新版高中數(shù)學人教A版選修1-1習題第二章圓錐曲線與方程2.1.2.2

2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)(二)課時過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1.橢圓A.10 B.12C.16 D.18解析:∵|AB|+|AF1|+|BF1|=4a,∴|AF1|+|BF1|=4×58=12.答案:B2.已知直線l:x+y3=0,橢圓A.相交 B.相切C.相離 D.相切或相交解析:將y=3x代入x24+y2=1,得5Δ=(24)24×5×32=576640=64<0,方程無解.故直線l與橢圓相離.答案:C3.直線y=x+1被橢圓A.C.解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)為直線與橢圓的交點,中點M(x0,y0),由y=x+1,x24+yx0=y0=x0+1=故中點坐標為答案:C4.直線y=kxk+1與橢圓A.相交 B.相切C.相離 D.不確定解析:y=kxk+1=k(x1)+1,所以直線過點(1,1).又因為點(1,1)在橢圓內(nèi),所以直線與橢圓相交.答案:A5.若點(x,y)在橢圓4x2+y2=4上,則A.1 B.1C.-答案:C6.已知中心在原點,焦點在坐標軸上,焦距為4的橢圓與直線x+A.3C.2解析:設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m≠n,且m,n>0),與直線方程x+3消去x,得(3m+n)y2+8由Δ=0,得3m+n=16mn,即又c=2,即由①②聯(lián)立得故橢圓的長軸長為答案:C7.若直線y=x+2與橢圓解析:由得(m+3)x2+4mx+m=0.∵直線與橢圓有兩個公共點,∴Δ=(4m)24m(m+3)=16m24m212m=12m212m>0,解得m>1或m<0.又m>0,且m≠3,∴m>1,且m≠3.答案:(1,3)∪(3,+∞)8.若直線3xy2=0截焦點為(0,±5解析:設(shè)橢圓的標準方程為由y2a2+x2b2=1,3x-y-2=0,聯(lián)立得(a2+9b2)x∴a2=3b2.①又由焦點為(0,±52)知,a2b2=50由①②,得a2=75,b2=25.故所求橢圓方程為答案:x9.橢圓ax2+by2=1(a>0,b>0,且a≠b)與直線x+y1=0相交于A,B兩點,C是AB的中點,若|AB|=2解:由直線方程和橢圓方程聯(lián)立,得ax2+by2=1,x+y設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|==∵|AB|=2∴設(shè)C(x,y),則x=∵直線OC的斜率為代入①得a=∴橢圓方程為10.如圖,橢圓E:(1)求橢圓E的方程;(2)經(jīng)過點(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P,Q(均異于點A),證明:直線AP與AQ的斜率之和為2.(1)解:由題設(shè)知結(jié)合a2=b2+c2,解得a=所以橢圓的方程為(2)證明由題設(shè)知,直線PQ的方程為y=k(x1)+1(k≠2),代入得(1+2k2)x24k(k1)x+2k(k2)=0.由已知Δ>0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,則x1+x2=從而直線AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ===2k+(2k)=2k+(2k)能力提升1.設(shè)P,Q分別為圓x2+(y6)2=2和橢圓A.5C.7+解析:設(shè)Q(x,y),則該點到圓心的距離d=(x-∴當y=--dmax==∴圓上點P和橢圓上點Q的距離的最大值為dmax+r=52答案:D2.已知(4,2)是直線l被橢圓A.x2y=0 B.x+2y4=0C.2x+3y+4=0 D.x+2y8=0解析:設(shè)l與橢圓的兩交點分別為(x1,y1),(x2,y2),則有①②,得由x1+x2=8,y1+y2=4,可得2(x1x2)+4(y1y2)=0,即故方程為y2=-即x+2y8=0.答案:D3.已知橢圓C:A.1 B.C.解析:由橢圓C的離心率為32∴橢圓C:設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),F∵∴∴即將點A,B的坐標代入橢圓C,得③×9②,得∴3xBxA=聯(lián)立①④,得解得xA=∴yA=-∴k=答案:B4.若直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點,則過點(a,b)的直線與橢圓解析:∵直線ax+by+4=0與圓x2+y2=4沒有公共點,∴∴∴點(a,b)在橢圓內(nèi),即過點(a,b)的直線與橢圓相交,有2個公共點.答案:2★5.如圖,過點M(2,0)的直線m與橢圓x22+y2=1交于點P1,P2,線段解析:設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),代入橢圓方程得設(shè)P(x0,y0),則y1+y2=2y0,x1+x2=2x0,k2=y0x0,k答案:-6.在平面直角坐標系xOy中,點P到兩點(0,-(1)寫出C的方程;(2)設(shè)直線y=kx+1與C交于A,B兩點,則k為何值時,解:(1)設(shè)P(x,y),由橢圓定義可知,點P的軌跡C是以(0,-3),(0,3)為焦點,長半軸長為2的橢圓.它的焦距為23(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),其坐標滿足消去y,并整理得(k2+4)x2+2kx3=0,故x1+x2=-∵∵y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,∴x1x2+y1y2=-又x1x2+y1y2=0,∴k=±當k=±12時,x1+x2|AB|==而(x2x1)2=(x2+x1)24x1x2=★7.已知橢圓G:(1)求橢圓G的焦點坐標和離心率;(2)將|AB|表示為m的函數(shù),并求|AB|的最大值.解:(1)由已知得a=2,b=1,所以c=所以橢圓G的焦點坐標為(-離心率為e=(2)由題意知,|m|≥1.當m=1時,切線l的方程為x=1,點A,B的坐標分別為此時|AB|=當m=1時,同理可得|AB|=當|m|>1時,設(shè)切線l的方程為y=k(xm).得(1+4k2)x28k2mx+4k2m24=0.設(shè)A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),