八年級數(shù)學下冊同步練習 第03課 二次根式的加減（原卷版+解析）

第03課二次根式的加減目標導航目標導航課程標準1、理解并掌握同類二次根式的概念和二次根式的加減法法則，會合并同類二次根式，進行簡單的二次根式加減運算；2、會利用運算律和運算法則進行二次根式的混合運算.知識精講知識精講知識點01整式知識點回顧1、同類項：所含字母，并且相同字母的也相同的項叫做同類項，例如3ab與-4ab2、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項，合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的，且字母部分。3、整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。4、平方差公式：(a+b)(a-b)=完全平方公式(a±b)2=5、多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，即(a+b)(m+n)=知識點02同類二次根式將二次根式化成，如果被開方數(shù)，則這樣的二次根式可以合并。合并的方法與合并同類項類似，把括號外的因數(shù)(式)，根指數(shù)和被開方數(shù)，合并的依據(jù)是乘法分配律，如注意：(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成，再看是否相同；(2)幾個二次根式是否是同類二次根式，只與及有關，而與根號外的因式.(3)互為同類二次根式，即表示兩個或者多個二次根式可以合并；知識點03二次根式的加減二次根式加減時，可以先將二次根式化成，再將被開方數(shù)的二次根式進行合并。二次根式的加減法與整式的加減法類似，步驟如下：(1)將各個二次根式化成最簡二次根式；(2)找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；(3)合并被開方數(shù)相同的二次根式—將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變，可簡記為：化簡→判斷→合并。二次根式的加減法與二次根式的乘除法的區(qū)別如下：運算二次根式的乘除法二次根式的加減法系數(shù)系數(shù)相系數(shù)相被開方數(shù)被開方數(shù)相被開方數(shù)化簡結果化成最簡二次根式先化成最簡二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次根式注：(1)化成最簡二次根式后被開方數(shù)不同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結果的一部分；(2)整式加減運算中的交換律、結合律、去括號法則、添括號法則在二次根式運算中仍然適用；(3)根號外的因式就是這個根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要化成的形式。知識點04二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序：先乘方、再乘除、最后加減，有括號的先算括號里面的(或先去掉括號)。在二次根式的運算中，有理數(shù)的運算律、多項式乘法法則及乘法公式仍然適用。注：在進行二次根式的運算時，能用乘法公式的盡量使用乘法公式，有時還需要靈活運用公式和逆用公式，這樣可以使計算過程大大化簡。能力拓展能力拓展考法01同類二次根式的定義【典例1】下列各式，化簡后能與合并的是()A． B． C． D．【即學即練】如果最簡二次根式與能夠合并，那么a的值為()A．2 B．3 C．4 D．5【即學即練】若最簡二次根式與的被開方數(shù)相同,則a的值為()A．- B． C．1 D．-1考法02二次根式混合運算法則【典例2】下列計算結果正確的是()A．＋＝ B．3－＝3C．×＝ D．＝5【即學即練】下列運算正確的是(

)A．+= B．3﹣2=1C．2+=2 D．a(chǎn)﹣b=(a﹣b)【即學即練】下列運算中錯誤的是()A． B． C． D．【典例3】計算()A．7 B．-5 C．5 D．-7【典例4】計算的結果是()A． B． C． D．考法03分母有理化【典例5】已知：a＝，b＝，則a與b的關系是()A．a(chǎn)－b＝0 B．a(chǎn)＋b＝0 C．a(chǎn)b＝1 D．a(chǎn)2＝b2【即學即練】的值是()A． B． C．1 D．考法04二次根式與乘法公式【典例6】已知，則代數(shù)式的值是(

)A． B． C．1 D．2【即學即練】已知x=+1,y=-1,則的值為()A．20 B．16 C．2 D．4【即學即練】已知a＝＋2，b＝－2，求下列代數(shù)式的值：(1)a2b＋b2a；(2)a2－b2.【即學即練】已知x＝，y＝，求的值．考法05二次根式混合計算【典例7】計算(1)()2﹣(﹣)()(2)()﹣(﹣)【即學即練】化簡求值：(1)-×+；(2)．【即學即練】計算：(.分層提分分層提分題組A基礎過關練1．若最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，則a的值是()A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)＝－1 C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)＝－22．下列運算正確的是()A．+= B．=4 C．=2× D．=﹣23．下列運算正確的是()A． B．C． D．4．下列計算中，正確的是()A． B．C． D．5．式子的倒數(shù)是()A． B． C． D．6．若+(a﹣4)2＝0，則化簡的結果是()A． B．± C． D．±7．比較的大小，正確的是()A． B．C． D．8．下列計算：①()2＝2，②＝﹣2，③(﹣2)2＝12，④＝2，⑤，⑥＝﹣1，其中結果正確的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．49．計算：(3－2)2020(3＋2)2021的結果是()A．3－2 B．3＋2 C．1 D．2021題組B能力提升練1．與最簡二次根式5是同類二次根式，則a=_____．2．計算：______．3．計算=________________.4．當x=2+時，式子x2﹣4x+2017=________．5．化簡的結果為_____．6．已知x=+1，y=-1，則x2+xy+y2=_____．7．已知，，則的值是______．8．若+=+，=-，則x+y=_______．9．觀察下列運算過程：……請運用上面的運算方法計算：=_____．題組C培優(yōu)拔尖練1．計算：(1)÷－×÷；(2)×＋；(3)－÷×；(4)(3＋－4)÷；(5).2．已知x=2﹣，求代數(shù)式(7+4)x2+(2+)x+的值．3．計算(＋)÷(＋－)(a≠b)．4．(1)觀察下列各式的特點：，，，，…根據(jù)以上規(guī)律可知：_____(填“＞”“＜”或“＝”)．(2)觀察下列式子的化簡過程：，，，…根據(jù)觀察，請寫出式子(n≥2)的化簡過程．(3)根據(jù)上面(1)(2)得出的規(guī)律計算下面的算式：.第03課二次根式的加減目標導航目標導航課程標準1、理解并掌握同類二次根式的概念和二次根式的加減法法則，會合并同類二次根式，進行簡單的二次根式加減運算；2、會利用運算律和運算法則進行二次根式的混合運算.知識精講知識精講知識點01整式知識點回顧1、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項，例如3ab與-4ab2、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項，合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)和，且字母部分不變。3、整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。4、平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b25、多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn知識點02同類二次根式將二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同，則這樣的二次根式可以合并。合并的方法與合并同類項類似，把括號外的因數(shù)(式)相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)是乘法分配律，如注意：(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；(2)幾個二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關，而與根號外的因式無關.(3)互為同類二次根式，即表示兩個或者多個二次根式可以合并；知識點03二次根式的加減二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。二次根式的加減法與整式的加減法類似，步驟如下：(1)將各個二次根式化成最簡二次根式；(2)找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；(3)合并被開方數(shù)相同的二次根式—將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變，可簡記為：化簡→判斷→合并。二次根式的加減法與二次根式的乘除法的區(qū)別如下：運算二次根式的乘除法二次根式的加減法系數(shù)系數(shù)相乘除系數(shù)相加減被開方數(shù)被開方數(shù)相乘除被開方數(shù)不變化簡結果化成最簡二次根式先化成最簡二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次根式注：(1)化成最簡二次根式后被開方數(shù)不同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結果的一部分；(2)整式加減運算中的交換律、結合律、去括號法則、添括號法則在二次根式運算中仍然適用；(3)根號外的因式就是這個根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要化成假分數(shù)的形式。知識點04二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方、再乘除、最后加減，有括號的先算括號里面的(或先去掉括號)。在二次根式的運算中，有理數(shù)的運算律、多項式乘法法則及乘法公式仍然適用。注：在進行二次根式的運算時，能用乘法公式的盡量使用乘法公式，有時還需要靈活運用公式和逆用公式，這樣可以使計算過程大大化簡。能力拓展能力拓展考法01同類二次根式的定義【典例1】下列各式，化簡后能與合并的是()A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同類二次根式的定義即可求出答案．【詳解】解：與是同類二次根式即可合并，由于=2，2與是同類二次根式，∴2與可以合并，故選C．【點睛】本題考查同類二次根式，解題的關鍵是正確理解同類二次根式，本題屬于基礎題型．【即學即練】如果最簡二次根式與能夠合并，那么a的值為()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)兩最簡二次根式能合并，得到被開方數(shù)相同，然后列一元一次方程求解即可．【詳解】根據(jù)題意得，3a-8=17-2a，移項合并，得5a=25，系數(shù)化為1，得a=5．故選D．【點睛】本題考查了最簡二次根式，利用好最簡二次根式的被開方數(shù)相同是解題的關鍵．【即學即練】若最簡二次根式與的被開方數(shù)相同,則a的值為()A．- B． C．1 D．-1【答案】C【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義可知=，解出a即可.【詳解】依題意=，解得a=1，選C.【點睛】此題主要考查最簡二次根式的定義，解題的關鍵是找到被開方數(shù)相等.考法02二次根式混合運算法則【典例2】下列計算結果正確的是()A．＋＝ B．3－＝3C．×＝ D．＝5【答案】C【詳解】選項A.不能計算.A錯誤.選項B.,B錯誤.選項C.,正確.選項D.,D錯誤.故選C.【即學即練】下列運算正確的是(

)A．+= B．3﹣2=1C．2+=2 D．a(chǎn)﹣b=(a﹣b)【答案】D【詳解】利用二次根式的加減法計算，可知：A、+不能合并，此選項錯誤；B、3﹣2=，此選項錯誤；C、2+不能合并，此選項錯誤；D、a﹣b=(a﹣b)，此選項正確．故選D．【即學即練】下列運算中錯誤的是()A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：根據(jù)二次根式的運算法則分別判斷即可：A、和不是同類根式，不可合并，故此選項運算錯誤，符合題意；B、，故此選項運算正確，不合題意；C、，故此選項運算故此選項運算正確，不合題意；D、，故此選項運算正確，不合題意．故選A．考點：二次根式的運算.【典例3】計算()A．7 B．-5 C．5 D．-7【答案】C【分析】利用最簡二次根式的運算即可得.【詳解】故答案為C【點睛】本題考查二次根式的運算，掌握同類二次根式的運算法則及分母有理化是解題的關鍵.【典例4】計算的結果是()A． B． C． D．【答案】B【分析】原式利用積的乘方變形為，再利用平方差公式計算，從而得出答案．【詳解】====故選B．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．考法03分母有理化【典例5】已知：a＝，b＝，則a與b的關系是()A．a(chǎn)－b＝0 B．a(chǎn)＋b＝0 C．a(chǎn)b＝1 D．a(chǎn)2＝b2【答案】C【分析】先分母有理化求出a、b，再分別代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各個式子的值，即可得出選項．【詳解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，∴a-b=(2+)-(2-)=2，故A選項錯誤，不符合題意；a+b=(2+)+(2-)=4，故B選項錯誤，不符合題意；ab=(2+)×(2-)=4-3=1，故C選項正確，符合題意；∵a2=(2+)2=4+4+3=7+4，b2=(2-)2=4-4+3=7-4，∴a2≠b2，故D選項錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了分母有理化的應用，能求出每個式子的值是解此題的關鍵．【即學即練】的值是()A． B． C．1 D．【答案】B【解析】【分析】先分解，再分母有理化，最后算乘法，最后合并即可．【詳解】原式=，=，=1-，=，=，=.故選B.【點睛】此題考查二次根式的化簡求值，關鍵是審清題意，找準規(guī)律答題．考法04二次根式與乘法公式【典例6】已知，則代數(shù)式的值是(

)A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)x的值和完全平方公式可以解答本題．【詳解】∵x＝?1，∴x2＋2x＋1＝(x＋1)2＝(?1＋1)2＝()2＝2，故選D．【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確二次根式的化簡求值的方法．【即學即練】已知x=+1,y=-1,則的值為()A．20 B．16 C．2 D．4【答案】A【分析】原式利用完全平方公式化簡，將x與y的值代入計算即可求出值．【詳解】當x=+1，y=-1時，x2+2xy+y2=(x+y)2=(+1+-1)2=(2)2=20，故選A．【點睛】此題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【即學即練】已知a＝＋2，b＝－2，求下列代數(shù)式的值：(1)a2b＋b2a；(2)a2－b2.【答案】(1)6(2)8【詳解】試題分析：(1)提公因式分解因式，然后代入數(shù)值進行計算即可得；(2)利用平方差進行因式分解后，把數(shù)值代入進行計算即可得.(1)原式＝ab(b＋a)．當a＝＋2，b＝－2時，原式＝6；(2)原式＝(a＋b)(a－b)．當a＝＋2，b＝－2時，原式＝8.【即學即練】已知x＝，y＝，求的值．【答案】30【解析】試題分析：先求出xy與x+y的值，再根據(jù)分式的加減法則進行計算即可；試題解析：∵x=，y=，

∴xy=×=1，x+y=+=3+2+3-2=6，所以原式＝-4

=36-2-4

=30.考法05二次根式混合計算【典例7】計算(1)()2﹣(﹣)()(2)()﹣(﹣)【答案】(1)4+6(2)5-【解析】【分析】(1)根據(jù)二次根式的運算法則計算即可.(2)根據(jù)二次根式的運算法則計算即可.【詳解】(1)原式=2+4+6﹣(5﹣3)=2+4+6﹣2=4+6.(2)原式=2﹣﹣+3=5﹣.【點睛】本題考查二次根式的計算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關鍵.【即學即練】化簡求值：(1)-×+；(2)．【答案】(1)；(2)16-6．【解析】分析：(1)根據(jù)二次根式的性質，化簡各二次根式，然后合并同類二次根式即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式化簡，然后合并即可.詳解：(1)－×＋=3-+=3-2+=(2)=5-6+9+11-9=16-6.點睛：此題主要考查了二次根式的混合運算，利用二次根式的性質，乘法公式進行計算，關鍵是利用二次根式的性質化簡和最簡二次根式的、同類二次根式的確定.【即學即練】計算：(.【答案】7-2【分析】利用平方差公式和完全平方公式計算即可．【詳解】原式＝＝7﹣2．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．若最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，則a的值是()A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)＝－1 C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)＝－2【答案】A【分析】兩個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，則稱它們是同類二次根式，根據(jù)此定義即可得到關于a的方程，從而可求得a的值．【詳解】∵最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式∴a+1=2a解得：a=1故選：A【點睛】本題考查了同類二次根式，掌握同類二次根式的概念是關鍵．2．下列運算正確的是()A．+= B．=4 C．=2× D．=﹣2【答案】C【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，以及二次根式的性質逐項分析即可．【詳解】A.與不是同類二次根式，不能合并，故不正確；B.=2，故不正確；C.=2，正確；D.=2，故不正確；故選C．【點睛】本題考查了同類二次根式的定義，以及二次根式的性質，化成最簡二次根式后，如果被開方式相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式．熟練掌握，是解答本題的關鍵．3．下列運算正確的是()A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的性質對A進行判斷；根據(jù)二次根式的加減法對B進行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對C進行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對D進行判斷．【詳解】解：A．和不是最簡同類二次根式，不能合并，所以A選項不符合題意；

B．=，所以B選項不符合題意；

C．，所以C選項不符合題意；

D．，所以D選項符合題意．

故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法和除法法則是解決問題的關鍵．4．下列計算中，正確的是()A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質和二次根式的混合運算計算即可得出答案．【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不能合并，此選項錯誤，不符合題意；

B、，此選項錯誤，不符合題意；

C、，此選項正確，符合題意；

D、，此選項錯誤，不符合題意；

故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則．5．式子的倒數(shù)是()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式分母有理化的方法進行化簡即可．【詳解】解：的倒數(shù)是，故選：A．【點睛】本題考查了二次根式的分母有理化，解題關鍵是熟練運用二次根式性質進行分母有理化．6．若+(a﹣4)2＝0，則化簡的結果是()A． B．± C． D．±【答案】A【分析】先根據(jù)算術平方根的非負性、偶次方的非負性求出a、b的值，再代入化簡二次根式即可得．【詳解】由算術平方根的非負性、偶次方的非負性得：，解得，則，故選：A．【點睛】本題考查了算術平方根的非負性、偶次方的非負性、化簡二次根式，熟練掌握算術平方根和偶次方的非負性是解題關鍵．7．比較的大小，正確的是()A． B．C． D．【答案】A【分析】將根號外邊的數(shù)移入到根號里面可進行大小比較．【詳解】解：，，即：；故選：A．【點睛】此題考查了實數(shù)的大小比較．注意：兩個負數(shù)，絕對值大的反而?。?．下列計算：①()2＝2，②＝﹣2，③(﹣2)2＝12，④＝2，⑤，⑥＝﹣1，其中結果正確的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案．【詳解】解：①()2＝2，故①正確．②＝2，故②錯誤．③(﹣2)2＝12，故③正確．④，故④錯誤．⑤與不是同類二次根式，故⑤錯誤，⑥()()＝2﹣3＝﹣1，故⑥正確．故選：C．【點睛】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的運算是解題的關鍵．9．計算：(3－2)2020(3＋2)2021的結果是()A．3－2 B．3＋2 C．1 D．2021【答案】B【分析】先根據(jù)積的乘方得到原式=(3－2)2020×(3＋2)2020×(3＋2)=[(3－2)×(3＋2)]2020×(3＋2)，然后利用平方差公式計算．【詳解】解,原式=(3－2)2020×(3＋2)2020×(3＋2)=[(3－2)×(3＋2)]2020×(3＋2)=(9-8)2020×(3＋2)=3＋2故答案為:B【點睛】本題考查了積的乘方，平方差公式，二次根式的混合運算的應用，主要考查學生的計算能力．題組B能力提升練1．與最簡二次根式5是同類二次根式，則a=_____．【答案】2【詳解】分析：先將化成最簡二次根式，然后根據(jù)同類二次根式得到被開方數(shù)相同可得出關于a的方程，解出即可．詳解：∵與最簡二次根式5是同類二次根式，且=2，∴a+1=3，解得：a=2．故答案為2．點睛：本題考查了同類二次根式的定義：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．2．計算：______．【答案】【分析】把兩個二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】故答案為：【點睛】本題考查了二次根式的減法運算，關鍵是把算式中的二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式即可．3．計算=________________.【答案】【解析】=，故答案為.4．當x=2+時，式子x2﹣4x+2017=________．【答案】2016【詳解】把所求的式子化成(x﹣2)2+2013然后代入式子計算，即可得到：x2﹣4x+2017=(x﹣2)2+2013=()2+2013=3+2013=2016．故答案是：2016．點睛：此題主要考查了配方法的應用，解題關鍵是把式子配成完全平方，然后整體代入即可求解，考查了學生對整體思想的認識和應用，學生對整體思想不熟時出錯的主要原因.5．化簡的結果為_____．【答案】+1【分析】利用積的乘方得到原式＝[(﹣1)(+1)]2017?(+1)，然后利用平方差公式計算．【詳解】原式＝[(﹣1)(+1)]2017?(+1)＝(2﹣1)2017?(+1)＝+1．故答案為+1．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．6．已知x=+1，y=-1，則x2+xy+y2=_____．【答案】10【詳解】根據(jù)完全平方式的特點，可得x2+xy+y2=(x+y)2﹣xy=(2)2﹣(+1)(﹣1)=12﹣2=10．故答案為10．7．已知，，則的值是______．【答案】．【分析】先對a、b分母有理化，然后將因式分解，最后將a、b的值代入計算即可．【詳解】解：∵，，∴．故填：．【點睛】本題主要考查了分母有理化以及因式分解的應用，正確的對a、b因式分解是解答本題的關鍵．8．若+=+，=-，則x+y=_______．【答案】8+2【詳解】根據(jù)配方法，由完全平方公式可知x+y==()2-2，然后把+=+，=-整體代入可得原式=(+)2-2(-)=5+3+2-2+