5.1.2 垂線（教學設計）

人教版初中數學七年級下冊5.1.2垂線教學設計一、教學目標：1.理解垂線的有關概念、性質及畫法；2.知道垂線段和點到直線的距離的概念，并會應用其解決問題.二、教學重、難點：重點：垂線段最短的性質，點到直線的距離的概念及其簡單應用.難點：對點到直線的距離的概念的理解.三、教學過程：情境引入觀察下面圖片，你能找出其中相交的直線嗎？它們有什么特殊的位置關系？知識精講在相交線的模型中，固定木條a，轉動木條b.當b的位置變化時，a、b所成的角∠α也會發(fā)生變化.當∠α=90°時，我們說a與b互相垂直，記作a⊥b.當兩條直線相交所構成的四個角中有一個是直角，我們就說這兩條直線互相垂直.其中一條直線叫做另一條直線的垂線；互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足.如上圖，直線AB與直線CD垂直，記作：AB⊥CD，垂足是O；

直線m與直線n垂直，記作：m⊥n；

“⊥”是“垂直”的記號，讀作“垂直于”；

而“┐”是圖形中“垂直”(直角)的標記.垂直的定義有以下兩層含義：1.∵AB⊥CD(已知)2.∵∠1=90°(已知)

∴∠1=90°(垂直的定義)∴AB⊥CD(垂直的定義)日常生活中，兩條直線互相垂直的情形很常見，說出下圖中的一些互相垂直的木條.你能再舉出其他例子嗎？做一做1.你能借助三角尺畫出兩條互相垂直的直線嗎？2.如果只有直尺，你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎？3.利用下面的方法可以折出互相垂直的線，你試試看!探究：1.用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？

2.經過直線l上一點A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？

3.經過直線l外一點B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？經過一點(已知直線上或直線外)，能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線.即在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.典例解析例1.如圖所示，P是∠AOB的邊OB上一點.(1)過點P畫OB的垂線，交OA于點C;(2)過點P畫OA的垂線，垂足為H.解:(1)直線PC為所求;(2)直線PH為所求.【針對練習】畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線.如圖，請你過點P畫出線段AB或射線AB的垂線.知識精講思考：如圖，在灌溉時，要把河中的水引到農田P處如何挖渠能使渠道最短？探究：如圖，連接直線l外一點P與直線l上各點O，A1，A2，A3，A4，A5，…，其中PO⊥l(我們稱PO為點P到直線l的垂線段).比較線段PO，PA1，PA2，PA3，PA4，PA5，…的長短，這些線段中，哪一條最短？連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

簡單說成：垂線段最短.

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.現在，你知道水渠該怎么挖了嗎？在書中圖5.1-8中畫出來，如果圖中比例尺為1:100000，水渠大約要挖多長？則：沿著垂線段PH挖渠能使渠道最短.我們如何測量立定跳遠的成績？典例解析例2.如圖所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，則下列結論中，正確的個數為（）①AB⊥AC；②AD與AC互相垂直；③點C到AB的垂線段是線段AB；④點A到BC的距離是線段AD；⑤線段AB的長度是點B到AC的距離；⑥線段AB是點B到AC的距離．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【針對練習】1.如圖，AB⊥AC于A，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，下列說法錯誤的是（）A．點A到BC的距離是AD的長度 B．點B到AD的距離是BD的長度C．點C到AD的距離是DE的長度 D．點B到AC的距離是AB的長度2.已知點P為直線m外一點，點A，B，C為直線m上三點，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，則點P到直線m的距離為(

)A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm例3.如圖，直線BC與MN相交于點O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度數．解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.【針對練習】如圖，AB交CD于O，OE⊥AB．若∠AOC:∠BOC=1:2，求∠EOD的度數．解：∵∠AOC:∠BOC=1:2，∠AOB=180°，∴∠AOC=1∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠DOE=180°-90°-60°=30°．課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？【設計意圖】培養(yǎng)學生概括的能力。使知識形成體系，并滲透數學思想方法。達標檢測1.下列說法正確的有()①在平面內,過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線;②在平面內,過直線外一點有且只有一條直線垂直于已知直線;③在平面內，過一點可以任意畫一條直線垂直于已知直線;④在平面內,有且只有一條直線垂直于已知直線.A.1個B.2個C.3個D.4個2.如圖(2)，OA⊥OB，若∠1=40°，則∠2的度數是()A.20°B.40°C.50°D.60°3.如圖(3)，直線l1與l2相交于點O，OM⊥l1,若∠α=44°，則∠β等于()A.56°B.46°C.45°D.44°4.已知點A，與點A的距離是5cm的線段可畫()A.1條B.2條C.3條D.無數條5.如圖，ON⊥l,OM⊥l，則OM與ON重合的理由是()A.過兩點只有一條直線B.經過一點只有一條直線垂直于已知直線C.在同一平面內，過一點只能作一條已知直線的垂線D.垂線段最短6.如圖，PO⊥OR，OQ⊥PR，則點O到PR所在直線的距離,可用哪條線段的長來表示()A.POB.ROC.OQD.PQ7.看圖(1)填空:(1)直線AD與直線CD相交于點____;(2)___⊥AD,垂足為點____;AC⊥____，垂足為點____.8.如圖(2)，當∠1和∠2滿足______________時，能使OA⊥OB(只需填一個條件即可).9.如圖(3)，直線AB,CD相交于點O,若∠EOD=40°，∠BOC=130°，那么射線OE與直線AB的位置關系是____________.10.如圖，點M、N分別在直線AB、CD上,MF⊥CD.(1)點M和點N的距離是線段______的長;(2)M點到CD的距離是線段______的長.11.如圖，三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,DE⊥BC.(1)點A到直線BC的距離是線段______的長度;(2)點B到直線AC的距離是線段______的長度;(3)點D到直線BC的距離是線段______的長度;(4)線段AD的長度是點____到直線_______的距離.12.如圖,在鐵路旁邊有一張莊，現在要建一火車站，為了使張莊人乘火車最方便(即距離最近)，請你在鐵路上選一點來建火車站，并說明理由.13.如圖，點A表示小明家，點B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿漁具，然后再去河邊釣魚，怎樣走路行程最短，請畫出行走路徑，并說明理由.14.如圖，直線AB與CD相交于點O，OE⊥CD,OF⊥AB，求∠BOE和∠AOC的度數.15.如圖，已知直線AB、CD、EO相交于O點，∠EOF=31°，∠AOC=28°，OF平分∠DOE，則OE,OB是什么位置關系?請說明理由?【參考答案】BCBDCC(1)D;(2)BE,E,CD,C∠1+∠2=90°OE⊥ABMN,MFAB,BD,DE,A,BD12.解:過點P作PQ⊥l,垂足為Q，則點Q為所求作的點.理由:垂線段最短.13.解:連接AB，過點B作BC⊥l，垂足為C，則AB+BC的行程最短.理由:兩點之間線段最短及垂線段最短.14.解:∵OF⊥AB，OE⊥CD(已知)∴∠BOF=∠DOE=90°(垂直定義)∴∠BOD=∠BOF-∠DOF=90°-65°=25°∴∠BOE=∠DOE-∠BOD=9O°-25°=65?！唷螦OC=∠BOD=25°(對頂角相等)15.解:OE⊥OB.理由如下:∵OF平分∠DOE∴∠DOF=∠EOF=31°(角平分線定義)∵∠BOD=∠AOC=28°(對頂角相等)∴∠EOB=∠EOF+∠DOF+∠BOD=31°+31°+28=90°∴OE⊥OB(垂直定義)四、教學反思：本節(jié)課主要研究兩條直線相交時的特殊情況—垂直，可類比前面兩條直線