2021新高考數(shù)學(xué)新課程一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第三章第7講解三角形應(yīng)用舉例

第7講解三角形應(yīng)用舉例[考綱解讀]1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn))2.利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題，主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立三角函數(shù)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．(難點(diǎn))[考向預(yù)測(cè)]從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)考查內(nèi)容．預(yù)計(jì)2021年會(huì)強(qiáng)化對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的考查．以與三角形有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題為主要命題方向，結(jié)合正、余弦定理求解平面幾何中的基本量，實(shí)際背景中求距離、高度、角度等均可作為命題角度．試題可以為客觀題也可以是解答題，難度以中檔為主.1．仰角和俯角在視線(xiàn)和水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)eq\o(□,\s\up4(01))上方的角叫仰角，在水平線(xiàn)eq\o(□,\s\up4(02))下方的角叫俯角(如圖①)．2．方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．3．方向角相對(duì)于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類(lèi)似．4．坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱(chēng)為坡比．1．概念辨析(1)東北方向就是北偏東45°的方向．()(2)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.()(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系．()(4)方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍一般是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小題熱身(1)在某測(cè)量中，設(shè)A在B的南偏東34°27′，則B在A的()A．北偏西34°27′ B．北偏東55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′答案A解析由方向角的概念知，B在A的北偏西34°27′.(2)已知A，B兩地間的距離為10km，B，C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則A，C兩地間的距離為()A．10km B．10eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km答案D解析由余弦定理可得，AC2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cos120°＝102＋202－2×10×20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝700.∴AC＝10eq\r(7)(km)．(3)如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_______m.答案50eq\r(2)解析在△ABC中，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，又因?yàn)锳C＝50m，所以由正弦定理得AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sin∠ABC)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．(4)如圖，從無(wú)人機(jī)A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時(shí)無(wú)人機(jī)的高度是46m，則河流的寬度BC約等于________m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)答案60解析由圖可知，AB＝eq\f(46,sin67°)，在△ABC中，由正弦定理可知eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(BC,sin37°)，所以BC＝eq\f(ABsin37°,sin30°)＝eq\f(46sin37°,sin67°sin30°)≈eq\f(46×0.60,0.92×0.5)＝60(m)．題型一測(cè)量距離問(wèn)題1．一艘船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到達(dá)B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為()A．15eq\r(2)km B．30eq\r(2)kmC．45eq\r(2)km D．60eq\r(2)km答案B解析作出示意圖如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2).2．(2019·寧德模擬)海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則A，B兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_______．答案80eq\r(5)解析由已知，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理，得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))，在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°，由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2))；在△ABC中，由余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1600×(8＋4eq\r(3))＋1600×(8－4eq\r(3))＋2×1600×(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝32000，解得AB＝80eq\r(5)，則A，B兩點(diǎn)的距離為80eq\r(5).(1)測(cè)量距離問(wèn)題，無(wú)論題型如何變化，即兩點(diǎn)的情況如何變化，實(shí)質(zhì)都是要求這兩點(diǎn)間的距離，無(wú)非就是兩點(diǎn)所在三角形及其構(gòu)成元素的所知情況不同而已，恰當(dāng)?shù)禺?huà)出(找出)適合解決問(wèn)題的三角形是解題的基礎(chǔ)，將已知線(xiàn)段長(zhǎng)度和角度轉(zhuǎn)化為要解的三角形的邊長(zhǎng)和角是解題的關(guān)鍵.(2)求距離問(wèn)題的兩個(gè)策略①選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.②確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.如圖，在海岸線(xiàn)上相距2eq\r(6)千米的A，C兩地分別測(cè)得小島B在A的北偏西α方向，在C的北偏西eq\f(π,2)－α方向，且cosα＝eq\f(\r(6),3)，則B，C之間的距離是()A.30eq\r(3)千米 B．30千米C.12eq\r(3)千米 D．12千米答案D解析由題意，得AC＝2eq\r(6)，sinA＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝eq\f(\r(6),3)，sinB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(1,3)，在△ABC中，由正弦定理得BC＝eq\f(ACsinA,sinB)＝eq\f(2\r(6)×\f(\r(6),3),\f(1,3))＝12，則B與C的距離是12千米.題型二測(cè)量高度問(wèn)題1．(2019·長(zhǎng)沙一中模擬)如圖，在路邊安裝路燈，路寬為OD，燈柱OB高為10m，燈桿AB長(zhǎng)為1m，且燈桿與燈柱成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，其軸截面的頂角為2θ，燈罩軸線(xiàn)AC與燈桿AB垂直．若燈罩截面的兩條母線(xiàn)所在直線(xiàn)中的一條恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，另一條與地面的交點(diǎn)為E.則該路燈照在路面上的寬度OE的長(zhǎng)是________m.答案eq\f(40\r(3),3)解析在△AOB中，由余弦定理可得OA＝eq\r(111)m，由正弦定理得sin∠BAO＝eq\f(5\r(37),37)，因?yàn)椤螧AO＋θ＝eq\f(π,2)，所以cosθ＝sin∠BAO＝eq\f(5\r(37),37)，sinθ＝eq\f(2\r(3),\r(37))，則sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(20\r(3),37).易知∠ACO＝60°，則sin∠AEO＝sin(60°－θ)＝eq\f(3\r(3),2\r(37))，在△AOE中，由正弦定理可得OE＝eq\f(OAsin2θ,sin∠AEO)＝eq\f(40\r(3),3)m.2．如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車(chē)在一條水平的公路上沿直線(xiàn)勻速行駛，小明在A處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽車(chē)從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14s，則這輛汽車(chē)的速度約為_(kāi)_______m/s(精確到0.1).參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236.答案22.6解析因?yàn)樾∶髟贏處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.設(shè)這輛汽車(chē)的速度為vm/s，則BC＝14v.在Rt△ADB中，AB＝eq\f(AD,cos∠BAD)＝eq\f(100,cos60°)＝200.在Rt△ADC中，AC＝eq\f(AD,cos∠CAD)＝eq\f(100,cos45°)＝100eq\r(2).在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100eq\r(2))2＋2002－2×100eq\r(2)×200×cos135°，所以v＝eq\f(50\r(10),7)≈22.6，所以這輛汽車(chē)的速度約為22.6m/s.求解高度問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定義.(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)．如舉例說(shuō)明2.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.1．如圖，在離地面高400m的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC＝60°，則山的高度BC為()A.700m B．640mC．600m D．560m答案C解析在Rt△AMD中，AM＝eq\f(MD,sin45°)＝eq\f(400,\f(\r(2),2))＝400eq\r(2)(m)，在△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理得AC＝eq\f(AMsin∠AMC,sin∠MCA)＝eq\f(400\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝400eq\r(3)(m)．在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝600(m).2．如圖所示，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，則山高M(jìn)N＝________m.答案150解析在△ABC中，AC＝100eq\r(2)，在△MAC中，eq\f(MA,sin60°)＝eq\f(AC,sin45°)，解得MA＝100eq\r(3)，在△MNA中，eq\f(MN,100\r(3))＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，故MN＝150，即山高M(jìn)N為150m.題型三測(cè)量角度問(wèn)題1.在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為θ，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2θ，再繼續(xù)前進(jìn)10eq\r(3)m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4θ，則θ的大小為_(kāi)_______.答案15°解析在△ACD中，AC＝BC＝30，AD＝CD＝10eq\r(3)，∠ADC＝180°－4θ，由正弦定理得eq\f(10\r(3),sin2θ)＝eq\f(30,sin180°－4θ)，所以eq\f(10\r(3),sin2θ)＝eq\f(30,2sin2θcos2θ)，cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，所以2θ＝30°，θ＝15°.2．在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值.解如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處攔截住藍(lán)方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f