高二上學期期末復習【第二章 直線和圓的方程】十大題型歸納（基礎篇）（解析版）

高二上學期期末復習第二章十大題型歸納（基礎篇）【人教A版（2019）】題型1題型1直線的傾斜角與斜率的求解1．（2023上·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）直線l:x=0的傾斜角為（

）A．0 B．π2 C．π D【解題思路】利用傾斜角的定義分析運算即可得解.【解答過程】解：直線l:x=0即為y軸，y軸和x軸垂直，又知傾斜角的范圍是0,π∴由定義可知直線l:x=0傾斜角為π2故選：B.2．（2023下·陜西漢中·高二校聯(lián)考期末）已知直線l經(jīng)過A-1,4，B1,2兩點，則直線l的斜率為（A．3 B．-3 C．1 D．-1【解題思路】直接代入直線斜率公式即可.【解答過程】因為直線l經(jīng)過A-1,4，B所以直線l的斜率為kAB故選：D．3．（2023上·河南南陽·高二?？茧A段練習）已知直線l過點A2m,3，B(1)若直線l的傾斜角為45°，求實數(shù)m(2)若直線l的傾斜角為鈍角，求實數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)斜率公式和斜率為傾斜角的正切值可得.（2）傾斜角為鈍角時，斜率小于0，再利用斜率公式可得.【解答過程】（1）由題意得2m-23--1=（2）由題意得2m-23--1<0故實數(shù)m的取值范圍為-∞4．（2023·全國·高二課堂例題）已知平面直角坐標系中的四條直線l1,l2,

【解題思路】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【解答過程】由題意，結(jié)合直線l1,l因為ki又因為正切函數(shù)在0,π2遞增且函數(shù)值大于0，在π2所以k3題型2題型2直線方程的求解1．（2023下·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過點A1,2，傾斜角為π4的直線的點斜式方程為（A．y-2=x-1 B．y=x+1.C．x-y+1=0 D．x-y=-1【解題思路】根據(jù)題意，由直線得點斜式方程，代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】因為傾斜角為π4，則斜率k=tanπ則y-2=1x-1，即y-2=x-1故選：A.2．（2023下·湖北恩施·高二?？计谀┻^點A2,3且平行于直線2x+y-5=0的直線方程為（

A．x-2y+4=0 B．2x+y-7=0 C．x-2y+3=0 D．x-2y+5=0【解題思路】由平行關(guān)系設出直線方程，再根據(jù)過點A2,3【解答過程】∵所求直線與直線2x+y-5=0平行，∴可設所求直線方程為2x+y+c=0(c≠-5)，又過點A2,3，則4+3+c=0，解得c=-7∴所求直線方程為2x+y-7=0故選：B．3．（2023上·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）已知直線l1:2x+y-2=0,l1與x軸，y軸的交點分別為A,B.直線l2(1)求直線l2(2)求線段AB的中垂線方程.【解題思路】（1）根據(jù)題意求出點的坐標和斜率，利用點斜式方程求解即可；（2）求出中點坐標和斜率，利用點斜式方程求解即可.【解答過程】（1）設直線l2的斜率為k2過令y=0，得x=-1由直線的點斜式方程y-y0=k化簡得x-y-1=0，所以所求的直線方程為x-y-1=0.（2）設線段AB的中垂線斜率為k，線段AB的中點為C，設直線l1的斜率為k由直線l1:2x+y-2=0可得y=-2x+2，則由垂直關(guān)系可知，kk1=-1令x=0，得y=2，所以B0,2由中點坐標公式可知，c1+02,由直線的點斜式方程y-y0=k化簡得2x-4y-3=0，即線段AB的中垂線方程是2x-4y+3=0.4．（2023上·甘肅臨夏·高二校考期末）已知直線l過點M2,1，O(1)若l與OM垂直，求直線l的方程：(2)若直線與2x-y+1=0平行，求直線l的方程．【解題思路】（1）根據(jù)垂直關(guān)系可得直線l斜率，利用直線點斜式可整理得到直線方程；（2）根據(jù)平行關(guān)系可假設直線方程，代入所過點坐標即可求得結(jié)果.【解答過程】（1）∵kOM=1-02-0=1又直線l過點M2,1，∴直線l方程為：y-1=-2x-2，即（2）由題意可設直線l方程為：2x-y+c=0，又直線l過點M2,1，∴4-1+c=0，解得：c=-3∴直線l方程為：2x-y-3=0.題型3題型3直線的交點問題1．（2023上·廣東東莞·高二?？计谥校┤糁本€l1:ax+y-4=0與直線l2:x-y-2=0的交點位于第一象限，則實數(shù)A．-1,2 B．-1,+∞ C．-∞,2【解題思路】分a=-1和a≠-1討論，當a≠-1時求出交點，根據(jù)交點位于第一象限列不等式組求解可得.【解答過程】當a=-1時，l1:x-y+4=0，此時當a≠-1時，解方程組ax+y-4=0x-y-2=0得x=由題知6a+1>04-2a即實數(shù)a的取值范圍為-1,2.故選：A.2．（2023上·安徽宿州·高二校考階段練習）若y=-ax的圖象與直線y=-a+x(a<0)有兩個不同的交點，則a的取值范圍是（

A．-1<a<0 B．a(chǎn)<-1C．a(chǎn)<0 D．a(chǎn)=-1【解題思路】根據(jù)題意，分x≥0與x<0討論，結(jié)合條件，列出不等式，即可得到結(jié)果.【解答過程】當x≥0時，由-ax=-a+x可得，-ax=-a+x，當a≠-1時，解得當x<0時，由-ax=-a+x可得，ax=-a+x，由a<0可知，方程的解是又y=-ax的圖象與直線y=-a+x(a<0)所以aa+1≥0-aa-1綜上所述，a<-1.故選：B.3．（2023上·全國·高二專題練習）判斷下列直線是否相交，若相交，求出交點的坐標.(1)l1:3x-y+4=0，(2)l1:3x-5y+10=0，【解題思路】（1）聯(lián)立方程求出交點坐標；（2）l2:9x-15y+30=0化簡得到3x-5y+10=0【解答過程】（1）解方程組3x-y+4=0x+3y+2=0，得x=-所以這兩條直線相交，交點坐標是-7（2）由l2:9x-15y+30=0化為方程所以3x-5y+10=09x-15y+30=0故l1:3x-5y+10=0與l4．（2022·高二課時練習）三條直線l1:x+y+1=0?l2:2x-y+8=0?l【解題思路】首先確定l1,l2有一個交點，則若三條直線有且僅有兩個交點，需l【解答過程】由x+y+1=02x-y+8=0得：x=-3y=2，即l1∴l(xiāng)3//即1×3-a=0或2×3+a=0，解得：a=3或a=-6.題型4題型4距離公式的應用1．（2023上·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知直線l1:x+ay+2=0，l2:2x+4y+3=0相互平行，則l1A．510 B．55 C．25【解題思路】根據(jù)兩直線平行得到關(guān)于a的方程，求出a的值，再由兩平行線之間的距離公式計算即可.【解答過程】因為直線l1:x+ay+2=0，所以2a-4=0，解得a=2，所以l1:x+2y+2=0，即所以l1、l2之間的距離故選：A.2．（2023上·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）點D-2,-2到直線l:2x-y+mx-m=0m∈RA．5 B．5 C．22 D．【解題思路】首先確定直線l所過的定點，再利用數(shù)形結(jié)合求點到直線的距離的最大值.【解答過程】直線l：2x-y+mx-1

令x-1=02x-y=0，x=1y=2，得直線l過定點A所以直線l表示過定點1,2的直線，如圖，當DA⊥l時，DA表示點到直線的距離，當DA不垂直于l時，DB表示點到直線的距離，顯然DB<所以點D到直線l距離的最大值為DA=所以點D到直線l距離的最大值為DA=5故選：A.3．（2023上·新疆巴音郭楞·高二校聯(lián)考期末）已知直線x-2y+3=0與直線3x+y+2=0交于點P．(1)求過點P且平行于直線3x+4y-5=0的直線l1(2)求過點P且垂直于直線4x+3y+2=0的直線l2【解題思路】（1）聯(lián)立方程得到P-1,1，根據(jù)平行得到斜率的關(guān)系，代入點坐標得到直線方程，再計算距離即可（2）根據(jù)垂直關(guān)系得到斜率的關(guān)系，代入點坐標得到答案.【解答過程】（1）x-2y+3=03x+y+2=0，解得x=-1y=1，故設直線l1的方程為y=k1x+b1,則k1=-34，直線過點P-1,1故直線方程為y=-34x+兩平行線之間的距離為d=-1+5（2）設直線l2的方程為y=k2x+b2，直線故k2=34，直線過點P-1,1，故1=-即3x-4y+7=0.4．（2023下·浙江臺州·高一溫嶺中學?？计谀┮阎谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，△ABC三個頂點坐標為A(1)求直線AB方程；(2)求△ABC的面積.【解題思路】（1）根據(jù)坐標求出直線斜率，結(jié)合點斜式方程求法求解即可；（2）先求出A,B兩點間距離，再求出C到直線AB的距離，根據(jù)三角形面積公式求解答案即可.【解答過程】（1）由已知得，直線AB斜率存在，為3--3所以直線AB方程為y-3=-2(x+1)?整理得直線AB方程為y=-2x+1（2）因為A-1,3所以AB=直線AB方程為2x+y-1=0，C到直線AB的距離d=2×所以△ABC的面積為12題型5題型5圓的方程的求解1．（2023下·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）若圓C經(jīng)過點A2,5，B4,3，且圓心在直線l：3x-y-3=0上，則圓C的方程為（A．x-22+y-3C．x-32+y-6【解題思路】求解AB的中垂線方程，然后求解圓的圓心坐標，求解圓的半徑，然后得到圓的方程.【解答過程】圓C經(jīng)過點A2,5，B可得線段AB的中點為3,4，又kAB所以線段AB的中垂線的方程為y-4=x-3，即x-y+1=0，由x-y+1=03x-y-3=0，解得x=2即C2,3，圓C的半徑r=所以圓C的方程為x-22故選：A.2．（2023上·云南臨滄·高二?？计谀┮阎霃綖?的圓C的圓心與點P-2,1關(guān)于直線x-y+1=0對稱，則圓C的標準方程為（

A．(x+1)2+(y-1)C．x2+(y+1)【解題思路】設出圓心坐標，根據(jù)對稱關(guān)系列出方程組，求出圓心坐標，結(jié)合半徑為3，即可求解.【解答過程】設圓心坐標Ca,b，由圓心C與點P關(guān)于直線y=x+1得到直線CP與y=x+1垂直，結(jié)合y=x+1的斜率為1，得直線CP的斜率為-1，所以1-b-2-a=-1，化簡得再由CP的中點在直線y=x+1上，1+b2=a-2聯(lián)立①②，可得a=0,b=-1，所以圓心C的坐標為0,-1，所以半徑為3的圓C的標準方程為x2故選：C.3．（2023下·新疆阿克蘇·高二?？计谀┣笙铝懈鲌A的方程.(1)圓心為點C8,-3，且過點A(2)過A-1,5，B5,5，【解題思路】（1）求出半徑，利用圓的標準方程寫出即可.（2）設出圓的一般方程，將三點代入解出即可.【解答過程】（1）由題意知半徑r=(8-5)所以圓的方程為：(x-8)2（2）設圓的一般方程為：x2將A-1,5，B5,5，1+所以圓的方程為：x24．（2023下·云南曲靖·高一校考期末）已知圓C經(jīng)過點A1,4,B-1,-2且圓心C在直線(1)求圓C方程；(2)若E點為圓C上任意一點，且點F3,0，求線段EF的中點M的軌跡方程【解題思路】（1）根據(jù)題意利用待定系數(shù)法運算求解；（2）根據(jù)題意利用相關(guān)點法運算求解.【解答過程】（1）設圓C的標準方程為x-a2+y-b由題意可得2a-b+8=01-a2+所以圓C的標準方程為x+32（2）設Mx,y由F3,0及M為線段EF的中點得x=x1+32又因為點E在圓C：x+32+y-2化簡得：x2故所求的軌跡方程為x2題型6直線與圓的位置關(guān)系的判定題型6直線與圓的位置關(guān)系的判定1．（2023下·貴州·高二校聯(lián)考期末）圓C：x2+y2+4x-2y+1=0與直線lA．相切 B．相離 C．相交 D．無法確定【解題思路】由圓心到直線的距離等于半徑可判斷相切.【解答過程】由x2+y所以圓C的圓心坐標為-2,1，半徑為2，由x4-y圓心到直線l的距離為：-2×3-4×13故圓C與直線l相切，故選：A.2．（2023下·黑龍江牡丹江·高二校考期末）“4-30<a<4+30”是“直線l:2x-y=1與圓C:x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)直線和圓相離求得參數(shù)a的取值范圍，比較該范圍和4-30<a<4+【解答過程】將C:x2+x2+y2所以a>2或a<-2，其圓心為C-a,1因為直線l:2x-y=1與圓C:x故圓心C到直線l的距離d=-2a-1-15>結(jié)合a>2或a<-2可得2<a<4+（15<4,∴16<32-4則4-30<a<4+30成立推不出直線l:2x-y=1反之成立，故“4-30<a<4+30”是“直線l:2x-y=1與圓C:故選：B.3．（2023上·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）已知直線l:x+y-1=0和圓心為C的圓x2(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系；(2)如果相交，求直線被圓所截得的弦長.【解題思路】（1）代數(shù)法：聯(lián)立方程，根據(jù)得到方程解的個數(shù)判斷位置關(guān)系.幾何法：由已知得出圓心、半徑，根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，即可判斷；（2）代數(shù)法：根據(jù)（1）求出的方程，解出點的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式，即可求出弦長.幾何法：根據(jù)垂徑定理，即可求出答案.【解答過程】（1）解法1:代數(shù)方法聯(lián)立直線l與圓C的方程x+y-1=0x消去y，得x2=1，所以所以，直線l與圓C相交，有兩個公共點.解法2:幾何法將圓C方程化成標準方程(x-1)2+(y-2)2=4，因此圓心C的坐標為1,2，半徑為2所以，直線l與圓C相交，有兩個公共點.（2）解法1:代數(shù)方法設Ax1,由（1）可知x=±1，不妨設x1=1，則y1=0，所以，A(-1,2)，B(1,0).因此AB=解法2:幾何法由（1）可知直線l與圓C有兩個交點，且圓的半徑r=2，圓心C到直線的距離d=2由垂徑定理，得AB=24．（2023上·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）已知點A-1,2和直線l:6x-4y+1=0.點B是點A關(guān)于直線l的對稱點(1)求點B的坐標；(2)O為坐標原點，且點P滿足PO=3PB.若點P的軌跡與直線x+my-1=0有公共點，求【解題思路】（1）設點Bx,y（2）設點Px,y，根據(jù)PO=3PB求得P點軌跡方程，根據(jù)點P【解答過程】（1）設點Bx,y，由題意知線段AB的中點Mx-12故：6x-12又∵直線AB垂直于直線l，故y-2x+1=-聯(lián)立①②式解得：x=2y=0，故點B的坐標為2,0（2）設點Px,y，由題PO=3故x2+y又∵直線x+my-1=0與圓(x-3)2故3-1m2+1題型7題型7直線與部分圓的相交問題1．（2023下·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若直線y=kx-1與曲線y=-x2+4x-3恰有兩個公共點，則實數(shù)A．43,+∞ B．1,43 C【解題思路】根據(jù)題意得：y=kx-1為恒過定點A(0,-1)的直線，曲線表示圓心為(2,0)，半徑為1的上半圓，由此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出k的取值范圍．【解答過程】根據(jù)題意得y=kx-1為恒過定點A(0,-1)的直線，由曲線y=-x2所以曲線表示圓心為C(2,0)，半徑為1的上半圓，如圖所示，

當直線與圓C相切時，有2k-1k2+1=1，解得把B(1,0)代入y=kx-1得k-1=0，解得k=1，因為直線y=kx-1與曲線y=-由圖可得1≤k<43，即k的取值范圍是故選：B．2．（2023上·浙江臺州·高二期末）已知曲線C:y=m2+1-x2-1(y≥0)，若存在斜率為-2的直線與曲線A．(-1,1) B．(-2,2) C．(-∞,-1)∪(1,+∞【解題思路】數(shù)形結(jié)合，分析CB斜率可得.【解答過程】由y=m2+1-x2記右側(cè)交點為B(|m|,0)，則當kCB<12時，存在斜率為-2的直線與曲線C相切，且切點在第一象限，故此時存在斜率為-2故1|m|<1故選：D.3．（2023上·高二課時練習）已知直線y=x+m和曲線y=1-x2【解題思路】易得曲線y=1-x2表示圓x2+y【解答過程】曲線y=1-x2表示圓x2+當直線y=x+m與半圓相切時，m>0，此時m1+1=1，解得m=2當直線y=x+m過點-1,0時，m=1，由圖可知，m∈1,4．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知曲線C:y=1+4-x2(1)試探究曲線C的形狀；(2)若直線l與曲線C有兩個公共點，求k的取值范圍．【解題思路】（1）先求出x,y的取值范圍，再對y=1+4-（2）由題意可得直線l恒過定點A(2,4)，然后畫出圖形，結(jié)合圖形求解即可.【解答過程】（1）由4-x2≥0，得-2≤x≤2由y=1+4-x2，得x2+所以曲線C是以(0,1)為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示．

（2）直線l:y=k(x-2)+4恒過定點A(2,4)，當直線l與半圓相切，D為切點時，圓心到直線l的距離d=r，

所以3-2kk2+1當直線l過點B(-2,1)時，直線l的斜率k=4-1則直線l與半圓有兩個不同的交點時，實數(shù)k的取值范圍為512題型8題型8圓與圓的位置關(guān)系的判定及應用1．（2023上·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知圓C1:(x-1)2+y2=1，圓A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切【解題思路】確定兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判斷位置關(guān)系即可.【解答過程】圓C1的圓心C11,0與圓C2的圓心又圓C1的半徑為1，圓C2的半徑為2，且圓心距等于圓C1所以圓C1與圓C故選：C.2．（2023上·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓C1：x-12+y+22=r2r>0A．0,1 B．1,5 C．1,9 D．5,9【解題思路】根據(jù)題意得到r-4≤C【解答過程】由題知：C11,-2，r1=r，C1因為C1和C2有公共點，所以解得1≤r≤9.故選：C.3．（2023上·江蘇鹽城·高二?？计谀┮阎獔AC:x(1)若直線l:y=x-m與圓C相切，求實數(shù)m的值．(2)若圓C與圓M:x2+y【解題思路】（1）求出圓C的圓心和半徑，再利用點到直線距離公式，列式求解作答.（2）求出圓M的圓心和半徑，再結(jié)合兩圓外切列出方程，求解作答.【解答過程】（1）圓C:(x+1)2+(y+2)2=5-m，則有因為直線l:x-y-m=0與圓C相切，則有|-1-(-2)-m|12+(-1)2所以實數(shù)m的值-3或3.（2）圓M:(x-2)2+(y-2)2=16因為圓C與圓M外切，則有|MC|=r+r'，由（1）得5-m+4=所以實數(shù)m的值為4.4．（2023上·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知圓C1:(x-1)2+(1)求圓心C1到直線l(2)已知直線l與圓C1交于M，N兩點，求弦MN(3)判斷圓C1與圓C2【解題思路】（1）利用點到直線的距離公式求得正確答案.（2）根據(jù)弦長公式求得正確答案.（3）根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系確定兩圓的位置關(guān)系.【解答過程】（1）圓C1的圓心為C11,2圓C2的方程可化為x+2所以圓心為C2-2,-2，半徑所以圓心C1到直線l的距離為d=（2）MN=2（3）C1C題型9題型9圓系方程及其應用1．（2022下·江西宜春·高一?？茧A段練習）求過兩圓x2+y2-2y-4=0和xA．x2+yC．x2+y【解題思路】先計算出兩圓的交點A,B所在直線，進而求出線段AB的垂直平分線，與2x+4y-1=0聯(lián)立求出圓心坐標，再求出半徑，寫出圓的標準方程，從而求出圓的一般方程.【解答過程】x2+y2-2y-4=0將y=x-1代入x2+y即2x設兩圓x2+y2-2y-4=0則x=1±62，x1不妨設A1+所以線段AB的中點坐標為x1因為直線AB的斜率為1，所以線段AB的垂直平分線的斜率為-1，所以線段AB的垂直平分線為y=-x-1y=-x+1與2x+4y-1=0聯(lián)立得：x=3故圓心坐標為32,-1所以圓的方程為x-3整理得：x故選：D.2．（2023上·廣東佛山·高三統(tǒng)考階段練習）已知圓M的圓心為-1,-2，且經(jīng)過圓Q：x2+y2+6x-4=0與圓O2：A．5π B．25π C．10π【解題思路】聯(lián)立圓Q與圓O2的方程，解得兩交點坐標，即可求得圓M的半徑，從而可得答案【解答過程】解：聯(lián)立x2+y2+6x-4=0所以圓M的半徑為：-1+12所以M的面積為25π故選：B．3．（2023上·安徽安慶·高二?？茧A段練習）已知圓C1：x(1)求兩圓公共弦所在直線的方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點，且圓心在直線x+y-6=0上的圓的方程．【解題思路】（1）將兩個圓的方程相減即可得到公共弦直線方程；（2）先由圓的方程解出交點坐標，再列方程求解圓心即可得到答案.【解答過程】（1）因為圓C1：x所以將C1：x得兩圓公共弦所在直線的方程為x+y-2=0（2）由x2解得x=3y=-1或x=-1y=3，則交點為∵圓心在直線x+y-6=0上，所以設圓心為P6-n,n則AP=BP，即解得n=3，故圓心P3,3，半徑r=∴所求圓的方程為(x-3)24．（2022上·全國·高二專題練習）已知圓C1：x(1)求證：圓C1與圓C(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；(3)求經(jīng)過兩圓交點，且圓心在直線x+y-6=0上的圓的方程．【解題思路】（1）將兩圓方程化成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再求出圓心距，即可證明；（2）將兩圓方程作差，即可求出公共弦方程；（3）首先求出兩圓的交點坐標，設圓心為P6-n,n，根據(jù)AP=BP得到方程，即可求出【解答過程】（1）證明：圓C2：x2+∴C2∵圓C1:x2+∴C∵4-10<2（2）解：由圓C1:x將兩圓方程相減，可得2x+2y-4=0，即兩圓公共弦所在直線的方程為x+y-2=0；（3）解：由x2+y則交點為A3,-1，B∵圓心在直線x+y-6=0上，設圓心為P6-n,n則AP=BP，即6-n-32故圓心P3,3，半徑r=∴所求圓的方程為(x-3)2題型10題型10兩圓的公共弦問題1．（2023上·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知圓C1:x2+y2-2x+2y-2=0與圓A．62 B．32 C．6 D【解題思路】根據(jù)圓的圓心和半徑公式以及點到直線的距離公式，以及公共線弦方程的求法即可求解.【解答過程】聯(lián)立x2+y得(m-1)x+y-1=0，由題得兩圓公共弦長l=2，圓C1:x2+y2圓心(1,-1)到直線(