復習清單04 幾何圖形初步（解析版）

清單04幾何圖形初步（知識導圖、知識清單、素養(yǎng)提升、中考聚焦）【知識導圖】【知識清單】考點一、柱、錐、球立體圖形：有些幾何圖形（圓柱、圓錐、球、長方體、正方體等）各部分不在一個平面內(nèi)，這樣的圖形叫立體圖形。棱柱、棱錐是常見的立體圖形。生活中常見的物體都是立體圖形.【例1】（2022秋?甘井子區(qū)校級期末）下列四個幾何體中，是棱柱的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)棱柱的形體特征進行判斷即可．【解答】解：選項A中的幾何體是圓柱，因此選項A不符合題意；選項B中的幾何體是三棱柱，因此選項B符合題意；選項C中的幾何體是三棱錐，因此選項C不符合題意；選項D中的幾何體是四棱臺，因此選項D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查認識立體圖形，掌握棱柱、棱錐、圓柱、球體的形體特征是正確判斷的前提．【變式】（2022秋?洛江區(qū)期末）三個邊長分別為a、b、c的正方形如圖擺放，則陰影部分的周長（）A．只與a，b有關(guān) B．只與a、c有關(guān) C．只與b、c有關(guān) D．與a，b、c有關(guān)【分析】將陰影部分橫向的邊和縱向的邊分別往一個方向平移，從而利用周長公式可得答案．【解答】解：陰影部分的周長為：2c+2（c﹣a）＝4c﹣2a．故選：B．【點評】本題考查不規(guī)則陰影部分的周長，熟練掌握平移法是解題的關(guān)鍵．考點二.正方體的表面展開圖正方形展開圖的知識要點：1.正方體的表面展開圖一共有11種可能。第一類：有6種。特點：是4個連成一排的正方形，其兩側(cè)各有一個正方形.簡稱“141型”第二類：有3種。特點：是有3個連成一排的正方形，其兩側(cè)分別有1個和兩個相連的正方形;簡稱“132型”第三類：僅有一種。特點：是兩個連成一排的正方形的兩側(cè)又各有兩個連成一排的正方形；簡稱“222型”第四類：僅有1種，三個連成一排的正方形的一側(cè)，還有3個連成一排的正方形，可簡稱“33型”注：正方體展開圖中不能出現(xiàn)“7”字，“凹”字，“田”字形，如下圖：2.正方體展開圖找相對面的方法：（1）中間隔“一”是對面：中間相隔一個正方形的兩個正方形是相對面；（2）“Z”字兩端是對面：呈“Z”字形排列的四個正方形首尾兩個正方形是相對面；（3）間二、拐角鄰面知：中間隔兩個正方形的兩個正方形是相鄰面，呈拐角形狀的三個小正方形，只有一個相鄰正方形的兩個正方形是相鄰面。【例2】（2022秋?靈寶市期末）如圖所示的正方體的展開圖是（）A． B． C． D．【分析】由于三個圖案交于一點，三個圖案必須相鄰，不能有兩個在對面，依此即可求解．【解答】解：根據(jù)帶有各種符號的面的特點及位置，正方體的展開圖是選項D．故選：D．【點評】本題考查了幾何體的展開圖，解決此類問題，要充分考慮帶有各種符號的面的特點及位置．【變式】（2022秋?洪山區(qū)期末）下列圖形中，能夠折疊成一個正方體的是（）A． B． C． D．【分析】由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題．【解答】解：正方體的展開圖的每個面都有對面，故B符合題意；故選：B．【點評】本題考查了展開圖折疊成幾何體，只要有“田”字格的展開圖都不是正方體的表面展開圖．考點三.其他立體圖形的展開圖常見的幾何體的展開圖有圓柱、圓錐、棱柱、正方體、棱錐。特殊：球沒有展開圖①圓柱的表面展開圖是兩個圓（作底面）和一個長方形（作側(cè)面）。②圓錐的表面展開圖是一個圓（作底面）和一個扇形（作側(cè)面）③棱柱的表面展開圖是兩個完全相同的多邊形（作底面）和幾個長方形（作側(cè)面）【例3】（2022秋?廣陽區(qū)校級期末）如圖所示為幾何體的平面展開圖，則從左到右，其對應(yīng)的幾何體名稱分別為（）A．圓柱，圓錐，四棱柱，正方體 B．四棱錐，圓錐，正方體，圓柱 C．圓柱，圓錐，正方體，三棱錐 D．圓柱，圓錐，三棱柱，正方體【分析】根據(jù)基本幾何體的展開圖逐一判斷．【解答】解：根據(jù)圖形得：圓柱，圓錐三棱柱，正方體，故選：D．【點評】本題考查了幾何體的展開圖，掌握常見幾何體的展開圖是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2022秋?靈寶市期末）下列四張正方形硬紙片，分別將陰影部分剪去后，再沿虛線折疊，其中可以圍成一個封閉長方體包裝盒的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)長方體的組成，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，分別分析得出即可．【解答】解：A、剪去陰影部分后，組成無蓋的正方體，故此選項不合題意；B、剪去陰影部分后，無法組成長方體，故此選項不合題意；C、剪去陰影部分后，無法組成長方體，故此選項不合題意；D、剪去陰影部分后，能組成長方體，故此選項正確；故選：D．【點評】此題主要考查了展開圖折疊成幾何體，培養(yǎng)了學生的空間想象能力．考點四.點、線、面、體之間的轉(zhuǎn)化1.幾何體是由點、線、面構(gòu)成的.2.線分為直線和曲線，面分為平面和曲面.3.點、線、面之間的關(guān)系：點動成線，線與線相交成點；線動成面，面與面相交成線；面動成體，體是由面組成.【例4】（2022秋?磁縣期末）下列幾何體中可以由平面圖形繞某條直線旋轉(zhuǎn)一周得到的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“面動成體”進行判斷即可．【解答】解：如圖，將四邊形ABCD繞AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，可得選項B的幾何體，選項A、C、D中的幾何體不能由一個平面圖形繞著一條邊旋轉(zhuǎn)一周得到，故選：B．【點評】本題考查點、線、面、體，掌握“點動成線，線動成面，面動成體”是解決問題的關(guān)鍵．考點五、直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別注意：表示直線和線段的兩個大寫字母可以交換位置.【例5】（2023春?東平縣期末）平面上有三點A、B、C，如果AB＝10，AC＝7，BC＝3，那么（）A．點C在線段AB上 B．點C在線段AB的延長線上 C．點C在直線AB外 D．點C可能在直線AB上，也可能在直線AB外【分析】根據(jù)AB＝10，AC＝7，BC＝3，有AB＝AC+BC進行判斷即可．【解答】解：如圖，在平面內(nèi)，AB＝10，∵AC＝7，BC＝3，∴點C為以A為圓心，7為半徑，與以B為圓心，3為半徑的兩個圓的交點，由于AB＝10＝7+3＝AC+BC，所以，點C在線段AB上，故選：A．【點評】本題考查線段、射線、直線的意義，理解點與直線的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式】（2022秋?淥口區(qū)期末）下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的是（）A．如圖1所示，延長線段BA到點C B．如圖2所示，射線CB不經(jīng)過點A C．如圖3所示，直線a和直線b相交于點A D．如圖4所示，射線CD和線段AB沒有交點【分析】由圖形點和線段，射線的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，即可判斷．【解答】解：A、點C在線段BA的延長線上，故A不符合題意；B、射線BC不經(jīng)過點A，故B不符合題意；C、直線a和直線b相交于點A，正確，故C符合題意；D、射線CD和線段AB有交點，故D不符合題意，故選：C．【點評】本題考查與直線，線段，射線有關(guān)的概念，關(guān)鍵是掌握以上概念的特點．考點六、計數(shù)問題1.平面上有個點，其中任意三點不在一條直線上，則最多確定的直線條數(shù)為：．2.若在線段AB上增加一點，則增加2條線段，此時線段總條數(shù)為1＋2；若再增加一點，則又增加了3條線段，此時線段總條數(shù)為1＋2＋3；…；當線段AB上增加到n個點(即增加n－2個點)時，線段的總條數(shù)為.用到類似知識點問題：單循環(huán)比賽場數(shù)問題、雙循環(huán)比賽場數(shù)問題、握手次數(shù)問題、多邊形對角線條數(shù)問題、車站設(shè)計票價問題等.【例6】．如圖，線段上的點數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段上有3個點時，線段共有3條；如果線段上有4個點時，線段共有6條；如果線段上有5個點時，線段共有10條；……（1）當線段上有6個點時，線段共有______條；（2）當線段上有個點時，線段共有多少條？（用含的代數(shù)式表示）【分析】（1）由已知條件可得出線段上有6個點時的線段數(shù)的規(guī)律是，即可得出答案；（2）通過觀察得知，當線段AB上有n個點時，線段總數(shù)為：，即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）通過觀察得知：當有3個點時，線段的總數(shù)為：；當有4個點時，線段的總數(shù)為：；當有5個點時，線段的總數(shù)為：；∴當有6個點時，線段的總數(shù)為：條．（2）由（1）可看出，當線段AB上有n個點時，線段總數(shù)為：條，【點睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形之間的聯(lián)系找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式】已知線段MN，在MN上逐一畫點（所畫點與M、N不重合），當線段上有1個點時，共有3條線段，當線段上有2個點時，共有6條線段；當線段上有3個點時，共有10條線段；直接寫出當線段上有20個點時，共有線段條．【解答】解：由題意可得：當在MN上有20個點時，共有線段：1+2+3+…+20+21=12（1+21）×21＝故答案為：231．考點七、基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點之間，線段最短．細節(jié)剖析①本知識點可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點間的距離.【例7】．（2022秋?衡東縣期末）平面上有不同的三個點，經(jīng)過其中任意兩點畫直線，一共可以畫（）A．1條 B．2條 C．3條 D．1條或3條【分析】根據(jù)題意畫出圖形，即可看出答案．【解答】解：如圖，經(jīng)過其中任意兩點畫直線可以畫3條直線或1條直線，故選：D．【點評】此題主要考查了直線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩點確定一條直線．【變式1】．（2022秋?梅里斯區(qū)期末）在平面內(nèi)，過（）點可以確定一條直線．A．一 B．兩 C．三 D．四【分析】根據(jù)兩點確定一條直線進行解答即可．【解答】解：在平面內(nèi)，過兩點可以確定一條直線，故B正確．故選：B．【點評】本題主要考查了直線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩點確定一條直線．【變式2】．（2022秋?許昌期末）如圖，建筑工人砌墻時，經(jīng)常用細繩在墻的兩端之間拉一條參照線，使砌的每一層磚在一條直線上，這樣做蘊含的數(shù)學原理是（）A．過一點有無數(shù)條直線 B．兩點確定一條直線 C．兩點之間線段最短 D．線段是直線的一部分【分析】由直線公理可直接得出答案．【解答】解：建筑工人砌墻時，經(jīng)常用細繩在墻的兩端之間拉一條參照線，使砌的每一層磚在一條直線上，這種做法用幾何知識解釋應(yīng)是：兩點確定一條直線．故選：B．【點評】此題主要考查了考查了直線的性質(zhì)，要想確定一條直線，至少要知道兩點．【例8】．（2022秋?衡南縣期末）如圖，把彎曲的河道改直，能夠縮短航程．這樣做根據(jù)的道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．兩點之間，直線最短 D．兩點確定一條線段【分析】把彎曲的河道改直，肯定為了盡量縮短兩地之間的里程，用到了兩點之間線段最短定理．【解答】解：因為兩點之間線段最短，把彎曲的河道改直，能夠縮短航程．故選：A．【點評】此題主要考查了線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩點之間線段最短．【變式】（2022秋?東洲區(qū)校級期末）如圖，一只螞蟻外出覓食，它與食物間有三條路徑，從上到下依次記為①，②，③，則螞蟻選擇第②條路徑的理由是（）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間線段最短 C．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線 D．兩點之間線段的長度叫做兩點間的距離【分析】根據(jù)兩點之間線段最短解答．【解答】解：一只螞蟻外出覓食，它與食物間有三條路徑，從上到下依次記為①，②，③，則螞蟻選擇第②條路徑的理由是兩點之間，線段最短．故選：B．【點評】本題考查了線段的性質(zhì)，熟記兩點之間，線段最短是解題的關(guān)鍵．【例9】．（2022秋?綏寧縣期末）如圖，AB＝12，C為AB的中點，點D在線段AC上，且AD：CB＝1：3，則DB的長度為（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根據(jù)線段中點的定義求出AC、BC的長，根據(jù)AD：CB＝1：3，求出AD，結(jié)合圖形計算即可得．【解答】解：已知AB＝12，C為AB的中點，∴，∵AD：CB＝1：3，∴，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣2＝10．故選：D．【點評】本題考查的是兩點間的距離的計算，掌握線段中點的性質(zhì)、靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2022秋?武陵區(qū)期末）如圖，C為線段AD上一點，點B為CD的中點，且AD＝8cm，BD＝2cm，求AC的長．【分析】根據(jù)兩點之間的距離分析即可．【解答】解：∵點B為CD的中點，BD＝2cm，∴CD＝4cm，∴AC＝AD﹣CD＝8﹣4＝4（cm）．【點評】本題考查兩點間的距離，充分利用題目條件是關(guān)鍵．考點八.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：【例10】．（2022秋?梁山縣期末）如圖，已知線段a、b、c，用直尺和圓規(guī)畫圖（保留畫圖痕跡）．（1）畫一條線段，使它等于a+b；（2）畫一條線段，使它等于a﹣c；并用字母表示出所畫線段．【分析】（1）先畫一條直線l用圓規(guī)依次截取線段AB＝a、BC＝b（C在AB外），則線段AC即為所求；（2）先畫一條直線l用圓規(guī)截取線段AB＝a、BC＝c（C在AB內(nèi)），則線段AC即為所求．【解答】解：（1）先畫一條直線l，在l上找一點A，以A為圓心，線段a的長為半徑畫圓交直線于B點，再以B為圓心，以線段b的長為半徑畫圓，交l于點C（C在AB外），則線段AC即為所求；如圖所示：（2）先畫一條直線l，在l上找一點A，以A為圓心，線段a的長為半徑畫圓交直線于B點，再以B為圓心，以線段c的長為半徑畫圓，交l于點C（C在AB內(nèi)），則線段AC即為所求；如圖所示：【點評】本題考查的是比較線段的長短，解答此題的關(guān)鍵是能靈活運用線段的和、差轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系．考點九．線段的比較與運算（1）線段的比較：比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如下圖，有：細節(jié)剖析①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點.【例11】（2022秋?陽曲縣期末）如圖，用圓規(guī)比較兩條線段的長短，其中正確的是（）A．A'B'＞A'C' B．A'B'＝A'C' C．A'B'＜A'C' D．不能確定【分析】由比較兩條線段長短的方法：重合比較法，即可判斷．【解答】解：如圖用圓規(guī)比較兩條線段的長短，A′B′＜A′C′，故選：C．【點評】本題考查比較線段的長短，關(guān)鍵是掌握：比較兩條線段長短的方法．【例12】如圖：點C為線段AB上的一點，M、N分別為AC、BC的中點，AB＝40，則MN＝_____．【答案】20【分析】由題意易得，進而可得，進而問題可求解．【解析】解：∵M、N分別為AC、BC的中點，∴，∵AB＝40，∴；故答案為20．【點睛】本題主要考查線段中點的性質(zhì)，熟練掌握線段中點的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式】已知：如圖，點在線段上，點是中點，．求線段長【分析】根據(jù)中點的定義以及題意，分別求出線段AD與線段AC的長度，即可得出結(jié)論．【解析】∵D為線段AB的中點，∴AD=AB=×12=6，∵AC=AB，∴AC=×12=4，∴CD=AD-AC=6-4=2．【點睛】本題考查線段中點相關(guān)的計算，理解中點的定義，掌握線段中的計算法則是解題關(guān)鍵．【例13】如圖，C為線段AB上的一點，AC：CB＝3：2，D、E兩點分別為AC、AB的中點，若線段DE為2cm，則AB的長為多少？【解答】解：設(shè)AB＝x，由已知得：AC=35x，BC∵D、E兩點分別為AC、AB的中點，∴DC=310x，BE=DE＝DC﹣EC＝DC﹣（BE﹣BC），即：310x﹣（12x-25解得：x＝10，則AB的長為10cm．考點十．角的度量（1）角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.（2）.平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．(3)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：細節(jié)剖析①角的兩種定義是從不同角度對角進行的定義；②當一個角的頂點有多個角的時候，不能用頂點的一個大寫字母來表示.（4）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.細節(jié)剖析①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化)時用乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化)時用除法逐級進行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一成60.（5）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°（6）畫一個角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.【例14】．（2022秋?新華區(qū)校級期末）下列四個圖中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)角的概念得出結(jié)論即可．【解答】解：由題意知，選項B中的∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一種角，故選：B．【點評】本題主要考查角的表示方法，熟練掌握角的三種表示方法是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2022秋?甘肅期末）如圖所示，∠AOC＝90°，點B，O，D在同一直線上，若∠1＝28°，則∠2的度數(shù)為（）A．118° B．108° C．62° D．152°【分析】利用∠AOC＝90°，∠1＝28°，進而求出∠BOC的度數(shù)，利用平角的定義可知∠BOD＝180°，即可求出∠2的度數(shù)．【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠1＝28°，∴∠BOC＝90°﹣28°＝62°，∵點B，O，D在同一直線上，∴∠BOD＝180°，∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣62°＝118°．故選：A．【點評】本題考查了角的概念，做題關(guān)鍵是要掌握平角的定義．【例15】．（2022秋?婁星區(qū)期末）把8.32°用度、分、秒表示正確的是（）A．8°3′2″ B．8°30′20″ C．8°18′12″ D．8°19′12″【分析】先把0.32°化成分，再把0.2′化成秒，即可得出答案．【解答】解：0.32°＝（0.32×60）′＝19.2′，0.2′＝（0.2×60）″＝12″，∴8.32°＝8°19′12″，故選：D．【點評】本題考查了度分秒之間的換算的應(yīng)用，注意：1°＝60′，1′＝60″．【變式】．（2022秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖，將一個三角板60°角的頂點與另一個三角板的直角頂點重合，∠1＝26°18'，則∠2的度數(shù)是（）A．26°18' B．52°20' C．56°23' D．56°18'【分析】根據(jù)∠1+∠EAC＝60°，可計算出∠EAC＝60°﹣∠1的度數(shù)，根據(jù)余角的定義∠EAC+∠2＝90°，計算即可得出答案．【解答】解：∵∠1+∠EAC＝60°，∠1＝26°18'，∴∠EAC＝60°﹣∠1＝60°﹣26°18'＝33°42'，∵∠EAC+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣33°42'＝56°18'．故選：D．【點評】本題主要考查了度分秒的換算和余角的定義，熟練掌握度分秒的換算和余角的計算方法是解決本題的關(guān)鍵．【例16】如圖，△ABC中，用尺規(guī)作圖法作∠ABD＝∠C，與邊AC交于點D（保留作圖痕跡，不用寫作法）【解答】解：如圖，射線BD即為所求．【變式】如圖所示，已知銳角∠AOB及一點P．（1）過點P作OA、OB的垂線，垂足分別是M、N；（只作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）猜想∠MPN與∠AOB之間的關(guān)系，并證明．【解答】解：（1）過點P作OA、OB的垂線PM、PN如圖所示；（2）猜想：∠MPN+∠AOB＝180°或∠MPN＝∠AOB．理由：左圖中，在四邊形PMON中，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∴∠MPN+∠AOB＝180°．右圖中，∵∠PJM＝∠OJN，∠AMJ＝∠JNO＝90°，∴∠MPN＝∠AOB．考點十一．角的比較與運算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.【例17】．（2022秋?渠縣校級期末）如圖，射線OC，OD分別在∠AOB的內(nèi)部、外部，下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC【分析】依據(jù)疊合法，將兩個角疊合在一起比較，使兩個角的頂點及一邊重合，觀察另一邊的位置，即可得出結(jié)論．【解答】解：A．由題可得，∠AOB＜∠AOD，故本選項正確；B．由題可得，∠BOC＜∠AOB，故本選項正確；C．由題可得，∠COD＜∠AOD，故本選項錯誤；D．由題可得，∠AOB＞∠AOC，故本選項正確；故選：C．【點評】本題主要考查了角的大小比較，關(guān)鍵是掌握疊合法判斷角的大小關(guān)系．【變式】．（2022秋?欒城區(qū)期末）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起．（1）若∠DCE＝35°，則∠ACB的度數(shù)為；（2）若∠ACB＝144°42′，則∠DCE的度數(shù)為；（3）猜想∠ACB與∠DCE的大小關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用∠ACD減去∠DCE求出∠ACE，然后再利用∠ACE加上∠ECB即可解答；（2）利用∠ACB減去∠ACD求出∠DCB，然后再利用∠ECB減去∠DCB即可解答；（3）根據(jù)已知可得∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180°，結(jié)合圖形可知∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，然后進行計算即可解答．【解答】解：（1）∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣35°＝55°，∵∠ECB＝90°，∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝145°，故答案為：145；（2）∵∠ACD＝90°，∠ACB＝144°42′，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝144°42′﹣90°＝54°42′，∵∠ECB＝90°，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣54°42′＝35°18′，故答案為：35°18′；（3）∠ACB與∠DCE互補，理由是：∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，∴∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180°，∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB與∠DCE互補．【點評】本題考查了角的大小比較，角的計算，度分秒的換算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．【例18】．（2022秋?達川區(qū)校級期末）如圖，點O在直線AB上，OD是∠AOC的角平分線，∠COB＝42°，則∠DOC的度數(shù)是（）A．59° B．60° C．69° D．70°【分析】根據(jù)平角的定義可得∠AOC＝180°﹣∠COB＝138°，再根據(jù)角平分線的定義解答即可．【解答】解：∵∠COB＝42°，∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝138°，∵OD是∠AOC的角平分線，∴∠DOC＝＝＝69°．故選：C．【點評】本題考查的是角平分線的定義、角的計算，掌握角平分線的定義、結(jié)合圖形正確進行角的計算是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2022秋?建平縣期末）如圖，OC平分∠AOB，若∠AOC＝27°32′，則∠AOB＝．【分析】直接利用角平分線的性質(zhì)得出∠AOC＝∠BOC，進而得出答案．【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵∠AOC＝27°32′，∴∠AOB＝27°32′×2＝54°64′＝55°4′．故答案為：55°4′．【點評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及度分秒的轉(zhuǎn)換，正確掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【例19】．（2022秋?平泉市校級期末）把兩塊三角板按如圖所示那樣拼在一起，則∠ABC等于（）A．70° B．90° C．105° D．120°【分析】∠ABC等于30度角與直角的和，據(jù)此即可計算得到．【解答】解：∠ABC＝30°+90°＝120°．故選：D．【點評】本題考查了角度的計算，理解三角板的角的度數(shù)是關(guān)鍵．【變式】．（2022秋?道縣期末）如圖，已知O為直線AB上一點，OC平分∠AOD，∠BOD＝4∠DOE，∠COE＝α，則∠BOE的度數(shù)為（）A．360°﹣4α B．180°﹣4α C．α D．270°﹣3α【分析】設(shè)∠DOE＝x，則∠BOD＝4x、∠BOE＝3x，根據(jù)角之間的等量關(guān)系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可．【解答】解：設(shè)∠DOE＝x，則∠BOD＝4x，∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD，∴∠BOE＝3x，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣4x．∵OC平分∠AOD，∴∠COD＝∠AOD＝（180°﹣4x）＝90°﹣2x．∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°﹣2x+x＝90°﹣x，由題意有90°﹣x＝α，解得x＝90°﹣α，則∠BOE＝270°﹣3α，故選：D．【點評】本題主要考查角的計算的知識點，運用好角的平分線這一知識點是解答的關(guān)鍵．考點十二．角的互余互補關(guān)系余角補角（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角.（3）結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等.細節(jié)剖析①余角(或補角)是兩個角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨一個角不能稱其為余角(或補角).②一個角的余角(或補角)可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)．④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”.【例20】．（2022秋?靈寶市期末）已知∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，則（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠2＝∠3【分析】根據(jù)同角的補角相等作答即可．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，∴∠1＝∠3，故選：A．【點評】本題考查了同角的補角相等，靈活運用所學知識是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】．（2022秋?綿陽期末）若一個角的余角是它的補角的，則這個角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．120° D．150°【分析】設(shè)這個角為α，則它的余角為90°﹣α，它的補角為180°﹣α，根據(jù)題意列出關(guān)系式，求出α的值即可【解答】解：設(shè)這個角為α，則它的余角為90°﹣α，它的補角為180°﹣α．由題意得，90°﹣α＝（180°﹣α），解得：α＝30°．故這個角的度數(shù)為30°．故選：A．【點評】本題考查了余角和補角的知識，解題的關(guān)鍵是掌握互余和補角的定義．【變式2】．（2022秋?陽西縣期末）一個角的補角比這個角的余角的3倍少10°，這個角為（）A．20° B．30° C．40° D．50°【分析】先設(shè)出這個角，再分別表示出這個角的補角和余角，根據(jù)題干中的等量關(guān)系進行計算即可求解．【解答】解：設(shè)這個角為x，∴這個角的補角為180°﹣x，這個角的余角為90°﹣x，∵這個角的補角比這個角的余角的3倍少10°，∴3（90°﹣x）﹣10°＝180°﹣x，解得：x＝40°，故選：C．【點評】本題考查余角和補角，解題的關(guān)鍵是利用補角和余角的關(guān)系列出方程．考點十三.鐘面角鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°.技巧：鐘面角問題一般可以看做是行程問題里的追擊問題.【例21】．（2022秋?宜城市期末）某一時刻，時鐘上顯示的時間是9點30分，則此時時針與分針的夾角是（）A．75° B．90° C．105° D．120°【分析】根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．【解答】解：時針與分針相距3+＝（份），時鐘面上的時針與分針的夾角是30°×＝105°，故選：C．【點評】本題考查了鐘面角，確定時針與分針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式】．（2022秋?九龍坡區(qū)期末）當分針指向12，時針這時恰好與分針成60°的角，此時是（）A．9點鐘 B．10點鐘 C．4點鐘或8點鐘 D．2點鐘或10點鐘【分析】根據(jù)鐘表上每一個大格之間的夾角是30°，當分針指向12，時針這時恰好與分針成120°的角，應(yīng)該得出，時針距分針應(yīng)該是4個格，應(yīng)考慮兩種情況．【解答】解：∵鐘表上每一個大格之間的夾角是30°，∴當分針指向12，時針這時恰好與分針成60°的角時，距分針成60°的角時針應(yīng)該有兩種情況，即距時針2個格，∴只有2點鐘或10點鐘時符合要求．故選：D．【點評】此題主要考查了鐘面角的有關(guān)知識，得出距分針成120°的角時針應(yīng)該有兩種情況，是解決問題的關(guān)鍵．考點十四．方位角以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.細節(jié)剖析（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應(yīng)用十分廣泛.【例22】．（2022秋?漢臺區(qū)期末）如圖，A地和B地都是海上觀測站，A地在燈塔O的北偏東30°方向，∠AOB＝100°，則B地在燈塔O的（）A．南偏東40°方向 B．南偏東50°方向 C．南偏西50°方向 D．東偏南30°方向【分析】利用平角180°減去30°與100°的和進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：180°﹣30°﹣100°＝50°，∴B地在燈塔O的南偏東50°方向，故選：B．【點評】本題考查了方向角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2022秋?和平區(qū)校級期末）如圖，下列說法中錯誤的是（）A．OA方向是北偏東30° B．OB方向是北偏西15° C．OC方向是南偏西25° D．OD方向是東南方向【分析】方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成北（南）偏東（西）多少度．根據(jù)定義就可以解決．【解答】解：A、OA方向是北偏東60°，此選項錯誤；B、OB方向是北偏西15°，此選項正確；C、OC方向是南偏西25°，此選項正確；D、OD方向是東南方向，此選項正確．錯誤的只有A．故選：A．【點評】本題考查的是方向角，熟知方向角的表示方法是解答此題的關(guān)鍵．【核心素養(yǎng)提升】1.分類討論思想1.以∠AOB的頂點O為端點引射線OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=27°，則∠AOC=______．【答案】15°或135°．【分析】分射線OC在∠AOB的內(nèi)部和外部兩種情況進行討論求解即可．【詳解】分兩種情況：①如圖1，當射線OC在∠AOB的內(nèi)部時，設(shè)∠AOC=5x，∠BOC=4x，∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=27°，∴5x+4x=27，解得：x=3，∴∠AOC=15°；②如圖2，當射線OC在∠AOB的外部時，設(shè)∠AOC=5x，∠BOC=4x，∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，又∠AOB=27°，∴5x=27+4x，解得：x=27∴∠AOC=135°，故答案為15°或135°．【點睛】考查了角的計算．屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是分兩種情況進行討論．2.如圖，點在直線上，．在中，，．先將一邊與重合，然后繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，當與重合時停止旋轉(zhuǎn)．（1）當在與之間，且時，則______°．（2）試探索：在旋轉(zhuǎn)過程中，與大小的差是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請說明理由；（3）在△ODE的旋轉(zhuǎn)過程中，若，試求的大?。敬鸢浮浚?）125；（2）與的差不發(fā)生變化，為30°；（3）或175°【分析】（1）求出∠COE的度數(shù)，即可求出答案；

（2）分為兩種情況，根據(jù)∠AOC=90°和∠DOE=60°求出即可；

（3）根據(jù)∠AOE=7∠COD、∠DOE=60°、∠AOC=90°求出即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∵在和之間，，，∴，∴，故答案為：125.（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，與的差不發(fā)生變化，有兩種情況：①如圖1，∵，，∴，②如圖2，∵，，∴，即在旋轉(zhuǎn)過程中，與的差不發(fā)生變化，為30°；（3）如圖1，∵，，，∴，解得：，∴；如圖2，∵，，，∴，∴，∴；即或175°．【點睛】本題考查了角的有關(guān)計算的應(yīng)用，能根據(jù)題意求出各個角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度不大．2.直觀想象-運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題3．（1）特例感知：如圖1，OC、OD是內(nèi)部的兩條射線，若，，則°．（2）知識遷移：如圖2，OC是內(nèi)部的一條射線，若OM、ON分別平分和，且，則的值為．（3）類比探究：如圖3，OC、OD是內(nèi)部的兩條射線．若OM、ON分別平分和，且，求的值．【答案】（1）30；（2）1；（3）【分析】（1）根據(jù)，可推出，即可求出結(jié)果．（2）根據(jù)OM、ON分別是和角平分線，可得出，，通過化簡計算從而得到，進而求出比值結(jié)果．（3）根據(jù)OM、ON分別是和角平分線，可得到，，，進而求出比值結(jié)果．【詳解】（1）∵∴，∴∵∴（2）∵OM、ON分別平分，，，，，，（3）∵OM、ON分別平分和，，，又，，，；【點睛】本題主要考察角平分線的性質(zhì)，角的計算，準確找出題目中的等角，利用等角找出它們之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．3.數(shù)學建模4.平面內(nèi)有n條直線（n≥2），這n條直線兩兩相交，最多可以得到a個交點，最少可以得到b個交點，則a+b的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出2條直線、3條直線、4條直線、5條直線…的交點個數(shù)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】如圖：2條直線相交有1個交點；3條直線相交有1+2個交點；4條直線相交有1+2+3個交點；5條直線相交有1+2+3+4個交點；6條直線相交有1+2+3+4+5個交點；…n條直線相交有1+2+3+4+5+…+（n-1）=個交點．所以a=，而b=1，∴a+b=．故選D．【點睛】考查的是直線的交點問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，需注意的是n條直線相交時最少有一個交點．5．在同一平面內(nèi)，兩條直線相交時最多有1個交點，三條直線相交時最多有3個交點，四條直線相交時最多有6個交點，…，那么十條直線相交時最多有____個交點．【答案】45.【分析】在同一平面內(nèi)，直線相交時得到最多交點的方法是：每增加一條直線這條直線都要與之前的所有直線相交，即第n條直線時交點最多有1+2+3+4+…+（n-1）個，整理即可得到一般規(guī)律：，再把特殊值n=10代入即可求解．【詳解】在同一平面內(nèi)，兩條直線相交時最多有1個交點，三條直線最多有3＝1+2個交點，四條直線最多有6＝1+2+3個交點，…，n條直線最多有1+2+3+4+…+（n﹣1）個交點，即1+2+3+4+…+（n﹣1）＝．當n＝10時，=＝45.故答案為45.【點睛】本題主要考查直線的交點問題．注意直線相交時得到最多交點的方法是：每增加一條直線，這條直線都要與之前的所有直線相交．4.數(shù)學運算-運用整體思想求角度或線段的長6.如圖，點B在線段AC的延長線上，AC<CB,點M、N分別是AC、BC的中點，點D是AB的中點．（1）若AC=8cm,CB=10cm，求線段MN的長；（2）若AC=a,CB=b，求線段CD的長．【答案】（1）9；（2）【分析】（1）根據(jù)點M、N中點的特點，得到MC、CN與AC、CB的關(guān)系，在