四川省隆昌市第七中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

隆昌七中高三10月考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分一、單選題（本大題共12小題，共60分）1.已知集合，若，則B可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題得，判斷選項(xiàng)得解.【詳解】因?yàn)?，所以，四個(gè)選項(xiàng)中只有是集合A的子集．故選：A.2.已知命題，，則命題的否定是A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定，改變量詞，否定結(jié)論，可得出命題的否定.【詳解】命題為特稱命題，其否定為，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題的否定的改寫，要注意量詞和結(jié)論的變化，屬于基礎(chǔ)題.3.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】直接對(duì)化簡，求出，從而可求出的虛部【詳解】解：由，得，∴的虛部為.故選：C.4.已知函數(shù)，則()A.4 B. C.－4 D.－【答案】B【解析】【詳解】本試題主要是考查了分段函數(shù)的求值問題.

因?yàn)楹瘮?shù)，則，故選B.

解決該試題的關(guān)鍵是從內(nèi)向外依次代入對(duì)應(yīng)的關(guān)系式求解函數(shù)值即可.5.若，是平面外的兩條不同直線，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線線、線面的平行關(guān)系，結(jié)合條件間的推出關(guān)系，判斷“”、“”之間的充分、必要關(guān)系.【詳解】∵，是平面外的兩條不同的直線，，∴若，則推出“”；若，則或與相交；∴若，是平面外的兩條不同直線，且，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.設(shè)向量，，且，則向量與的夾角為A B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】向量，，且，則,,,,設(shè)向量與的夾角為，則，，選D.7.某小區(qū)有排成一排的7個(gè)車位，現(xiàn)有4輛不同型號(hào)的車需要停放，如果要求剩余的3個(gè)車位連在一起，那么不同的停放方法的種數(shù)為（）A.24 B.80 C.120 D.160【答案】C【解析】【分析】利用捆綁法求得不同的停放方法種數(shù).【詳解】將個(gè)連續(xù)的空車位捆綁看成一個(gè)整體，故所有不同的停放方法數(shù)有種.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用捆綁法計(jì)算簡單的排列問題，屬于基礎(chǔ)題.8.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，若，則的最小值等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】∵正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為3，且∴∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選C.點(diǎn)睛：利用基本不等式解題的注意點(diǎn)：（1）首先要判斷是否具備了應(yīng)用基本不等式的條件，即“一正、二正、三相等”，且這三個(gè)條件必須同時(shí)成立．（2）若不直接滿足基本不等式的條件，需要通過配湊、進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造成滿足條件的形式，常用的方法有：“1”的代換作用，對(duì)不等式進(jìn)行分拆、組合、添加系數(shù)等．（3）多次使用基本不等式求最值時(shí)，要注意只有同時(shí)滿足等號(hào)成立的條件才能取得等號(hào)．9.定義符號(hào)函數(shù)sgnx，則函數(shù)f（x）=x2sgnx的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)新定義可得函數(shù)f（x）=x2sgnx=，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)即可判斷【詳解】函數(shù)f（x）=x2sgnx=，由二次函數(shù)的圖象性質(zhì)可知：B正確.故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義和函數(shù)圖象的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題．10.若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.【點(diǎn)睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進(jìn)行估計(jì)，解法二是根據(jù)基于對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.11.已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若、是在內(nèi)的兩根，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡解析式，通過三角函數(shù)圖象變換求得解析式，求得在內(nèi)的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱性求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】，，不妨設(shè)為銳角，則.則，所以，由，可得，取，可得在內(nèi)的對(duì)稱軸方程為，因?yàn)槭窃趦?nèi)的兩根，所以，所以故選：A12.已知直線與曲線和分別相切于，．有以下命題：（1）；（2）；（3）這樣的直線有兩條；（4）（原點(diǎn)）；（5）．則正確的命題個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出直線方程，由，，可判斷（1），（2）；根據(jù)的符號(hào)判斷（4）；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)在區(qū)間和上不存在零點(diǎn)可判斷（5）；結(jié)合以上及曲線和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可判斷（3）.【詳解】根據(jù)題意可得，又，所以直線的方程為：，即.同理可得直線的方程也可表示為：.所以可得.由，又，可得，則，所以（1）錯(cuò)誤；由，可得，又，則，所以（2）正確；由，若三點(diǎn)共線，即直線過原點(diǎn)，則，解得，此時(shí)；若，由，可得，此時(shí)；若，則，則，此時(shí)；若，則，則，此時(shí)；綜上知，則，所以（4）正確；由，代入等式，可得，即.構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，且；所以函數(shù)在區(qū)間和上不存在零點(diǎn)，則可得，所以（5）正確；結(jié)合（4）（5）及曲線和互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故這樣的直線有兩條，所以（3）正確；故選：C.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______________．【答案】112【解析】【詳解】試題分析：由二項(xiàng)式通項(xiàng)可得，（r=0,1,…,8）,顯然當(dāng)時(shí)，，故二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為112.考點(diǎn)：二項(xiàng)式通項(xiàng)．14.已知為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和，若，，，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)，，求得公差，再代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式.【詳解】∵，，∴，∵，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15.若滿足約束條件，設(shè)，則在方向上投影的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】利用向量投影的坐標(biāo)運(yùn)算可將所求投影表示為，令，根據(jù)約束條件作出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為在軸截距最大的問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】，，在方向上的投影為；由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示，令，則當(dāng)在軸截距最大時(shí)，取得最小值，由圖象可知：當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，在軸截距最大，由得：，即，，的最小值為.故答案為：.16.已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍為_____．【答案】【解析】【分析】兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的等價(jià)命題是方程在區(qū)間上有解，化簡方程在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】解：根據(jù)題意，若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則方程在區(qū)間上有解，即方程在區(qū)間上有解，設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，又由，可得：當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故函數(shù)有最小值，又由；比較可得：，故函數(shù)有最大值，故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?；若方程在區(qū)間上有解，必有，則有，即的取值范圍是；故答案為：；【點(diǎn)睛】本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題,函數(shù)零點(diǎn)問題的拓展.由于函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，在研究方程的有關(guān)問題時(shí)，可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.三、解答題（本大題共6小題，1721題，每題12分，22或23題10分）17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為.（1）求的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.并證明.【答案】（1）.（2），證明見解析【解析】【分析】（1）利用基本量法以及等差數(shù)列的性質(zhì)求解.（2）利用裂項(xiàng)相消法以及不等式的性質(zhì)求解證明.【小問1詳解】設(shè)的公差為d，由題意得：，解得，所以.【小問2詳解】令，由（1）有：，所以，，，，.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，求的面積．【答案】（1）最小正周期，，；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)降冪公式、輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式、單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），所以的最小正周期．令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以或，或，?dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以，，，，此時(shí)為等腰三角形，所以，所以，即的面積為．19.焦慮癥是一種常見的神經(jīng)癥，多發(fā)于中青年群體，某機(jī)構(gòu)為調(diào)查焦慮癥與年齡之間的關(guān)聯(lián)，隨機(jī)抽取10人進(jìn)行焦慮值（滿分100分）的測(cè)試，根據(jù)調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)表：人員ABCDEFGHIJ年齡(歲)26342524202019191817焦慮值(分)80898978757165625550（1）我們約定：焦慮值關(guān)于年齡的線性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值在0.75（含0.75）以上為線性相關(guān)性較強(qiáng)，否則視為線性相關(guān)性較弱，如果沒有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，那么不考慮用線性回歸進(jìn)行擬合．試根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)判斷能否用線性回歸對(duì)焦慮值與年齡的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行擬合．若能，請(qǐng)求出焦慮值關(guān)于年齡的線性回歸方程（回歸方程的斜率和截距的估計(jì)值均精確到0.01）；若不能，請(qǐng)說明理由．（2）現(xiàn)從所調(diào)查的10人中隨機(jī)抽取5人，記年齡在20歲（含20歲）以上的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，，，，．對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．線性相關(guān)系數(shù)．【答案】（1）可用線性回歸對(duì)它們的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行擬合；線性回歸方程為；（2）3．【解析】【分析】（1）利用公式求出相關(guān)系數(shù)，并與比較大??；（2）先求出的分布列，再用期望公式求期望即可.【詳解】（1）由題意，可借助計(jì)算相關(guān)系數(shù)判斷焦慮值與年齡的線性相關(guān)程度，從而判斷是否能用線性回歸方程進(jìn)行擬合．相關(guān)系數(shù)，由題意，與有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，故可用線性回歸對(duì)它們的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行擬合．設(shè)回歸方程為，則，．所以焦慮值關(guān)于年齡的線性回歸方程為．（2）由題意可知的所有可能取值為1，2，3，4，5．故的分布列為12345所以．20.已知，且解集為．（1）當(dāng)，求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于的不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】（1）由的解集為可知且.則.（2）的解集為R.當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由.綜上，.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，且為方程的兩根，，求出，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】（1）.①當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.即函數(shù)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，令，得.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.即函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn)，有一個(gè)極小值點(diǎn).③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，即在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，即只有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，即有2個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn).（2）由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，且為方程的兩根，即，所以.令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求C的普通方程和l的傾斜角；（2）設(shè)點(diǎn)，l和C交于A，B兩點(diǎn)，求.【答案】(1)..(2).【解析】【分析】（1）直接利用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程公式得到普通方程，再計(jì)算傾斜角.（2）判斷點(diǎn)在直線l上，建立直線參數(shù)方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到答案.【詳解】（1）消去參數(shù)α得，即C的普通方程為.由，得，（*）將，代入（*），化簡得，所以直線l的傾斜角為.（2）由（1），知點(diǎn)在直線l上，可設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），即（t為參數(shù)）