初中數(shù)學(xué)反思兩則

第第頁(yè)初中數(shù)學(xué)反思兩則

田載今〔人民教育出版社〕

一、中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)概念的核心地位與概念的核心

函數(shù)是從數(shù)量關(guān)系的角度描述運(yùn)動(dòng)改變規(guī)律的數(shù)學(xué)概念，是從數(shù)學(xué)角度反映千變?nèi)f化的世界的重要模型。

從數(shù)學(xué)科學(xué)本身看，函數(shù)概念的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)進(jìn)展的重要里程碑。初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要分界是：前者基本上是常量數(shù)學(xué)，而后者那么主要是變量數(shù)學(xué)，而變量數(shù)學(xué)的主要討論對(duì)象基本上都是以函數(shù)形式呈現(xiàn)的。綜觀今日的數(shù)學(xué)，其中一個(gè)重要的基礎(chǔ)分支數(shù)學(xué)分析的主要討論對(duì)象就是函數(shù)，其余眾多分支中哪一個(gè)又不是以相關(guān)函數(shù)作為重要內(nèi)容呢？函數(shù)已成為整個(gè)數(shù)學(xué)的一個(gè)核心概念。

從數(shù)學(xué)教育角度看，函數(shù)無(wú)疑也是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)核心概念。在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，數(shù)學(xué)課程中基本是爭(zhēng)論靜態(tài)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教學(xué)中引入函數(shù)概念，不僅使?fàn)幷搩?nèi)容增加了運(yùn)動(dòng)改變的問(wèn)題，而且提供了居高臨下重新認(rèn)識(shí)已學(xué)內(nèi)容的觀點(diǎn)，使得中同學(xué)頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)體系的得到擴(kuò)大與提升；對(duì)基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)，使中同學(xué)的數(shù)學(xué)思維更為活躍；函數(shù)圖象是使中同學(xué)體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法的典型范例；三角函數(shù)成為中同學(xué)討論三角形以及周期改變的重要工具；解析幾何中曲線的方程f(*,y)=0事實(shí)上是隱函數(shù)，它使中同學(xué)看到解析式與幾何圖形的親密聯(lián)系；以爭(zhēng)論函數(shù)改變率為基礎(chǔ)的初等微積分使同學(xué)初步掀開(kāi)高等數(shù)學(xué)的面紗；概率密度等使中同學(xué)見(jiàn)識(shí)到函數(shù)在討論或然性問(wèn)題時(shí)的作用……綜觀中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，一個(gè)顯著的結(jié)論是：函數(shù)是個(gè)綱，綱舉目張。

同學(xué)第一次學(xué)習(xí)函數(shù)在中學(xué)階段。中學(xué)數(shù)學(xué)中要學(xué)習(xí)函數(shù)的概念、正反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)和銳角三角函數(shù)等，這些內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)中無(wú)論數(shù)量還是影響力都居于重要地位，函數(shù)概念是其中的基礎(chǔ)。

回顧函數(shù)概念的形成與進(jìn)展歷程，可以發(fā)覺(jué)，函數(shù)的產(chǎn)生來(lái)自討論變量的需要。早在17世紀(jì)，伽利略、笛卡爾等科學(xué)巨匠已留意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依靠關(guān)系。牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分時(shí)雖未給函數(shù)下明確的定義，但事實(shí)上已形成對(duì)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的關(guān)注。18世紀(jì)時(shí)函數(shù)被認(rèn)為是由變量*和常量構(gòu)成的式子。約翰?貝努利對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。”歐拉把約翰?貝努利給出的函數(shù)定義稱(chēng)為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它根據(jù)式子中含有的運(yùn)算種類(lèi)區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)。19世紀(jì)時(shí)人們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)進(jìn)展到強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)關(guān)系?？挛鹘o函數(shù)的定義是：“在某些變數(shù)間存在著肯定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，那么將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)?！备道锶~發(fā)覺(jué)函數(shù)也可以用曲線表示，也可以用式子表示，使對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)跳出式子的限制。狄里克雷指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的*值，y都有確定的值，那么y叫做*的函數(shù)?！碑?dāng)集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫用“集合”之間的“對(duì)應(yīng)”給出了近代函數(shù)定義，使得函數(shù)概念具有三個(gè)要素即對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域。20世紀(jì)后，現(xiàn)代函數(shù)概念──“集合之間的映射”方式定義形成，即“假設(shè)存在集合M到N的一個(gè)影射f，那么稱(chēng)在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f(*)，其中*是M的任一元素，y是*在N中的像?！痹诠诺浞治鲋械暮瘮?shù)概念是指兩個(gè)數(shù)集之間所建立的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的進(jìn)展卻要求建立兩個(gè)任意集合之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。

現(xiàn)在中學(xué)所學(xué)的函數(shù)定義為：“在一個(gè)改變過(guò)程中，假如有兩個(gè)變量*和y，并且對(duì)于*的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么稱(chēng)*為自變量，y為*的函數(shù)?！狈治鲞@個(gè)定義對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的文字描述，可以發(fā)覺(jué)它強(qiáng)調(diào)了近代函數(shù)定義中的“對(duì)應(yīng)”，并且明確是“y對(duì)*是單值對(duì)應(yīng)”，這又是汲取了現(xiàn)代函數(shù)概念中對(duì)“映射”的要求，但是沒(méi)有從“集合”角度描述函數(shù)，因而未明確涉及定義域及值域。由此可知，現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)定義的核心，是函數(shù)概念三個(gè)要素中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且明確其為“單值對(duì)應(yīng)”關(guān)系。

函數(shù)是一個(gè)抽象概括程度很高的概念，學(xué)習(xí)它需要一個(gè)逐步深入的理解過(guò)程，中學(xué)階段對(duì)它的認(rèn)識(shí)是初步的。在沒(méi)有“集合”“映射”這些知識(shí)基礎(chǔ)時(shí)，對(duì)于函數(shù)的認(rèn)識(shí)應(yīng)當(dāng)是通過(guò)一些詳細(xì)例子，重點(diǎn)體會(huì)變量間的“單值對(duì)應(yīng)”關(guān)系。例如，運(yùn)用y=2*，y=3*+1，y=*2等正例，以及如這樣的反例。要以正例為主，反例是少量而典型的，起對(duì)比反襯作用。對(duì)于自變量的取值范圍〔定義域〕、值域等應(yīng)先不作過(guò)多爭(zhēng)論，以免分散對(duì)概念的核心的認(rèn)識(shí)。由于初步學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)強(qiáng)調(diào)的是改變中的對(duì)應(yīng)，所以對(duì)于常值函數(shù)y=f(*)=c〔常數(shù)〕，似也不必過(guò)早涉及，由于同學(xué)剛接觸常量與變量的概念，往往不易理解常值函數(shù)y是非常的變量，更不可能在映射的高度上認(rèn)識(shí)函數(shù)概念中的“對(duì)應(yīng)”可以是“多對(duì)一”的形式〔這時(shí)并不強(qiáng)調(diào)y肯定是變量〕。這些問(wèn)題都可以在以后的學(xué)習(xí)中間續(xù)解決，不宜操之過(guò)急。追求一步到位，反而會(huì)干擾本階段的主攻方向，造成欲速那么不達(dá)的后果。

本次研討活動(dòng)中，與會(huì)者對(duì)“函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的核心概念”和“中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)概念的核心是‘單值對(duì)應(yīng)’”取得基本全都的看法，至于在教學(xué)中如何使同學(xué)學(xué)好函數(shù)概念，那么需要設(shè)計(jì)適合同學(xué)實(shí)際的方案，這將是不拘一格、見(jiàn)仁見(jiàn)智的。

二、信息技術(shù)工具的運(yùn)用提高函數(shù)圖象的教學(xué)效果

利用函數(shù)圖象的直觀性，認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)，是討論函數(shù)的一種途徑，它表達(dá)了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想和方法。

正比例函數(shù)y=k*〔k是常數(shù)，〕，是中同學(xué)正式學(xué)習(xí)的第一類(lèi)詳細(xì)函數(shù)，如何引導(dǎo)同學(xué)認(rèn)識(shí)它的圖象呢？人教版教科書(shū)的做法是；先用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)y=2*和y=-2*的圖象，再引導(dǎo)同學(xué)從中發(fā)覺(jué)規(guī)律，即正比例函數(shù)的圖象是一條過(guò)原點(diǎn)的直線，當(dāng)k0時(shí)，直線從左向右經(jīng)過(guò)第三、一象限；當(dāng)k0時(shí)，直線從左向右經(jīng)過(guò)第二、四象限。這個(gè)規(guī)律中包含了兩個(gè)內(nèi)容：①正比例函數(shù)圖象的外形〔一條直線〕；②正比例函數(shù)圖象的位置〔經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和兩個(gè)象限〕。

描點(diǎn)法作函數(shù)y=k*的圖象的步驟是：先描出假設(shè)干個(gè)點(diǎn)；再將描出的點(diǎn)連成平滑曲線。實(shí)際作圖中，無(wú)論描出多少個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的個(gè)數(shù)都是有限多的。這就產(chǎn)生了一個(gè)疑問(wèn)：僅由有限多個(gè)描出的點(diǎn)在同一貫線上，就能確定全部點(diǎn)都在這一貫線上嗎？要解答這個(gè)問(wèn)題，顯著不能靠實(shí)際畫(huà)圖，而要靠規(guī)律推理。推理的過(guò)程大體為：先過(guò)點(diǎn)O(0,0)和P(l,k)作直線l，再進(jìn)行兩方面的推導(dǎo)，即①l上的任意一點(diǎn)Q的坐標(biāo)(*,y)滿(mǎn)意關(guān)系y=k*；②坐標(biāo)滿(mǎn)意關(guān)系y=k*的任意一點(diǎn)M(*,y)在l上。

為什么人教版教科書(shū)沒(méi)有對(duì)正比例函數(shù)圖象的外形進(jìn)行嚴(yán)格的推理呢？可以看出：第一，這樣的推理涉及曲線與方程關(guān)系中的純粹性和完備性?xún)蓚€(gè)方面，而對(duì)于中學(xué)同學(xué)來(lái)說(shuō)這些較難理解；第二，這樣的推理要利用相像形的知識(shí)，而相像形是中學(xué)幾何中靠后面的內(nèi)容，如把正比例函數(shù)安排在相像形后面，那么在中學(xué)數(shù)學(xué)教材體系中函數(shù)內(nèi)容的涌現(xiàn)有些過(guò)遲。因此，教科書(shū)采納了前面所說(shuō)的用不完全歸納法引出正比例函數(shù)圖象的外形。這種不完全歸納法包括兩重意思：①由描出的滿(mǎn)意y=2*〔或y=-2*〕的某些〔非?！滁c(diǎn)在同一貫線上，引出滿(mǎn)意y=2*〔或y=-2*〕的全部〔一般〕點(diǎn)在同一貫線上；②由y=2*和y=-2*這些的詳細(xì)〔非常〕的正比例函數(shù)的圖象是直線，引出抽象〔一般〕的正比例函數(shù)y=k*的圖象是直線。很明顯，這種歸納雖是一種認(rèn)識(shí)方式，但不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评矸绞?。在?dāng)前的中學(xué)實(shí)際教學(xué)中，要提高同學(xué)對(duì)正比例函數(shù)圖象是直線的信度，就要增加所觀測(cè)的非常對(duì)象的數(shù)量，即對(duì)詳細(xì)函數(shù)y=2*〔或y=-2*〕要盡可能多描出一些點(diǎn)，對(duì)y=k*中的k要盡可能多取一些詳細(xì)值并作相應(yīng)函數(shù)的圖象。但是，這樣做無(wú)疑在教學(xué)過(guò)程中又會(huì)占用較多時(shí)間和精力，影響教學(xué)效率。如何解決這個(gè)沖突呢？

本次課題討論活動(dòng)中，授課老師的做法啟發(fā)我們：利用信息技術(shù)工具，可以較為有效地解決上述問(wèn)題。利用計(jì)算機(jī)的計(jì)算和作圖功能，不占用許多時(shí)間就可以做到：①描出許多滿(mǎn)意某個(gè)正比例函數(shù)的離散的點(diǎn)，使這些點(diǎn)排列得很稠密，從而提高對(duì)這個(gè)函數(shù)的圖象是一條直線的信度；②對(duì)變換多個(gè)詳細(xì)取值，得出多條直線，從而提高對(duì)每個(gè)正比例函數(shù)的圖象都是一條直線的信度。借助計(jì)算機(jī)提高同學(xué)認(rèn)識(shí)正比例函數(shù)的圖象的效果，這種做法又一次說(shuō)明，現(xiàn)代信息技術(shù)可以改進(jìn)教學(xué)手段，更快、更多、更活、更好地展示課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，為提高教學(xué)效率提供了更寬闊的空間。為此，我們還需要結(jié)合學(xué)科特點(diǎn)與教學(xué)內(nèi)容，對(duì)如何充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)的作用，進(jìn)行更深入的研討。

計(jì)算機(jī)幫助教學(xué)的一個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)是加強(qiáng)了直觀性，這對(duì)于學(xué)習(xí)抽象內(nèi)容有很大援助。然而，培育抽象思維技能也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)任務(wù)。數(shù)學(xué)教學(xué)中并非只要直觀，不要抽象。雖然，利用計(jì)算機(jī)可以更有效地引導(dǎo)同學(xué)認(rèn)識(shí)正比例函數(shù)圖象的外形及位置，使同學(xué)能一目了然地看到詳細(xì)的正比例函數(shù)圖象；但是，教學(xué)中不應(yīng)讓同學(xué)的認(rèn)識(shí)僅僅停留在觀測(cè)、猜想階段，還應(yīng)適當(dāng)上升到推理的層次，當(dāng)然這種推理需要是同學(xué)可接受的。例如，關(guān)于正比例函數(shù)圖象的位置，雖然可以從詳細(xì)函數(shù)的圖象中觀測(cè)，但是仍有須要讓同學(xué)考慮這樣的問(wèn)題：為什么正比例函數(shù)的圖象肯定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？當(dāng)k0時(shí)，為什么函數(shù)y=k*的圖象只經(jīng)過(guò)第三、一