北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練專題08基礎(chǔ)提升專練：整式的乘除運算(原卷版+解析)

專題08基礎(chǔ)提升專練：整式的乘除運算【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【專練一化簡專練】 1【專練二化簡求值專練】 4【專練三運用乘法公式進行簡便計算專練】 6【專練四變形求值有關(guān)問題的專練】 10【專練五與圖形面積有關(guān)問題的專練】 12【典型例題】【專練一化簡專練】例題：（2021春·山東濟南·七年級?？计谥校┯嬎悖?1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2021春·浙江杭州·七年級?？计谥校┯嬎悖?1)．(2)．2．（2022秋·北京東城·七年級景山學(xué)校?？计谀┯嬎悖?1)；(2)．3．（2021春·山東青島·七年級華東師范大學(xué)青島實驗中學(xué)?？计谥校┯嬎悖?1)．(2)．(3)．(4)．4．（2022秋·陜西渭南·八年級?？茧A段練習(xí)）計算(1)(2)（用簡便方法計算）(3)（轉(zhuǎn)化成完全平方公式或平方差公式）(4)（轉(zhuǎn)化成完全平方公式或平方差公式）【專練二化簡求值專練】例題：（2021春·重慶南岸·七年級重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校┫然喸偾笾担呵蟠鷶?shù)式的值，其中．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·四川廣元·八年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中，．2．（2022春·遼寧沈陽·七年級沈陽市南昌初級中學(xué)（沈陽市第二十三中學(xué)）?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中，．3．（2021春·遼寧沈陽·七年級沈陽市第一二六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求值：．其中，．4．（2022秋·吉林白城·八年級校考階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中，．【專練三運用乘法公式進行簡便計算專練】例題：（2022秋·吉林·八年級統(tǒng)考期末）利用平方差公式計算：．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·上海嘉定·七年級?？计谥校┖啽氵\算：2．（2022秋·上海嘉定·七年級統(tǒng)考期中）利用乘法公式計算：3．（2022秋·河南周口·八年級統(tǒng)考期中）簡便計算：(1)；(2)．4．（2022秋·全國·八年級期末）用簡便方法計算：(1)；(2)；(3)；5．（2022秋·八年級單元測試）簡算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【專練四變形求值有關(guān)問題的專練】例題：（2021秋·上海嘉定·七年級統(tǒng)考期中）如果，求(1)的值；(2)的值．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期中）已知，．(1)求的值；(2)求的值．2．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知，，求下列各式的值．(1)；(2)．3．（2022秋·八年級單元測試）已知，求下列式子的值：(1)；(2)．4．（2022秋·上海松江·七年級?？计谥校┮阎?，．求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【專練五與圖形面積有關(guān)問題的專練】例題：（2022秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期中）如圖，某市有一塊長為米，寬為米的長方形地，規(guī)劃部門將陰影部分進行綠化，中間將修建一座邊長為米的正方形水池．(1)試用含a、b的式子表示綠化部分的面積（結(jié)果要化簡）；(2)當(dāng)，時，求出綠化面積．【變式訓(xùn)練】1．（2021秋·陜西渭南·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）探究下面的問題：(1)如圖甲，在邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形（），把余下的部分剪拼成如圖乙的一個長方形，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，這個等式是________（用含a、b的式子表示），即乘法公式中的公式________（填“完全平方”或“平方差”）．(2)運用你所得到的公式計算：．2．（2022秋·遼寧大連·八年級大連市第三十四中學(xué)?？计谀﹫D1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2形狀拼成一個正方形．(1)圖2中陰影部分的正方形的邊長是______；（用含a、b的式子表示）(2)觀察圖2，用一個等式表示下列三個整式：、、ab之間的等量關(guān)系；(3)根據(jù)（2）問中的等量關(guān)系，解決如下問題：若，，求的值．3．（2022秋·湖北黃岡·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為，寬為的長方形.并用A種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)請用兩種不同的方法表示圖2中大正方形的面積并用等號連接：_______(2)根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：，，求的值；②已知，求的值．專題08基礎(chǔ)提升專練：整式的乘除運算【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【專練一化簡專練】 1【專練二化簡求值專練】 4【專練三運用乘法公式進行簡便計算專練】 6【專練四變形求值有關(guān)問題的專練】 10【專練五與圖形面積有關(guān)問題的專練】 12【典型例題】【專練一化簡專練】例題：（2021春·山東濟南·七年級?？计谥校┯嬎悖?1)；(2)．【答案】(1);(2)．【分析】（1）根據(jù)乘方公式先去括號，然后根據(jù)單項式的乘除法法則進行計算即可；（2）根據(jù)平方差公式和完全平方公式去括號，然后按整式的加減法法則進行計算即可．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式【點睛】本題考查了乘方公式、平方差公式、完全平方差公式以及整式的運算；熟練掌握公式、正確計算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021春·浙江杭州·七年級?？计谥校┯嬎悖?1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)多項式除以單項式運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)平方差公式，完全平方公式，運用整式混合運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了整式混合運算，多項式除以單項式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項式除以單項式運算法則，平方差公式，完全平方公式，準(zhǔn)確計算．2．（2022秋·北京東城·七年級景山學(xué)校?？计谀┯嬎悖?1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先去括號，再根據(jù)整式的除法進行計算即可；（2）先根據(jù)完全平方公式和平方差公式去括號，再合并同類項即可求解．【詳解】（1）原式；（2）原式．【點睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式和整式的除法法則，正確的計算是解決本題的關(guān)鍵．3．（2021春·山東青島·七年級華東師范大學(xué)青島實驗中學(xué)校考期中）計算：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)8(2)(3)(4)【分析】（1）直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)及零指數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方運算法則分別化簡得出答案；（2）利用同底數(shù)冪的乘除法則，積的乘方與冪的乘方運算法則計算，合并即可得出答案；（3）根據(jù)多項式乘以多項式的法則進行計算，合并同類項即可；（4）利用平方差公式以及完全平方公式計算即可．【詳解】（1）（2）（3）（4）【點睛】本題主要考查負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)及零指數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方運算、整式的乘除的混合運算、多項式相乘及乘法公式，熟練掌握對應(yīng)的運算法則及熟記乘法公式是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·陜西渭南·八年級校考階段練習(xí)）計算(1)(2)（用簡便方法計算）(3)（轉(zhuǎn)化成完全平方公式或平方差公式）(4)（轉(zhuǎn)化成完全平方公式或平方差公式）【答案】(1)(2)405(3)(4)【分析】（1）根據(jù)單項式與單項式的乘除法可進行求解；（2）利用平方差公式可進行求解；（3）根據(jù)平方差公式及完全平方公式可進行求解；（4）根據(jù)完全平方公式可進行求解．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點睛】本題主要考查單項式與單項式的乘除法及乘法公式，熟練掌握公式及運算法則是解題的關(guān)鍵．【專練二化簡求值專練】例題：（2021春·重慶南岸·七年級重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校┫然喸偾笾担呵蟠鷶?shù)式的值，其中．【答案】；【分析】根據(jù)完全平方公式，多項式乘以多項式計算括號內(nèi)的，然后計算單項式除以單項式，最后將字母的值代入進行計算即可求解．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了整式的混合運算與化簡求值，正確的計算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·四川廣元·八年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中，．【答案】【分析】先根據(jù)乘法公式化簡中括號里面的運算，然后根據(jù)多項式除以單項式的計算法則進行化簡，最后代值計算即可．【詳解】解：原式

當(dāng)，時，原式．【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，熟知乘法公式和多項式除以單項式的計算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·遼寧沈陽·七年級沈陽市南昌初級中學(xué)（沈陽市第二十三中學(xué)）?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【分析】根據(jù)整式的混合運算法則進行化簡，然后將與的值代入原式計算，即可求出答案．【詳解】解：，當(dāng)，時，原式．【點睛】本題考查了整式的化簡求值問題，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的混合運算法則．3．（2021春·遼寧沈陽·七年級沈陽市第一二六中學(xué)校考階段練習(xí)）先化簡，再求值：．其中，．【答案】，【分析】先根據(jù)乘法公式、單項式乘以多項式法則、合并同類項法則、多項式除以單項式法則進行化簡，然后把x、y的值代入計算即可．【詳解】解：，當(dāng)，時，原式【點睛】本題考考查了整式的化簡求值，掌握乘法公式、單項式乘以多項式法則、合并同類項法則、多項式除以單項式法則是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·吉林白城·八年級?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，8．【分析】直接利用乘法公式以及單項式乘多項式分別化簡，再合并同類項，進而把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．【詳解】解：原式，當(dāng)，時，原式．【點睛】此題主要考查了整式的混合運算—化簡求值，正確運用乘法公式計算是解題關(guān)鍵．【專練三運用乘法公式進行簡便計算專練】例題：（2022秋·吉林·八年級統(tǒng)考期末）利用平方差公式計算：．【答案】6399【分析】利用平方差公式求解即可．【詳解】．【點睛】此題考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式：．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·上海嘉定·七年級校考期中）簡便運算：【答案】．【分析】將拆分為，再利用平方差公式計算即可．【詳解】解：．【點睛】此題考查有理數(shù)的混合運算，解題關(guān)鍵在于掌握平方差公式．2．（2022秋·上海嘉定·七年級統(tǒng)考期中）利用乘法公式計算：【答案】1【分析】原式變形后，利用平方差公式計算即可求出值．【詳解】解:．【點睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河南周口·八年級統(tǒng)考期中）簡便計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)冪的乘方和積的乘方逆用計算即可；（2）把變形為，然后根據(jù)平方差公式計算即可．【詳解】（1）解：（2）解：．【點睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方法則，平方差公式等，熟練掌握相關(guān)運算法則并能正確運用是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·全國·八年級期末）用簡便方法計算：(1)；(2)；(3)；【答案】(1)(2)(3)1【分析】（1）將式子運用平方差公式進行變形即可得；（2）先將前兩項運用平方差公式進行變形，計算得出結(jié)果后再運用平方差公式進行變形計算即可得；（3）先將后兩項運用平方差公式進行變形，再計算乘法，進行．【詳解】（1）解：原式===；（2）解：原式======；（3）解：原式====1．【點睛】本題考查了簡便運算，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式．5．（2022秋·八年級單元測試）簡算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)999999；(2)9610；(3)1；(4)-2009；(5)628．【分析】（1）運用平方差公式簡便運算即可；（2）運用完全平方公式簡便運算即可；（3）部分運用平方差公式簡便運算即可；（4）部分運用平方差公式簡便運算即可；（5）先提取公因數(shù)，然后再運用平方差公式計算即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：＝＝＝1.（4）解：==.（5）解：====628.【點睛】本題主要考查了運用平方差公式和完全平方公式進行簡便運算，靈活運用平方差公式和完全平方公式是解答本題額關(guān)鍵．【專練四變形求值有關(guān)問題的專練】例題：（2021秋·上海嘉定·七年級統(tǒng)考期中）如果，求(1)的值；(2)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由于，代入數(shù)值計算即可；（2）根據(jù)（1）中的值和，代入數(shù)值計算即可．【詳解】（1）解：，得即又；（2）解：．【點睛】本題考查了完全平方公式，解題關(guān)鍵是靈活使用公式，對公式進行變形．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期中）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式得出,再代入求出即可；（2）根據(jù)完全平方公式得出,再代入求出即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）∵，∴．【點睛】本題考查了完全平方公式及其變形公式，解題關(guān)鍵是掌握完全平方公式．2．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知，，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用完全平方差公式變形即可求解；（2）利用完全平方公式變形，將式子用含、的式子表示，再代入求解．【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題考查了完全平方公式及其變形式，根據(jù)公式的特征進行變形是求解的關(guān)鍵．3．（2022秋·八年級單元測試）已知，求下列式子的值：(1)；(2)．【答案】(1)34(2)4【分析】（1）由完全平方公式即可求得結(jié)果；（2）由（1）求得的結(jié)果及即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：，．．（2）解：由（1）得：．．【點睛】本題考查了完全平方公式的變形運用，掌握兩個完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點并能熟練運用是關(guān)鍵．4．（2022秋·上海松江·七年級校考期中）已知，．求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)19(2)13(3)【分析】（1）利用完全平方公式可得，將，代入即可得到答案；（2）利用完全平方公式，結(jié)合（1），代入即可得到答案；（3）根據(jù)平方差公式可得，展開得，將，代入即可得到答案．【詳解】（1）解：，（2）解：，由（1）得（3）解：，【點睛】此題考查完全平方公式和平方差公式的運用，認真審題，仔細觀察和分析題干的已知條件，熟記完全平方公式和平方差公式是解題關(guān)鍵．【專練五與圖形面積有關(guān)問題的專練】例題：（2022秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期中）如圖，某市有一塊長為米，寬為米的長方形地，規(guī)劃部門將陰影部分進行綠化，中間將修建一座邊長為米的正方形水池．(1)試用含a、b的式子表示綠化部分的面積（結(jié)果要化簡）；(2)當(dāng)，時，求出綠化面積．【答案】(1)平方米(2)9平方米【分析】（1）綠化部分的面積等于整體面積減去正方形水池面積．（2）將，代入求解．【詳解】（1）解：由題意可知，綠化面積為：所以綠化面積為平方米．（2）當(dāng)，時，（平方米）【點睛】本題主要考查整式的混合運算的應(yīng)用，熟練掌握整式的混合運算法則是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021秋·陜西渭南·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）探究下面的問題：(1)如圖甲，在邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形（），把余下的部分剪拼成如圖乙的一個長方形，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，這個等式是________（用含a、b的式子表示），即乘法公式中的公式________（填“完全平方”或“平方差”）．(2)運用你所得到的公式計算：．【答案】(1)，平方差(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得：圖甲陰影部分面積等于，圖乙陰影部分面積等于，即可求解；（2）利用平方差公式和完全平方公式即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：圖甲陰影部分面積等于，圖乙陰影部分面積等于，∴這個等式是，即乘法公式中的平方差公式．故答案為，平方差．（2）解：．【點睛】本題主要考查了平方差公式推導(dǎo)及應(yīng)用，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·遼寧大連·八年級大連市第三十四中學(xué)校考期末）圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2形狀拼成一個正方形．(1)圖2中陰影部分的正方形的邊長是______；（用含a、b的式子表示）(2)觀察圖2，用一個等式表示下列三個整式：、、ab之間的等量關(guān)系；(3)根據(jù)（2）問中的等量關(guān)系，解決如下問題：若，，求的值．【答案】(1)(2)(3)4或【分析】（1）根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)即可求得圖乙中陰影