5.1.2 垂線（教學(xué)設(shè)計(jì)）

人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)5.1.2垂線教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)：1.理解垂線的有關(guān)概念、性質(zhì)及畫法；2.知道垂線段和點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)應(yīng)用其解決問題.二、教學(xué)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：垂線段最短的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離的概念及其簡單應(yīng)用.難點(diǎn)：對(duì)點(diǎn)到直線的距離的概念的理解.三、教學(xué)過程：情境引入觀察下面圖片，你能找出其中相交的直線嗎？它們有什么特殊的位置關(guān)系？知識(shí)精講在相交線的模型中，固定木條a，轉(zhuǎn)動(dòng)木條b.當(dāng)b的位置變化時(shí)，a、b所成的角∠α也會(huì)發(fā)生變化.當(dāng)∠α=90°時(shí)，我們說a與b互相垂直，記作a⊥b.當(dāng)兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)是直角，我們就說這兩條直線互相垂直.其中一條直線叫做另一條直線的垂線；互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足.如上圖，直線AB與直線CD垂直，記作：AB⊥CD，垂足是O；

直線m與直線n垂直，記作：m⊥n；

“⊥”是“垂直”的記號(hào)，讀作“垂直于”；

而“┐”是圖形中“垂直”(直角)的標(biāo)記.垂直的定義有以下兩層含義：1.∵AB⊥CD(已知)2.∵∠1=90°(已知)

∴∠1=90°(垂直的定義)∴AB⊥CD(垂直的定義)日常生活中，兩條直線互相垂直的情形很常見，說出下圖中的一些互相垂直的木條.你能再舉出其他例子嗎？做一做1.你能借助三角尺畫出兩條互相垂直的直線嗎？2.如果只有直尺，你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎？3.利用下面的方法可以折出互相垂直的線，你試試看!探究：1.用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？

2.經(jīng)過直線l上一點(diǎn)A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？

3.經(jīng)過直線l外一點(diǎn)B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？經(jīng)過一點(diǎn)(已知直線上或直線外)，能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線.即在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.典例解析例1.如圖所示，P是∠AOB的邊OB上一點(diǎn).(1)過點(diǎn)P畫OB的垂線，交OA于點(diǎn)C;(2)過點(diǎn)P畫OA的垂線，垂足為H.解:(1)直線PC為所求;(2)直線PH為所求.【針對(duì)練習(xí)】畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線.如圖，請(qǐng)你過點(diǎn)P畫出線段AB或射線AB的垂線.知識(shí)精講思考：如圖，在灌溉時(shí)，要把河中的水引到農(nóng)田P處如何挖渠能使渠道最短？探究：如圖，連接直線l外一點(diǎn)P與直線l上各點(diǎn)O，A1，A2，A3，A4，A5，…，其中PO⊥l(我們稱PO為點(diǎn)P到直線l的垂線段).比較線段PO，PA1，PA2，PA3，PA4，PA5，…的長短，這些線段中，哪一條最短？連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

簡單說成：垂線段最短.

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.現(xiàn)在，你知道水渠該怎么挖了嗎？在書中圖5.1-8中畫出來，如果圖中比例尺為1:100000，水渠大約要挖多長？則：沿著垂線段PH挖渠能使渠道最短.我們?nèi)绾螠y量立定跳遠(yuǎn)的成績？典例解析例2.如圖所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）①AB⊥AC；②AD與AC互相垂直；③點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AB；④點(diǎn)A到BC的距離是線段AD；⑤線段AB的長度是點(diǎn)B到AC的距離；⑥線段AB是點(diǎn)B到AC的距離．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【針對(duì)練習(xí)】1.如圖，AB⊥AC于A，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)A到BC的距離是AD的長度 B．點(diǎn)B到AD的距離是BD的長度C．點(diǎn)C到AD的距離是DE的長度 D．點(diǎn)B到AC的距離是AB的長度2.已知點(diǎn)P為直線m外一點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C為直線m上三點(diǎn)，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，則點(diǎn)P到直線m的距離為(

)A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm例3.如圖，直線BC與MN相交于點(diǎn)O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度數(shù)．解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.【針對(duì)練習(xí)】如圖，AB交CD于O，OE⊥AB．若∠AOC:∠BOC=1:2，求∠EOD的度數(shù)．解：∵∠AOC:∠BOC=1:2，∠AOB=180°，∴∠AOC=1∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠DOE=180°-90°-60°=30°．課堂小結(jié)1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生概括的能力。使知識(shí)形成體系，并滲透數(shù)學(xué)思想方法。達(dá)標(biāo)檢測1.下列說法正確的有()①在平面內(nèi),過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線;②在平面內(nèi),過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線;③在平面內(nèi)，過一點(diǎn)可以任意畫一條直線垂直于已知直線;④在平面內(nèi),有且只有一條直線垂直于已知直線.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2.如圖(2)，OA⊥OB，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是()A.20°B.40°C.50°D.60°3.如圖(3)，直線l1與l2相交于點(diǎn)O，OM⊥l1,若∠α=44°，則∠β等于()A.56°B.46°C.45°D.44°4.已知點(diǎn)A，與點(diǎn)A的距離是5cm的線段可畫()A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條5.如圖，ON⊥l,OM⊥l，則OM與ON重合的理由是()A.過兩點(diǎn)只有一條直線B.經(jīng)過一點(diǎn)只有一條直線垂直于已知直線C.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)只能作一條已知直線的垂線D.垂線段最短6.如圖，PO⊥OR，OQ⊥PR，則點(diǎn)O到PR所在直線的距離,可用哪條線段的長來表示()A.POB.ROC.OQD.PQ7.看圖(1)填空:(1)直線AD與直線CD相交于點(diǎn)____;(2)___⊥AD,垂足為點(diǎn)____;AC⊥____，垂足為點(diǎn)____.8.如圖(2)，當(dāng)∠1和∠2滿足______________時(shí)，能使OA⊥OB(只需填一個(gè)條件即可).9.如圖(3)，直線AB,CD相交于點(diǎn)O,若∠EOD=40°，∠BOC=130°，那么射線OE與直線AB的位置關(guān)系是____________.10.如圖，點(diǎn)M、N分別在直線AB、CD上,MF⊥CD.(1)點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離是線段______的長;(2)M點(diǎn)到CD的距離是線段______的長.11.如圖，三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,DE⊥BC.(1)點(diǎn)A到直線BC的距離是線段______的長度;(2)點(diǎn)B到直線AC的距離是線段______的長度;(3)點(diǎn)D到直線BC的距離是線段______的長度;(4)線段AD的長度是點(diǎn)____到直線_______的距離.12.如圖,在鐵路旁邊有一張莊，現(xiàn)在要建一火車站，為了使張莊人乘火車最方便(即距離最近)，請(qǐng)你在鐵路上選一點(diǎn)來建火車站，并說明理由.13.如圖，點(diǎn)A表示小明家，點(diǎn)B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿漁具，然后再去河邊釣魚，怎樣走路行程最短，請(qǐng)畫出行走路徑，并說明理由.14.如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD,OF⊥AB，求∠BOE和∠AOC的度數(shù).15.如圖，已知直線AB、CD、EO相交于O點(diǎn)，∠EOF=31°，∠AOC=28°，OF平分∠DOE，則OE,OB是什么位置關(guān)系?請(qǐng)說明理由?【參考答案】BCBDCC(1)D;(2)BE,E,CD,C∠1+∠2=90°OE⊥ABMN,MFAB,BD,DE,A,BD12.解:過點(diǎn)P作PQ⊥l,垂足為Q，則點(diǎn)Q為所求作的點(diǎn).理由:垂線段最短.13.解:連接AB，過點(diǎn)B作BC⊥l，垂足為C，則AB+BC的行程最短.理由:兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短.14.解:∵OF⊥AB，OE⊥CD(已知)∴∠BOF=∠DOE=90°(垂直定義)∴∠BOD=∠BOF-∠DOF=90°-65°=25°∴∠BOE=∠DOE-∠BOD=9O°-25°=65。∴∠AOC=∠BOD=25°(對(duì)頂角相等)15.解:OE⊥OB.理由如下:∵OF平分∠DOE∴∠DOF=∠EOF=31°(角平分線定義)∵∠BOD=∠AOC=28°(對(duì)頂角相等)∴∠EOB=∠EOF+∠DOF+∠BOD=31°+31°+28=90°∴OE⊥OB(垂直定義)四、教學(xué)反思：本節(jié)課主要研究兩條直線相交時(shí)的特殊情況—垂直，可類比前面兩條直線