中考數(shù)學常見幾何模型全歸納提分精練專題09最值模型-將軍飲馬(原卷版+解析)

專題09最值模型---將軍飲馬最值問題在中考數(shù)學常以壓軸題的形式考查，將軍飲馬問題是由軸對稱衍生而來，同時還需掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的將軍飲馬問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最??；（1）點A、B在直線m兩側：（2）點A、B在直線同側：【最值原理】兩點之間線段最短。上圖中A’是A關于直線m的對稱點。例1．(2023·湖南婁底·中考真題）菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．例2．(2023·四川眉山·中考真題）如圖，點為矩形的對角線上一動點，點為的中點，連接，，若，，則的最小值為________．例3．(2023·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內(nèi)．點N為線段CE上的動點，過點N作NP//EM交MC于點P，則MN+NP的最小值為________．例4．(2023·江蘇南京·模擬預測）【模型介紹】古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側的兩個軍營．他總是先去營，再到河邊飲馬，之后，再巡查營．如圖①，他時常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大數(shù)學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖②，作點關于直線的對稱點，連結與直線交于點，連接，則的和最?。埬阍谙铝械拈喿x、理解、應用的過程中，完成解答．理由：如圖③，在直線上另取任一點，連結，，，∵直線是點，的對稱軸，點，在上，（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最?。練w納總結】在解決上述問題的過程中，我們利用軸對稱變換，把點在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即轉化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中點為與的交點，即，，三點共線）．由此，可拓展為“求定直線上一動點與直線同側兩定點的距離和的最小值”問題的數(shù)學模型．【模型應用】（2）如圖④，正方形的邊長為4，為的中點，是上一動點．求的最小值．解析：解決這個問題，可借助上面的模型，由正方形對稱性可知，點與關于直線對稱，連結交于點，則的最小值就是線段的長度，則的最小值是__________．（3）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長為，在杯內(nèi)離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻到達蜂的最短路程為_____．（4）如圖⑥，在邊長為2的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，分別連接，，，則的最小值為____________．模型2.平移型將軍飲馬（將軍過橋模型）【模型解讀】已知，如圖1將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A’位置（圖2）．問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當共線時，值最小，并得出橋應建的位置（圖3）．圖1圖2圖3【最值原理】兩點之間線段最短。例1．(2023·重慶中考模擬）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=______．例2．(2023·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．模型3.修橋選址模型【模型解讀】已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)（1）點A、B在直線m兩側：（2）點A、B在直線m同側：如圖1如圖2（1）如圖1，過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。（2）如圖2，過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關于m的對稱點B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．(2023.山東青島九年級一模）如圖，已知A（3，1）與B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動線段且PQ＝（Q在P的下方），當AP+PQ+QB最小時，Q點坐標為（）A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）例2．(2023·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．例3．(2023·廣東·九年級期中）如圖，CD是直線x＝1上長度固定為1的一條動線段．已知A（﹣1，0），B（0，4），則四邊形ABCD周長的最小值為_________________．模型4.求多條線段和（周長）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側：（2）一個點在內(nèi)側，一個點在外側：（3）兩個點都在內(nèi)側：（4）臺球兩次碰壁模型1）已知點A、B位于直線m,n的內(nèi)側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.2）已知點A位于直線m,n的內(nèi)側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.【最值原理】兩點之間線段最短。例1．(2023·江蘇九年級一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC邊上的動點，則△DEF的周長的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6例2．(2023·湖北武漢市·九年級期中）如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9例3．(2023·湖北青山·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．例4．(2023·山東泰安·中考真題）如圖，，點M、N分別在邊上，且，點P、Q分別在邊上，則的最小值是（

）A． B． C． D．模型5.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；（1）點A、B在直線m同側：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）點A、B在直線m異側：過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．(2023·四川成都·中考真題）如圖，在菱形中，過點作交對角線于點，連接，點是線段上一動點，作關于直線的對稱點，點是上一動點，連接，．若，，則的最大值為_________．例2．(2023·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為____．例3．(2023·江蘇·九年級月考）如圖，點，在直線的同側，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130課后專項訓練1．(2023·山東泰安·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E、F分別是邊BC、CD上的動點，且EF＝4，點M是EF的中點，點Q是AB的中點，連接PQ、PM，則PQ+PM的最小值為（

）A．10 B． C．8 D．2．(2023·廣東廣州·二模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，線段PQ在斜邊AC上運動，且PQ=2．連接BP，BQ．則△BPQ周長的最小值是（

）A． B． C．8 D．3．(2023·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動點(不與端點重合)，若四點運動過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．54．(2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，定直線MNPQ，點B、C分別為MN、PQ上的動點，且BC=12，BC在兩直線間運動過程中始終有∠BCQ=60°．點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，當線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（

）A．24 B．24 C．12 D．125．(2023·山東濰坊·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是軸上的一條動線段，且，當取最小值時，點坐標為______.6．(2023·江蘇南通·一模）平面直角坐標系xOy中，已知點P（m，m＋2），點Q（n，0），點M（1，1），則PQ＋QM最小值為_________．7．(2023·江蘇南通·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于點D，點E、F分別是線段AB、AD上的動點，且BE＝AF，則BF+CE的最小值為_____．8．(2023·浙江金華·八年級期末）在綜合實踐課上，小明把邊長為2cm的正方形紙片沿著對角線AC剪開，如圖l所示．然后固定紙片△ABC，把紙片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，連A′B，D′B，D′C，在平移過程中：（1）四邊形A′BCD′的形狀始終是__；（2）A′B+D′B的最小值為__．9．(2023·貴州遵義·中考真題）如圖，在等腰直角三角形中，，點，分別為，上的動點，且，．當?shù)闹底钚r，的長為__________．10．(2023·廣西賀州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則的周長最小值為__________．11．(2023·黑龍江·中考真題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，AH是的平分線，于點E，點P是直線AB上的一個動點，則的最小值是________．12．(2023·安徽安慶·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．13．(2023·山東威?！ぐ四昙壠谥校驹茨＃耗Ｐ徒ⅰ堪兹盏巧酵寤?，黃昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐

李欣詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題，我們稱之為“將軍飲馬”問題．關鍵是利用軸對稱變換，把直線同側兩點的折線問題轉化為直線兩側的線段問題，從而解決距高和最短的一類問題．“將軍飲馬”問題的數(shù)學模型如圖所示：【新模1：模型應用】如圖1，正方形的邊長為，點在邊上，且，為對角線上一動點，欲使周長最?。?）在圖中確定點的位置（要有必要的畫圖痕跡，不用寫畫法）；（2）周長的最小值為______．【新模2：模型變式】（3）如圖2，在矩形中，，，在矩形內(nèi)部有一動點，滿足，則點到，兩點的距離和的最小值為______．【超模：模型拓廣】（4）如圖3，，，．請構造合理的數(shù)學模型，并借助模型求的最小值．14．(2023·江蘇·南外雨花分校一模）閱讀并解答下列問題：老師給出了以下思考題：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），連接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值．【思考交流】小明：如圖2，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點B關于x軸的對稱點B1，連接A1B1交x軸于點D，將點D向左平移2個單位長度得到點C，連接AC、BD．此時AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小穎：如圖3，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點A1關于x軸的的的點A2，連接A2B可以求解．小亮：對稱和平移還可以有不同的組合…【嘗試解決】在圖2中AC+CD+DB的最小值是________________________；【靈活運用】如圖4，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），連接AC、CD、DB，則AC+CD+DB的最小值是___________，此時a=__________．并請在圖5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CD+DB最小時CD的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）．【拓展提升】如圖6，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），C是一次函數(shù)y=x圖像上一點，CD與y軸垂直且CD=2（點D在點C右側），連接AC、CD、AD，直接寫出AC+CD+DA的最小值是________________，此時點C的坐標是________________．15．(2023·浙江·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A（3，0），B（0，4），D為邊OB的中點.(1)若E為邊OA上的一個動點，求的周長最小值；(2)若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=1，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標.16．(2023·廣東·九年級專題練習）如圖已知EF∥GH，AC⊥EF于點C，BD⊥EF于點D交HG于點K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．（1）若CD＝6，點M是CD上一點，當點M到點A和點B的距離相等時，求CM的長；（2）若CD＝，點P是HG上一點，點Q是EF上一點，連接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值．專題09最值模型---將軍飲馬最值問題在中考數(shù)學常以壓軸題的形式考查，將軍飲馬問題是由軸對稱衍生而來，同時還需掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的將軍飲馬問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最小；（1）點A、B在直線m兩側：（2）點A、B在直線同側：【最值原理】兩點之間線段最短。上圖中A’是A關于直線m的對稱點。例1．(2023·湖南婁底·中考真題）菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．【答案】【分析】過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，菱形的邊長為2，，中，PQ+QC的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了菱形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，掌握軸對稱的性質求線段和的最小值是解題的關鍵．例2．(2023·四川眉山·中考真題）如圖，點為矩形的對角線上一動點，點為的中點，連接，，若，，則的最小值為________．【答案】6【分析】作點B關于AC的對稱點，交AC于點F，連接交AC于點P，則的最小值為的長度；然后求出和BE的長度，再利用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：如圖，作點B關于AC的對稱點，交AC于點F，連接交AC于點P，則的最小值為的長度；∵AC是矩形的對角線，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，在直角△ABC中，，，∴，∴，由對稱的性質，得，，∴，∴∵，，∴△BEF是等邊三角形，∴，∴是直角三角形，∴，∴的最小值為6；故答案為：6．【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的找到點P使得有最小值．例3．(2023·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內(nèi)．點N為線段CE上的動點，過點N作NP//EM交MC于點P，則MN+NP的最小值為________．【答案】【分析】過點M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值為MF的長，證明四邊形DEMG為菱形，利用相似三角形的判定和性質求解即可．【詳解】解：作點P關于CE的對稱點P′，由折疊的性質知CE是∠DCM的平分線，∴點P′在CD上，過點M作MF⊥CD于F，交CE于點G，∵MN+NP=MN+NP′≤MF，∴MN+NP的最小值為MF的長，

連接DG，DM，由折疊的性質知CE為線段DM的垂直平分線，∵AD=CD=2，DE=1，∴CE==，∵CE×DO=CD×DE，

∴DO=，∴EO=，∵MF⊥CD，∠EDC=90°，∴DE∥MF，∴∠EDO=∠GMO，

∵CE為線段DM的垂直平分線，∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，∴△DOE≌△MOG，∴DE=GM，∴四邊形DEMG為平行四邊形，

∵∠MOG=90°，∴四邊形DEMG為菱形，∴EG=2OE=，GM=DE=1，∴CG=，∵DE∥MF，即DE∥GF，∴△CFG∽△CDE，∴，即，

∴FG=，∴MF=1+=，∴MN+NP的最小值為．故答案為：．【點睛】此題主要考查軸對稱在解決線段和最小的問題，熟悉對稱點的運用和畫法，知道何時線段和最小，會運用勾股定理和相似三角形的判定和性質求線段長度是解題的關鍵．例4．(2023·江蘇南京·模擬預測）【模型介紹】古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側的兩個軍營．他總是先去營，再到河邊飲馬，之后，再巡查營．如圖①，他時常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大數(shù)學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖②，作點關于直線的對稱點，連結與直線交于點，連接，則的和最小．請你在下列的閱讀、理解、應用的過程中，完成解答．理由：如圖③，在直線上另取任一點，連結，，，∵直線是點，的對稱軸，點，在上，（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最?。練w納總結】在解決上述問題的過程中，我們利用軸對稱變換，把點在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即轉化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中點為與的交點，即，，三點共線）．由此，可拓展為“求定直線上一動點與直線同側兩定點的距離和的最小值”問題的數(shù)學模型．【模型應用】（2）如圖④，正方形的邊長為4，為的中點，是上一動點．求的最小值．解析：解決這個問題，可借助上面的模型，由正方形對稱性可知，點與關于直線對稱，連結交于點，則的最小值就是線段的長度，則的最小值是__________．（3）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長為，在杯內(nèi)離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻到達蜂的最短路程為_____．（4）如圖⑥，在邊長為2的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，分別連接，，，則的最小值為____________．【答案】（1），，；（2）；（3）17；（4）【分析】（1）根據(jù)對稱性即可求解；（2）根據(jù)正方形的對稱性知B關于AC的對稱點是D，連接ED，則ED是的最小值；（3）先將玻璃杯展開，再根據(jù)勾股定理求解即可；（4）分析知：當與垂直時，值最小，再根據(jù)特殊角計算長度即可；【詳解】解：（1）根據(jù)對稱性知：，故答案為：，，；（2）根據(jù)正方形的對稱性知B關于AC的對稱點是D，連接ED∴ED是的最小值又∵正方形的邊長為4，E是AB中點∴∴的最小值是；（3）由圖可知：螞蟻到達蜂的最短路程為的長度：∵∴∴（4）∵在邊長為2的菱形ABCD中，，將沿射線的方向平移，得到∴當與垂直時，值最小∵∴四邊形是矩形，∴∴【點睛】本題考查“將軍飲馬”知識遷移，掌握“將軍飲馬”所遵循的數(shù)學原理，判斷出最小是解題關鍵．模型2.平移型將軍飲馬（將軍過橋模型）【模型解讀】已知，如圖1將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A’位置（圖2）．問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當共線時，值最小，并得出橋應建的位置（圖3）．圖1圖2圖3【最值原理】兩點之間線段最短。例1．(2023·重慶中考模擬）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=______．【答案】16．【詳解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．例2．(2023·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．【答案】A【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN；根據(jù)“兩點之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此時AM+BN＝AB′．【詳解】解：如圖，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN．根據(jù)“兩點之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故選A．【點睛】本題考查了軸對稱—最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉化，即用與它相等的線段替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進行轉化．模型3.修橋選址模型【模型解讀】已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)（1）點A、B在直線m兩側：（2）點A、B在直線m同側：如圖1如圖2（1）如圖1，過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。（2）如圖2，過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關于m的對稱點B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．(2023.山東青島九年級一模）如圖，已知A（3，1）與B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動線段且PQ＝（Q在P的下方），當AP+PQ+QB最小時，Q點坐標為（）A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）【解答】解：作點B關于直線y＝x的對稱點B'（0，1），過點A作直線MN，使得MN平行于直線y＝x，并沿MN向下平移單位后得A'（2，0）連接A'B'交直線y＝x于點Q，如圖理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ∴四邊形APQA'是平行四邊形∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝∴當A'Q+B'Q值最小時，AP+PQ+QB值最小根據(jù)兩點之間線段最短，即A'，Q，B'三點共線時A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0）∴直線A'B'的解析式y(tǒng)＝﹣x+1∴x＝﹣x+1，即x＝∴Q點坐標（，）故選：A．例2．(2023·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．【答案】【分析】如圖，作G關于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長，即可求解．【詳解】解：如圖，作G關于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴，即的最小值為．故答案為：【點睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時E，F(xiàn)位置是解題關鍵．例3．(2023·廣東·九年級期中）如圖，CD是直線x＝1上長度固定為1的一條動線段．已知A（﹣1，0），B（0，4），則四邊形ABCD周長的最小值為_________________．【答案】【分析】在y軸上取點E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，根據(jù)勾股定理得到AB，作點A關于直線x＝1的對稱點A'，得到A'、E、D三點共線時，AD+DE最小值為A'E的長，根據(jù)勾股定理求出A'E，即可得解；【詳解】解：如圖，在y軸上取點E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝，作點A關于直線x＝1的對稱點A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三點共線時，AD+DE最小值為A'E的長，在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，∴C四邊形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題、勾股定理、位置與坐標，準確分析作圖計算是解題的關鍵．模型4.求多條線段和（周長）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側：（2）一個點在內(nèi)側，一個點在外側：（3）兩個點都在內(nèi)側：（4）臺球兩次碰壁模型1）已知點A、B位于直線m,n的內(nèi)側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.2）已知點A位于直線m,n的內(nèi)側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.【最值原理】兩點之間線段最短。例1．(2023·江蘇九年級一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC邊上的動點，則△DEF的周長的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6【答案】C【分析】如圖作D關于直線AC的對稱點M，作D關于直線BC的對稱點N，連接CM，CN，CD，EN，F(xiàn)M，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共線，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，F(xiàn)M+EN+EF≥MN，可知當M、F、E、N共線時，且CD⊥AB時，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解決問題．【詳解】解：如圖，作D關于直線AC的對稱點M，作D關于直線BC的對稱點N，連接CM，CN，CD，EN，F(xiàn)M，DN，DM．∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共線，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，∵FM+EN+EF≥MN，∴當M、F、E、N共線時，且CD⊥AB時，DE+EF+FD的值最小，最小值為MN=2CD，∵CD⊥AB，∴?AB?CD=?AB?AC，∴CD===2.4，∴DE+EF+FD的最小值為4.8．故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱-最短問題、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識，解題的關鍵是靈活運用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．例2．(2023·湖北武漢市·九年級期中）如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】分別作B、C關于AG和AH對稱的點、，連接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值為，再依據(jù)等邊三角形的性質和判定和軸對稱的性質分別求得和即可求得．【詳解】解：分別作B、C關于AG和AH對稱的點、，連接BP、CQ、、，PQ∵HC與GB關于y軸對稱，∴GO=HO,BO=CO,∵x軸⊥y軸，∴AG=AH，、關于y軸對稱，∴當、，P、Q在同一條直線上時，最小，此時軸，∵∠GAH＝60°，∴△AGH為等邊三角形，∴∠AGO=60°，∵軸，B、關于AG對稱，∴,，∴△BPG為等邊三角形，過作PM⊥GO交x軸與M，∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴，∴，同理可得,即．故選：B．【點睛】本題考查軸對稱的性質，等邊三角形的性質和判斷，坐標與圖形變化．能借助軸對稱的性質正確變形將折線的長化成一條線段的長是解題關鍵．例3．(2023·湖北青山·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）4．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質可得，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）連接，先根據(jù)等邊三角形的性質可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質可得，同樣的方法可得，從而可得，最后根據(jù)兩點之間線段最短即可得出答案．【詳解】證明：（1）在中，，，點是斜邊的中點，，是等邊三角形；（2）如圖，連接，和都是等邊三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由兩點之間線段最短可知，當點共線時，取得最小值，故的最小值為4．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質、含角的直角三角形的性質等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質是解題關鍵．例4．(2023·山東泰安·中考真題）如圖，，點M、N分別在邊上，且，點P、Q分別在邊上，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作M關于OB的對稱點M′，作N關于OA的對稱點N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值；證出△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．【詳解】解：作M關于OB的對稱點M′，作N關于OA的對稱點N′，如圖所示：連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，∴∠NON′=60°，，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱--最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題的關鍵．模型5.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；（1）點A、B在直線m同側：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）點A、B在直線m異側：過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．(2023·四川成都·中考真題）如圖，在菱形中，過點作交對角線于點，連接，點是線段上一動點，作關于直線的對稱點，點是上一動點，連接，．若，，則的最大值為_________．【答案】##【分析】延長DE，交AB于點H，確定點B關于直線DE的對稱點F，由點B，D關于直線AC對稱可知QD=QB，求最大，即求最大，點Q，B，共線時，，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得最大，當點與點F重合時，得到最大值.連接BD，即可求出CO，EO，再說明，可得DO，根據(jù)勾股定理求出DE，然后證明，可求BH，即可得出答案．【詳解】延長DE，交AB于點H，∵，ED⊥CD，∴DH⊥AB．取FH=BH，∴點P的對稱點在EF上．由點B，D關于直線AC對稱，∴QD=QB．要求最大，即求最大，點Q，B，共線時，，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得最大，當點與點F重合時，得到最大值BF．連接BD，與AC交于點O．∵AE=14,CE=18，

∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．∵∠EOD=∠DOC，∴，∴，即，

解得，∴．在Rt△DEO中，．∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴，∴，即，解得，∴．故答案為：．【點睛】這是一道根據(jù)軸對稱求線段差最大的問題，考查了菱形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，相似三角形的性質和判定等，確定最大值是解題的關鍵．例2．(2023·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為____．【答案】6【分析】作A關于CD的對稱點A′，連接A′B交CD于P，則點P就是使|PA-PB|的值最大的點，|PA-PB|=A′B，連接A′C，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根據(jù)角的和差關系得到∠ACD=75°，根據(jù)軸對稱的性質得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質即可得到結論．【詳解】如圖，作A關于的對稱點，連接并延長交延長線于點P，則點P就是使的值最大的點，，連接，∵為等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∵點A與A′關于CD對稱，∴CD⊥AA′，，，∴，∵AC=BC，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為：6【點睛】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．例3．(2023·江蘇·九年級月考）如圖，點，在直線的同側，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作點A關于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，在根據(jù)勾股定理求出線段的長，即為PA+PB的最小值，延長AB交MN于點，此時，由三角形三邊關系可知，故當點P運動到時最大，過點B作由勾股定理求出AB的長就是的最大值，代入計算即可得．【詳解】解：如圖所示，作點A關于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，∵，，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如圖所示，延長AB交MN于點，∵，，∴當點P運動到點時，最大，過點B作，則，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，即，∴，故選A．【點睛】本題考查最短線路問題和勾股定理，解題關鍵是熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關系．課后專項訓練1．(2023·山東泰安·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E、F分別是邊BC、CD上的動點，且EF＝4，點M是EF的中點，點Q是AB的中點，連接PQ、PM，則PQ+PM的最小值為（

）A．10 B． C．8 D．【答案】C【分析】延長QA得到點N，使QA=NA，連接MN，可得，進而求得，當M、P、N再同一直線上時，最小，即最小，根據(jù)題意，點M的軌跡是以點B為圓心，以為半徑的圓弧上，圓外一點N到圓上一點M距離的最小值，再利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和勾股定理進行求解即可．【詳解】延長QA得到點N，使QA=NA，連接MN，，，當M、P、N再同一直線上時，最小，即最小，根據(jù)題意，點M的軌跡是以點C為圓心，以為半徑的圓弧上，圓外一點N到圓上一點M距離的最小值，點M是EF的中點，EF＝4，，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點Q是AB的中點，，，，，即PQ+PM的最小值為8，故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，矩形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．2．(2023·廣東廣州·二模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，線段PQ在斜邊AC上運動，且PQ=2．連接BP，BQ．則△BPQ周長的最小值是（

）A． B． C．8 D．【答案】B【分析】如圖，過點D作DE∥AC，且點E在AD上方，DE=2，連接BE交AC于點P，取PQ=2，連接BE，DQ，BD．B，P，E三點共線，此時△BPQ的周長=BP+BQ+PQ=BE+2最小【詳解】解：如圖，過點A作AD∥BC，過點C作CD∥AB，兩直線相交于點點D；過點D作DE∥AC，且點E在AD上方，DE=2，連接BE交AC于點P，取PQ=2，連接DQ，BD，∴四邊形ABCD為正方形，點Q是對角線AC上的一點，AB=6，∴BQ=QD，BD⊥AC，BD=AC=6，∵DE∥PQ，DE=PQ，∵四邊形PQDE為平行四邊形，∴PE=DQ=BQ，∵B，P，E三點共線，∴此時△BPQ的周長=BP+BQ+PQ=BE+2最?。連D⊥AC，∴BD⊥DE，即∠BDE=90°，∴BE==2，∴△BPQ周長的最小值為2+2，故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，熟練運用軸對稱的性質和平行四邊形、正方形的性質是解題的關鍵．3．(2023·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動點(不與端點重合)，若四點運動過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5【答案】A【分析】由矩形的性質與線段的等量關系證明，，則，，如圖，作關于的對稱點，連接交于，此時最小，即四邊形周長最小，作于，則四邊形是矩形，，，則，，在中，由勾股定理得求出的值，進而可求最小的周長．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵，，∴，，在和中∵，∴，∴，同理，∴，如圖，作關于的對稱點，連接交于，此時最小，即四邊形周長最小，作于，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，，在中，由勾股定理得，∴四邊形的周長，故選A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，軸對稱等知識．解題的關鍵在于找出四邊形周長最小時點、的位置關系．4．(2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，定直線MNPQ，點B、C分別為MN、PQ上的動點，且BC=12，BC在兩直線間運動過程中始終有∠BCQ=60°．點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，當線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（

）A．24 B．24 C．12 D．12【答案】C【分析】如圖所示，過點F作交BC于H，連接EH，可證明四邊形CDFH是平行四邊形，得到CH=DF=8，CD=FH，則BH=4，從而可證四邊形ABHE是平行四邊形，得到AB=HE，即可推出當E、F、H三點共線時，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，延長AE交PQ于G，過點E作ET⊥PQ于T，過點A作AL⊥PQ于L，過點D作DK⊥PQ于K，證明四邊形BEGC是平行四邊形，∠EGT=∠BCQ=60°，得到EG=BC=12，然后通過勾股定理和解直角三角形求出ET和TF的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點F作交BC于H，連接EH，∵，∴四邊形CDFH是平行四邊形，∴CH=DF=8，CD=FH，∴BH=4，∴BH=AE=4，

又∵，∴四邊形ABHE是平行四邊形，∴AB=HE，∵，∴當E、F、H三點共線時，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，延長AE交PQ于G，過點E作ET⊥PQ于T，過點A作AL⊥PQ于L，過點D作DK⊥PQ于K，∵，∴四邊形BEGC是平行四邊形，∠EGT=∠BCQ=60°，∴EG=BC=12，∴，同理可求得，，∴，

∵AL⊥PQ，DK⊥PQ，∴，∴△ALO∽△DKO，∴，∴，∴，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，勾股定理，解直角三角形，正確作出輔助線推出當E、F、H三點共線時，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF是解題的關鍵．5．(2023·山東濰坊·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是軸上的一條動線段，且，當取最小值時，點坐標為______.【答案】【分析】如圖把點A向右平移1個單位得到E（1，1），作點E關于x軸的對稱點F（1，-1），連接BF，BF與x軸的交點即為點Q，此時AP+PQ+QB的值最小，求出直線BF的解析式，即可解決問題．【詳解】解：如圖把點4向右平移1個單位得到E（1，1），作點E關于x軸的對稱點F（1，-1），連接BF，BF與x軸的交點即為點Q，此時4P+PQ+QB的值最小.設最小BF的解析式為y=kx+b，則有解得∴直線BF的解析式為y=x-2，令y=0，得到x=2.∴Q（2.0）故答案為（2，0）.【點睛】本題考查軸對稱最短問題、坐標與圖形的性質、一次函數(shù)的應用等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解決最短問題，學會構建一次函數(shù)解決交點問題，屬于中考?？碱}型6．(2023·江蘇南通·一模）平面直角坐標系xOy中，已知點P（m，m＋2），點Q（n，0），點M（1，1），則PQ＋QM最小值為_________．【答案】【分析】根據(jù)點P（m，m＋2）可知，點P在一次函數(shù)的圖像上移動，作出圖示，并作M關于x軸的對稱點，過點作于點P，交x軸于點Q，連接，QM，利用“垂線段最短”原理，可知此時PQ＋QM最小，最小值為的長度，利用等腰三角形的性質求解即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，由題意可知，點P（m，m＋2）在一次函數(shù)的圖像上移動,一次函數(shù)分別交x軸、y軸于點A，B，作M關于x軸的對稱點，過點作于點P，交x軸于點Q，連接，QM，利用“垂線段最短”原理，可知此時PQ＋QM最小，最小值為的長．點M（1，1）,由對稱性質可知：點一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點令，解得，即點，令，解得，即點為等腰三角形，點P為AB的中點，則點故答案為：【點睛】本題考查了最值問題，涉及到一次函數(shù)的性質、等腰三角形的性質“三線合一”以及根據(jù)兩點坐標求點之間的距離，思考問題時參照“將軍飲馬”模型，根據(jù)“垂線段最短”原理，將問題轉化為求垂線段的長度是解決本題的關鍵．7．(2023·江蘇南通·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于點D，點E、F分別是線段AB、AD上的動點，且BE＝AF，則BF+CE的最小值為_____．【答案】【分析】過點作，使，連接，，可證明，則當、、三點共線時，的值最小，最小值為，求出即可求解．【詳解】解：過點作，使，連接，，，，，，，，，當、、三點共線時，的值最小，，，，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，通過構造三角形全等，將所求的問題轉化為將軍飲馬求最短距離是解題的關鍵．8．(2023·浙江金華·八年級期末）在綜合實踐課上，小明把邊長為2cm的正方形紙片沿著對角線AC剪開，如圖l所示．然后固定紙片△ABC，把紙片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，連A′B，D′B，D′C，在平移過程中：（1）四邊形A′BCD′的形狀始終是__；（2）A′B+D′B的最小值為__．【答案】

平行四邊形

2【分析】（1）利用平移的性質證明即可．（2）如圖2中，作直線DD′，作點C關于直線DD′的對稱點C″，連接D′C″，BC″，過點B作BH⊥CC″于H．求出BC″，證明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得結論．【詳解】解：（1）如圖2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，∴四邊形A′BCD′是平行四邊形，故答案為：平行四邊形．（2）如圖2，作直線DD′，作點C關于直線DD′的對稱點C″，連接D′C″，BC″，過點B作BH⊥CC″于H．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2，∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四邊形BHCJ是矩形，∵BJ=CJ，∴四邊形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，∴，∵四邊形A′BCD′是平行四邊形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值為2，故答案為：2．【點睛】本題考查作圖-平移變換，軸對稱最短問題，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．9．(2023·貴州遵義·中考真題）如圖，在等腰直角三角形中，，點，分別為，上的動點，且，．當?shù)闹底钚r，的長為__________．【答案】【分析】過點作，且，證明，可得，當三點共線時，取得最小值，證明，即可求解．【詳解】如圖，過點作，且，連接，如圖1所示，，又，，，，當三點共線時，取得最小值，此時如圖2所示，在等腰直角三角形中，，，，，，，，，，設，，，，，，，，即取得最小值為，故答案為：．圖1

圖2【點睛】本題考查了等腰直角三角的性質，勾股定理，兩點之間線段最短，轉化線段是解題的關鍵．10．(2023·廣西賀州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則的周長最小值為__________．【答案】##【分析】在CD上取點H，使DH=DE，連接EH，PH，過點F作FK⊥CD于點K，可得DG垂直平分EH，從而得到當點F、P、H三點共線時，的周長最小，最小值為FH+EF，分別求出EF和FH，即可求解．【詳解】解：如圖，在CD上取點H，使DH=DE，連接EH，PH，過點F作FK⊥CD于點K，在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，∴△DEH為等腰直角三角形，∵DG平分∠ADC，∴DG垂直平分EH，∴PE=PH，∴的周長等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，∴當點F、P、H三點共線時，的周長最小，最小值為FH+EF，∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，∴AE=DE=DH=3，AF=4，∴EF=5，∵FK⊥CD，∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，∴四邊形ADKF為矩形，∴DK=AF=4，F(xiàn)K=AD=6，∴HK=1，∴，∴FH+EF=，即的周長最小為．故答案為：【點睛】本題主要考查了最短距離問題，矩形的判定和性質，勾股定理等知識，明確題意，準確得到當點F、P、H三點共線時，的周長最小，最小值為FH+EF是解題的關鍵．11．(2023·黑龍江·中考真題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，AH是的平分線，于點E，點P是直線AB上的一個動點，則的最小值是________．【答案】【分析】作點O關于AB的對稱點F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性質與直角三角形的性質，勾股定理，求出OF，OE長，再證明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF長即可．【詳解】解：如圖，作點O關于AB的對稱點F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時，PO+PE最小，最小值=EF，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，∴OB=，∴OA=，∴點O關于AB的對稱點F，∴OF⊥AB，OF=2OG=OA=，∴∠AOG=60°，∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA=，∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEC=∠CAE=15°，∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，∴由勾股定理，得EF=,∴PO+PE最小值=．故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質，利用軸對稱求最短距離問題，直角三角形的性質，勾股定理，作點O關于AB的對稱點F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，則PO+PE最小，最小值=EF是解題的關鍵．12．(2023·安徽安慶·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作點A關于BC、CD的對稱點A1、A2，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對稱的性質和角的和差關系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點A關于BC、CD的對稱點A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，連接AM、AN，則此時△AMN的周長最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點A關于BC、CD的對稱點為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉化為兩點間線段最短問題是解決本題的關鍵．13．(2023·山東威?！ぐ四昙壠谥校驹茨＃耗Ｐ徒ⅰ堪兹盏巧酵寤穑S昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐

李欣詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題，我們稱之為“將軍飲馬”問題．關鍵是利用軸對稱變換，把直線同側兩點的折線問題轉化為直線兩側的線段問題，從而解決距高和最短的一類問題．“將軍飲馬”問題的數(shù)學模型如圖所示：【新模1：模型應用】如圖1，正方形的邊長為，點在邊上，且，為對角線上一動點，欲使周長最?。?）在圖中確定點的位置（要有必要的畫圖痕跡，不用寫畫法）；（2）周長的最小值為______．【新模2：模型變式】（3）如圖2，在矩形中，，，在矩形內(nèi)部有一動點，滿足，則點到，兩點的距離和的最小值為______．【超模：模型拓廣】（4）如圖3，，，．請構造合理的數(shù)學模型，并借助模型求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）；（4）【分析】（1）連接ED交AC于一點F，連接BF，點F即為所求的點；（2）連接ED交AC于一點F，連接BF，根據(jù)正方形的對稱性得到此時△BFE的周長最小，利用勾股定理求出DE即可；（3）設AB邊上的高h，由題意，根據(jù)三角形面積、矩形面和解得h=2，再由軸對稱性質，解得點到，兩點的距離和的最小值為AC，最后根據(jù)勾股定理解題即可；（4）作點A關于BD的對稱點G過點G作交ED延長線于點F，則，，利用勾股定理可得的最小值就是的最小值，即GE的長，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）如圖，連接ED交AC于一點F，連接BF，點F即為所求的點；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與點D關于AC對稱，∴BF=DF，∴△BFE的周長=BF+EF+BE=DE+BE，此時△BEF的周長最小，∵正方形ABCD的邊長為3，∴AD=AB=3，∠DAB=90°，∵點E在AB上，且BE=1，∴AE=2，∴，∴△BFE的周長為；（3）設△PAB中AB邊上的高是h，如圖，∵在矩形中，，∴，∵，，∴，∴動點P在與AB平行且與AB距離為2的直線l上，∴點B與點C關于直線l對稱，連結AC交直線l于點，則AC的長就是所求的最短距離，在中，，∴點到，兩點的距離和的最小值為；（4）如圖，作點A關于BD的對稱點G過點G作交ED延長線于點F，則，，設為，則CD=3-x，在和中，由勾股定理得：，，則的最小值就是的最小值，即GE的長，∵，，∴，∴四邊形BDFG為矩形，∴DF=BG=2，GF=BD=3，∴EF=5，在中，，，，所以，的最小值為．【點睛】本題主要考查了圖形的變換——軸對稱求最短路線，勾股定理，利用數(shù)形結合思想，構造直角三角形，利用勾股定理是解題的關鍵．14．(2023·江蘇·南外雨花分校一模）閱讀并解答下列問題：老師給出了以下思考題：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），連接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值．【思考交流】小明：如圖2，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點B關于x軸的對稱點B1，連接A1B1交x軸于點D，將點D向左平移2個單位長度得到點C，連接AC、BD．此