高考數(shù)學一輪復習訓練第6章第1講平面向量的概念及線性運算

第六章第1講[A級基礎達標]1．設a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結論中正確的是()A．a與λa的方向相反 B．a與λ2aC．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a【答案】B2．設a0為單位向量，下述命題中：①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D3．在平行四邊形ABCD中，下列結論錯誤的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|一定成立 B．eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))一定成立C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))一定成立 D．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))一定成立【答案】A4．在△ABC中，點D在邊AB上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))，設eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC．eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b D．eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b【答案】B5．(2020年長春模擬)如圖所示，下列結論正確的是()①eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b；②eq\o(PT,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－b；③eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b；④eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋b.A．①② B．③④C．①③ D．②④【答案】C6．在△ABC中，已知D是邊AB上的一點，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝________.【答案】eq\f(2,3)【解析】因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3).7．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(λ＋1)eq\o(BP,\s\up6(→))，則λ＝________.【答案】－eq\f(5,2)【解析】由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))可知，點P是線段AB上靠近點A的三等分點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(BP,\s\up6(→))，所以λ＋1＝－eq\f(3,2)，解得λ＝－eq\f(5,2).8．設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，eq\o(BC,\s\up6(→))2＝16，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，則|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝______.【答案】2【解析】由|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|可知，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線，因此，|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2.9．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線，向量c＝2e1－9e2，問是否存在這樣的實數(shù)λ，μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？解：因為d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，則應有實數(shù)k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))解得λ＝－2μ.故存在這樣的實數(shù)λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線．10．如圖所示，四邊形ABCD是一個等腰梯形，AB∥DC，M，N分別是DC，AB的中點，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→)).解：依題意得eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－a＋b＋c.因為eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))，所以2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－b－(－a＋b＋c)＝a－2b－c.所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.所以eq\o(DN,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b－c.[B級能力提升]11．已知點O，A，B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，則()A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的反向延長線上C．點P在線段AB的延長線上D．點P不在直線AB上【答案】B【解析】因為2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，所以2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).所以點P在線段AB的反向延長線上．12．(多選)(2020年常州模擬)如圖所示，四邊形ABCD為梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為AB，CD的中點，則下列結論正確的是()A．eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))【答案】ABD13．(一題兩空)(2020年金華模擬)在△ABC中，M，N分別在AB，BC上，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，AN交CM于點P，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，則x＝________，y＝________.【答案】eq\f(1,8)eq\f(3,4)【解析】如圖，過點M作MD∥BC交AN于點D．因為eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，所以AD＝2DN，DP＝2PN，所以NP＝eq\f(1,8)AP，所以eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(PA,\s\up6(→)).因為eq\o(BP,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,8)，y＝eq\f(3,4).14．若點O是△ABC所在平面內的一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為____________．【答案】直角三角形【解析】eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|.故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形．15．設兩個非零向量e1和e2不共線．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，求證：A，C，D三點共線；(2)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且A，C，D三點共線，求k的值．【答案】(1)證明：因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線．又因為eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))有公共點C，所以A，C，D三點共線．(2)解：eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1－2e2，因為A，C，D三點共線，所以eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，從而存在實數(shù)λ使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(4,3).16．已知O，A，B是不共線的三點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1．證明：(1)若m＋n＝1，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，即eq\o(BP,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(BP,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))共線．又因為eq\o(BP,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))有公共點B，所以A，P，B三點共線．(2)若A，P，B三點共線，則存在實數(shù)λ，使eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．又eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，故有meq\o(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→))，即(m－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(n＋λ－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.因為O，A，B不共線，所以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0.))所以m＋n＝1．[C級創(chuàng)新突破]17．設G為△ABC的重心，且sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，則角B的大小為()A．45° B．60°C．30° D．15°【答案】B【解析】因為G是△ABC的重心，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，eq\o(GA,\s\up6(→))＝－(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，將其代入sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，得(sinB－sinA)eq\o(GB,\s\up6(→))＋(sinC－sinA)eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.又eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))不共線，所以sinB－sinA＝0，sinC－s