的式子表示）19．（2023下·廣東廣州·九年級校考階段練習）如圖，為等邊三角形，點P是線段上一動點（點P不與A，C重合），連接，過點A作直線的垂線段，垂足為點D，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．(1)求證：；(2)連接，延長交于點F，若的邊