新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第10章概率10.1隨機(jī)事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件教師用書新人教A版必修第二冊

10.1隨機(jī)大事與概率10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)大事學(xué)習(xí)任務(wù)1．結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解隨機(jī)大事與樣本點(diǎn)的關(guān)系．(數(shù)學(xué)建模)觀看下列試驗(yàn)，思考這類現(xiàn)象的共性是什么？(1)拋擲一枚硬幣，觀看正面、反面消滅的狀況；(2)拋擲一枚骰子，觀看消滅點(diǎn)數(shù)的狀況．學(xué)問點(diǎn)1隨機(jī)試驗(yàn)1．定義：我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀看稱為隨機(jī)試驗(yàn)，常用字母E來表示．2．特點(diǎn)：(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；(3)每次試驗(yàn)總是恰好消滅這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定消滅哪一個(gè)結(jié)果．學(xué)問點(diǎn)2樣本空間樣本點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，用ω表示樣本點(diǎn)樣本空間全體樣本點(diǎn)的集合Ω稱為試驗(yàn)E的樣本空間有限樣本空間假如一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間學(xué)問點(diǎn)3大事的分類隨機(jī)大事將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)大事，簡稱大事，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的大事稱為基本大事．隨機(jī)大事一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)消滅時(shí)，稱為大事A發(fā)生必定大事Ω作為自身的子集，包含了全部的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，稱Ω為必定大事不行能大事空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，稱?為不行能大事1．下列現(xiàn)象中，是隨機(jī)現(xiàn)象的有________．(填序號)①在一條大路上，交警記錄某一小時(shí)通過的汽車超過300輛；②若a為整數(shù)，則a＋1為整數(shù)；③放射一枚炮彈，命中目標(biāo)；④檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品．[答案]①③④2．從數(shù)字1，2，3中任取兩個(gè)數(shù)字，則該試驗(yàn)的樣本空間Ω＝________．[答案]{(1，2)，(1，3)，(2，3)}3．在200件產(chǎn)品中，有192件一級品，8件二級品，則下列大事：①“在這200件產(chǎn)品中任意選9件，全部是一級品”；②“在這200件產(chǎn)品中任意選9件，全部都是二級品”；③“在這200件產(chǎn)品中任意選9件，不全是一級品”．其中________是隨機(jī)大事；________是不行能大事．(填上大事的編號)[答案]①③②類型1大事類型的推斷【例1】下列大事中，隨機(jī)大事是________．(填序號)(1)任取一個(gè)整數(shù)，被2整除；(2)李明在高一期末考試中數(shù)學(xué)成果在120分以上；(3)甲、乙兩人進(jìn)行競技競賽，甲的實(shí)力遠(yuǎn)勝于乙，在一次競賽中甲肯定獲勝；(4)當(dāng)圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍時(shí)，圓的面積是原來的4倍．(1)(2)(3)[(1)(2)(3)均是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的大事，為隨機(jī)大事，(4)是肯定發(fā)生的大事，為必定大事．]推斷一個(gè)大事是哪類大事要看兩點(diǎn)一看條件，由于三種大事都是相對于肯定條件而言的；二看結(jié)果是否發(fā)生，肯定發(fā)生的是必定大事，不肯定發(fā)生的是隨機(jī)大事，肯定不發(fā)生的是不行能大事．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．下列大事中，必定大事是________；不行能大事是________；隨機(jī)大事是________．(填序號)(1)某人購買福利彩票一注，中獎(jiǎng)500萬元；(2)三角形的內(nèi)角和為180°；(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；(4)同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，都消滅正面對上；(5)從分別標(biāo)有1，2，3，4的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號標(biāo)簽．(2)(3)(1)(4)(5)[(1)購買一注彩票，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)，所以是隨機(jī)大事．(2)全部三角形的內(nèi)角和均為180°，所以是必定大事．(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不行能大事．(4)同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，不肯定都是正面對上，所以是隨機(jī)大事．(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4號標(biāo)簽中的任一張，所以是隨機(jī)大事．]類型2確定試驗(yàn)的樣本空間【例2】拋擲一枚骰子，觀看其朝上面的點(diǎn)數(shù)，該試驗(yàn)的樣本空間含6個(gè)樣本點(diǎn)．(1)若將一枚骰子先后拋擲兩次，請列舉出該試驗(yàn)的樣本空間所包含的樣本點(diǎn)；(2)“向上的點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含幾個(gè)樣本點(diǎn)？[解](1)用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示骰子第1次消滅的點(diǎn)數(shù)，y表示骰子第2次消滅的點(diǎn)數(shù)，則試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36個(gè)樣本點(diǎn)．法一(列舉法)：(2)“消滅的點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含以下10個(gè)樣本點(diǎn)：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．法二(列表法)：如圖所示，坐標(biāo)平面內(nèi)的數(shù)表示相應(yīng)兩次拋擲后消滅的點(diǎn)數(shù)的和，樣本點(diǎn)與所描點(diǎn)一一對應(yīng)．(2)“點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含10個(gè)樣本點(diǎn)(已用虛線圈出)．法三(樹狀圖法)：一枚骰子先后拋擲兩次的全部可能結(jié)果用樹狀圖表示．如圖所示，(2)“點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含10個(gè)樣本點(diǎn)(已用“√”標(biāo)出)．樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的三個(gè)探求方法(1)列舉法：適用樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是很多，可以把樣本點(diǎn)一一列舉出來的狀況，但列舉時(shí)必需按肯定的挨次，要做到不重不漏．(2)列表法：適用于試驗(yàn)中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素，且試驗(yàn)結(jié)果相對較多的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解問題，通常把樣本歸納為“有序?qū)崝?shù)對”，也可用坐標(biāo)法，列表法的優(yōu)點(diǎn)是精確?????、全面、不易遺漏．(3)樹狀圖法：適用較簡單問題中的樣本點(diǎn)的探求，一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結(jié)果可以用樹狀圖進(jìn)行列舉．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的4個(gè)球，其中2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中一次摸出2個(gè)球．(1)共有多少個(gè)樣本點(diǎn)？(2)2個(gè)球顏色不同包含幾個(gè)樣本點(diǎn)？[解]分別記白球?yàn)?，2號，黑球?yàn)?，4號．(1)則有以下樣本點(diǎn)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6個(gè)樣本點(diǎn)(其中(1，2)表示摸到1號、2號)．(2)“2個(gè)球顏色不同”包含(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)4個(gè)樣本點(diǎn)．類型3隨機(jī)大事的含義【例3】柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分別表示3雙不同的鞋，其中下標(biāo)為奇數(shù)表示左腳，下標(biāo)為偶數(shù)表示右腳，指出下列隨機(jī)大事的含義．(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．[解](1)大事M的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機(jī)抽取2只，取出的2只鞋不成雙”．(2)大事N的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機(jī)抽取2只，取出的2只鞋都是左腳的”．(3)大事P的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機(jī)抽取2只，取到的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，且不成雙”．解答此類題目，應(yīng)先理解大事中樣本點(diǎn)的意義，再觀看大事中樣本點(diǎn)的規(guī)律，才能確定隨機(jī)大事的含義．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y，結(jié)果為(x，y)(不考慮指針落在分界線上的狀況)．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)寫出大事A：“x＋y＝5”和大事B：“x<3且y>1”的集合表示；(3)說出大事C＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}，D＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}所表示的含義．[解](1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)大事A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}；大事B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}．(3)大事C表示“xy＝4”，大事D表示“x＝y(tǒng)”．1．(多選)下列大事是隨機(jī)大事的是()A．東邊日出西邊雨B．下雪不冷化雪冷C．清明季節(jié)雨紛紛D．梅子黃時(shí)日日晴ACD[B是必定大事，其余都是隨機(jī)大事．]2．從含有8件正品、2件次品的10件產(chǎn)品中，任意抽取3件，則必定大事是()A．3件都是正品B．至少有1件次品C．3件都是次品D．至少有1件正品D[將抽到正品記為1，次品記為0，則樣本空間Ω＝{(1，1，0)，(1，0，0)，(1，1，1)}，因此至少有1件正品為必定大事．]3．依次投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為X，那么X＝4表示的隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)是()A．第一枚是3點(diǎn)，其次枚是1點(diǎn)B．第一枚是3點(diǎn)，其次枚是1點(diǎn)或第一枚是1點(diǎn)，其次枚是3點(diǎn)或兩枚都是2點(diǎn)C．兩枚都是4點(diǎn)D．兩枚都是2點(diǎn)B[依次投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為X，那么X＝4表示的隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)是第一枚是3點(diǎn)，其次枚是1點(diǎn)或第一枚是1點(diǎn)，其次枚是3點(diǎn)或兩枚都是2點(diǎn)．故選B.]4．一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩，則關(guān)于兩個(gè)孩子的性別的隨機(jī)大事的樣本空間Ω＝________．[答案]{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．確定樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法有哪些？書寫樣本點(diǎn)時(shí)經(jīng)常留意哪些問題？[提示]確定樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法有：列舉法、列表法、樹狀圖法．書寫樣本點(diǎn)時(shí)經(jīng)常留意以下問題：要按挨次寫，特殊要留意題目中的有關(guān)字眼，如“先后”“依次”“挨次”“放回”“不放回”等．2．如何寫出試驗(yàn)的樣本空間？[提示]確定試驗(yàn)的樣本空間就是寫出試驗(yàn)的全部可能的結(jié)果，并寫成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．3．如何推斷一個(gè)大事是否為隨機(jī)大事、必定大事和不行能大事？[提示]看結(jié)果是否發(fā)生，肯定發(fā)生的是必定大事，肯定不發(fā)生的是不行能大事，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的是隨機(jī)大事．課時(shí)分層作業(yè)(四十四)有限樣本空間與隨機(jī)大事一、選擇題1．下列現(xiàn)象中，不行能大事是()A．三角形的內(nèi)角和為180°B．a(chǎn)⊥α，b⊥α，a∥bC．銳角三角形中兩內(nèi)角和小于90°D．三角形中任意兩邊之和大于第三邊C[銳角三角形中兩內(nèi)角和大于90°.]2．試驗(yàn)E：“任取一個(gè)兩位數(shù)，觀看個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和的狀況”，則該試驗(yàn)的樣本空間為()A．{10，11，…，99} B．{1，2，…，18}C．{0，1，…，18} D．{1，2，…，10}[答案]B3．某校高一班級要組建書法、乒乓球、機(jī)器人、籃球四個(gè)愛好小組，某同學(xué)只選報(bào)其中的2個(gè)，則樣本點(diǎn)共有()A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)D[該生選報(bào)的全部可能狀況是：書法和乒乓球、書法和機(jī)器人、書法和籃球、乒乓球和機(jī)器人、乒乓球和籃球、機(jī)器人和籃球，所以樣本點(diǎn)有6個(gè)．]4．從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選出2人，觀看選出的2人，設(shè)大事M為“甲被選中”，則大事M含有的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．2B．4C．6D．8B[設(shè)5名同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁、戊，則M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，∴M含有4個(gè)樣本點(diǎn)．]5．在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注1，2，3，4，5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外其他完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出小球標(biāo)注的數(shù)字之差的確定值為2或4的大事包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．2B．4C．6D．8B[從5個(gè)小球中任取2個(gè)，其中數(shù)字之差的確定值為2或4的大事包含(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4個(gè)樣本點(diǎn)．故選B.]二、填空題6．投擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為8所包含的樣本點(diǎn)有______個(gè)．5[樣本點(diǎn)為(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5個(gè)．]7．下列試驗(yàn)中是隨機(jī)大事的有________．①某收費(fèi)站在一天內(nèi)通過的車輛數(shù)；②一個(gè)平行四邊形的對邊平行且相等；③某運(yùn)動(dòng)員在下屆奧運(yùn)會(huì)上獲得冠軍；④某同學(xué)在回家的路上撿到100元錢；⑤沒有水和陽光的條件下，小麥的種子發(fā)芽．①③④[①③④都是隨機(jī)大事，②是必定大事，⑤是不行能大事．]8．從1，2，3，…，10中任意選一個(gè)數(shù)，這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為________，滿足“它是偶數(shù)”樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}5[樣本空間為Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中滿足“它是偶數(shù)”樣本點(diǎn)有：2，4，6，8，10，共有5個(gè)．]三、解答題9．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)求這個(gè)試驗(yàn)樣本點(diǎn)的總數(shù)；(3)寫出“第一象限內(nèi)的點(diǎn)”所包含的樣本點(diǎn)．[解](1)Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，(5，3)，(6，3)}．(2)試驗(yàn)樣本點(diǎn)的總數(shù)是12．(3)“第一象限內(nèi)的點(diǎn)”所包含的樣本點(diǎn)為：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3)．10．在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，其中不是隨機(jī)大事的是()A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．恰有1件正品C[25件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不行能取出3件都是次品，則“3件都是次品”不是隨機(jī)大事．]11．(多選)給出關(guān)于滿足A?B的非空集合A，B的四個(gè)命題，其中正確的命題是()A．若任取x∈A，則x∈B是必定大事B．若任取x?A，則x∈B是不行能大事C．若任取x∈B，則x∈A是隨機(jī)大事D．若任取x?B，則x?A是必定大事ACD[依據(jù)A?B的Venn圖(圖略)可知，對于A，集合A中的全部元素都在B中，故A正確；對于B，當(dāng)集合B的范圍比A大時(shí)，不在A中的元素，有可能在B中，故B錯(cuò)誤，應(yīng)為“若任取x?A，則x∈B是隨機(jī)大事”；對于C，由于A?B，所以在B中的元素有可能在A中，易知C正確；對于D，由于B包含A，故若所取元素不在B中，則必不在A中，故D正確．]12．將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a，b，設(shè)大事M為“方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解”，則大事M中含有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．6B．17C．19D．21C[將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a和b，∵方程ax2＋bx＋1＝0(a＞0)有實(shí)數(shù)解，∴Δ＝b2－4a≥0，則M＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，共含19個(gè)樣本點(diǎn)．]13．寫出下列試驗(yàn)的樣本空間：(1)甲