云南省高三適應性考試數(shù)學（理）試題（A卷）

2020屆高三適應性考試理科數(shù)學試卷一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法和對數(shù)函數(shù)的定義域化簡集合，再利用交集的定義可得結(jié)果.【詳解】化簡集合，可得，，所以.故選A.【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知是虛數(shù)單位，復數(shù)的共軛復數(shù)虛部為A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化復數(shù)為代數(shù)形式，再根據(jù)共軛復數(shù)概念以及虛部概念得結(jié)果.【詳解】因為，所以復數(shù)的共軛復數(shù)為，因此虛部為4，選C.【點睛】本題考查共軛復數(shù)概念以及虛部概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.已知向量，，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量垂直得向量的數(shù)量積為0可解得．【詳解】由已知，∵，∴，解得．故選：A．【點睛】本題考查向量垂直的數(shù)量積表示，考查數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題．4.已知的展開式的各項系數(shù)和為32，則展開式中的系數(shù)為（）A.20 B.15 C.10 D.5【答案】D【解析】【分析】由題意知的展開式的各項系數(shù)和為32，求得，再根據(jù)二項展開式的通項，即可求解．【詳解】由題意知的展開式的各項系數(shù)和為32，即，解得，則二項式的展開式中的項為，所以的系數(shù)為5，故選D．【點睛】本題主要考查了二項式定理的系數(shù)和，及展開式的項的系數(shù)的求解，其中解答中熟記二項式的系數(shù)和的解法，以及二項展開式的通項是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5.已知命題，或，則為（）A.，且 B.，或C.，或 D.，且【答案】D【解析】【分析】利用全稱命題的否定可得出命題的否定.【詳解】由全稱命題的否定可知，命題的否定為，且.故選：D.【點睛】本題考查全稱命題否定的改寫，要熟悉量詞與結(jié)論的變化，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)滿足，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得函數(shù)關(guān)于直線對稱，根據(jù)對數(shù)的運算法則，結(jié)合函數(shù)的對稱性，變形、、到區(qū)間內(nèi)，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，又由當時，函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，，，則有，故選B.【點睛】在比較，，，的大小時，首先應該根據(jù)函數(shù)的奇偶性（對稱性）與周期性將，，，通過等值變形將自變量置于同一個單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)單調(diào)性比較大?。?.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三視圖知幾何體是一個四分子一圓錐與一個三棱錐的組合體，分別計算其表面積得解.詳解】四分子一圓錐表面積,所以組合體表面積為故選：D【點睛】本題考查三視圖還原幾何體求表面積問題.幾何體三視圖還原其直觀圖時，要熟悉柱、錐、球、臺的三視圖，結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖．8.受新冠肺炎疫情影響，某學校按上級文件指示，要求錯峰放學，錯峰有序吃飯.高三年級一層樓六個班排隊，甲班必須排在前三位，且丙班、丁班必須排在一起，則這六個班排隊吃飯的不同安排方案共有（）A.240種 B.120種 C.188種 D.156種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，按甲班位置分3種情況討論，求出每種情況下的安排方法數(shù)目，由加法原理計算即可.【詳解】解：根據(jù)題意，按甲班位置分3種情況討論：（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情況有種，將剩余的三個班全排列，安排到剩下的3個位置，有種情況，此時有種安排方案；（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情況有種，將剩下的三個班全排列，安排到剩下的三個位置，有種情況，此時有種安排方案；（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情況有種，將剩下的三個班全排列，安排到剩下的三個位置，有種情況，此時有種安排方案；由加法計數(shù)原理可知共有種方案，故選：B【點睛】此題考查排列組合的應用，涉及分類、分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎(chǔ)題.9.如圖，在正方體中，點在線段上運動，則下列判斷中正確的是（）①平面平面②平面③異面直線與所成角的取值范圍是④三棱錐的體積不變A.①③ B.①②④ C.①③④ D.③④【答案】B【解析】【分析】由面面垂直的判定定理可判斷①，由面面平行的性質(zhì)定理可判斷②，由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷③，由線面平行的性質(zhì)及棱錐的體積公式可判斷④．【詳解】正方體中由平面，平面，可得，又，是平面內(nèi)兩相交直線，從而得平面，平面，因此有，同理，，∴平面，又平面，∴平面平面，①正確；正方體中與平行且相等，則是平行四邊形，，平面，平面，∴平面，同理平面，，都在平面內(nèi)，∴平面平面，平面，∴平面，②正確；與①同理可證平面，當是與交點時，平面，，異面直線與所成角為，③錯誤；由②知平面，∴到平面的距離不變，因此三棱體積不變，④正確．故選：B．【點睛】本題考查正方體中的直線、平面問題位置關(guān)系，掌握面面垂直的判定定理、面面平行的判定與性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．10.若函數(shù)（，）圖象過點，在上有且只有兩個零點，則的最值情況為（）A.最小值為，最大值為 B.無最小值，最大值為C.無最小值，最大值為 D.最小值為，最大值為【答案】C【解析】【分析】由圖象過點求出，然后解，得，再分析在上有且只有兩個時，的取值只能是，從而可得的范圍，【詳解】由題可知，即，∴，又∵，，∴.令，得，解得又∵，在上有且只有兩個零點，∴只能取1，2，故，解得，∴，∴，沒有最小值．故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學生分析問題解決問題的能力，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解是解三角函數(shù)問題的常用方法．11.數(shù)學上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指對于任意一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1．如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復處理，最終總能夠得到1．對任意正整數(shù)，記按照上述規(guī)則實施第次運算的結(jié)果為，則使的所有可能取值的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.【答案】D【解析】【分析】推導出，，由，得，從而，進而或．由此利用分類討論思想和遞推思想能求出滿足條件的的值的個數(shù)．【詳解】解：由題意知，，由，得，，或．①當時，，，或，或．②若，則，或，當時，，此時，或，當時，，此時，或，綜上，滿足條件的的值共有6個．故選：D．【點睛】本題考查數(shù)列中項的可能取值的個數(shù)的求法，考查遞推公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．12.已知方程有三個不同的根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將等式變形為，換元，可得出，利用導數(shù)分析得出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】將等式變形為，令，則即，，令，得，列表如下：極大值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由于方程有三個不同的根，則，，①當時，則，得，關(guān)于的方程為，解得，不合乎題意；②當時，則，得，關(guān)于的方程為，解得，不合乎題意；③當，時，由二次方程根的分布得，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究復合函數(shù)的零點問題，一般要將復合函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)來進行分析，同時也考查了二次方程根的分布，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知sin(+α)=cos()，則cos2α=___________.【答案】0【解析】【分析】應用兩角和與差的正弦、余弦公式展開已知式，可得，再由余弦的二倍角公式可得結(jié)論．【詳解】∵sin(+α)=cos()，∴，∴，∴，∴．故答案為：0．【點睛】本題考查兩角和與差的正弦、余弦公式，余弦的二倍角公式，解題方法是直接應用化簡變形求值，屬于基礎(chǔ)題．14.七巧板是中國古代勞動人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀，后清陸以活《冷廬雜識》卷一中寫道“近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余.”在18世紀，七巧板流傳到了國外，被譽為“東方魔板”，至今英國劍橋大學的圖書館里還珍藏著一部《七巧新譜》.完整圖案為一正方形(如圖)：五塊等腰直角三角形?一塊正方形和一塊平行四邊形，如果在此正方形中隨機取一點，那么此點取自陰影部分的概率是___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)大正方形邊長為1，求出大正方形面積和陰影部分的面積，由概率公式計算可得．【詳解】設(shè)大正方形邊長為1，大正方形面積為，陰影部分是兩個等腰直角三角形和一個正方形，由圖可知陰影部分正方形的邊長為，陰影部分大的等腰直角三角形的直角邊長為，小的等腰直角三角形的直角邊長為，陰影部分的面積為，∴所求概率為．故答案為：．【點睛】本題考查幾何概型，解題關(guān)鍵是求出陰影部分的面積．屬于基礎(chǔ)題．15.已知圓C的方程為，過直線l：（）上任意一點作圓C的切線，若切線長的最小值為，則直線l的斜率為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)切線長最小時直線上對應的點為，則，利用點到直線的距離公式計算的值并構(gòu)建關(guān)于的方程，解方程后可得的值，從而得到所求的斜率.【詳解】設(shè)切線長最小時直線上對應的點為，則又，因為切線長的最小值為故，解得，故直線的斜率為.故答案為：.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系中的最值問題，此類問題一般轉(zhuǎn)化為圓心到幾何對象的距離問題，屬于中檔題.16.已知點P是左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2的橢圓C：(a>b>0)上的一點，且A是∠與∠的角平分線的交點，且，若橢圓C的離心率為，則___________.【答案】6【解析】【分析】由角平分線交點得是三角形內(nèi)心，由向量的關(guān)系，取中點，可得，得三點共線，．由三點共線，得三角形是等腰三角形，，利用離心率和橢圓定義可求得，然后作軸于，，且，從而可求得．【詳解】A是∠與∠的角平分線的交點，∴是的內(nèi)切圓的圓心，設(shè)是中點，連接，如圖，則，由得，∴三點共線，，∴．由既是角平分線，又是中線，得，，∴，，又，∴，作軸于，則，且，∴，∴，解得．故答案為：6．【點睛】本題考查橢圓中焦點三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用向量的線性運算得出三角形是等腰三角形，結(jié)合離心率，橢圓的定義從而可把焦點三角形的三邊長用表示，再構(gòu)造相似三角形，已知比值得出結(jié)論，本題考查學生的分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，邏輯思維能力，屬于中檔題．三?解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.已知數(shù)列的前項和為，且滿足.數(shù)列是首項為，公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列與的通項公式．（2）若，數(shù)列的前項和為恒成立，求的范圍．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由化簡可得成等比，求出的通項，再由可求出的通項；（2）因為，用錯位相減法求得，所以.【詳解】解：（1）因為，所以所以所以成等比，首項，公比q所以由題意知，設(shè)公差為d則，即，解得或（舍）所以（2）所以兩式相減得所以所以【點睛】本題考查了數(shù)列的通項與求和，對等差乘等比的數(shù)列進行求和采用錯位相減法求和，分列乘減算四步進行.18.如圖甲，E是邊長等于2的正方形的邊CD的中點，以AE、BE為折痕將△ADE與△BCE折起，使D，C重合(仍記為D)，如圖乙.（1）探索:折疊形成的幾何體中直線DE的幾何性質(zhì)(寫出一條即可，不含DE⊥DA，DE⊥DB，說明理由)；（2）求二面角DBEA的余弦值【答案】（1）幾何性質(zhì)見解析，理由見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)折前折后折痕同側(cè)的位置關(guān)系、長度不變，可以證明平面，據(jù)此結(jié)論也可得到，或與平面內(nèi)任一直線都垂直，也可計算直線與平面所成角等于；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法可求二面角的余弦值.【詳解】（1）性質(zhì)1：平面.證明如下：翻折前，，翻折后仍然，且，則平面.性質(zhì)2：.證明如下：與性質(zhì)1證明方法相同，得到平面.又因平面，則.性質(zhì)3：與平面內(nèi)任一直線都垂直.證明如下：與性質(zhì)1證明方法相同，得到平面，從而與平面內(nèi)任一直線都垂直.性質(zhì)4：直線與平面所成角等于.證明如下：如圖，取中點，連接，，由得，與性質(zhì)2證明相同，得，再因，則平面，進而平面平面.作于，則平面，即就是直線與平面所成的角.，，，.（2）與（1）之性質(zhì)4證明相同，得到，平面，，平面內(nèi)，則平面平面.以為坐標原點、為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.，

，，則平面的一個法向量，，，，.設(shè)是平面的法向量，則取，求得一個法向量記二面角的大小為，則與相等或互補，，因是銳角，則.【點睛】本題主要考查了折疊問題，線線、線面垂直的判定，線面角，二面角的求法，考查了空間想象力，運算能力，屬于中檔題.19.2020年春節(jié)前后，一場突如其來的新冠肺炎疫情在武漢出現(xiàn)并很快地傳染開來(已有證據(jù)表明2019年10月、11月國外已經(jīng)存在新冠肺炎病毒)，人傳人，傳播快，傳播廣，病亡率高，對人類生命形成巨大危害.在中華人民共和國，在中共中央、國務院強有力的組織領(lǐng)導下，全國人民萬眾一心抗擊、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已經(jīng)得到了非常好的控制(累計病亡人數(shù)3869人).然而，國外因國家體制、思想觀念與中國的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越來越嚴重.據(jù)美國約翰斯·霍普金斯大學每日下午6時公布的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，選取5月6日至5月10日的美國的新冠肺炎病亡人數(shù)如下表(其中t表示時間變量，日期“5月6日”、“5月7日”對應于（1）在5月6日~10日，美國新冠肺炎病亡人數(shù)與時間(日期（2）選擇對累計病亡人數(shù)四舍五入后個位、十位均為0的近似數(shù)，求每日累計病亡人數(shù)y隨時間t變化的線性回歸方程；（3）請估計美國5月11日新冠肺炎病亡累計人數(shù)，請初步預測病亡人數(shù)達到附:回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為【答案】（1）是；（2）；（3）82160人，5月【解析】【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)可得到結(jié)論；（2）首先算出和，然后根據(jù)公式計算出答案即可；（3）求出當時值，然后解出不等式即可.【詳解】（1）每日累計病亡人數(shù)與時間的相關(guān)系數(shù)，所以每日病亡累計人數(shù)與時間呈現(xiàn)強線性相關(guān)性，（2）5天5個時間的均值.5天5個病亡累計人數(shù)均值.計算5個時間與其均值的差，計算5個累計病亡人數(shù)與其均值的差，制作下表：日期55555均值時間678910新冠肺炎累計病亡人數(shù)7230075500769007850080000?2?1012?4340?114026018603360用公式進行計算：，.所以每日累計病亡人數(shù)隨時間變化的線性回歸方程是.（3）日期5月11日對應時間，所以，估計5月11令，解得，病亡人數(shù)要達到或超過9萬，即，對應于5月16日因此預測5月16日美國新冠肺炎病亡人數(shù)超過【點睛】本題考查的是線性回歸的相關(guān)知識，考查了學生的閱讀能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20.已知拋物線的焦點為F，傾斜角為銳角的直線l與拋物線交于A，B兩點，且直線l過點，.（1）求直線l的方程；（2）如果C是拋物線上一點，O為坐標原點，且存在實數(shù)t，使得，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)直線l的方程為，()，，，直線方程代入拋物線方程整理后應用韋達定理得，由圓錐曲線中的弦長公式求出，得直線方程；（2）設(shè)AB的中點為M，已知條件等價于F，C，M三點共線.，設(shè)，由（1）可得，從而可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立可解得交點坐標，再由焦點弦長公式得弦長．【詳解】（1）設(shè)直線l的方程為，()，，.則，.由可得，因此,,，因此，，，，解得.從而所求直線方程為，即.（2）設(shè)AB的中點為M，則由可知，因此F，C，M三點共線.設(shè)，則由（1）知，.因此直線FC的方程為.由可得，因此，從而可知.【點睛】本題考查直線與拋物線相交弦長問題，考查韋達定理、拋物線的焦點弦長，應用韋達定理求弦長是直線與拋物線相交中的常用方法，本題屬于基礎(chǔ)題．21.已知函數(shù)（1）若f(x)在[0，2]上是單調(diào)函數(shù)，求a的值；（2）已知對∈[1，2]，f(x)≤1均成立，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求導，令解得，，然后分討論求解.（2）解法一：根據(jù)“對，均成立”，則成立，得到，則結(jié)合（1），時，，在上增，將“對，均成立”轉(zhuǎn)化為求解即可.【詳解】（1）因為所以，令解得，.若即，則對成立，函數(shù)在上單調(diào)，符合題目要求；若即，當時，，當時，，函數(shù)在上不單調(diào)，不符合題目要求；若即，當時，，當時，，函數(shù)在上不單調(diào)，不符合題目要求.綜上，若在上是單調(diào)函數(shù)，則取唯一值：.（2）解法一：已知“對，均成立”，取得，則，，則時，，在上增，“對，均成立”等價于，，與取交集，得，所以的取值范圍是解法二：根據(jù)（1），若，則在上單減，“在區(qū)間上，恒成立”等價于，不成立；若即，則時，，函數(shù)在上單減，在區(qū)間上，，“在區(qū)間上，恒成立”不成立；若即，則時，，函數(shù)在上單增，在區(qū)間上，，“在區(qū)間上，恒成立”，解得，與相交取交集，得；若即，則時，，時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在區(qū)間上，，“在區(qū)間上，恒成立”.設(shè)，則，在上遞增，，則函數(shù)在上遞增，，因此時，均不成立.綜上，所求的取值范圍是【點睛】本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及導數(shù)與不等式恒成立問題，還考查了分類討論思想