深圳外國語中學(xué)2023年高二年級上冊10月月考數(shù)學(xué)試題含答案

2023?2024學(xué)年度上學(xué)期第一次月考考試

高二數(shù)學(xué)

深圳外國畬臂君2攆it苜孽就柿唱被學(xué)試題+解析

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上,并將條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置。

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非

答題區(qū)域均無效。

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡

上作答；字體工整.筆跡清楚。

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交。

5.本卷主要考查內(nèi)容：必修第一冊第五章，必修第二冊第六章、第八章,選擇性必修第一冊

第一章?第二章2.3。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4()分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知直線l\：2^+jy—1=0,/2：4_r—3y=0的傾斜角分別為ai,a2,則

A.B.

C.D.aiVazV-^"

2.下列條件一定能確定一個平面的是

A.空間三個點B.空間一條直線和一個點

C.兩條相互垂直的直線D.兩條相互平行的直線

3.函數(shù)/(J-)=COS［一號4］的最小值為

A.一岑B岑C.-yD.y

4.已知直線22+?—3=0與直線4H一〃?，-3=0平行，則它們之間的距離是

A--B-10C.而D-T

5.在正四面體A-BCD中，其外接球的球心為O,則茄=

1>13一A1-AQ>Q-A1>

A.4-AD-4AB+4-ACB.-^-AD+^-AB+-^AC

244444

C.>D+TAB+|ACD,+

6.如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓O的直徑，SO=A8=4,AC=BC,Q為SO

的中點，N為AD的中點，則點N到平面SBC的距離為

A.yB..

C.1D.2

7.如圖，在三棱柱ABC—中.M為AC的中點，N為側(cè)面BCQBi上」

的一點，且MN〃平面ABCt，若點N的軌跡長度為2,則

A.AG=4

B.BG=4

C.ABi=6C,

D.B,C=6

8.如圖，在平行六面體ABCD-A.BiC.D,中，底面是邊長為2的正方形.

若NA|AB=/A|AD=60°,且AA】=3,則AC,的長為

A.729B.2V7

C.472D.5

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的有

A.直線>=az+3a—1過定點（—3,—1）

B.過點（2,—1）且斜率為一聲的直線的點斜式方程為》+1=一疝（了-2）

C.斜率為2,在丁軸上的截距為1的直線方程為y=2z士1

D.經(jīng)過點（1,1）且在軸和y軸上截距相等的直線方程為了+?—2=0

10.如圖，已知圓臺的上底面半徑為1,下底面半徑為2.母線長為2,AB,CD分別為上、下底面

的直徑,AC,BD為圓臺的母線，E為弧AB的中點，則

A.圓臺的側(cè)面積為6K

B.直線AC與下底面所成的角的大小為全

C.圓臺的體積為西

D.異面直線AC和DE所成的角的大小為孑

1L已知tana=2tand則

21

A.若sinQCOS/?=—,fijljsin（a—/5）=—

DD

97

B.若sinacos￡=寸，則cos（2a+2f）=——

D乙通

C.若a,匹（0號），則tan（Q—f）的最大值為:

D.三Q，SG,使得Q=2￡

12.已知正方體ABCD—的邊長為2,E、F、G、H分別為CQ、

BC、CI）、的中點,則下列結(jié)論正確的是

A.B1G±EF

B.〃平面AEF

C.點B,到平面AEF的距離為2

D.二面角E-AF-C的大小為手

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知|a|=l,|t>|=2,a?b=2,則（。―6）?（a+2b）=

14.使三條直線7+?=2,〃?攵+y=0,z->y=4不能圍成三角形的實數(shù)m的值為________.

15.已知在長方體ABCD—A'B'C'D'中，AB=AD=2AA',E.F分別為A'D',CD的中點，M為

B3'上任意一點，則異面直線與AF所成的角為.

16.如圖，已知正方體ABCD-A.B,C,D,的棱長為4,M,N,G分別是棱

,BC,A.D,的中點，設(shè)Q是該正方體表面上的一點，若就=了訛+

y疝&_r,yGR）,則點Q的軌跡圍成圖形的面積是;MG?MQ

的最大值為.（本題第一空2分,第二空3分）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA,底面ABC,PB，BC,D為BP的中點.PA=AB.

（1）求證：BC_L平面PAB；

（2）求證：AD,平面PBC.

18.（本小題滿分12分）

在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,6,c,且滿足6%cosC+c26cosB=ab2+ac2-a3.

⑴求A；

（2）若。+c=2,求a的最小值.

19.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，AB_L平面PAD,E是AD的中點,

△PAD為等腰直角三角形，DP_LAP,PA=gAB.

（1）求證:尸

（2）求直線PC與平面PBE所成角的正弦值.

20.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為直角梯形，AB〃CQ,AB，BC,AB=

2CD=2BC,O為BD的中點,BD=4,PB=PC=PD=V^.

（1）證明：（加，平面八/?;0；

（2）求平面PAD與平面PBC的夾角的余弦值.

21.（本小題滿分12分）

已知直線/：（2“?+DZ-（3+MJ）N+”?-7=0.

（1）/?為何值時，點Q（3,4）到直線I的距離最大，并求出最大值；

（2）若直線/分別與工軸軸的負半軸交于A,B兩點，求△AOB（C）為坐標原點）面積的最

小值及此時直線I的方程.

22.（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱ABC-A|3G中，AC，BC,AC=BC=AAI為的中點，G為

AAi的中點，E為CQ的中點，BF=3AF,點P為線段BG上的動點（不包括線段的

端點）.

（1）若EP〃平面CFG,請確定點P的位置；

（2）求直線CP與平面CFG所成角的正弦值的最大值.

2023?2024學(xué)年度上學(xué)期第一次月考考試?高二數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細則

1.A由題意得，ianai=-2?tans?所以ai為鈍角為銳角.所以ai.故選A.

2.D由兩條相互平行的直線能確定一個平面.可知D選項正確.故選D.

3.D/(a、)min=/(^-)=COS(

4.C因為直線2/+y—3=0與直線4］一3=0平行.所以一2〃?=4X1,解得”=一2,所以直線47+2y一

|—3—(-6)|_3展

3=0,直線2z+y—3=0可變形為4i+2;y—6=0,所以兩平行線之間的距離d=故

/22+42

選C.

5.C由題知，在正四而體八-3CQ中.因為。是外接球的球心，設(shè)三角形BCD的中心

為點E,BC的中點為F,則布=J■盛.就=小俞就+

43333

(yAB+yAC)=yAB+yAC,AO=-^AB+yACH-yAD.故選C.

6.B因為AC=BC,O為AB的中點，則OCJ_AB,

由圓錐的幾何性質(zhì)可知SO_L平面ABC,

以點()為坐標原點，OC,OA.OS所在直線分別為才，了,之軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則S(0,0,4)、B(0,—2,0)、C(2,0,0)、A(0,2,0)、D(0,0,2)、N(0,1,1),

設(shè)平面SBC的法向量為n=,BC=(2,2,0),BS=(0,2,4)，

[n?灰=2i+2y=0,

則、一取j，=—2,可得打=(2,—2,1),

I.n?BS=2J，+4N=0,

I甲?jI,I-6+1I

又因為碇=(0,3?l),所以點N到平面SBC的距離為d=

故選B.

7.B如圖，取B,C,的中點D,BS的中點E,連接MD.DE.ME,由MD//A}//AB.DE

//BC}，可得平面MDE〃平面ABC；，故點N的軌跡為線段DE,又由DE=4BC；=2,可

得3G=4.故選B.

8.AAC?=AB-\-AD+AA^,AC^2=(ABH-AD-f-AA?)2=AB+4-XX-+2AB?AD

-b2AD?/Vf+2AB?7m7=4+4+9+0+2乂2乂3義4_+2乂2乂3乂3=29.故|記|=.故選A.

9.AB對于A,直線y=a(z+3)—l恒過定點(一3,—1),A正確；

對于B,過點(2,—1)且斜率為一g■的直線的點斜式方程為y—(—1)=一痣(才-2),B正確；

對于C,斜率為2,在》軸上的截距為1的直線方程為)=21+l.C錯誤；

對于D.經(jīng)過點(1.1)且在工軸和3,軸上截距相等的直線過原點時,方程為￥="當該直線不過原點時,方程

為_r+y-2=0,D錯誤.故選AB.

10.ABD過點C作取AB的中點O,連接OE,OD.AH=1.圓臺的高CH

=，22—(2—1/=71,圓臺的側(cè)面積為XX(1+2)X2=6K,圓臺的體積為fxX

有X(F+1X2+2?)=擎式.又由tanNCAH=黑可得/CAH=1?.可

oArio

得AC與下底面所成的角為母.又由人(：〃(汨.(小1平面48以：,可得異面直線AC和DE所成的角為

NODE,在RtAODE中，OE=2,O?=2,可得NODE=1■，故異面直線AC和DE所成的角為一■.故

44

選ABD.

11.ACA：tana=2tanB=>h'na=2?￡=>sinacos5=2cosasin3與sin?cos3=3,可得cosasin/?=4-=>

廠cosacosB廠5廣5

oii

sin(a—?)=(-—號=丁，故A正確；

27

B：sin(a+p)=sinacosg+cosasin,=亍，cos(2a+2f)=l-2sin?(a+f)=/.故B錯誤;

c：tan(a-f)=僵尸嘿=----------<!，當且僅當tanR罟/ana=&時取“="，故

'14-tanatan814-2tan"311cc4’2

r1;---十2lanf

tanB1

C正確；

D：若a=2f,則tana=tan2A2tan六二；：嵩，在(0.,)上無解?故D錯誤.故選AC.

12.ABC以Q為原點.D八所在直線為z軸?DC所在直線為N軸,DQ所在直線為z軸?建立如圖所示的空間

直角坐標系.

則A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),E(0.2.1),

G(0,l,0),Ai(2?0,2),H(2.2J),F(l,2,0).B(2,2.2).

B?G=(-2,-l,-2).EF=(l,0,-l).

VBTG-寸=-2+2=0,???BGJ_EF,A項正確.

A1H=(0,2,-l),AF=(-l,2,0).

in?AF=0

設(shè)7f=(/,〃之)為平面AEF的一個法向量，則、一

In-EF=0

j一/+23=0

即《，令？=1,得/=2,之=2,則〃=(2,1,2),

(JL—-Z=0

?"了?n=2-2=0./.A,H〃平面八EF,貝i|B項正確；

?.?瓦力=(0,-2,—2),...點B,到平面AEF的距離為d=|&卓;-3=慢二|二"=2,C項正確.由圖可知，

InI3

--?

口3」平面AFC,所以B3=(0.0,2)是平面AFC的一個法向量.則cos〈38,〃〉=上一=《■，故二

IBB.I?Iwl3

面角E—AF—C的大小不是名.所以D項不正確.

13.一學(xué)（a-b）?（a-2b）=a2+a?b-2b2=14--|-8=一

=■或〃，=1或〃?=一1當三條直線交于一點或有兩條直線平行或重合時，這三條直線不能圍成三角

形.若三條直線交于一點，由，得交點坐標為（3,—1）,把（3,—1）代入到直線〃?7+3，=0,得〃?=

（T—y=4,

白；若有兩條直線平行或重合時，有兩條直線的斜率相等，它們的斜率分別為一1,一"八1,所以，"=1或一1.

綜上，，"或，"=1或，"=-1時，直線工+>=2,,"工+y=O,_r—,=4不能圍成三角形.

15.y設(shè)AB=AD=2八A'=2a,BM=z。.分別以DA.DGDD'所在直線為工，》軸建立空間直角坐標系，則

八（2。，0,0）,/?（4,0,口）.尸（0,々，0）,何（20,2々，比）.可得1€7坂=（°,2。，劭-a）,AF=（—2a,a,0）.

VEM?#=-2。2+2.2=0,???前_L#,，EM_LAF,即異面直線EM與AF所成的角為叁.

16.12痣12??,堿=］流+了而需（①,yGR）,，點Q在平面MGN上，A'

分別取AB,CG,GR的中點E,F.O,則點Q的軌跡是正六邊形OFNEMG,——字］

因為正方體ABCD-AIBGA的棱長為4,：力

所以正六邊形OFNEMG的邊長為2版,;三匕才。

111lAEB

所以點Q的軌跡圍成圖形的面積是S=6X十X2&X2聲Xsin60°=12居.

由投影分析前?荻422’X2西?cos30°=12,???前?痰的最大值為12.

17.證明：（1）???AP_L平面ABGBCU平面ABC

：.AP±BC...........................................................................................................................................................3分

平面PAB

???BC_L平面PAB.....................................................................................................................................................5分

（2）???8（：，平面PAB.AQU平面PAB

ABC±AD..................................................................................................................................................................6分

???△PAB為等腰直角三角形，D為斜邊PB的中點

：.AD_LPB..................................................................................................................................................................8分

???ADLPB.ADLBC,BP,BCU平面PBC

???AD_L平面RBC.................................................................................................................................................10分

18.M：（1）62ccosC+c26cosB=a（h2-\~c2-a2）=a?26ccosA............................................................................2分

=>6cosC+ccosB=2acosA.即sinBcosC4-sinCeosB=2sinAcosA,......................................................4分

即sinA=2sinAcosAncosA=；nA=60°；.................................................................................................6分

（）由余弦定理有2（）2（）2?（竽）?

2a=lr-F?~bc=b~\~c~3bc^b+c-3~=19分

(2)解：如圖以E為原點，EP,EA所在的直線為1軸，y軸，在平面ABCD內(nèi)，通過E點作AD的垂線為之

軸,建立空間宜角坐標系E-xyz,

不妨設(shè)尸人=笈，則。(1,0,0),以0,1,1),。(0,—1,1),則育=(一1,一1,1),云2=(0,1,1),芹=(1,0,0),

...............................................................................................................................................................................8分

設(shè)平面尸BE的法向量為〃=(7,丁,之)，

jEB?n=y-\-z=O<,

則彳_常取丁=1,則z=-1,

[EP?〃=i=0,

故〃=(0,1,—1)為平面PBE的一個法向量，...................................................10分

設(shè)PC與平面PBE所成的角為6,則sin6=|:/7="

IrtI,IPCIv2Xy33

???直線PC與平面PBE所成角的正弦值為夸..................................................12分

20.(1)證明：如圖，連接OC,才，

在RtZ\BCD中?由BD=4可得OC=29P

,:PB=PD=&,OB=OD=2,/：；y\

：.OP±I3D,OP=A/PB2-OB2=/Fr4=l,.........................................2分弋?

■?,OP=1,OC=2.PC=V5PC2=OP2+OC2,//

：.()P±OC,......................................................................................................4分>

VOP1BD,OP1OC,BD.OCU平面ABCD.3DAOC=O,

???OP_L平面A3CD；................................................................................................................................................6分

(2)解：由(1)和等腰三角形3CD可知,OC,OB,OP兩兩垂直,以。為坐標原點，向量0方，充，講方向分別

為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.

可得O(0,0,0),B(2,0,0),D(-2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,l),

又由虎=(2,2,0),有益=2虎=(4,4,0),可得點A的坐標為(一2,—4,0),.........................................7分

設(shè)平面PBC的法向量為m=

jm-BC=-2i+2y=0,

由笳=(一2,2,0),證=(-2,0,1),

〕〃？?6戶=-2/+N=0.

取I=l,y=l,z=2,可得平面PBC的一個法向量為m=(1,1,2)................................................................9分

設(shè)平面PAD的法向量為〃=(a",c),

__>__卜？?DP=2a+c=0,

由DP=(2,0,1),4。=(0,4,0),有<一取4=1,〃=0"=-2,可得平面PAD的一個法向

In?AD=4〃=0,

量為〃=(1,0,-2)..................................................................................................................................................11分

由m?"=—3,|,"|=唐，|"|=百\可得平面PAD與平面PBC的夾角的余弦值為之之=空.......

V5XA/610

................................................................................................................................................................12分

21.解：（1）已知直線/：（2"[+1）憶一（3+〃?）？+〃?一7=0.

整理得（2才一丁+1）m+/一3》一7=0,

（2z-y+l=0,f/=-2,

屋一3y-7=0[了=-3,

故直線/過定點（—2,-3）,....................................................................................................................................3分

點Q（3,4）到直線,的距離最大，

可知點Q與定點尸（一2,一3）的連線的距離就是所求最大值，

即M（3+2）2+（4+3），="為最大值........................................................4分

.?.Z?._-41~+3T-_---7.

（2加+1）/一（3+7〃）y+m-7=0的斜率為一,..............................................5分

可得一言=^^，解得加=一等；..............................................................6分

/"，十319

（2）若直線/分別與1軸…軸的負半軸交于八，3兩點.則可設(shè)直線I的方程為》+3=屋1+2）.4〈0.

則A（-^-—2,0）,3（0,2A一3）,...............................................................................................................................8分

\k/

=y|y-2|?|2^-3|=y(2-y)(3-2^)=Y[12+(-4^)+(-^-)]>-1-X(12-|-12)=12.

（當且僅當Q一年時，取“一”）,

故面積的最小值為12,此時直線I的方程為37+2丁+12=0.12分

22.解：(1)如圖，連接BD.

V=2AGJ^D=2AF.：.RtAFAG^RtADB!B,

???NBDB|=NAFG....................................................