高二數(shù)學(xué)教案：復(fù)數(shù)的乘法和除法

高二《數(shù)學(xué)》教案：322復(fù)數(shù)的乘法和除法

§3.2.2復(fù)數(shù)的乘法和除法

【學(xué)情分析】：

學(xué)生在建立了復(fù)數(shù)的概念以后,很重要的一個問題就是建立復(fù)數(shù)集里的各種運算.由于實數(shù)是復(fù)數(shù)的

一部分,在建立復(fù)數(shù)運算是,應(yīng)當(dāng)遵循的一個原則是作為復(fù)數(shù)的實數(shù),在復(fù)數(shù)集里運算時和在實數(shù)集里的運

算應(yīng)當(dāng)是一致的.

在學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的加減法之后，學(xué)生對復(fù)數(shù)的乘除法以及其與實數(shù)乘除法的區(qū)別的好奇心自然也呼之欲

出..

【教學(xué)目標(biāo)】：

⑴知識目標(biāo)：

能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.

(2)過程與方法目標(biāo)：

從實數(shù)的乘除運算及其運算律出發(fā),對比引出復(fù)數(shù)的的乘除法定義及其運算律,通過Zi=|Z『實現(xiàn)實

數(shù)與虛數(shù)的轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想.

(3)情感與能力目標(biāo)：

通過復(fù)數(shù)的乘除法的學(xué)習(xí)，體會實虛數(shù)的矛盾和統(tǒng)一,加深對數(shù)學(xué)的情感認(rèn)識.

【教學(xué)重點】：

i的運算和分母實數(shù)化.

【教學(xué)難點】：

復(fù)數(shù)除法中的分母實數(shù)化.

【課前準(zhǔn)備】：

powerpoint課件

【教學(xué)過程設(shè)計】：

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖

1.根據(jù)虛數(shù)單位，的定義，i滿足方程/=一1,即i2=一1,ixi=-1,那通過虛

數(shù)單位的定

一、復(fù)習(xí)引么(2i)x(i)呢，(l+i)2呢？提出問題，

入通過實數(shù)運

2.實數(shù)與實數(shù)相乘除得到的仍是實數(shù)，實數(shù)的乘除滿足交換律、結(jié)合

算的對比引

律,乘法對加法的分配律,復(fù)數(shù)的乘除還滿足這些運算律嗎?兩個虛數(shù)相乘

出復(fù)數(shù)乘除

能得到實數(shù)嗎？

法的定義.

二、講授新1.復(fù)數(shù)的乘法：

課

①設(shè)Z]=。+4/2=c+di(a,b,c,deR),規(guī)定

(1)復(fù)數(shù)的

乘法運算1

z1z2=(Q+bi)(c+di)=QC+adi+bci+bdi

=(ac-bd)+(ad+bc)i

②復(fù)數(shù)的乘法運算滿足交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律,即對

任意復(fù)數(shù)4/2/3有

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Z1*Z2~Z2*Z\

(zrz2)-z3^zr(z2-z3)

z,-(z2+z3)-zt-z2+zt-z3

③實數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)基的運算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立,即對復(fù)

數(shù)z,Z],Z2和自然數(shù)小m有：

2叫'Z"=z"'+"

(z'")"=zm"

(Z.Z2)"=z)W

④，4"+l=i,『"+2=_]j4"+3=_j,j4"=1(〃eZ)

(2)復(fù)數(shù)的2.復(fù)數(shù)的除法

除法運算①已知復(fù)數(shù)z=a+萬，z'=L叫做z的倒數(shù).它滿足z?z'=1

z

._1_a—bi_a—bi_abi

a+bi(a+bi)-(a-hi)a2+/?2a2+h~a1

,1z

顯然Z=-=--T-

Z⑶

②設(shè)Z]=a+bi.z2=c+di(a,b,c,dGR),規(guī)定

%a+hi.…、/1、/,.xc-di、

==(tz+Z>z)-()=(a+b)(z

z2c+aic+aic+a

{ac+bcl)+(be-ad)iac+bdbe-ad.

c2+d2c2+d21c2+d21

練習(xí)1：及時運用

三、運用新①.計算：新知識,鞏

知，l.(l+z)2；固練習(xí)，讓

體驗成功2.(1-O2；學(xué)生體驗成

功,為了使

3.[(3+V20.z]2;

學(xué)生實現(xiàn)從

A產(chǎn)3.352.1000.2007

掌握知識到

運用知識的

iA

②.若齦手H-—+——Z,CD1l+G+G2轉(zhuǎn)化，使知

-22

識教育與能

③.計算：力培養(yǎng)結(jié)合

起來,設(shè)計

分層練習(xí)

2

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1.*

7+4/

1

3.—;

1+Z

.(一)8

解:①2i,—2z,-7—6>/2z,—i,1,1,—i

②一L—烏,0

22

有181..11.,

(3)---------1,—I-------1,1

6565f22

四、師生互例1.求證：

讓學(xué)生進(jìn)

動,繼續(xù)探

(l)z-z=|z|2=|z|2

究行復(fù)數(shù)乘除

(2)7=(爾

法運算,并

(3)zrz2=zrz2

得到一些復(fù)

解：

數(shù)運算結(jié)論.

⑴設(shè)如go幣是z=a-hiz-z=(a+bi)(a-bi)=a2-ahi+hai-

(2)設(shè)+生a+bi,z?=(a+bi)2=a2-b1+2abi

(z)2=(a-bi)2=/一〃一2aW于是z?=(z)2

(3)設(shè)則=a+bi,z2=c+di,z,-z2=(ac-bd)+(ad+bc)i=(ac-bd)-

z1-z2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+6c)z,于是4-z2=zx-z2

分析：⑴表明,兩個共枕復(fù)數(shù)的乘積等于這個復(fù)數(shù)(或其共扼復(fù)數(shù))模的平

方.

例2.已知￡火,且值P=5,x.y

1+z1+2Zl+3z

解：—+—匕=二一可寫成

1+z1+2Zl+3z

X。；。+式了)=5,二。,即5x(1—i)+2X1-2/)=5-15i,即

5x+2y=5[x=-1

(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i,\'J.

5x+4y=15[7=5r

分析：在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運算時,通常把

3

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(a+bi);(c+力)寫成苒幽:分母實數(shù)化進(jìn)行化簡整理.

c+di

例3.設(shè)Z],Z2為非零復(fù)數(shù)，4=4-Z2+Z2?Z],3=Z|?Z[+Z2,Z2,問

48能否比較大小?若能，請指出他們的大小關(guān)系.

解：設(shè)

zx=-a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR),貝!U=ztz2+ztz2=(a+bi)(c-di)+(

2222

B=z^+^z2=a+b+c+deR,由于A,B都是實數(shù),所以可以比較

大小,又

8-/=42+〃+02+屋一2(40+64)=(4-')2+3-〃)220,所以4?6

當(dāng)且僅當(dāng)。=c,b=d時，即4=z2時，取等號.

分析：復(fù)數(shù)比較大小，則復(fù)數(shù)必須是實數(shù)，z?[為實數(shù).

五、分層練探究活動：

通過多角度

習(xí),鞏固提練習(xí)2:

高的練習(xí)，并

①設(shè)復(fù)數(shù)z=。+力.滿足求=3+4/,z.

對典型錯誤

②已知4=1—2"之2=3+47,求滿足由復(fù)上計,z.

進(jìn)行討論與

ZZ[z2

矯正，使學(xué)

③已知z,w為復(fù)數(shù)，(l+3i)z為純虛數(shù)，w=:一且I訓(xùn)二5五，求w

2+z生鞏固所學(xué)

解：①z=2+/,或z=-2-7

內(nèi)容,同時

3

②z=2——i

2完成對新知

③。=7-i或-7+i.

的遷移.

六、概括梳采取師生互動的形式完成.

采取師生互

理,形成系即：學(xué)生談本節(jié)課的收獲，教師適當(dāng)?shù)难a充、概括，以本節(jié)知識目標(biāo)

統(tǒng)的要求進(jìn)行把關(guān),確保基礎(chǔ)知識的當(dāng)堂落實.動的形式完

(小結(jié))

成.

七、布置作

業(yè)1、課后作業(yè).

2、設(shè)計題可根據(jù)自己的喜好和學(xué)有余力的同學(xué)完成.

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1.若復(fù)數(shù)Z滿足方程z2+2=0,則z3=()

A.±2后B.-C.-2'\/2iD.±272z

解：D

(1+z)10

2.復(fù)數(shù)^一二等于()