考研數(shù)學北京航天航空大學線性代數(shù)-2-4

§2.4初等變換與初等矩陣一初等變換二用初等變換求矩陣的秩三初等矩陣四用初等變換求逆矩陣一矩陣的初等變換初等變換的逆變換也是初等變換,且變換類型不變.定義矩陣的以下變換稱為矩陣的初等變換：(1)互換矩陣的兩行或兩列的位置;(2)用不為零的常數(shù)k乘矩陣的某一行或某一列;

(3)用常數(shù)k乘矩陣的某一行(或列)加到另一行(列)的對應元素上去.注這三種初等變換分別簡稱為互換、倍乘、倍加.1.自反性：A≌A;在數(shù)學中把具有上述三個根本性質的關系稱為“等價關系”.同型矩陣的等價關系具有以下三個根本性質:定義矩陣A經(jīng)過初等變化而得到新矩陣B,稱矩陣A與矩陣B等價.記為:A≌B.2.對稱性：A≌

B

B≌

A;3.傳遞性：A≌

B且B≌C

A≌

C.

注三角形的相似、全等都是等價關系.數(shù)之間的“大于”、“小于”不是等價關系.例如(–2)–2–2即A與B等價.矩陣B是階梯型矩陣.從上述矩陣演算過程中可以看到:任意一個矩陣總可以經(jīng)過有限次初等變換化成階梯形矩陣.另外,我們在講矩陣的秩的時候,知道階梯形矩陣的秩是很容易確定的,如果初等變換不改變矩陣的秩,那么我們就可以根據(jù)階梯形矩陣求出與其等價的原矩陣的秩.二用初等變換求矩陣的秩即初等變換不改變矩陣的秩.證定理4.1設A,B均為mn矩陣,假設A≌B,那么R(A)=R(B).只要證明對矩陣進行初等行變換不改變秩即可.首先,前兩種變換對矩陣的任何階子式等于零或不等于零的性質不產生影響,因此對矩陣的前兩種初等變換不改變其秩.對第三種變換,設k設R(A)=r,R(B)=s.下面證明r=s.對B中任一r+1階子式B1,可能有以下三種情形:1.如果B1中不含B的第j行元素,那么B1也是A的r+1階子式.由R(A)=r,得B1=0.2.如果B1中既含B的第i行元素,又含B的第j行元素,那么3.如果B1中含B的第j行但不含B的第i行,那么A的一個r+1階子式至多與A的r+1階子式差一符號總之,不管哪一種情形,B中任一r+1階子式都等于零,因此R(B)

r，即s

r.假設將B的第i行乘(–k)加到第j行的矩陣A.同樣可得r

s.因此r=s,即R(A)=R(B).同理結論對列的初等變換也成立.初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣，階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例1求矩陣的秩.解21–2

R(A)=2.假設繼續(xù)對A進行化簡(–1)11114稱為A在初等變換下的標準形.解分析：練習三初等矩陣逆矩陣是與矩陣的乘法運算密切相關的概念,要利用初等變換求逆矩陣,就需要首先矩陣的初等變換與乘法的運算聯(lián)系起來,為此我們要引入初等矩陣的概念.三種初等變換對應著三種初等方陣.定義由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.1.互換E的第i行與第j行用m階初等矩陣Pm(i,j)左乘A=(aij)m

n,得用初等矩陣P(i,j)左乘A相當于將A的第i行與第j行互換.2.用數(shù)k0乘E的第i行用m階初等矩陣P(i(k))左乘A=(aij)m

n,得用初等矩陣P(i(k))左乘A相當于對A用不為0的數(shù)k乘以A的第i行.

3.用數(shù)k乘E的第i行加到第j行用m階初等矩陣P(i(k),j)左乘A=(aij)m

n,得用P(i(k),j)左乘A相當于用數(shù)k乘A的第i行加到第j行.同樣有列變換對應的初等矩陣三種,右乘矩陣A相當于對A進行列變換.從上面的討論結果,我們可以得到這樣的結論:定理4.2設A是一個m

n矩陣,對A進行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣；對A進行一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣.(1)根據(jù)這個定理,矩陣的等價關系可用矩陣的乘法方式表示出來,即:推論

m

n矩陣A與B等價

有m階初等矩陣P1,P2,…,Pl與n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt使得m

n矩陣A的標準形D有以下三種形式:(2)(3)1的個數(shù)為矩陣A的秩.1初等矩陣的轉置矩陣仍為同類型的初等矩陣;2初等矩陣都是可逆矩陣;3初等矩陣的逆陣仍為初等矩陣.由推論必存在有m階初等矩陣P1,P2,…,Pl與n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt使得初等矩陣的性質定理4.3

n階方陣A可逆的充分必要條件是:它能表成有限個初等矩陣的乘積即證明必要性即令顯然Qi仍為初等矩陣;故必要性得證.充分性由初等矩陣可逆及可逆矩陣的乘積仍可逆即證.由A可逆,那么A≌E.因此A經(jīng)過有限次初等變換可變?yōu)镋.因此存在初等矩陣P1,P2,…,Pl,Pl+1,…,Pt使得由定理4.3得因此有推論1可逆矩陣經(jīng)過有限次行的初等變換可化為單位矩陣.推論2兩個矩陣m

n矩陣A,B等價的充分必要條件是:存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q,使得A=PBQ.推論3設A為mn矩陣,P,Q分別為m階及n階可逆矩陣,那么:R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ).即一個矩陣乘一個可逆矩陣后不改變秩.四用初等變換求逆矩陣利用初等變換求逆陣的方法：假設矩陣A可逆,那么存在有限個初等矩陣P1,P2,…,Pt使得因此說明:如果用有限次行的初等變換把可逆矩陣A化為單位矩陣,那么用同樣的行初等變換作用與單位矩陣E,就可以得到A的逆矩陣A-1.從