新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講必備 第16講 平面向量及其應(yīng)用（講義含解析）

第16講平面向量及其應(yīng)用

學(xué)校姓名班級

一、知識梳理

(1)平面向量的基底

平面內(nèi)丕駕的兩個(gè)向量a與6組成的集合｛a,6｝,常稱為該平面上向量的一組基底，如

果c—xa+yb,則稱xa+yb為c在基底｛a,b]下的分解式.

(2)平面向量基本定理

如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b不共線，則對該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c,存在唯一的實(shí)數(shù)對

(x,y),使得c=xa+yb.

一般地，給定平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量A,a，對于平面內(nèi)的向量a,如果a=xe^

+ye>,則稱(x,y)為向量a的坐標(biāo),記作a=(*,y).

(1)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

假設(shè)平面上兩個(gè)向量a,6滿足a=(M,yi),6=(如亥)，貝2±6=(汨±也，％土次)，

4a—(A,Ayi)(AeR),ua+vb=(ux、土呂生，〃乃土”)(u,v&R).

(2)向量模的坐標(biāo)計(jì)算公式

如果向量a=(x,y),則a+/.

(3)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)4(兇，％),B(X2,女)，

則/慶=(吊-%一%)，

!AB\=\](及-xi).+(丁—x)r.

設(shè)a=(xi,%),6=(及，R),則a〃Zxnx2yl=為％

5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

(1)向量的夾角：給定兩個(gè)非零向量a,b,在平面內(nèi)任選一點(diǎn)。，作^=a,OB=b,則稱

[0,內(nèi)的上絲殳為向量a與向量b的夾角，記作(a,A).

(2)向量的垂直：當(dāng)(a,b)=方時(shí)，稱向量a與向量b垂直，記作a丄6.規(guī)定零向量與任

意向量垂直.

(3)數(shù)量積的定義：一般地，當(dāng)a與6都是非零向量時(shí)，稱【all引cos〈&b>為向量a與

6的數(shù)量積（也稱為內(nèi)積），記作a?6,即a?6=|a]㈤cos〈a,6〉.

（4）數(shù)量積的幾何意義：①投影向量：設(shè)非零向量葩=a,過48分別作直線/的垂線，

垂足分別為,B',則稱向量/'與'為向量a在直線1上的投影向量或投影.

②投影的數(shù)量：一般地，如果a,6都是非零向量，則稱a!cos〈a,6〉為向量a在向量6

上的投影的數(shù)量.投影的數(shù)量與投影的長度有關(guān)，投影的數(shù)量既可能是非負(fù)數(shù)，也可能是

負(fù)數(shù).

③兩個(gè)非零向量a,6的數(shù)量積a等于a在向量b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積.

6.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量4=（X1,71）,6=（矛2,㈤，。為向量&6的夾角.

（1）數(shù)量積：a?b=a61cos夕=生壟土里空

⑵模：|a|=yja?a=y/x；+式.

（3）夾十臺角：cos“0一|a十?引b__—__?___；汨工二十?）寶%+場

（4）兩非零向量a丄6的充要條件：a?6=00為*2+%%=0.

（5）a?b|W|a||b（當(dāng)且僅當(dāng)a〃b時(shí)等號成立）。|川入2+”%IW。気+/,1是+jl

7.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

（l）a?b=b?a（交換律）.

⑵4a?6=兒（a?6）=a?（/6）（結(jié)合律）.

⑶（a+b）,c=a,c+Z>?c（分配律）.

8.平面幾何中的向量方法

三步曲：（1）用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；

（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

二、考點(diǎn)和典型例題

1、平面向量基本定理

【典例1T】（2022?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）在，ABC中，A=],點(diǎn)。在線段A3上，點(diǎn)E

在線段AC上，且滿足2AO=O8=2,AE=EC=2,CD交BE于F,設(shè)A8=a，AC=b，

則AF-8C=（）

s6n17「29n32

A.-D.—C.—1）.-

5555

【答案】B

【詳解】

設(shè)。尸=/IOC，EF=/JEB，因?yàn)?/p>

AF=AD+DF=^AB+ADC=^AB+A(DA+AC)=^AB+A(-^AB+AC)=^LAB+AAC,

AF=AE+EF=^AC+JUEB=^AC+^(EA+AB)=^AC+^-^AC+AB)=^-AC+JUAB,

1-2,2

--=AA=-

35

所以有n

1^=21

JLl=-

2[5

UUI1UUU11212221

1*1litAF-BC=(--45+-AC)(-AB+AC)=--AB+-AC--AC-AB,

jr

因?yàn)锳=§,AB=3,AC=4,

llllBlULW121117

所以AFBC=AF?BC=——x9+—xl6——x3x4x—=——,

55525

故選：B

【典例1-2](2022?江蘇?南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測)已知。人。氏。。均為單位向量，

1UUUUUIU

且滿足5OA+O8+OC=0,則ABAC的值為()

A.。B.*C.1D.凡

8888

【答案】B

【詳解】

AO=2(O3+℃),A8=3OB+2OC,同理,C=2O8+3OC

AO2=4(08+OC)2,：.OBOC=-^ABAC=(?>OB+2OC)(2OB+3OC)

,2?-2/915

=6OB+6OC+13O8OC=6+6——=-.

88

故選：B.

【典例13】(2022?江西?模擬預(yù)測(理))已知圓，的半徑為2,點(diǎn)4滿足,。=4,

E,戶分別是。上兩個(gè)動點(diǎn)，且回=2/，則AE.AF的取值范圍是()

A.[6,24]B.[4,22]C.[6,22]D.[4,24]

【答案】C

【詳解】

取"的中點(diǎn)M,連接。/，則CM=j22-(可=1,

AE-AF=^AM+ME^AM+MF^=^AM+ME^AM-ME^=AM'-ME2=AM2-3

=|AC+CM|2-3,

又||AC|-|CM||創(chuàng)|AC+CMI\AC\+\CM\,所以3w|AC+CM卜5,

所以64AE-AF422，

當(dāng)且僅當(dāng)向量AC與CA/共線同向時(shí)，戸取得最大值22；向量AC與CM'共線反向

時(shí)，AEAF取得最小值6,

故選：C.

【典例1-4】（2022?河南?模擬預(yù)測（理））如圖，在厶8。＞中，”為比的中點(diǎn),

AC=mAM+nBD，則/?+〃=()

D.2

【答案】C

【詳解】

AM=AB+^BC=AB+^AD,而5Z)=A￡)-AB，

^AC=m[AB+^AD\+n(AD-AB)=(<m-n)AB+[^+n]AD,

m-n=\m——

muuuiu35

而厶。=厶8+40且45,14。不共線，故｛,〃.^>m+n=-

—+n=l13

故選：C.

【典例1-5[（2022?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測（文））設(shè)臼，/是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向

..21

量，A3=（a—l）ei+62,AC=2he\-ei?>0,b>0若4B,。三點(diǎn)共線，則一+7的最

fab

小值是（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【詳解】

因?yàn)?B,「三點(diǎn)共線，所以向量AB、AC共線，

所以存在使得A3=>IAC，即（々-1）円+/=丸（23]一次），

即（。-1）円+/=2肪ei-&2?

[a—\=2bA

因?yàn)?、。2不共線，所以?.，消去九，得。+給=1，

[1=-X

因?yàn)椤?gt;0,/?>0?所以2+1=（—卜7]（4+28）=4+，+,24+2、/巴竺=4+2x2=8,

ab\ah）ba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)“=1,時(shí)，等號成立.

24

故選：A

2、坐標(biāo)運(yùn)算及其數(shù)量積

【典例2-1】（2022?湖北?華中師大一附中模擬預(yù)測）已知向量a=（〃?,3）,h=（1,m）,若

“與6反向共線，則1-60的值為（）

A.0B.48C.473D.3娓

【答案】C

【詳解】

由題意nt2=3,得m=±>

又a與6反向共線，故力=-6，此時(shí)。-百人=（-2価,6）,

故卜-60=4后

故選：C.

【典例2-2】（2022?全國?二模（理））已知向量a=（x,y）,〃=（1,2）,2=（-1,1）,若滿足

allb，6丄（a-c）,則向量a的坐標(biāo)為（）

【答案】D

【詳解】

解：因?yàn)橄蛄俊?(%y)，8=(1,2),c=(-l,l),

所以=+

又a〃b、。丄（。一c）,

1

x=—

lxy=xx25

所以解得

(x+l)xl+(y-1)x2=。，2

片二

所以向量a的坐標(biāo)為丄2

5,5

故選：D.

【典例2-3］（2022?河南?高三階段練習(xí)（理））在長方形A8CQ中，AB=2,

AC=275,點(diǎn)M在邊AB上運(yùn)動，點(diǎn)N在邊AD上運(yùn)動，且保持M7V=2,則INC+MCI的

最大值為（）

A.2>/17B.2>/13C.V17D.713

【答案】A

【詳解】

解：如闇，以A為原點(diǎn)，A8所在的直線為X軸，4。所在的直線為丁軸，建立平面直角坐

標(biāo)系，

BC=VAC2-AB2=V20-4=4，

則A(0,0),C(2,4),0(0,4),

jr

設(shè)=則滕陽—,

2

則AM=2cose，AN=2sin9,

也(2cos?,0),N(0,2sin。),

NC=(2,4—2sin。)，MC=(2-2cos(9,4),

，NC+MC=(4-2cos&8-2sin。)，

「J/VC+MC1=(4-2cosOf+(8—2sin6>)2=84—16(2sin6+cos6)=84—16后sin(<9+勿)，其中

1G兀

tan(p=—<—=tan——,

236

.4八24

..—<夕+0V---,

63

當(dāng)6=0時(shí)，|wc+wc|2=68,當(dāng)e=?時(shí)，|NC+MC/=52,

.?.當(dāng)e=0時(shí)，|NC+MC|取得最大值，最大值為2丿萬.

故選：A.

【典例2-4】(2022?河南?方城第一高級中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知向量〃，匕為單位向

量，,+叫=向-4(*0),則a與匕的夾角為()

A-B.-C.-D.—

6323

【答案】C

【詳解】

由|a+；lb卜卜“-4(/1*0),兩邊平方可得：

222-2

a+2Aa'h-^-A2b=A~na-2Aab+h?

因?yàn)橄蛄俊?，b為單位向量，

所以1+2而心+把=8-2癡丿+1，即4（。包）=。.

因?yàn)?，r0,所以°力=0,即°與&的夾角為

故選：C

【典例2-5[（2022?內(nèi)蒙古?滿洲里市教研培訓(xùn)中心三模（文））若￡=（2,-6卜

7TTT

fe=（2sin-,2cos-）,下列正確的是（）

66

A.b〃（a-b）B.b±（a-b）

c.a在6方向上的投影是D.（〃+匕）丄（a—Z?）

【答案】C

【詳解】

由己知5=（2,-百），b=（lM，

所以4一力=9,_6）一（1,百）=（1,-26）,a+匕=（2，—后）+（1,6）=（3,0）,

因?yàn)?X（-26）-GX1H0,所以〃，”_匕不平行，A錯，

因?yàn)镮xl+Qx卜26）X0,所以b,a-b不垂直，B錯，

ab2xl->/Jx61

因?yàn)閍在方方向上的投影為忖8,H=忖=行廠—

因?yàn)?、3+卜2石）x0x0,所以“+4不垂直，D錯，

故選：C.

3、綜合應(yīng)用

【典例37］（2022?北京?潞河中學(xué)三模）已知菱形ABC。的邊長為a,NA8C=60,則

DBCD=（）

3232?3232

AA.—ciB.—a'C.-aD.—ci

2442

【答案】A

【詳解】

解：DB=DA+AB=-BC-BA,CD=BA,

則DBCD=(-BC-BA)-BA=-BC-BA-BA^-^a2-a2=~a2.

【典例3-2】（2022?北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)三模）已知向量°,。滿足慟=2,.與很的夾角

為60，則當(dāng)實(shí)數(shù)2變化時(shí)，2-2a|的最小值為（）

A.73B.2C.VioD.20

【答案】A

【詳解】

如圖,設(shè)OA=a,OB=b,,

當(dāng)（。-Xa）丄。時(shí)，出-/la|取得最小值，

過B作BE丄。4,即|b-痛|取得最小值為忸目，

因?yàn)椤芭c囚的夾角為60,

所以/BOA=60。,/BEO=90。,|0百=2,

所以|明=6.

故選：A.

【典例3-3】（2022?內(nèi)蒙古赤峰?三模（文））若向量a，匕滿足何=1,忖=2,

a（2a+3分）=5,則a與人的夾角為（）

A-B.工C.若D.m

6336

【答案】B

【詳解】

解：因?yàn)殁?1,1|=2,a(2a+3b)=5,所以2J+3ab=5?

即2,1+3。力=5,所以“力=1，設(shè)°與4)的夾角為凡

八a-b1rrjr

則COSO=EPW=5,因?yàn)?。?,句，所以e=2：

故選：B

【典例3-4】(2022?重慶八中模擬預(yù)測)如圖，在平行四邊形ABC。中，￡是8c的中

點(diǎn)，CF=2FD,DE與8尸相交于0.若4)=2,AO?(3A￡?-2AB)=-7,則A8的長為

()

【答案】C

【詳解】

在平行四邊形ABC。中，￡是死的中點(diǎn)，CF=2ED，OE與BF相交于0.

設(shè)。。=/lOE(0</l<l),BO=JUBF(0<JU<1)

\)[\\AD+DO=AD+ADE=AD+A^AB-^ADi—A\AD+XAB

2丿

A8+BO=AB+〃BF=A8+〃"-gAB)=(l-2|〃)A5+〃A￡>

3

由厶0=40+力0=48+80，可得(1_2|〃)AB+〃AD+

3

1--/=//2=—

231

則2，解之得，,則AO=AO+DO=-AO+—4B

342

1—u=A,

3產(chǎn)

則AO(3AD-2AB)=(^AD+^AB\(3AD-2AB)=小E屮恥一7

UIHI

又加=2,則9-|ABj=-7AB|=4,即AB的長為4

故選：c

【典例3-5】(2022?寧夏?平羅中學(xué)三模(文))已知函數(shù)/(力=療〃，向量

〃=、inx+cosx,#cosx),w=(cosx-sinx,2sinx),在銳角.ABC中內(nèi)角A￡C的對邊分

別為a/,c,

⑴若"4)=