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文檔簡介
10.1隨機大事與概率10.1.1有限樣本空間與隨機大事學習任務1.結(jié)合具體實例,理解樣本點和有限樣本空間的含義.(數(shù)學抽象)2.理解隨機大事與樣本點的關(guān)系.(數(shù)學建模)觀看下列試驗,思考這類現(xiàn)象的共性是什么?(1)拋擲一枚硬幣,觀看正面、反面消滅的狀況;(2)拋擲一枚骰子,觀看消滅點數(shù)的狀況.學問點1隨機試驗1.定義:我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀看稱為隨機試驗,常用字母E來表示.2.特點:(1)試驗可以在相同條件下重復進行;(2)試驗的全部可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個;(3)每次試驗總是恰好消滅這些可能結(jié)果中的一個,但事先不能確定消滅哪一個結(jié)果.學問點2樣本空間樣本點隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點,用ω表示樣本點樣本空間全體樣本點的集合Ω稱為試驗E的樣本空間有限樣本空間假如一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1,ω2,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間學問點3大事的分類隨機大事將樣本空間Ω的子集稱為隨機大事,簡稱大事,并把只包含一個樣本點的大事稱為基本大事.隨機大事一般用大寫字母A,B,C,…表示.在每次試驗中,當且僅當A中某個樣本點消滅時,稱為大事A發(fā)生必定大事Ω作為自身的子集,包含了全部的樣本點,在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生,所以Ω總會發(fā)生,稱Ω為必定大事不行能大事空集?不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發(fā)生,稱?為不行能大事1.下列現(xiàn)象中,是隨機現(xiàn)象的有________.(填序號)①在一條大路上,交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛;②若a為整數(shù),則a+1為整數(shù);③放射一枚炮彈,命中目標;④檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品.[答案]①③④2.從數(shù)字1,2,3中任取兩個數(shù)字,則該試驗的樣本空間Ω=________.[答案]{(1,2),(1,3),(2,3)}3.在200件產(chǎn)品中,有192件一級品,8件二級品,則下列大事:①“在這200件產(chǎn)品中任意選9件,全部是一級品”;②“在這200件產(chǎn)品中任意選9件,全部都是二級品”;③“在這200件產(chǎn)品中任意選9件,不全是一級品”.其中________是隨機大事;________是不行能大事.(填上大事的編號)[答案]①③②類型1大事類型的推斷【例1】下列大事中,隨機大事是________.(填序號)(1)任取一個整數(shù),被2整除;(2)李明在高一期末考試中數(shù)學成果在120分以上;(3)甲、乙兩人進行競技競賽,甲的實力遠勝于乙,在一次競賽中甲肯定獲勝;(4)當圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍時,圓的面積是原來的4倍.(1)(2)(3)[(1)(2)(3)均是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的大事,為隨機大事,(4)是肯定發(fā)生的大事,為必定大事.]推斷一個大事是哪類大事要看兩點一看條件,由于三種大事都是相對于肯定條件而言的;二看結(jié)果是否發(fā)生,肯定發(fā)生的是必定大事,不肯定發(fā)生的是隨機大事,肯定不發(fā)生的是不行能大事.[跟進訓練]1.下列大事中,必定大事是________;不行能大事是________;隨機大事是________.(填序號)(1)某人購買福利彩票一注,中獎500萬元;(2)三角形的內(nèi)角和為180°;(3)沒有空氣和水,人類可以生存下去;(4)同時拋擲兩枚硬幣一次,都消滅正面對上;(5)從分別標有1,2,3,4的四張標簽中任取一張,抽到1號標簽.(2)(3)(1)(4)(5)[(1)購買一注彩票,可能中獎,也可能不中獎,所以是隨機大事.(2)全部三角形的內(nèi)角和均為180°,所以是必定大事.(3)空氣和水是人類生存的必要條件,沒有空氣和水,人類無法生存,所以是不行能大事.(4)同時拋擲兩枚硬幣一次,不肯定都是正面對上,所以是隨機大事.(5)任意抽取,可能得到1,2,3,4號標簽中的任一張,所以是隨機大事.]類型2確定試驗的樣本空間【例2】拋擲一枚骰子,觀看其朝上面的點數(shù),該試驗的樣本空間含6個樣本點.(1)若將一枚骰子先后拋擲兩次,請列舉出該試驗的樣本空間所包含的樣本點;(2)“向上的點數(shù)之和大于8”包含幾個樣本點?[解](1)用(x,y)表示結(jié)果,其中x表示骰子第1次消滅的點數(shù),y表示骰子第2次消滅的點數(shù),則試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36個樣本點.法一(列舉法):(2)“消滅的點數(shù)之和大于8”包含以下10個樣本點:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).法二(列表法):如圖所示,坐標平面內(nèi)的數(shù)表示相應兩次拋擲后消滅的點數(shù)的和,樣本點與所描點一一對應.(2)“點數(shù)之和大于8”包含10個樣本點(已用虛線圈出).法三(樹狀圖法):一枚骰子先后拋擲兩次的全部可能結(jié)果用樹狀圖表示.如圖所示,(2)“點數(shù)之和大于8”包含10個樣本點(已用“√”標出).樣本點個數(shù)的三個探求方法(1)列舉法:適用樣本點個數(shù)不是很多,可以把樣本點一一列舉出來的狀況,但列舉時必需按肯定的挨次,要做到不重不漏.(2)列表法:適用于試驗中包含兩個或兩個以上的元素,且試驗結(jié)果相對較多的樣本點個數(shù)的求解問題,通常把樣本歸納為“有序?qū)崝?shù)對”,也可用坐標法,列表法的優(yōu)點是精確?????、全面、不易遺漏.(3)樹狀圖法:適用較簡單問題中的樣本點的探求,一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結(jié)果可以用樹狀圖進行列舉.[跟進訓練]2.一個口袋內(nèi)裝有大小相同的4個球,其中2個白球,2個黑球,從中一次摸出2個球.(1)共有多少個樣本點?(2)2個球顏色不同包含幾個樣本點?[解]分別記白球為1,2號,黑球為3,4號.(1)則有以下樣本點:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6個樣本點(其中(1,2)表示摸到1號、2號).(2)“2個球顏色不同”包含(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)4個樣本點.類型3隨機大事的含義【例3】柜子里有3雙不同的鞋,隨機抽取2只,用A1,A2,B1,B2,C1,C2分別表示3雙不同的鞋,其中下標為奇數(shù)表示左腳,下標為偶數(shù)表示右腳,指出下列隨機大事的含義.(1)M={A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,B1C1,B1C2,B2C1,B2C2};(2)N={A1B1,B1C1,A1C1};(3)P={A1B2,A1C2,A2B1,A2C1,B1C2,B2C1}.[解](1)大事M的含義是“從3雙不同的鞋中,隨機抽取2只,取出的2只鞋不成雙”.(2)大事N的含義是“從3雙不同的鞋中,隨機抽取2只,取出的2只鞋都是左腳的”.(3)大事P的含義是“從3雙不同的鞋中,隨機抽取2只,取到的鞋一只是左腳的,一只是右腳的,且不成雙”.解答此類題目,應先理解大事中樣本點的意義,再觀看大事中樣本點的規(guī)律,才能確定隨機大事的含義.[跟進訓練]3.同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤,記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x,轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y,結(jié)果為(x,y)(不考慮指針落在分界線上的狀況).(1)寫出這個試驗的樣本空間;(2)寫出大事A:“x+y=5”和大事B:“x<3且y>1”的集合表示;(3)說出大事C={(1,4),(2,2),(4,1)},D={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}所表示的含義.[解](1)這個試驗的樣本空間為Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.(2)大事A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)};大事B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)}.(3)大事C表示“xy=4”,大事D表示“x=y(tǒng)”.1.(多選)下列大事是隨機大事的是()A.東邊日出西邊雨B.下雪不冷化雪冷C.清明季節(jié)雨紛紛D.梅子黃時日日晴ACD[B是必定大事,其余都是隨機大事.]2.從含有8件正品、2件次品的10件產(chǎn)品中,任意抽取3件,則必定大事是()A.3件都是正品B.至少有1件次品C.3件都是次品D.至少有1件正品D[將抽到正品記為1,次品記為0,則樣本空間Ω={(1,1,0),(1,0,0),(1,1,1)},因此至少有1件正品為必定大事.]3.依次投擲兩枚骰子,所得點數(shù)之和記為X,那么X=4表示的隨機試驗的樣本點是()A.第一枚是3點,其次枚是1點B.第一枚是3點,其次枚是1點或第一枚是1點,其次枚是3點或兩枚都是2點C.兩枚都是4點D.兩枚都是2點B[依次投擲兩枚骰子,所得點數(shù)之和記為X,那么X=4表示的隨機試驗的樣本點是第一枚是3點,其次枚是1點或第一枚是1點,其次枚是3點或兩枚都是2點.故選B.]4.一個家庭有兩個小孩,則關(guān)于兩個孩子的性別的隨機大事的樣本空間Ω=________.[答案]{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}回顧本節(jié)學問,自主完成以下問題:1.確定樣本點個數(shù)的常用方法有哪些?書寫樣本點時經(jīng)常留意哪些問題?[提示]確定樣本點個數(shù)的常用方法有:列舉法、列表法、樹狀圖法.書寫樣本點時經(jīng)常留意以下問題:要按挨次寫,特殊要留意題目中的有關(guān)字眼,如“先后”“依次”“挨次”“放回”“不放回”等.2.如何寫出試驗的樣本空間?[提示]確定試驗的樣本空間就是寫出試驗的全部可能的結(jié)果,并寫成Ω={ω1,ω2,…,ωn}的形式.3.如何推斷一個大事是否為隨機大事、必定大事和不行能大事?[提示]看結(jié)果是否發(fā)生,肯定發(fā)生的是必定大事,肯定不發(fā)生的是不行能大事,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的是隨機大事.課時分層作業(yè)(四十四)有限樣本空間與隨機大事一、選擇題1.下列現(xiàn)象中,不行能大事是()A.三角形的內(nèi)角和為180°B.a(chǎn)⊥α,b⊥α,a∥bC.銳角三角形中兩內(nèi)角和小于90°D.三角形中任意兩邊之和大于第三邊C[銳角三角形中兩內(nèi)角和大于90°.]2.試驗E:“任取一個兩位數(shù),觀看個位數(shù)字與十位數(shù)字的和的狀況”,則該試驗的樣本空間為()A.{10,11,…,99} B.{1,2,…,18}C.{0,1,…,18} D.{1,2,…,10}[答案]B3.某校高一班級要組建書法、乒乓球、機器人、籃球四個愛好小組,某同學只選報其中的2個,則樣本點共有()A.3個B.4個C.5個D.6個D[該生選報的全部可能狀況是:書法和乒乓球、書法和機器人、書法和籃球、乒乓球和機器人、乒乓球和籃球、機器人和籃球,所以樣本點有6個.]4.從甲、乙等5名同學中隨機選出2人,觀看選出的2人,設大事M為“甲被選中”,則大事M含有的樣本點個數(shù)為()A.2B.4C.6D.8B[設5名同學分別為甲、乙、丙、丁、戊,則M={甲乙,甲丙,甲丁,甲戊},∴M含有4個樣本點.]5.在一個袋子中裝有分別標注1,2,3,4,5的五個小球,這些小球除標注的數(shù)字外其他完全相同,現(xiàn)從中隨機取出2個小球,則取出小球標注的數(shù)字之差的確定值為2或4的大事包含的樣本點個數(shù)為()A.2B.4C.6D.8B[從5個小球中任取2個,其中數(shù)字之差的確定值為2或4的大事包含(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4個樣本點.故選B.]二、填空題6.投擲兩枚骰子,點數(shù)之和為8所包含的樣本點有______個.5[樣本點為(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5個.]7.下列試驗中是隨機大事的有________.①某收費站在一天內(nèi)通過的車輛數(shù);②一個平行四邊形的對邊平行且相等;③某運動員在下屆奧運會上獲得冠軍;④某同學在回家的路上撿到100元錢;⑤沒有水和陽光的條件下,小麥的種子發(fā)芽.①③④[①③④都是隨機大事,②是必定大事,⑤是不行能大事.]8.從1,2,3,…,10中任意選一個數(shù),這個試驗的樣本空間為________,滿足“它是偶數(shù)”樣本點的個數(shù)為________.Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}5[樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},其中滿足“它是偶數(shù)”樣本點有:2,4,6,8,10,共有5個.]三、解答題9.已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標.(1)寫出這個試驗的樣本空間;(2)求這個試驗樣本點的總數(shù);(3)寫出“第一象限內(nèi)的點”所包含的樣本點.[解](1)Ω={(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6),(-4,-2),(5,-2),(6,-2),(-4,3),(5,3),(6,3)}.(2)試驗樣本點的總數(shù)是12.(3)“第一象限內(nèi)的點”所包含的樣本點為:(3,5),(3,6),(5,3),(6,3).10.在25件同類產(chǎn)品中,有2件次品,從中任取3件產(chǎn)品,其中不是隨機大事的是()A.3件都是正品 B.至少有1件次品C.3件都是次品 D.恰有1件正品C[25件產(chǎn)品中只有2件次品,所以不行能取出3件都是次品,則“3件都是次品”不是隨機大事.]11.(多選)給出關(guān)于滿足A?B的非空集合A,B的四個命題,其中正確的命題是()A.若任取x∈A,則x∈B是必定大事B.若任取x?A,則x∈B是不行能大事C.若任取x∈B,則x∈A是隨機大事D.若任取x?B,則x?A是必定大事ACD[依據(jù)A?B的Venn圖(圖略)可知,對于A,集合A中的全部元素都在B中,故A正確;對于B,當集合B的范圍比A大時,不在A中的元素,有可能在B中,故B錯誤,應為“若任取x?A,則x∈B是隨機大事”;對于C,由于A?B,所以在B中的元素有可能在A中,易知C正確;對于D,由于B包含A,故若所取元素不在B中,則必不在A中,故D正確.]12.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次,得到的點數(shù)依次記為a,b,設大事M為“方程ax2+bx+1=0有實數(shù)解”,則大事M中含有樣本點的個數(shù)為()A.6B.17C.19D.21C[將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次,得到的點數(shù)依次記為a和b,∵方程ax2+bx+1=0(a>0)有實數(shù)解,∴Δ=b2-4a≥0,則M={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)},共含19個樣本點.]13.寫出下列試驗的樣本空間:(1)甲
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