教學設計5.1變化率問題

5.1導數(shù)的概念及其幾何意義第一課時變化率問題導數(shù)的產(chǎn)生摘要:以瞬時變化率的概念為例，從選擇恰到好處的情境、提出促進思維的問題、遵循數(shù)學抽象的過程三個方面設計課堂教學，促進學生數(shù)學抽象素養(yǎng)生成，提升學生運算素養(yǎng)。教學內(nèi)容平均速度的極限瞬時速度割線斜率切線斜率平均變化率瞬時變化率（二）教學目標1.通過實例分析，經(jīng)歷由平均速度過度到瞬時速度的過程，理解平均速度與瞬時速度的概念及關(guān)系.（數(shù)學運算）2.通過幾何觀察，經(jīng)歷用割線位置逼近切線位置的過程，認識切線的本質(zhì)是割線位置的極限.（直觀想象）3.體會用“運動變化的觀點”研究問題,逼近（極限）等微積分的重要思想方法.（數(shù)學抽象）（三）教學重點與難點重點：瞬時速度、切線斜率和極限思想.難點：在求瞬時速度、切線斜率的具體案例中體會極限思想.（四）、學生學情分析學生學習過瞬時速度（切線斜率），對瞬時速度（切線斜率）有初步的描述性理解，但對于瞬時速度的算法比較模糊;同時在高一年級的函數(shù)零點的學習過程中，體會過利用二分法逼近函數(shù)的零點，現(xiàn)行的高中數(shù)學教科書在給出導數(shù)概念之前并沒有介紹嚴格的極限概念及其運算．另一個認知障礙是對極限符號及其意義的理解，原因在于極限符號的=具有高度抽象性．教學過程設計【預備導學】勻變速直線運動的位移公式：.2、過兩點的直線的斜率公式：.教學過程：引導語：請同學們欣賞一段視頻,這是我國運動員全紅嬋在2020年東京奧運會10米臺跳水奪冠的精彩瞬間,看見后你的感受是什么?（學生的感性認知動作優(yōu)美，水花小······）.偉大的英國物理學家牛頓他思考的是運動員的運動變化規(guī)律之美！偉大的德同數(shù)學家萊布尼茨觀察到的是身體劃過的曲線之美！他們都是微積分的締造者。微積分是17世紀數(shù)學史上最重大的研究成果，它改變了物理和數(shù)學的發(fā)展,微積分分為微分學和積分學,本節(jié)課讓我們跟隨兩個科學家的腳步,探索微分中最重要的內(nèi)容導數(shù)的探索之旅吧!【情境創(chuàng)設】在一次高臺跳水運動中，已知某運動員初始速度為向2.8m/s,重心距離水面高度為11m，求在運動過程中的重心相對于水面的高度

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m)與起跳后的時間t

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s)存在的函數(shù)關(guān)系式.問題1:如何描述運動員從起跳到入水的過程中運功的快慢變化程度呢?師生活動：（1）引導學生感性認知:先上升,速度越來越慢，后下降,速度越來越快.（2）建立物理模型:根據(jù)所學物理知識知道,運動員近似看成是勻變速直線運動，其位移公式為，推得運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度（單位：m）與起跳后時間t

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s)存在函數(shù)關(guān)系.（3）啟發(fā)學生可以用平均速度近似刻畫運動員的運動狀況.（4）復習平均速度概念及運算方法，學生分組計算以下時間段內(nèi)的平均速度，并描述運動員的運動狀況：0≤t≤0.5，0.5≤t≤1，師生共同給出t1≤t≤t2任意區(qū)間內(nèi)平均速度的計算公式：追問：你認為用運動員在這段時間內(nèi)的平均速度，近似描述這段時間內(nèi)運動員的運動狀態(tài)有什么問題？師生活動：引導學生得出，運動員幾乎一直處于運動狀態(tài)，從而引起認知沖突，進而引入瞬時速度概念，更能準確刻畫物體運動狀態(tài).【新知生成】瞬時速度：物體在某一時刻的速度，稱為瞬時速度設計意圖：讓學生發(fā)現(xiàn)用平均速度不能準確的反映自由落體運動物體的運動狀態(tài)，僅用一個時間段內(nèi)的平均速度難以準確的描述在刻時間段內(nèi)變速運動的過程，如何精確的對整個過程進行描述，可以調(diào)整逐步縮小時間段，調(diào)整時間間隔，越來越小，以至于在某一時刻時的速度，引出研究瞬時速度的必要性。問題2:平均速度與瞬時速度有什么關(guān)系？你能利用這種關(guān)系求運動員在s時的瞬時速度嗎?師生活動：（1）引導學生認識平均速度與瞬時速度的關(guān)系:設運動員在時刻附近某一段時間內(nèi)的平均速度是，不斷縮短這一時間段的長度，那么平均速度會越來越趨近于運動員在時刻的瞬時速度。給出探究方向讓學生嘗試利用這種關(guān)系求運動員在s時的瞬時速度：對應給定的時間間隔，利用問題1中的運算結(jié)果（節(jié)約運算時間），計算運動員在和之間的平均速度為利用信息技術(shù)工具演示平均速度逼近瞬時速度的計算過程，得出以下表格:讓學生觀察上面兩個表格給出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，總結(jié)后，得出結(jié)論，隨著時間間隔的不斷縮小，平均速度越來越接近于常數(shù)。進一步思考的意義，在此基礎(chǔ)上點評總結(jié)，并解釋“”的意義。追問：你認為通過上述列表計算得出瞬時速度的過程可靠嗎？可否用數(shù)學的計算與推理證實我們的判斷．師生活動：教師引導學生根據(jù)平均速度表達式得出:隨著時間間隔的不斷縮小，即越來越接近于0，平均速度越來越接近于常數(shù)。記作：結(jié)論：運動員在t=1s處平均速度的極限值就是她在t=1s處瞬時速度.設計意圖：（1）通過問題引導學生思考，從學生已知的平均速度出發(fā)，去探究未知的瞬時速度，通過縮短時間區(qū)間，用平均速度逼近瞬時速度的方法，理解瞬時速度就是平均速度的極限，培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力．并由此體會極限思想.（2）學生從表格直觀感受逼近過程后，教師再引導學生利用運算來發(fā)現(xiàn)代數(shù)規(guī)律，滲透數(shù)學運算素養(yǎng)，數(shù)學是培養(yǎng)理性思維的重要載體，學習數(shù)學離不開運算推理和演繹證明．數(shù)學實驗的結(jié)果需要用數(shù)學的運算推理加以驗證，體現(xiàn)了理論與實踐的統(tǒng)一，更讓人信服．同時，培養(yǎng)學生崇尚數(shù)學的理性精神和審慎的思維習慣．如何從數(shù)學角度對以上解決問題的方法進行更一般的描述？【新知深化】問題3：觀察拋物線的幾何性質(zhì)有哪些？以下式子代表的含義是什么？師生活動：師生一起回顧作為二次函數(shù)，圖象為拋物線所具有的一些性質(zhì)，教師引導學生發(fā)現(xiàn)左邊表達式的幾何意義，即點兩點連線的斜率。通過斜率的大小反應圖象彎曲程度和增長速度的變化.一般的，對，我們記作，表示過兩點x1，x2的曲線割線的斜率，又稱為函數(shù)的平均變化率.問題4：代表的含義又是什么？師生活動：通過ggb動畫演示，學生從觀察割線P1P0，當P1沿曲線無限靠近P0時直線的變化，又從方程的角度觀察割線P1P0的方程的變化，從左右兩個方向和數(shù)形兩個方面得出結(jié)論。結(jié)論：當點P無限接近于P0,割線PP0無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線稱為拋物線f(x)在x=1處的切線.【新知應用】試求f(x)=x2在點P設計意圖：通過本題學生嘗試求切線方程，熟悉公式的基本應用.教師指導學生求曲線切線斜率的四個步驟.求變化量:算比值:取極限:寫結(jié)論:所求直線方程為【課堂小結(jié)】設計意圖：讓學生回顧整節(jié)課的探索過程，從運動的角度和幾何的角度得到了平均速度、瞬時速度、割線斜率和切線斜率四個概念，從中抽象出了函數(shù)的平均變化率，并指出瞬時變化率就是我們下一節(jié)將研究的導數(shù)的概念，整個過程利用了運動變化的觀點和逼近的極限思想，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想?！菊n后鞏固作業(yè)】A層：課本第61頁練習1、2題，課本第64頁練習2題.B層：課本第70頁第2題.文獻閱讀與寫作：閱讀相關(guān)文獻，了解我國數(shù)學家在微積分思想方面的貢獻.設計意圖：分層設計兩組作業(yè)，供不同層次的學生選用。并布置了文獻搜集和寫作作業(yè)，引導學生發(fā)現(xiàn)中國數(shù)學家早在魏晉時期，劉徽在所著的《九章算術(shù)》中就有了微積分思想的應用。培養(yǎng)學生愛國主義思想。過程性評價表評價內(nèi)容權(quán)重等級自評互評師評1、平均速度的正確計算。10分A（810）B（57）C（04）2、極限、瞬時速度概念的理解。10分A（810）B（57）C（04）3、割線斜率和切線定義的理解。10分A（810）B（57）C（04）4、會求曲線切線的方程。10分A（810）B（57）C（04）5、在交流活動中積極主動發(fā)表自己的觀點。10分A（810）B（57）C（04）6、能通過本節(jié)課的學習，感悟其中蘊含的思想方法。10分A（810）B（57）C（04）總分設計意圖：體現(xiàn)教學評一體化的思想，采取自評和他評的形式，教師通過作業(yè)再對學生進行二次評價，讓評價真實發(fā)生。（六）板書設計（七）教學反思本節(jié)課以物理運動模型和數(shù)學幾何斜率模型為兩大主線，串聯(lián)課堂，以微積分的獨立創(chuàng)造人物理牛頓和數(shù)學家萊布尼茨的兩個視角展開，這樣的引入即增加了微積分歷史的了解，又培養(yǎng)學生像科學家一樣來思考問題，來探究整個導數(shù)產(chǎn)生的過程。在實際的優(yōu)質(zhì)課評選過程中，由于安排的學生是生政史班級，物理知識基礎(chǔ)和思維能力較差，學生對勻加速直線運動、平均速度、斜率等公式理解不到位，造成了課堂上對學生的誤判，讓學生進行平均速度的計算時，學生沒有發(fā)應，不能很快的計