2023-2024學(xué)年福建省寧德區(qū)高一年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)模擬試題

2023-2024學(xué)年福建省寧德區(qū)高一下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.復(fù)數(shù)z=l+i,貝%=()

A.-l+iB.-l-iC.l+iD.1-i

【正確答案】D

【分析】根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)的概念求解.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=l+i,所以W=IT,

故選:D.

2.已知向量;=(1,2),?=(2,-l),則α+∕>=()

A.(―3,—1)B.(—1,3)C.(1,3)D.(3,1)

【正確答案】D

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?(1,2),?=(2,-l),所以“+6=(3,1).

故選：D

3.函數(shù)y=sin2x的最小正周期是()

π

A.—B.πC.2萬(wàn)D.4π

2

【正確答案】B

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式即可得出答案.

【詳解】解：由函數(shù)y=sin2x,

則最小正周期T=券=乃.

故選：B.

4.若卜∕∣=1,W=2>∕^,a?b=2>則a，Z?的夾角為()

A.0B.-C.-D.—

424

【正確答案】B

【分析】根據(jù)向量的夾角公式即可求出.

,ab2Λ∕2

【詳解】由題意可得，c°s<α∕>=RW=E3后=~y,由于向量夾角的范圍為［0,司，

所以向量α與6的夾角為;.

故選：B.

5.已知復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,-1),則()

A.Z的虛部為TB.∣z∣=5C.∑=-2-iD.z-2是純虛數(shù)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意得z=2-i,根據(jù)虛部的概念、模的求法、共甑復(fù)數(shù)的概念、純虛數(shù)的概念依次判

斷選項(xiàng)，即可求解.

【詳解】A：因?yàn)閺?fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,-1),

則z=2-i,所以復(fù)數(shù)Z的虛部為-1,故A錯(cuò)誤；

2

B：∣z∣=y∣2+(-?)=亞,故B錯(cuò)誤；

C：2=2+i>故C錯(cuò)誤；

D：z-2=2-i-2=-i,為純虛數(shù)，故D正確.

故選：D.

6.已知z∣=5+3i,z2=5+4/,下列各式中正確的是

A.Z1>?B.zl<z2C.∣z,∣>∣z2∣D.∣zl∣<∣z2∣

【正確答案】D

【詳解】試題分析：虛數(shù)不可比較大小，?？梢员容^大小，IZJ=J52+32=取,

bJ=τ?^`?*4=?甌，㈤〈㈤

復(fù)數(shù)的模的計(jì)算

7.已知α=log<,7,b=Iog76,c=Iog70.6,則0,b,C的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

【正確答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得α>l,0<?<l,cvθ.

【詳解】?a=log67>log66=l,

h=Iog76<Iog77=1J≡L6>Iog71=0,即OVbV1,

C=Iog70.6<Iog71=0,^c<b<a.

故選：B.

本題考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

8.在邊長(zhǎng)為2的正方形ABC力中，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，且。尸=CE,

則BF?EF的最小值為()

A.3B.5C.-1D.0

【正確答案】A

【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)E(2,α),(0≤α≤2),F(2-?,2),則=

即可求最小值.

【詳解】以A為原點(diǎn)，AB,AO所在直線分別為尤軸V軸，建立平面直角坐標(biāo)系

則A(0,0),B(2,0),設(shè)E(2,G,(0≤α≤2),由于QF=CE,則F(2—4,2)

BF=II,2),EF=(-a,2-a)

^?^BF-EF=a2+4-2a=(a-l)2+3

當(dāng)α=l時(shí)，(BFEF)=3

?∕min

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)值表:

X-11357

-1172-38

則一定包含f(χ)的零點(diǎn)的區(qū)間是()

A.(-1,1)B.(1,3)C.(3,5)D.(5,7)

【正確答案】ACD

【分析】由零點(diǎn)存在性定理判斷即可.

【詳解】因?yàn)?x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且/(T)/⑴<OJ(3)"5)<OJ(5)∕(7)<O,

所以一定包含/(x)的零點(diǎn)的區(qū)間是(Tl),(3,5),(5,7).

故選：ACD

10.函數(shù)〃x)是定義在12,2］上的偶函數(shù)，在12,0］上的圖象如圖所示，則函數(shù)/(x)的增區(qū)間

是()

A.［—2,2］B.［-2,-l］C.［θ,l］D.［∣.2］

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到/(x)的單調(diào)增區(qū)間即可.

【詳解】由圖象，可知/(X)在上單調(diào)遞增，在［-1,0］上單調(diào)遞減.

因?yàn)楹瘮?shù)是定義在［-2,2］上的偶函數(shù)，

所以函數(shù)Ax)的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，

所以〃x)在［0』上單調(diào)遞增，在H，2］上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)”x)的增區(qū)間是［-2,-1］和［0,1］.

故選：BC.

11.已知向量α=(2,1),6=(-3,1),則()

A.(〃+/7)_LaB.?a+2b?=5C.若向量C=(一1,2),則CD.(2a+b)?d≈5

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】A.α+6=(T,2),(?+i)-?=(-l,2)?(2,l)=-l×2+2×l=0,所以(α+6),”,故A正確；

B.α+2?=(T,3),所以卜+2N=J(-4f+3?=5,故B正確；

C.α=(2,l),C=(T,2),2×2-(-l)×l=5≠0,所以α,C不平行，故C錯(cuò)誤；

D.2a+b=(1,3),(2a+?)?α=(1,3)?(2,1)=1×2+3×1=5,故D正確.

故選：ABD

12.一ASC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,J下面四個(gè)結(jié)論正確的是()

A.a=2,4=30。，則一ABC的外接圓半徑是2B.若，一=工,則A=45。

cosAsinB

C.若/+從>/,貝U..43C一定是銳角三角形D.若4<8,則SinA<sin3

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)正余弦定理及其應(yīng)用，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對(duì)A：由正弦定理知一j=4=2R,所以外接圓半徑是2,故A正確；

sinA

對(duì)B：由正弦定理及一工可得，坐=駕=1,即tanA=l,由0"<A<180",知A=45。,

cosAsinBcosAsinB

故B正確；

對(duì)C：因?yàn)閏ose="+"一/>0,所以C為銳角，但AB不確定，故C錯(cuò)誤；

Iab

對(duì)D：若4<B,a<b,所以由正弦定理得SinA<sinB,故D正確.、

故選：ABD.

三、填空題

13.己知復(fù)數(shù)z∣=l+3i,Z2=3+i,則z∣-Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.

【正確答案】二

【分析】利用復(fù)數(shù)的減法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)4-Z2,利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z∣=l+3i,Z2=3+i,則4—Zz=(l+3i)-(3+i)=-2+2i,

因此，4-4在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,2),即Zl-Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第而象限.

故二.

14.在AABC中，若α=7,b=3,c=8,則AABC的面積等于.

【正確答案】6√3

【分析】先求得SinA,然后根據(jù)三角形的面積公式求得AABC的面積.

【詳解】由余弦定理得COSA=3-82二7：=工>0,

2×3×82

所以A為銳角，所以A=2,sin4=3，

32

所以Z?ABC的面積為L(zhǎng)bCSinA=Jχ3χ8χ且=65>.

222

故6百

15.已知向量>=(2,4),/7=(-2,∕H),且卜+6卜卜-吁，貝Ij"?=.

【正確答案】1

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量α+b,"b，再利用模長(zhǎng)公式整理即可計(jì)算出a=L

【詳解】根據(jù)題意可知，6z+?=(0,4+∕n),6t-?=(4,4-m),

所以卜7+=(4+w)^,∣6Z-fe∣=42+(4-m)2,

由卜+母=卜一囚可得H+/??)?=42÷(4-∕n)2,

整理可得16m=16,解得〃7=1.

故1

2V81

16.已知x>0,y>0,若一+—≥>+2機(jī)恒成立，則實(shí)數(shù)陽(yáng)的取值范圍是.

【正確答案】[Y,2]

【分析】先利用基本不等式求出生+跳的最小值，然后解不等式—+—Z*+2zn即可

XyLXTM

【詳解】x>O,y>0,

:F等2歸=8,當(dāng)且僅安。，即Ix時(shí)等號(hào)成立,

.?.T√+2"7≤8,解得-4≤"Z≤2.

故答案為.[Y,2]

四、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=COS[2_￥+5).

⑴求函數(shù)/(x)圖像的對(duì)稱中心；

(2)求函數(shù)〃x)圖像的單調(diào)遞減區(qū)間.

【正確答案】(I)Hl+*0,eZ

(2)-q+E,§+左兀，Z∈Z

【分析】(1)根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求對(duì)稱中心；

(2)根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】(1)^2x+-=-+??∈Z,解得X=E+如次ez,

32122

所以函數(shù)/(χ)圖像的對(duì)稱中心為住+M0)kz.

TT

(2)令2?π≤2x+]≤兀+2?π,左∈Z,

Trπ

解得——+?π≤x≤-+Aπ,?∈Z,

63

所以函數(shù)“X)圖像的單調(diào)遞減區(qū)間為q+E,>E,?∈Z.

18.已知Z[=-3-4i,z2=(/?-3/??-l)+(/i-zn-6)i,w,∕∕∈R,且Zl=

(1)求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(χy∈R)滿足∣z-z∣∣=l,求IZl的最大值.

【正確答案】(1){“

[n=4

⑵6

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念求解；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的概念以及點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值求解.

[n—3tn-1=-3f=2

【詳解】(1)因?yàn)?=Z2,所以a,,解得”.

[n-m-6=-4[〃=4

22

(2)因?yàn)閆=X+yi(x,yeR),?z?=y∣x+y

所以Z-ZI=(X+3)+(y+4)i,

所以IZ-Zll=J(X+31+(y+4)2=1,即(x+3)2+(y+4)2=1.

所以復(fù)數(shù)z=x+yi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(χ,y)在以C(-3,-4)為圓心，1為半徑的圓上，

且IoCl=J9+16=5,

所以IZl的最大值為IOc+1=6.

19.設(shè)函數(shù)f(x)="?6,其中向量α=(,w,COSX),6=(l+sinx,l),xeR,且/("=2.

⑴求實(shí)數(shù)，”的值；

⑵求函數(shù)/(x)的最小值.

【正確答案】(1)1；

Q)I-6.

【分析】(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出y(x)，再結(jié)合=2即可求出W值；

(2)根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)./U)解析式，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)得到答案.

【詳解】(1)向量。=(〃ZcoSx),b=(l+sinx,l),x∈R,

.,.f^x)=a?b=∕22(l+sirυc)÷cosx,

又?=2，"圖=WI(I+si吟卜嗚=2,解得m=L

(2)由(1)得/(x)=SinΛ+C°SX+1=應(yīng)Sin(X+：)+1,

當(dāng)Sin(X+；)=-1時(shí)，f(x)的最小值為1一&.

20.在二ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若c=√Lb=l,C=120,求:

⑴角B；

(2)ABC的面積S

【正確答案】(I)B=30

⑵且.

4

【分析】(1)正弦定理求解；

(2)根據(jù)面積公式求解.

【詳解】(1)由正弦定理工=三，得SinB=史吧C=!，

sinBsinec2

因?yàn)樵赺ABC中，b<cS,C=120,所以8=30.

(2)因?yàn)锳+8+C=18(),

所以A=180-120-30=30.

所以S??iesinA=^-.

24

21.已知函數(shù)/(X)=log2(2xMl),g(x)=Iog2(x+1).

(1)求f(∣),g(O)的值；

(2)若/(x)≤g(x),試求X的取值范圍.

【正確答案】⑴/(∣)=Lg(0)=0T2)(g,2

【分析】(1)直接代入求解即可得答案；

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可得答案.

【詳解】解：(1)因?yàn)?(x)